(人教版)青岛市八年级数学下册第二单元《勾股定理》检测(含答案解析)

一、选择题
1．下列线段不能组成直角三角形的是（ ）
A ．6，8，10
B ．1，2，3
C ．
43，1，53
D ．2，4，6 2．下列四组线段中，能构成直角三角形的是（ ） A ．2cm 、4cm 、5cm
B ．15cm 、20cm 、25cm
C ．0.2cm 、0.3cm 、0.4cm
D ．1cm 、2cm 、2.5cm 3．如图，△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =60°，CD ⊥AB 于点D ，△ABC 的面积为120，则
△BCD 的面积为（ ）
A ．20
B ．24
C ．30
D ．40
4．如图所示，有一块直角三角形纸片，90C ∠=︒，12AC cm =，9BC cm =，将斜边AB 翻折使点B 落在直角边AC 的延长线上的点E 处，折痕为AD ，则CD 的长为（ ）
A ．4cm
B ．5cm
C ．17cm
D ．94
cm 5．如图，在Rt ABC ∆中，90,45,2B BCA AC ︒︒∠=∠==，点D 在BC 边上，将ABD ∆沿直线AD 翻折，点B 恰好落在AC 边上的点E 处，若点P 是直线AD 上的动点，连接,PE PC ，则PEC ∆的周长的最小值为（ ）
A ．22
B 2
C 21
D ．1
6．已知实数a ，b 为ABC 的两边，且满足2a 1b 4b 40-+-+=，第三边c 5=，则第三边c 上的高的值是( )
A ．554
B ．455
C ．552
D ．255
7．若实数m 、n 满足|m ﹣3|+4n -＝0，且m 、n 恰好是Rt ABC 的两条边长，则ABC 的周长是（ ）
A ．5
B ．5或7
C ．12
D ．12或7+7 8．在ABC 中，A ∠、B 、C ∠的对应边分别是a 、b 、c ，下列条件中不能说明ABC 是直角三角形的是（ ）
A ．222b a c =-
B ．
C A B ∠=∠+∠ C ．::3:4:5A B C ∠∠∠=
D ．::5:12:13a b c =
9．2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a ，较短直角边为b ，则2()a b +的值为（ ）
A ．25
B ．19
C ．13
D ．169 10．若ABC 的三边a 、b 、c 满足2(3)450a b c -+-+-=，则ABC 的面积是
（ ）
A ．3
B ．6
C ．12
D ．10
11．如图，设每个小方格的边长都为1，则图中以小方格顶点为端点且长度为13的线段有（ ）
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
12．如图，在平面直角坐标系中，点P 为x 轴上一点，且到A （0，2）和点B （5，5）的距离相等，则线段OP 的长度为（ ）
A ．3
B ．4
C ．4.6
D ．25
二、填空题
13．如图，在正方形网格中，A ，B ，C ，D ，E 都是格点，则
BAC CDE ∠+∠=_______．
14．“东方之门”座落于美丽的金鸡湖畔，高度约为301.8米，是苏州的地标建筑，被评为“中国最高的空中苏式园林”．现以现代大道所在的直线为x 轴，星海街所在的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系（1个单位长度表示的实际距离为100米），东方之门的坐标为4(6,)A -，小明所在位置的坐标为(2,2)B -，则小明与东方之门的实际距离为___________米．
15．已知O 为平面直角坐标系的坐标原点，等腰三角形AOB 中，A(2，4)，点B 是x 轴上的点，则AOB 的面积为_____．
16．如图，在Rt ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，边AC 落在数轴上，点A 表示的数是1，点C 表示的数是3．以点A 为圆心、AB 长为半径画弧交数轴负半轴于点B 1，则点B 1所表示的数是_____．
17．已知一个三角形工件尺寸（单位dm）如图所示，则高h=__dm．
18．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是______cm．
19．如图，在边长为23的等边三角形ABC中，过点C作垂直于BC的直线交∠ABC的平分线于点P，则点P到边AB所在直线的距离为_________．
20．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝24cm，BC＝12cm，BF＝7cm，点M 在棱AB上，且AM＝6cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M 爬行到点N，它需要爬行的最短路程为_______．
三、解答题
21．Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5．
（1）如图1，点E 在边BC 上，且∠AEC =2∠B ．
①在图1中用尺规作图作出点E ，并连结AE （保留作图痕迹，不写作法与证明过程）； ②求CE 的长．
（2）如图2，点D 为斜边上的动点，连接CD ，当△ACD 是以AC 为底的等腰三角形时，求AD 的长．
22．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，AB ＝10，AB 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点D 、E ．求AE 的长．
