(好题)高中数学必修四第三章《三角恒等变形》测试(答案解析)(4)

一、选择题
1．已知sin cos sin cos θθθθ-=，则角θ所在的区间可能是（ ）．
A ．0,
4π⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．,42ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．3,24
ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．3,4ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
2．已知θ为锐角，且满足如tan 311tan θ
θ
=，则tan 2θ的值为（ ） A ．
34
B ．
43 C ．
23
D ．
32
3．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么sin 2θ的值为（ ）
A ．
12
B 3
C ．
1225
D ．
2425
4．若1sin 34a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26a π⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭（ ）
A ．7
8
-
B ．
78
C ．1516
-
D ．
1516
5．已知0,
2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，,2παβπ⎛⎫
+∈
⎪⎝⎭
，且4cos 5α=，2sin()3αβ+=，则（ ）
A ．0,3
πβ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
B ．,32ππβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
C ．2,2
3ππβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
D ．2,3πβπ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
6．已知3(,)4παβπ∈，，3sin()5αβ+=-，12sin()413πβ-=，则cos()4
π
α+=（ ） A ．56
65-
B ．3365
-
C ．
5665
D ．
3365
7．已知72
cos 4πθ⎛⎫-=
⎪⎝
⎭，则sin 2θ=（ ） A ．2425-
B ．1225
-
C ．
1225
D ．
2425
8．已知直线3x −y +1=0的倾斜角为α，则1
sin22
α= A ．
310 B ．35
C ．−
310
D ．
110
9．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，BC 边上的高为h ，且
h =
2c a b c c b b ++的最大值是（ ）
A ．
B ．
C ．4
D ．6
10．已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
（ ） A ．3-
B ．3
C ．1
3
-
D ．
13
11．设函数()f x =sin()cos()x x ωϕωϕ+++（ω＞0，||ϕ＜
2
π
）的最小正周期为π，且()f x -=()f x ，则()f x （ ）
A ．在0,2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
单调递减 B ．在3,44ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递减 C ．在0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
单调递增 D ．在3,44ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭
单调递增
12．已知A 是函数()3sin(2020))263
f x x x ππ=
++-的最大值，若存在实数1x ，2x 使得对任意实数x ，总有12()()()f x f x f x ≤≤成立，则12A x x 的最小值为
（ ）
A ．
2020
π
B ．
1010
π C ．
32020
π
D 二、填空题
13．在ABC 中，三个内角A 、B 、C 满足2A+C =B ，且4cos 5
A =，则cos C ________．
14．函数2cos sin y x x =+的最大值为____________．
15．已知cos 0,4102ππθθ⎛⎫
⎛⎫+
=∈ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
，则sin 23πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭______ 16．已知tan 2α=，则2sin 2cos αα+=________． 17．已知tan 2α=，则22sin cos αα-=______________.
18．已知4sin 3cos 0+=αα，则2sin 23cos +αα的值为____________.
19．在ABC ∆中，5AB =，BAC ∠的平分线交边BC 于D .若45ADC ∠=.BD 则sin C =___________.
20．已知()tan 2tan αββ+=，,(0,
)2
π
αβ∈，则当α最大时，tan2α=________.
三、解答题
21．已知函数2()22sin f x x x =
+．
（1）求函数()f x 的单调递减区间；
（2）当,312x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
时，求函数()f x 的值域．
22．已知310,
2,tan ,sin 223ππ
αβπαβ<<
<<==. （1）求cos()αβ-的值； （2）求αβ+的值.
23．设函数23
()cos 3sin 2
f x x x x =
+-
. （1）求函数的单调递减区间；
（2）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的
图象向左平移
4
π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]44ππ
-上的值域.
24．（1）化简：(cos 20tan 20sin 40-⋅°
°°
；
（2）证明：
()()21tan 31sin 21tan 312sin πx x
πx x
+--=---.
25．已知sin α、cos α分别是方程2255120x x +-=的两根，且α是第二象限角． （1）求cos2α的值； （2）求
2sin cos sin 3cos αα
αα
-+的值．
26．已知函数()2
sin 22cos 1f x a x x =+-，再从条件①、②、③这三个条件中选择一
个作为已知，求：
（Ⅰ）()f x 的最小正周期； （Ⅱ）()f x 的单调递增区间.
