冲刺2019高考数学二轮复习核心考点特色突破专题06三角函数的图像与性质含解析

专题06 三角函数的图像与性质
【自主热身，归纳总结】
1、已知锐角θ满足tan θ＝6cos θ，则sin θ＋cos θ
sin θ－cos θ
＝________．
【答案】： 3＋2 2
【解析】： 由tan θ＝6cos θ得sin θ＝6c os 2θ，即sin θ＝6(1－sin 2θ)，解得sin θ＝
6
3
(负值已舍去)，cos θ＝
33，代入sin θ＋cos θ
sin θ－cos θ
，可得结果为3＋2 2. 2、在平面直角坐标系Oy 中，已知角α，β的始边均为轴的非负半轴，终边分别经过点A(1，2)，B(5，1)，则tan (α－β)的值为________． 【答案】： 9
7
【解析】：由三角函数的定义可知tan α＝21＝2，tan β＝15，故tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝2－15
1＋2×
15
＝9
7
.
3、 函数y ＝3sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫2x ＋π4的图像两相邻对称轴的距离为________．
【答案】： π
2
【解析】：由题知函数最小正周期T ＝2π2＝π.图像两相邻对称轴间的距离是最小正周期π的一半即π
2.
4、若函数f()＝A sin (ω＋φ)(A>0，ω>0)的图像与直线y ＝m 的三个相邻交点的横坐标分别是π6，π3，2π
3，则
实数ω的值为________． 【答案】： 4
【解析】：由题意得函数f()的最小正周期T ＝2π3－π6＝2πω
，从而ω＝4.
5、若函数f()＝A sin (ω＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图像如图所示，则f(－π)的值为________
．
【答案】： －1
【解析】：由题意，A ＝2，T ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π4×4＝3π＝2πω，即ω＝23，解得2π3＋φ＝2π＋π2，∈，即φ＝2π－π6，∈，
因为|φ|＜π，所以φ＝－π6，所以f (－π)＝2sin(－23π－π
6
)＝－1.
解后反思 依图求函数y ＝A sin (ω＋φ)的【解析】式的难点在于确定初相φ，其基本方法是利用特殊点，通过待定系数法、五点法或图像变换法求解．
6函数f ()＝cos x 2⎝ ⎛
⎭⎪⎫
sin x
2－3cos x 2的最小正周期为________．
【答案】2π
【解析】：因为f ()＝cos x 2⎝ ⎛
⎭⎪⎫sin x
2－3cos x 2＝1
2sin －3·1＋cos x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －π3－32，所以最小正周期为2π.
7、将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向右平移φ⎝ ⎛
⎭⎪⎫0＜φ＜π2个单位长度后，所得函数为偶函数，则φ＝________.
【答案】：. 5π
12
8、 若函数f ()＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的最小正周期为π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3的值是________．
【答案】： 1
2
【解析】：因为f ()的最小正周期为π，所以2πω＝π，故ω＝2，所以f ()＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，从而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3＝si n 2π3＋π6＝sin
5π6＝1
2
. 9、 已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2，π，cos α＝13，sin(α＋β)＝－35，则cos β＝________.
【答案】：－4＋62
15
【解析】： 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
0，π2，cos α＝13，所以sin α＝223.又α＋β∈π2，3π2，sin(α＋β)＝－35＜0，所以α＋β∈
⎝ ⎛⎭⎪⎫
π，3π2，故cos(α＋β)＝－45，从而cos β＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×13－35×223＝－4＋62
15
. 10、 若tan β＝2tan α，且cos αsin β＝2
3，则sin(α－β)的值为________．
【答案】： －1
3
【解析】：因为tan β＝2tan α，所以
sin βcos β＝2sin αcos α，即cos αsin β＝2sin αcos β.又因为cos αsin β＝2
3
，所以sin αcos β＝13，从而sin(α－β)＝s in αcos β－cos αsin β＝13－23＝－1
3
.