23．如图1，在ABC 中，17AB =，25AC =，AD 是ABC 的高，且1BD =．
（1）求BC 的长；
（2）E 是边AC 上的一点，作射线BE ，分别过点A ，C 作AF BE ⊥于点F ，CG BE ⊥于点G ，如图2，若22BE =，求AF 与CG 的和．
24．如图，星期天小明去钓鱼，鱼钩A 在离水面的BD 的1.3米处，在距离鱼线1.2米处D 点的水下0.8米处有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2米/秒的速度向鱼饵游去，那么这条鱼至少几秒后才能到达鱼饵处？
25．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，5AB =，3BC =，点P 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A C B A ---运动．设点P 的运动时间为t 秒()0t >． （1）求AC 的长及斜边AB 上的高．
（2）当点P 在CB 上时，
①CP 的长为______________（用含t 的代数式表示）．
②若点P 在BAC ∠的角平分线上，则t 的值为______________．
（3）在整个运动过程中，直接写出BCP 是等腰三角形时t 的值．
26．如图，在四边形ABCD 中，AB =13，BC =5，CD =15，AD =9，对角线AC ⊥BC ． （1）求AC 的长；
（2）求四边形ABCD 的面积．
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
直接利用勾股定理的逆定理带入判断即可；
【详解】
A 、2226810+=，能组成直角三角形；
B 、22
21+= 能组成直角三角形； C 、22245()1()33+= ，能组成直角三角形；
D 、22224+≠ ，不能组成直角三角形．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了勾股定理逆定理的运算，正确掌握勾股定理的逆运算是解题的关键； 2．B
解析：B
【分析】
根据勾股定理逆定理逐项分析即可．
【详解】
A ：2222+45≠ ，不符合题意；
B ：22215+20=25 ，符合题意；
C ：2220.2+0.30.4≠ ，不符合题意；
D ：2221+23≠ ，不符合题意；
故选B
【点睛】
本题考查勾股定理逆定理，利用逆定理判定直角三角形是重要考点．
3．C
解析：C
【分析】
根据已知条件可知∠A ＝∠BCD ＝30°，在Rt △BCD 中设BD ＝x ，则BC ＝2x ，由勾股定理求
得CD ，在Rt △ACD 中，AC ＝2BC ＝，根据△ABC 的面积为120，即11202
AC BC ⨯=，求得2x 的值，用三角形的面积公式即可得出△BCD 的面积． 【详解】
解：∵△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =60°，CD ⊥AB 于点D ，
∴在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，
在Rt △BCD 中，∠BCD ＝30°，
∴ 设BD ＝x ，则BC ＝2BD ＝2x ，
CD ==，
∴ 在Rt △ACD 中，∠A ＝30°，
∴AC ＝2BC ＝，
∵△ABC 的面积为120，
∴11212022
ABC S AC BC x =⨯⨯=⨯⨯=，
解得：2x
∵
21122BCD S BD CD x =⨯⨯=⨯=， 故选：C ．
【点睛】
本题考查了直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理．熟练掌握各定理所示解题的关键．
4．A
解析：A
【分析】
根据勾股定理可将斜边AB 的长求出，根据折叠的性质知，AE=AB ，已知AC 的长，可将CE 的长求出，再根据勾股定理列方程求解，即可得到CD 的长．
【详解】
解：在Rt △ABC 中，12AC cm =，9BC cm =，
，
根据折叠的性质可知：AE=AB=15cm ，
∵AC=12cm ，
∴CE=AE-AC=3cm ，
设CD=xcm ，则BD=9-x=DE ，
在Rt △CDE 中，根据勾股定理得
CD 2+CE 2=DE 2，即x 2+32=（9-x ）2，
解得x=4，
即CD 长为4cm ．
故选：A ．
【点睛】
本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠前后的对应相等关系．解题时，我们常常设要求的线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
5．B
解析：B
【分析】
连接BP ，根据已知条件求出AB=BC=1，由翻折得：BD=DE ，∠BDA=∠EDA ，AE=AB=1，
1，证明△BDP ≌△EDP ，推出BP=EP ，当点P 与点D 重合时，即可求出PEC ∆的周长的最小值．
【详解】
连接BP ，
在Rt ABC ∆中，90,45B BCA ︒∠=∠=︒，
∴∠BAC=45BCA ∠=︒，AB=BC ， ∴2222(2)2AB AC ===，
∴AB=BC=1，
由翻折得：BD=DE ，∠BDA=∠EDA ，AE=AB=1，
∴CE=21-，
在△BDP 和△EDP 中，
BD ED BDP EDP DP DP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BDP ≌△EDP ，
∴BP=EP ，