条件①：()f x 图像的对称轴为8
x π=
；条件②：14f π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
；条件③：a =注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
先化简已知得sin24πθθ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，然后根据各个选项确定等式两端的取值范围从而
得到答案. 【详解】
由sin cos sin cos θθθθ-=得，sin24πθθ⎛
⎫
-= ⎪⎝
⎭
， 对于A ， 当0,
4πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，,044π
πθ⎛⎫-
∈- ⎪⎝⎭，sin 04πθ⎛
⎫-< ⎪⎝
⎭， 而0,22θπ⎛⎫
⎪⎝⎭
∈，sin20θ>，两个式子不可能相等，故错误；
对于B ，当,42ππθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭时，0,44ππθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，sin 4πθ⎛⎛⎫-∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，()
0,24πθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ ，22,ππθ∈⎛⎫
⎪⎝⎭，()sin20,1θ∈，存在θ使得
sin24πθθ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，故正确；
对于C ， 3,24ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，42,4πππθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，sin 42πθ⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(
2,4πθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，而3,
22πθπ
⎛∈⎫
⎪⎝
⎭
，()sin21,0θ∈-，不可能相等，所以错误；
对于D ， 当3,4πθπ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
时，3,424πππθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，sin 42πθ⎛⎫⎛
⎫-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， (
2,4πθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，而3,222ππθ⎛∈⎫
⎪⎝⎭
，()sin21,0θ∈-，不可能相等，所以
错误 故选：B. 【点睛】
本题主要考查了三角恒等式的应用，三角函数在各象限内的符号，关键点是根据各个选项确定等号两端式子的取值范围，考查了学生分析问题、解决问题的能力.
2．B
解析：B 【分析】
先利用两角和的正切计算tan tan 2tan 31tan tan 2θθ
θθθ
+=
-，再利用二倍角的正切化简前者，结合
tan 311tan θθ
=可得1
tan 2θ=，从而可求tan 2θ.
【详解】
32222tan tan tan tan 23tan tan 1tan tan 32tan 1tan tan 213tan 1tan 1tan θ
θθθθθθθθθθθθθ
+
+--===---⨯-， 故32223tan tan tan 33tan 13tan 11tan tan 13tan θθθθθθθθ
---===-，故21tan 4θ=， 因为θ为锐角，故1tan 2
θ=，故1
242tan 21314
θ⨯
=
=-， 故选：B. 【点睛】
思路点睛：已知θ的三角函数值，求(
)*
n n N θ∈的三角函数值，应利用两角和的三角函
数值逐级计算即可.
3．D
解析：D 【分析】
由图形可知三角形的直角边长度差为1，设直角边分别为a ，根据大正方形的边长是直角三角形的斜边长列方程组求出直角边，然后得出sin θ，代入二倍角公式即可得出答案． 【详解】
由题意可知小正方形的边长为1，直角边长度差为1，大正方形的面积为25， 边长为5，大正方形的边长是直角三角形的斜边长， 设直角三角形的直角边分别为a ，b 且a b <，则1b a =+，
所以()2
222125a b a a +=++=，得2120a a +-=，所以3a =或4a =-舍去， 所以4b =，∴3sin 5θ=，4
cos 5θ=，24sin 22sin cos 25
θθθ==． 故选：D ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查了三角函数值、二倍角公式的计算，解答本题的关键是根据直角三角形的斜边长等于大正方形的边长求出直角三角形的一个直角边，考查了学生的运算求解
能力.
4．B
解析：B 【分析】 化简sin 2cos 2()63
a ππ
α⎛⎫
-=- ⎪⎝
⎭，再利用二倍角公式化简求值. 【详解】
22sin 2sin[(2)]cos(2)=cos 2()cos 2()632333a ππππππαααα⎛
⎫-=-+=--=- ⎪⎝
⎭
=2
17
12sin ()123
168
π
α--=-⨯
=. 故选：B 【点睛】
方法点睛：三角恒等变换常用的方法有：三看（看角、看名、看式）三变（变角变名变式），要根据已知条件灵活选择方法化简求值.
5．C
解析：C 【分析】 由0,
2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，,2παβπ⎛⎫
+∈
⎪⎝⎭
，可得()0,βπ∈，再由()βαβα=+-展开式结合同
角三角函数关系可得61
cos (,0)152
β-=-，从而得解. 【详解】 由0,2πα⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，,2παβπ⎛⎫
+∈
⎪⎝⎭
，,02πα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，可得()0,βπ∈.
