(完整版)课例：抛物线的定点弦问题(简案)

课题：抛物线的定点弦问题
上海大学附属中学李昉 2008年11月26日一、教材分析：
抛物线，作为四种二次曲线——圆、椭圆、双曲线、抛物线中的最后一种，教材在这一小节中简单介绍了抛物线的几何性质及一种奇特的光学性质，学生通过对这些性质的学习，可进一步掌握抛物线的概念及其标准方程，同时也为学生进一步探究抛物线的其它性质留下了广阔的空间。

抛物线的性质，除了书上介绍的之外，还有如抛物线的焦点弦问题、抛物线的定点弦问题等等，都可以作为我们教学中探究的课题。

抛物线性质的探究，对于培养学生综合应用知识的能力、培养学生良好的思维品质，培养学生勇于探究的精神等，都具有重要的作用。

二、教学目标
1. 熟练掌握向量的数量积运算、直线与抛物线相交问题中的常规解题思路、
分类讨论思想与方法等
2. 学会发现问题，提出问题，综合应用知识探究、解决问题的方法；形成纵
向思考问题、逆向思考问题的意识，优化思维品质
3. 培养学生勇于探究的精神，提高学生合作交流的能力
三、教学重点、难点：
学会发现问题，提出问题，综合应用知识探究、解决问题的思路和方法四、教学方法及手段：
以“疑”为枢纽，创设问题情景，师生互动，生生互动，引导学生共同探究解决问题
五、教学过程：
（一）．问题引入：
2=
x
y
xoy,
2
l
在平面直角坐标系B
A
两点，
相交于
与抛物线
中，设直线
-
l⋅
=，求
(2
)2(
y
若)3
：
)1(，x
若3
x
l⋅
y
：
=，求
-
（学生分两组解答问题，老师强调：联立方程组消元时方法的选择以及常规的解题思路）
（二）．问题探究：
1．引导学生发现问题：
上述两组问题中，所给的直线方程不同，而所得结果却是一样的，考
察两条直线的方程，有何共同之处？不同之处？若直线过点(3,0)，当它的斜率改为3，k 或直线斜率不存在，其结果还是一样吗？
2．引导学生提出问题：
问题一：从这两组问题的解答中，你能概括出怎样的一个命题？它是真
命题还是假命题？
两点，相交于与抛物线中，直线系命题：在平面直角坐标B A x y l xoy ,22= 若3,03=⋅T l 则），（过点直线，是真命题
（学生回答，老师补充归纳）
3．引导学生进行推广
问题二：至此，我们已经在原来问题的基础上，对直线的斜率进行了推
广，一般来说，对一个问题进行推广可以从“特殊到一般、数
字到字母、具体到抽象”等方面考虑，那么，围绕这个命题，
我们还可以进一步作怎样的探究？
学生：两点，相交于与抛物线中，直线在平面直角坐标系B A x y l xoy ,22=
?)0,(=⋅OB OA t T l ，则过点若直线
（师生一起通过同上解法，得到如下结论：）
两点，相交于与抛物线中，直线系结论：在平面直角坐标B A x y l xoy ,22=
率轴正向或负向且直线斜，当点的横坐标在过点若直线x t T l )0,( 标即数量积只与点的横坐范围时，取,22122t t OB OA t
k -=⋅-≤ 关有关而与直线的斜率无
4．引导学生进一步推广
问题三：至此，我们对直线的斜率、直线过的定点都作了推广，那么，
围绕这个问题，还能再作进一步的推广吗？
学生：相交于与抛物线中，直线在平面直角坐标系)0(22>=p px y l xoy
?)0,,=⋅OB OA t T l B A ，则（过点点，若直线
（师生一起通过同上解法，得到如下结论：）
相交与抛物线中，直线系结论：在平面直角坐标)0(22>=p px y l xoy
轴正向或
，当点的横坐标在过点两点，若直线于x t T l B A )0,(,
即数量积范围时，负向且直线斜率取,2222pt t t
p k -=⋅-≤ 只与点的横坐标及抛物线焦参数有关，而与直线的斜率无关
5．引导学生逆向思考：
问题四：刚才我们围绕着问题一中的命题作了纵向考虑，即将特殊情况
进行了推广，获得了一般的结论。

同学们在平时的学习中，有
时会遇到这样一类问题，即正面解决比较困难，那么我们可以
从其反面来考虑。

因此围绕这个命题，我们的研究还可以作逆
向的思考，你可以探究一个怎样的问题？
学生：，则直两点，若相交于与抛物线设直线3,22=⋅=B A x y l
吗？过定点线)0,3(T l
（老师引导：设直线过定点)0,(t ，由上述研究过程可以得出如下结论：） 两点，相交于与抛物线中直线系结论：在平面直角坐标B A x y l xoy ,22=
轴两侧时，
位于与抛物线的交点，则当直线若x B A l ,3=⋅ 轴同侧位于与抛物线的交点，当直线过定点所有直线x B A l l ,)0,3(
)0,1(212--≤过定点时，直线的斜率满足：且直线l t
k l 6．引导学生进一步探究：
问题五：既然上述结论不一定成立，那么我们可以作进一步的探究
相交与抛物线中，直线在平面直角坐标系)0(22>=p px y l xoy
()A B OA OB m m l x ⋅=u u u r u u u r 于，两点，若为正的常数，则直线与轴的
点吗？交点坐标是什么？是定
（师生一起通过同上解法，得到如下结论：）
2,0,2xoy l t y px
=结论：在平面直角坐标系中，直线过点（）与抛物线 (0),(),p A B OA OB m m l >⋅=u u u r u u u r 相交于两点，若为正的常数当直线与
,(A B x p 抛物线交点位于轴两侧时，所有直线过定点， 斜率满足：轴同侧，且直线位于与抛物线的交点当直线l x B A l ,
2(2p k l p t
≤-
时，直线过定点
（三）．小结：
这堂课，我们研究了直线与抛物线相交时的定点弦问题。

对于一个问题的探究，我们的方法可以从特殊到一般，即作纵向考虑，也可以作逆向的思考。

探究一个问题，要学会发现问题、提出问题，从而解决问题，这里掌握方法最重要
（四）．作业：
思考：关于抛物线的焦点弦问题，我们还可以作哪些方面的探究？（五）设计说明：
本节课是一节探究课，设计这样一个问题，主要是为了使学生感悟并学会发现问题，提出问题，综合应用知识探究、解决问题的思路和方法。

本节课设计的这个问题，有三个可以研究的变量，即直线的斜率、直线经过的定点以及抛物线中参变量。

教学设计分两部分进行，首先我们通过上述问题一至问题三，从特殊到一般，不断引导学生对问题中的三个变量作纵向的探究；其次进一步引导学生对问题作逆向的思考，培养学生的逆向思维，优化学生的思维品质。

逆向思维是指由果索因，知本求源，从原问题的相反方向着手的一种思维，它是数学思维的一个重要组成部分，是进行思维训练的载体。

加强逆向思维的训练，不仅对提高分析问题和解决问题的能力有益，更重要的是改善学生学习数学的思维方式，有助于形成良好的思维习惯，激发学生的创新开拓精神，培养良好的思维品性，提高学习效果、学习兴趣及数学的素质。