∴当点P 与点D 重合时，PE+PC=PB+PC=BC 的值最小，此时PEC ∆的周长最小， PEC ∆的周长的最小值为BC+CE=1+21-=2，
故选：B ．
．
【点睛】
此题考查翻折的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，解题的关键是根据翻折的性质证得△BDP ≌△EDP ，由此推出当点P 与点D 重合时PEC ∆的周长最小，合情推理科学论证．
6．D
解析：D
【分析】
本题主要考查了算术平方根的非负性及偶次方的非负性，勾股定理的逆定理及三角形面积的运算，首先根据非负性的性质得出a 、b 的值是解题的关键，再根据勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，再根据三角形的面积得出c 边上高即可．
【详解】
()2
a 1
b 20--=，
所以a 10b 20-=-=，，
解得a 1b 2==，；
因为2222a b 125+=+=，
22c 5==，
所以222a b c +=，
所以ABC 是直角三角形，C 90∠=︒，
设第三边c 上的高的值是h ，
则ABC 的面积111222=
=⨯⨯，
所以h = 故选：D ．
【点睛】
本题考查了非负数的性质、勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
7．D
解析：D
【分析】
根据非负数的性质分别求出m 、n ，分4是直角边、4是斜边两种情况，根据勾股定理、三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】
∵|m ﹣
0，
∴|m ﹣3|＝00，
∴m ﹣3＝0，n ﹣4＝0，
解得，m ＝3，n ＝4，
当45，
则△ABC 的周长＝3+4+5＝12，
当4，
则△ABC 的周长＝＝，
故选：D ．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2．
8．C
解析：C
【分析】
根据直角三角形的定义和勾股定理逆定理逐项判断即可．
【详解】
A ．222b a c =-，即222b c a +=，根据勾股定理逆定理可知ABC 是直角三角形，故A
不符合题意．
B ．根据三角形内角和180A B
C ∠+∠+∠=︒与C A B ∠=∠+∠，得出2180C ∠=︒，即90C ∠=︒，所以ABC 是直角三角形，故B 不符合题意．
C ．设3A x ∠=，则4B x ∠=，5C x ∠=，根据三角形内角和180A B C ∠+∠+∠=︒，即345180x x x ++=︒，解得15x =︒，即45A ∠=︒、60B ∠=︒、75C ∠=︒．所以ABC 不是直角三角形，故C 符合题意．
D ．设5a x =，则12b x =，13c x =，由222(5)(12)(13)x x x +=可知222+=a b c ，根据勾股定理逆定理可知ABC 是直角三角形，故D 不符合题意．
故选：C ．
【点睛】
本题考查直角三角形的判定，利用勾股定理逆定理判断是否为直角三角形是解题的关键． 9．A
解析：A
【分析】
根据正方形的面积及直角边的关系，列出方程组，然后求解．
【详解】 解：由条件可得：22131131240
a b ab a b ⎧+=⎪-⎪=⎨⎪>>⎪⎩， 解之得：32
a b =⎧⎨=⎩． 所以2()25a b +=，
故选A
【点睛】
本题考查了正方形、直角三角形的性质及分析问题的推理能力和运算能力．
10．B
解析：B
【分析】
根据绝对值，乘方和算术平方根的非负性求得a 、b 、c 的值，再结合勾股定理逆定理判断△ABC 为直角三角形，由此根据直角三角形面积等于两直角边乘积的一半可得面积．
【详解】
解：
∵2
(3)50a c --=，
∴30,40,50a b c -=-=-=，
解得3,4,5a b c ===，
又∵222223425a b c +=+==，
∴△ABC 为直角三角形，
∴13462ABC S =
⨯⨯=△． 故选：B ．
【点睛】 本题考查非负数的性质，勾股定理的逆定理．理解几个非负数（式）的和为0，那么这几个数（式）都为0是解题关键．
11．D
解析：D
【分析】
13是直角边长为2，3的直角三角形的斜边，据此画两条以格点为端点且长度为13的线段．
【详解】
解：∵
2232+=13， ∴13是直角边长为2，3的直角三角形的斜边，
如图所示，AB ，CD ，BE ，DF 的长都等于13；
故选：D ．
【点睛】
本题考查的知识点是勾股定理，找到无理数是直角边长为哪两个有理数的直角三角形的斜边长是解决本题的关键．
12．C
解析：C
【分析】
设点P （x ，0），根据两点间的距离公式列方程，即可得到结论．
【详解】
解：设点P （x ，0），
根据题意得，x 2+22=(5﹣x )2+52，
解得：x =4.6，
∴OP =4.6，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了利用勾股定理求两点间的距离，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键．
二、填空题
13．；【分析】首先根据三角形内角与外角的关系计算出
∠1+∠BAC=45°∠2+∠CDE=45°再利用勾股定理逆定理∠BCE=90°再证明
∠ADC=90°进而得到∠ACD=45°从而得到∠1+∠2=45°
解析：45 ；
【分析】
首先根据三角形内角与外角的关系计算出∠1+∠BAC=45°,∠2+∠CDE=45°,再利用勾股定理逆定理∠BCE=90°,再证明∠ADC=90°,进而得到∠ACD=45°,从而得到∠1+∠2=45°,继而得到
∠BAC+∠CDE=45°.
