隔板法及其隔板法的应用

隔板法及其隔板法的应用
基础题型：将n个相同元素分给m个不同对象（n≥m），每个对象至少有一个元素，由C（n-1，m-1）种方法。

解析：本题型可描述为n-1个空中插入m-1块板，共有C（n-1，m-1）种方法。

此种解法称为隔板法。

下面通过几个例题体会一下隔板法的应用。

例1．
从5个学校选出8名学生组成代表团，每校至少有一人的选法种数是多少？
解析：按常规，从5个学校选8名学生，要考虑5个学校人员的分配，需要分类讨论，太繁琐。

逆向思考，假设8名学生的代表团已组建好，现将其返回到5个学校，每校至少一人，用“0”表示学生，如图，0∣00∣00∣00∣0
问题转化为将8个学生分成5组，每组至少一人，在上图中，7个空档中插入4块隔板即可将其分成5组，故有C（7，4）=35种选法。

例2．
20个不加区别的小球放入编号为1号、2号、3号的三个盒子里，要求每个盒内的球数不小于盒子的编号数，问有多少种放法？
解析：先取出3个球，其中1个球放入2号盒内，再将其余的2个球放入3号盒内。

则此题转化为17个球放入3个不同盒内，每盒至少一球，有多少种放法？即16个空档中插入2个隔板即可将其分成3组，故有C（16，2）=120种放法。

例3．
(1)12个相同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种?
(2)12个相同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子中，每盒可空，问不同的放法有多少种?
(3)12个相同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子中，要求每个盒子中的小球数不小于其编号数，问不同的放法有多少种?
解：(1)将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11个间隔中选出3个，放上“隔板”，若记作“1”看作隔板，则如图001000010000100隔板将一排小球分成4块，从左到右可以看成4个盒子放入的球数，即上图中1、2、3、4四个盒子相应放入2个、4个、4个、2个小球，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11个间隔中选出了3个间隔的组合对应于一种放法，所以不同的放法有C（11，3）=165(种)。

(2)先借4个球分别放入4个盒子里，此题转化为把把16个球放到4个盒子里，每个盒子至少要有一个球，不同的放法有多少种？
由隔板法可知：C(15,3)=455种。

(3)解法一：用(1)的处理问题的方法。

将1个、2个、3个小球放入编号为2、3、4的盒子中，将余下的6个小球放在4个盒子中，每个盒子至少一个小球，据(1)有C(5,3)=10(种)。

解法(2)：用(2)的处理问题的分法。

将1个、2个、3个、4个小球分别放在编号为1、2、3、4的盒子中，将余下的2个小球放在四个盒子中，每盒允许有空盒，据(2)有C(5,3)=10(种)。

不小心搜到一个05年的人教论坛高中数学版块的问题，正好练练手。

隔板法：盒子可空与不可空解法有没有区别？？
10个相同球，放入4个不同盒子中。

求：
（1）盒子不可以空的种数
（2）盒子可以空的种数
(1)直接用隔板法C（9，3）=84种方法。

（2）
方法1
（分类考虑
（1）放入1个盒子里：1种放法。

，但注意一共是4个盒子，可以放进4个盒子中的任何一个，所以共有1XC（4，1）=4种放法。

（2）放入2个盒子里;相当于9个空隙里插入1个板，所以有C（9，1）=9种放法；但是共有4个盒子，可以放进去任意4个中的任意两个，所以共有9XC(4,2)=54种放法。

（3）放入3个盒子里：相当于9个空隙里插入2个板，所以有C（9，2）=36种放法；但是共有4个盒子，可以放进去任意4个盒子中的3个，所以共有36XC（4，3）=144种放法。

（4）放入4个盒子里：相当于9个空隙里插入3个板，所以共有C(9,3)=84
种放法；
所以共有4+54+144+84=286种放法。

方法2
10个相同球，放入4个不同盒子中，求盒子可以空的种数
先借4个球，每个盒子里放一个，这样就转化成14个球放进4个盒子里，每个盒子里至少有一个球，有多少种放法？
直接用公式C（13，3）=286种放法。

烦人的球子问题
我是看完论坛的帖子自己总结的，给大家分享，最主要是自己巩固一下：
高手来指点一下我说的对不对！
主要形式有八种：
1、球同、盒同、无空箱
例：8个相同的球放到4个相同的箱子里面，每个箱子至少放一个，问有多少种放法？
方法一：
先把四个箱子分别放入一个球，还剩4个球，这四个球只能有4000 3100 2200 1210 1111 所以有五种。

（包括零的正整数有几种情况加四次等于4）
方法二，：更容易些，
放球最少的箱子放一个球，则取球第二少的可以取1115 1124 1133 1232 四种
放球最少的箱子放两个球，则取球第二少的可以取2222 一种
总共：5种（此方法好处是不容易重复或漏数）。

2、球同、盒同、有空箱
例：8个相同的球放到4个相同的箱子里面，可以空箱，问有多少种放法？
这个如果考试遇到数字也不会太大，自己在草稿纸上画画1分钟怎么也画出来了。

0008 0017 0026 0035 0044 0116 0125 0134 2222 0224 0233 1115 1124 1133 1223共15种
较简便放法：放球最少的箱子取零个球，0008 0017 0026 0035 0044 0116 0125 0134 0224 0233
放球最少的箱子取一个球，1115 1124 1133 1223
放球最少的箱子取两个球，2222
共15种
3、球同、盒不同、无空箱
这个是球球里面最简单的题了，也最容易理解。

例：8个相同的球放到4个不同的箱子里面，每个箱子至少放一个，问有多少种放法？
插板法：8个相同的球有7个空，把8个球分成4份要插3块板，所以有C73=35种
4、球同、盒不同、有空箱
这个也比较容易理解
例：8个相同的球放到4个不同的箱子里面，可以有空箱，问有多少种放法？
还是用插板法，现在是可以有空箱子，把8个相同的球分成四份要三个插板，把插板看成是空箱子，就有C11 3=165种
以上四种是常见题，必须要弄明白
下面的四种比较复杂，不太常见，为了简便计算四个盒改成三个盒。

5、球不同、盒同、无空箱
例：8个不同球放到3个相同的箱子里面，每箱至少有一个，问有多少种放法？
取球最少盒子取1时，有116，125，134三种情况，分别有c8 6=28, c8 1*c7 2=168, c8 1*c73=280
取球最少盒子取2时，有224，233二种情况，分别有c82*c62/2=210，c83×c53/2=280
一共28+168+280+210+280=966
6、球不同、盒同、有空箱
例：8个不同球放到3个相同的箱子里面，可以有空箱，问有多少种放法？
8个不同的球放到3个不同的箱子里面，每个球有3中选择3^8=6561种,，这里箱子是相同的所以要除以A33，如果遇到008只有3种方法，所以（6561+3）/6=1094种
7、球不同、盒不同、无空箱
例：8个不同球放到3个不同的箱子里面，每箱至少有一个，问有多少种放法？
8个不同的球放到3个相同的箱子里有966种，现在箱子不同了就有A33=6，最后得出966*6=5796种
8、球不同、盒不同、有空箱
例：8个不同球放到3个不同的箱子里面，可以有空箱，问有多少种放法？
8个不同的球放到3个相同的箱子里面，每个球都有3种选择，所以有3^8=6561种
我有点晕了，反正考试的时候不晕就行，以上是烦人的小球的八种情况，也可以用其他形式表示，如N个汽车放到M个车库里、N个人分到M个班级里等，大家要学会变通。