11．若函数的图象过点，则函数()f x 在[0,]π上的单调减区间是
▲ ． 【答案】： ]12
7,
12[
π
π（或)127,12(π
π）
12、在同一直角坐标系中，函数y ＝sin(＋π3) （∈[0，2π]）的图象和直线y ＝1
2 的交点的个数是 ．
【答案】．2
解法1 令，可得
即，又∈[0，2π]，所以116x π=
或2x π=，故原函数图象与1
2
y =的交点个数为2.
解法2 在同一个坐标系下画出这两个函数图象，可得交点个数为2
13、 已知θ是第三象限角，且sin θ－2cos θ＝－2
5，则sin θ＋cos θ＝________.
【答案】： －31
25
思路分析 首先试试能否猜出【答案】，猜出的【答案】是否正确．观察得sin θ＝45，cos θ＝3
5满足方程，但
此时θ是第一象限角，不合题意．
由⎩⎨
⎧
sin θ－2cos θ＝－25，
sin 2
θ＋cos 2
θ＝1，
得5cos 2
θ－85cos θ－2125＝0，解得cos θ＝35或－7
25
.因为θ是第三象限角，所以cos θ
＝－725，从而sin θ＝－2425，所以si n θ＋cos θ＝－31
25
.
解后反思 虽然观察得到的结果不合题意，但是也很有用，在实际解方程时，利用“根与系数的关系”能很快找到我们需要的解．
本质上，⎩⎨
⎧
sin θ－2cos θ＝－25，
sin 2
θ＋cos 2
θ＝1
可看作是二元二次方程组，通常有两解．一般地，由A sin θ＋B cos θ＝C
求sin θ，cos θ可能有两组解．
14、 已知sin(＋π6)＝13，则sin(－5π6)＋sin 2(
π3－)的值为________．
【答案】： 5
9
【解析】：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π＝－sin(＋π6)＝－13，sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π6＝1－sin 2(＋π6)＝1－19＝89，
所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＋sin 2
⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3－x ＝－13＋89＝59.
解后反思 本题旨在考查角变换和函数名称变换，切不可以把已知和未知的括号打开，以免陷入繁杂的运算中，造成隐形失分．
【问题探究，变式训练】
例1、 设函数f ()＝sin(ω＋φ)＋3cos(ω＋φ)⎝ ⎛
⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且满足f (－)＝f ()，则函数f ()
的单调增区间为________．
【答案】 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－π2＋k π，k π(∈)
【解析】：由题意可得f ()＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π3.又最小正周期为π，故ω＝2.又该函数的对称轴为直线＝0，所以
φ＋π3＝π＋π2(∈)，解得φ＝π＋π6(∈)．又因为||φ<π2，所以φ＝π6，所以f ()＝2cos ，故单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥
⎤－π2＋k π，k π(∈)．
【变式1】、.. 若f()＝3sin (＋θ)－cos (＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π2
≤θ≤π2是定义在R 上的偶函数，则θ＝________.
【变式2】、. 将函数y ＝3cos ＋sin(∈R )的图像向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是________． 【答案】π
6
解法1 函数y ＝3cos ＋sin ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ＋π3的图像向左平移m (m >0)个单位长度后所得图像的函数【解析】式
是y ＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫x ＋m ＋π3，由于函数y ＝2sin 的图像至少向左平移π2个单位长度后可得到关于y 轴对称的图像，
所以m ＋π3的最小值是π2，故m 的最小值是π
6
.
【关联6】、将函数y ＝sin2的图像向左平移φ(φ>0)个单位长度，若所得图像过点（π6，3
2)，则φ的最小值
为________. 【答案】： π
6
【解析】：将函数y ＝sin2的图像向左平移φ(φ>0)个单位长度得到y ＝sin(2＋2φ)的图像，将点⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π6，32代入
得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3＋2φ＝32，所以π3＋2φ＝2π＋π3或π3＋2φ＝2π＋2π3(∈)，即φ＝π或φ＝π＋π6(∈)，又因为φ>0，所以φ
的最小值为π
6
.