【详解】
解：∵BF=CF,CK=EK，
∴∠FBC=CEK=45°，
∴∠1+∠BAC=45°，∠2+∠CDE=45°，
连接AD、BE，
∵BC²=2²+2²=8，CE²=1²+1²=2,BE²=3²+1²=10，
∴BC²+CE²=BE²，
∴∠BCE=90°，
∵AD²=3²+1²=10,CD²=3²+1²=10,AC²=4²+2²=20，
∴AD²+CD²=AC²，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD=45°，
∴∠1+∠2=45°，
∴∠BAC+∠CDE=45°，
故答案为：45°．
【点睛】
本题考查了勾股定理逆定理,以及三角形内角与外角的关系,关键是掌握勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足a²+b²=c²,那么这个三角形就是直角三角形．
14．【分析】运用勾股定理可求出平面直角坐标系中AB的长度再根据个单位长度表示的实际距离为米求出结果即可【详解】解：如图AC=6-（-2）=8BC=2-（-4）=6∴∴小明与东方之门的实际距离为10×10
解析：1000
【分析】
运用勾股定理可求出平面直角坐标系中AB的长度，再根据1个单位长度表示的实际距离为100米求出结果即可．
【详解】
解：如图，
AC=6-（-2）=8，BC=2-（-4）=6
∴2222
=6+8=10
=+
AB BC AC
∴小明与东方之门的实际距离为10×100=1000（米）
故答案为：1000．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，构造直角三角形运用勾股定理是解答此题的关键．15．8或4或10【分析】根据已知画出坐标系进而得出AE的长以及BO的长即可得出△AOB的面积【详解】解：如图所示：过点A作AE⊥x轴于点E∵点O （00）A（24）∴AE＝4OE＝2OA＝当OA＝AB时∴
解析：8或45或10
【分析】
根据已知画出坐标系，进而得出AE的长以及BO的长，即可得出△AOB的面积．
【详解】
解：如图所示：过点A作AE⊥x轴于点E，
∵点O （0，0），A （2，4），
∴AE ＝4，OE ＝2，OA
=
当OA ＝AB 时，
∴AE 是△AOB 边OB 的垂直平分线，
∴BE=OE=2，
∴OB=4，
∴B 的坐标为（4，0），
此时S △AOB ＝
12OB AE •＝1442
⨯⨯＝8； 当OA ＝OB 时， ∴OB OA ==，
∴B 的坐标为（±0），
此时S △AOB ＝
12OB AE •＝142
⨯＝ 当OB ＝AB 时， 设AB OB x ==，则2BE x =-，
∴2224(2)x x =+-，
解得：5x =，
∴5OB =，
∴B 的坐标为（5，0），
此时S △AOB ＝12
OB AE •＝1542⨯⨯＝10； ∴△AOB 的面积为：8或10．
故答案为：8或10．
【点睛】
此题主要考查了三角形面积以及坐标与图形的性质，利用等腰三角形的性质求得OB 的长是解题关键．
16．1﹣2【分析】先求出AC 的长度再根据勾股定理求出AB 的长度然后根据数轴的特点从点A 向左AB 个单位即可得到点B1【详解】解：根据题意AC ＝3﹣1＝2∵∠ACB ＝90°AC ＝BC ∴AB ＝∴点B1表示的数
解析：1﹣
【分析】
