数学建模——水塔流量问题

数学建模——⽔塔流量问题
实验⼗四⽔塔流量问题
【实验⽬的】
1．了解有关数据处理的基本概念和原理。

2．初步了解处理数据插值与拟合的基本⽅法，如样条插值、分段插值等。

3．学习掌握⽤MATLAB 命令处理数据插值与拟合问题。

【实验内容】
某居民区有⼀供居民⽤⽔的圆形⽔塔，⼀般可以通过测量其⽔位来估计⽔的流量。

但⾯临的困难是，当⽔塔⽔位下降到设定的最低⽔位时，⽔泵⾃动启动向⽔塔供⽔，到设定的最⾼⽔位时停⽌供⽔，这段时间是⽆法测量⽔塔的⽔位和⽔泵的供⽔量。

通常⽔泵每天供⽔⼀两次，每次约两⼩时。

⽔塔是⼀个⾼⽶、直径⽶的正圆柱。

按照设计，⽔塔⽔位降到约⽶时，⽔泵⾃动启动，⽔位升到约⽶时⽔泵停⽌⼯作。

某⼀天的⽔位测量记录如表1所⽰，试估计任何时刻（包括⽔泵正供⽔时）从⽔塔流出的⽔流量，及⼀天的总⽤⽔量。

表1 ⽔位测量启⽰录（
0101001111012012)(2x L )(2ξL )(ξf y )(x f n 0x 1x n x 0y 1y n y n n )(x L n )(x L n m x a 011-m x a x a m 1-m a n )(k n x L k y k n )(ξn L )(ξf )(x L n )(x f n m n )(x L n )(x f x )(x L n )(x f a 0x 1x n
x b )
(x P 11----i i i i y x x x x i i i i y x x x x 1
1
----1-i x x i x i n 0x 0y 1x 1y n x n y a b )(x S k )(x S k )(x S i i y )(x S a b k n i x i y i n i x y )(x f )(x f )(x f )(11x r a )(22x r a )(x r a m m )(x r k k a k m m n k a Q
∑=-n
i i
x f 1
2
i
)
y )((
10t t t t t t t t t dt3;%% ⽤差分计算t（22）和t（23）的流量
S 2.8/8.
>> t3=[20 t(22) t(23)];% 取第2时段20，两点和第3时段，两点
>> xx3=[abs(polyval(a2,t3(1:2))),dht3]; 取第2时段20，两点和第3时段，两点的流量
>> c3=polyfit(t3,xx3,3)% 拟合出第2⽔泵供⽔时段的流量函数
>> tp3=::24;
>> x3=polyval(c3,tp3);% 输出第2供⽔时段（外推到t＝24）各时刻的流量求第1、2时段和第1、2供⽔时段流量的积分之和，就是⼀天总⽤⽔量。

虽然诸时段的流量已表⽰为多项式函数，积分可以解析地算出，这⾥仍可⽤数值积分计算：
>> y1=*trapz(x1)% 第1时段⽤⽔量，为积分步长
y1 =
>> y2=*trapz(x2) % 第2时段⽤⽔量
y2 =
>> y12=*trapz(x12) % 第1⽔泵供⽔时段⽤⽔量
y12 =
>> y3=*trapz(x3) % 第2⽔泵供⽔时段⽤⽔量
y3 =
>> y=(y1+y2+y12+y3)**% 总⽤⽔量为⽔位差乘以⽔塔截⾯积，是因为流量单位为厘⽶y =
+003
【结果分析】
计算出来的各时段⽤⽔量可以⽤测量记录来检验，y1可⽤第1时段⽔位测量下降⾼度为968－822＝146来检验，类似地，y2⽤
1082－822＝260来检验。

供⽔时段流量的⼀种检验⽅法如下：供⽔时段⽤⽔量加上⽔位上升值260是该时段泵⼊的⽔量，除以时间长度得到⽔泵的功率（单位时间泵⼊⽔量），⽽两个供⽔时段的功率应⼤致相等。

第1、2时段⽔泵的功率计算如下：
>> p1=(y12+260)/2
p1 =
>> tp2=::23;
>> xp2=polyval(c3,tp2);
>> p2=*trapz(x3)+260)/
p2 =
可以看到，两次⽔泵泵⽔的功率差别不⼤。

下⾯是⽔塔⼀天的流量曲线图：
图当取三次多项式拟合的流量曲线图
由图我们可以看到，流量曲线与原始记录基本上相吻合，但在第1时段和第1泵⽔时段的交接处曲线不太光滑，这说明我们采⽤3次曲线通过4点的做法不够好，应该多取⼏点进⾏拟合。

0点到10点很流量很低，10点到下午3点即中午时间段是⽤⽔⾼峰期。

【练习与思考】
1．假定某天的⽓温变化见下表，试找出这⼀天的⽓温变化规律：
2．在化⼯⽣产中常常需要知道丙烷在各种温度T 和压⼒P 下的导热系数K 。

下⾯是实验得到的⼀组数据：
试求T ＝99（℃）和P ＝（103
2
/m kN ）下的导热系数。

3．下表给出了某⼀海域以码为单位的直⾓坐标为X 、Y 的⽔⾯⼀点处以英尺为单位的⽔深
Z ，⽔深数据是在低潮时测得的。

船的吃⽔深度为5英尺，问在矩形区域（85200）×（－
40150）⾥，哪些地⽅船要避免进⼊。

⽔道测量数据——在低潮测得的⽔深。