易错警示 错以为函数y ＝sin2的图像向左平移φ(φ>0)个单位长度之后变成了y ＝sin(2＋φ)的图像，从而导致了错误．还有的考生的【答案】为0，充分说明没看清题目条件．
例2、设函数f ()＝A sin(ω＋φ)A >0，ω>0，－π2<φ<π
2，∈R 的部分图像如图所示．
(1) 求函数y ＝f ()的【解析】式；
(2) 当∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－π2，π2时，求f ()的取值范围．
【解析】： (1) 由图像知，A ＝2，(2分)
又T 4＝5π6－π3＝π
2，ω>0，所以T ＝2π＝2π
ω
，得ω＝1.(4分) 所以f ()＝2sin(＋φ)，将点π3，2代入，得π3＋φ＝π2＋2π(∈)，即φ＝π
6
＋2π(∈)，
又－π2<φ<π2，所以φ＝π
6.(6分)
所以f ()＝2sin ＋π
6
.(8分)
(2) 当∈[－π2，π2]时，＋π6∈[－π3，2π
3]，(10分)
所以sin ＋π6∈[－3
2
，1]，即f ()∈[－3，2]．(14分)
易错警示 在求f ()的【解析】式中φ的值时，如果选用图像过点5π
6，0求，往往会导致增根，这是因为在
正弦函数的一个周期内会有3个零点，因此，在求φ的值时，一般会用最值点求，这样，就会有效地避免出现增根． 【变式1】、已知函数
（其中A ，ω，ϕ为常数，
且A ＞0，ω＞0，22
ϕππ
-＜＜）的部分图象如图所示．
（1）求函数f ()的【解析】式； （2）若3()2f α=，求sin(2)6
απ
+的值．
【解析】：（1）由图可知，A 2，
T 2π，故1ω=，所以，f ()
2sin()x ϕ+．
又，且22
ϕππ
-＜＜，故6ϕπ=-．
于是，f ()
2sin()6
x π
-．
（2）由3
()2
f α=
，得．
所以，
=．
【变式2】、已知函数f ()＝A sin(ω＋φ)⎝ ⎛
⎭⎪⎫A >0，ω>0，0<φ<π2部分图像如图所示．
(1) 求函数f ()的【解析】式；
【解析】：(1) 首先把函数化简为f ()＝A sin(ω＋φ)＋B 的形式，其中A ＞0，ω＞0. (2) 利用正弦、余弦定理，列出关于边a ，b 的方程组． 规范解答 (1) 因为f ()＝32sin2－12(1＋cos2)－1
2
＝sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫2x －π6－1
所以函数f ()的最小值是－2，
此时2－π6＝2π－π2，∈，得＝π－π6，∈，即的取值集合为⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪
⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x ＝k π－π6，k ∈Z .
(2) 由f (C )＝0，得sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2C －π6＝1.又C ∈(0，π)，所以2C －π6＝π2，得C ＝π3
由sin B ＝2sin A 及正弦定理，得b ＝2a .(11分) 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得a 2＋b 2－ab ＝3
由⎩⎨⎧ b ＝2a ，a 2＋b 2
－ab ＝3，解得⎩
⎨⎧
a ＝1，
b ＝2.
【关联】、已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ，34，b ＝(cos ，－1)．(1) 当a ∥b 时，求tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －π4的值；
(2) 设函数f ()＝2(a ＋b )·b ，当∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
0，π2时，求f ()的值域．
【解析】 (1) 因为a ∥b ，所以34cos ＋sin ＝0，所以tan ＝－3
4，
所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝tan x －1
1＋tan x
＝－34－11－34＝－7.
(2) f ()＝2(a ＋b )·b
＝2⎝ ⎛
⎭⎪⎫sin x ＋cos x ，－14·(cos ，－1)
＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ＋cos 2
x ＋14
＝2sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫2x ＋π4＋32.
因为∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以π4≤2＋π4≤5π4，所以－22≤sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π4≤1，
所以12≤f ()≤32＋2，即函数f ()的值域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
12，32＋2.。