先求出AC 的长度，再根据勾股定理求出AB 的长度，然后根据数轴的特点，从点A 向左AB 个单位即可得到点B 1．
【详解】
解：根据题意，AC ＝3﹣1＝2，
∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，
∴AB＝2222
2222
AC BC
+=+=
∴点B1表示的数是1﹣22．
故答案为：1﹣22．
【点睛】
本题考查勾股定理、实数与数轴，解题的关键是利用勾股定理求出AB．
17．4【分析】过点A作AD⊥BC于点D则AD=h根据等腰三角形的性质求出BD=BC=3dm利用勾股定理求出h【详解】解：过点A作AD⊥BC于点D则AD=h∵AB=AC=5dmBC=6dm∴AD是BC的垂
解析：4
【分析】
过点A作AD⊥BC于点D，则AD=h，根据等腰三角形的性质求出BD=1
2
BC=3dm，利用勾
股定理求出h．
【详解】
解：过点A作AD⊥BC于点D，则AD=h．
∵AB=AC=5dm，BC=6dm，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴BD=1
2
BC=3dm．
在Rt△ABD中，
AD=2222
534
AB BD
-=-=dm，即h=4（dm）．
答：h的长为4dm．
故答案为：4．
．
【点睛】
此题考查勾股定理的实际应用，等腰三角形三线合一的性质，正确理解题意构建直角三角形，利用勾股定理解决问题是解题的关键．
18．13【分析】如图将容器侧面展开建立A关于的对称点根据两点之间线段最短可知的长度即为所求【详解】将圆柱沿A所在的高剪开展平如图所示则作A 关于的对称点连接则此时线段即为蚂蚁走的最短路径过B作于点则在中由
解析：13
【分析】
如图，将容器侧面展开，建立A关于MM'的对称点A'，根据两点之间线段最短可知A B'
的长度即为所求．
【详解】
将圆柱沿A 所在的高剪开，展平如图所示，则10cm MM NN '='=，
作A 关于MM '的对称点A '，连接A B '，
则此时线段A B '即为蚂蚁走的最短路径，
过B 作BD A A ⊥'于点D ，
则5,''123312cm BD NE cm A D MN A M BE ===+-=+-=，
在Rt A BD '中， 由勾股定理得2213cm A B A D BD ''=
+=，
故答案为：13．
【点睛】
本题考查了轴对称的性质，最短路径问题，勾股定理的应用等，正确利用侧面展开图、熟练运用相关知识是解题的关键．
19．2【分析】根据△ABC 为等边三角形BP 平分∠ABC 得到∠PBC=30°利用PC ⊥BC 所以∠PCB=90°根据含30°直角三角形边的特殊关系和勾股定理即可解答
【详解】解：∵△ABC 为等边三角形BP 平分
解析：2
【分析】
根据△ABC 为等边三角形，BP 平分∠ABC ，得到∠PBC=30°，利用PC ⊥BC ，所以∠PCB=90°，根据含30°直角三角形边的特殊关系和勾股定理即可解答.
【详解】
解：∵△ABC 为等边三角形，BP 平分∠ABC ，
∴1302PBC ABC ∠=
∠=︒ ， ∵PC ⊥BC ，
∴∠PCB=90°，
在Rt △PCB 中，设PC x =，则 2PB x =,
根据勾股定理可得：(()22
23
2x x +=，且0x >， 解得：2x =，
∵∠ABC的平分线是PB，
∴点P到边AB所在直线的距离与点P到边BC所在直线的距离相等.
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、角平分线的性质、利用勾股定理求值，解决本题的关键是等边三角形的性质．
20．cm【分析】利用平面展开图有两种情况画出图形利用勾股定理求出MN的长即可【详解】解：如图1∵AB=24cmAM＝6cm∴BM=18cm∵BC=GF=12cm点N 是FG的中点∴FN=6cm∵BF=7c
解析：493cm
【分析】
利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出MN的长即可．
【详解】
解：如图1，
∵AB=24cm，AM＝6cm，
∴BM=18cm，
∵BC=GF=12cm，点N是FG的中点，
∴FN=6cm，
∵BF=7cm，
∴BN=7+6=13cm，
∴MN=22
=493cm；
1813
如图2，
∵AB=24cm，AM＝6cm，
∴BM=18cm，
∵BC=GF=12cm，点N是FG的中点，
∴BP=FN=6cm，
∴MP=18+6=24cm，
∵PN= BF＝7cm，
∴MN=22
24762525
+==cm．
∵493＜25，
∴蚂蚁沿长方体表面爬到N处的最短距离为493cm．
故答案为：493cm．
【点睛】
此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得出是解题关键．
三、解答题
21．（1）①见解析；②
7
8
CE=；（2）2.5
【分析】
（1）①作出AB的垂直平分线交BC于点E，则可得结论；
②由勾股定理求得BC=4，设CE=x，则BE=AE=4-x，依据勾股定理列出方程求解即可；（2）求得BD=CD=AD=2.5即可．
【详解】
解：（1）①如图，作∠BAE=∠B，
②可求得BC=4
∵∠AEC=∠B+∠BAE，
又∵∠AEC=2∠B，
∴∠BAE=∠B ，
∴BE=AE，．
设CE=x，则BE=AE=4-x，
在Rt△AEC中，222
CE AC AE
+=，
∴222
3(4)
x x
+=-，
∴7
8
x=，
∴7
8
CE
（2）AC为底时，如图2所示，此时AD=CD，
∴∠A=∠DCA
∵∠A+∠B=90°，∠DCA+∠BCD=90°，
∴∠B=∠BCD，
∴BD=CD，
即AD=BD=2.5．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解答此题的关键．
22．25 4
【分析】
连接BE，先利用勾股定理求出BC的长，根据线段垂直平分线的性质可得AE＝BE，然后设AE＝BE＝x，再由勾股定理可得方程（8−x）2＋62＝x2，求解后即可得出答案．
【详解】
解：连接BE，
在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，
∴AC2＋BC2＝AB2．
即82＋BC2＝102，
解得：BC＝6．
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE．
设AE＝BE＝x，则EC＝8−x，
∵Rt △BCE 中，EC 2＋BC 2＝BE 2，
∴（8−x ）2＋62＝x 2，
解得：x ＝254， ∴AE ＝254
． 【点睛】
此题考查了线段垂直平分线的性质以及勾股定理，掌握线段垂直平分线的性质并结合勾股定理求解线段的长度是解题的关键，且要注意数形结合思想应用．
23．（1）3；（2）32．
【分析】
（1）根据勾股定理可求AD ，再根据勾股定理可求CD ，根据BC=BD+CD 即可求解； （2）根据三角形面积公式可求AF 与CG 的和．
【详解】
（1）在Rt △ABD 中，∠ADB=90︒，由勾股定理得： AD=()22221174AB BD -=-=，
在Rt △ACD 中，∠ADC=90︒，由勾股定理得：
CD=()22222542AC AD -=-=，
∴BC=BD+CD=1+2=3，
∴BC 的长为3；
（2）∵AF ⊥BE ，CG ⊥BE ，BE=22
∴1122∆∆∆=+=
⋅+⋅ABC ABE BCE S S S BE AF BE CG ， =1()2
⋅+BE AF CG ， =2()AF CG +，
而12∆=⋅ABC S BC AD =134=62
⨯⨯， ∴AF CG +=6=322
， 即AF 与 CG 的和为32．
【点睛】
本题考查了勾股定理、三角形面积法的应用，正确运用勾股定理是解题的关键． 24．5
【分析】
过点C 作CE ⊥AB 于点E ，连接AC ，根据题意直接得出AE ，EC 的长，再利用勾股定理得出AC 的长，进而求出答案．
【详解】
如图所示：过点C 作CE ⊥AB 于点E ，连接AC ，
由题意可得：EC ＝BD ＝1.2m ，AE ＝AB−BE ＝AB−DC ＝1.3−0.8＝0.5m ，
∴AC=22221.20.5 1.3CE AE +=+=m ，
∴1.3÷0.2＝6.5s ，
答：这条鱼至少6.5秒后才能到这鱼饵处．
【点睛】
本题主要考查勾股定理，添加合适的辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．
25．（1）125；（2）①24t -；②83
；（3）t 的值为0.5或4.75或5或5.3． 【分析】 （1）直接利用勾股定理即可求得AC 的长，再利用等面积法即可求得斜边AB 上的高； （2）①CP 的长度等于运动的路程减去AC 的长度，②过点P '作P 'D ⊥AB ，证明Rt △AC P '≌Rt △AD P '得出AD=AC=4，分别表示各线段，在Rt △BD P '利用勾股定理即可求得t 的值；
（3）由图可知，当△BCP 是等腰三角形时，点P 必在线段AC 或线段AB 上，①当点P 在线段AC 上时，此时△BCP 是等腰直角三角形，②当点P 在线段AB 上时，又分三种情况：BC=BP ；PC=BC ；PC=PB ，分别求得点P 运动的路程，再除以速度即可得出答案．
【详解】
解：（1）∵90C ∠=︒，5AB =，3BC =，
∴在Rt ABC ∆中，
2222534AC AB BC =-=-=．
∴AC 的长为4．
设斜边AB 上的高为h ．
∵
1122AB h AC BC ⨯⨯=⨯⨯， ∴1153422
h ⨯⨯=⨯⨯， ∴125
h =． ∴斜边AB 上的高为125
． （2）已知点P 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A-C-B-A 运动， ①当点P 在CB 上时，点P 运动的长度为：AC+CP=2t ，
∵AC=4，
∴CP=2t-AC=2t-4．
故答案为：2t-4．
②当点P '在∠BAC 的角平分线上时，过点P '作P 'D ⊥AB ，如图：
∵A P '平分∠BAC ，P 'C ⊥AC ，P 'D ⊥AB ，
∴P 'D=P 'C=2t-4，
∵BC=3，
∴B P '=3-（2t-4）=7-2t ，
在Rt △AC P '和Rt △AD P '中，
AP AP P D P C ''''=⎧⎨=⎩
， ∴Rt △AC P '≌Rt △AD P '（HL ），
∴AD=AC=4，
又∵AB=5，
∴BD=1，
在Rt △BD P '中，由勾股定理得：
2221(24)(72)t t +-=- 解得：83t =， 故答案为：
83； （3）由图可知，当△BCP 是等腰三角形时，点P 必在线段AC 或线段AB 上，
①当点P 在线段AC 上时，此时△BCP 是等腰直角三角形，
∴此时CP=BC=3，
∴AP=AC-CP=4-3=1，
∴2t=1，
∴t=0.5；
②当点P 在线段AB 上时，若BC=BP ，
则点P 运动的长度为：
AC+BC+BP=4+3+3=10，
∴2t=10，
∴t=5；
若PC=BC ，如图2，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，则BP=2BH ，
在△ABC 中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，AC=4，
∴AB•CH=AC•BC ，
∴5CH=4×3，
∴125
CH =， 在Rt △BCH 中，由勾股定理得：
22123(
) 1.85
BH =-=， ∴BP=3.6，
∴点P 运动的长度为：AC+BC+BP=4+3+3.6=10.6，
∴2t=10.6，
∴t=5.3；
若PC=PB ，如图3所示，过点P 作PQ ⊥BC 于点Q ，
则30.52
BQ CQ BC ==⨯=
，∠PQB=90°， ∴∠ACB=∠PQB=90°，
∴PQ ∥AC ，
∴PQ 为△ABC 的中位线，
∴PQ=0.5×AC=0.5×4=2， 在Rt △BPQ 中，由勾股定理得：223()2 2.52
BP =+=， 点P 运动的长度为：AC+BC+BP=4+3+2.5=9.5，
∴2t=9.5，
∴t=4.75．
综上，t 的值为0.5或4.75或5或5.3．
【点睛】
本题考查勾股定理，HL 定理，等腰三角形的性质和判定．掌握等面积法和分类讨论思想是解题关键．
26．（1）12；（2）84．
【分析】
（1）在Rt ABC 中，利用勾股定理即可得；
（2）先根据勾股定理的逆定理可得ACD △是直角三角形，再根据四边形ABCD 的面积等于Rt ABC 的面积与Rt ACD △的面积之和即可得．
【详解】
（1）AC BC ⊥，
ABC ∴是直角三角形，
13,5AB BC ==，
2222213514412AC AB BC AC ∴=-=-==，；
（2）15,9,12CD AD AC ===，
222AC AD CD ∴+=， ACD ∴是直角三角形，
则四边形ABCD的面积为
11
22
Rt ABC Rt ACD
S S AC BC AC AD +=⋅+⋅，
11
125129
22
=⨯⨯+⨯⨯，
84
=，
即四边形ABCD的面积为84．
【点睛】
本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理等知识点，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．。