又4cos 5α=
，2sin()3αβ+=，且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭
，
所以3sin 5α==
，cos()3
αβ+==-
. 所以cos cos[()]cos()cos sin()sin βαβααβααβα=+-=+++
423(0535=⨯+⨯=<.
因为
6127015230
--+=>，所以1cos (,0)2β∈-
所以2,23ππ
β⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
. 故选：C.
方法点睛：在利用两角和与差的三角函数公式求值或化简时，常根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，运用角的变换，沟通条件与结论的差异，使问题获解，常见角的变换方式有：()ααββ=+-，2()()ααβαβ=++-，2()αβααβ-=+-等.
6．A
解析：A 【分析】 由角的变换可知()()44
π
π
ααββ+=+--，利用同角三角基本关系及两角差的余弦公式求解即可. 【详解】
3(
,)4
π
αβπ∈，, 3(,2)2
π
αβπ∴+∈,3(,)424πππβ-∈,
4cos()5αβ∴+=,5
cos()413
πβ-=-,
cos()cos[()()cos ()]cos (()s )sin ()444
in 4πππααβαβαπ
ββββ∴+=+-++-=-+- 4531256
51351365=-⨯-⨯=-，
故选：A 【点睛】
本题主要考查了角的变换，同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式，属于中档题.
7．D
解析：D 【分析】
由2sin 2cos(2)cos[2()]2cos ()1244
π
ππ
θθθθ=-=-=--，代入即可求解. 【详解】
因为cos 410
πθ⎛
⎫-
=
⎪⎝
⎭， 由24924
sin 2cos(2)cos[2()]2cos ()1212445025
π
ππθθθθ=-=-=--=⨯-=. 故选：D. 【点睛】
本题主要考查了三角恒等变换的化简、求值，其中解答中熟记余弦的倍角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.
8．A
【分析】
由题意利用直线的倾斜角和斜率求出tanα的值，再利用三角恒等变换，求出要求式子的值． 【详解】
直线3x-y+1=0的倾斜角为α，∴tanα=3，
∴
2221133sin222219110sin cos tan a sin cos sin cos tan αααααααα=⋅====+++， 故选A ． 【点睛】
本题主要考查直线的倾斜角和斜率，三角恒等变换，属于中档题．
9．C
解析：C 【分析】
由余弦定理化简可得22
22cos c b a a A b c bc bc ++
=+，利用三角形面积公式可得2sin a A =，
解得22cos 4sin(6c b a A A A b c bc π
++
=+=+)，利用正弦函数的图象和性质即可得解其最大值． 【详解】
由余弦定理可得：2222cos b c a bc A +=+，
故：222222
22cos 22cos c b a a b c a bc A a A b c bc bc bc bc +++++
===+， 而2
111sin 222ABC S bc A ah a ∆===，
故2sin a A =，
所以：2222cos 2cos 4sin()46c b a a A A A A b c bc bc π
++
=+=+=+． 故选C ． 【点睛】
本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．
10．A
解析：A 【分析】
首先根据三角函数诱导公式，可由等式()cos 2cos 2παπα⎛⎫
+=- ⎪⎝⎭
求出tan 2α=；再由两角和的正切公式可求出tan 4απ⎛⎫
+
⎪⎝⎭
.
解：
()cos 2cos 2παπα⎛⎫
+=- ⎪⎝⎭
， ∴由三角函数诱导公式化简得：sin 2cos αα-=-，
即得tan 2α=，
tan
tan 124tan()34121tan tan 4
π
α
π
απα++∴+===---⋅.
故选：A. 【点睛】
本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和的正切公式，考查运算求解能力，属于基础题型.
11．A
解析：A 【分析】
由题意结合三角恒等变换得()+4f x x πωϕ⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭，由三角函数的性质可得
ω、
ϕ，再由三角函数的图象与性质即可得解.
【详解】
由题意()sin()cos()+4f x x x x πωϕωϕωϕ⎛
⎫=+++=
+ ⎪⎝
⎭，
因为函数()f x 的最小正周期为π，且()f x -=()f x ， 所以
2π
πω
=，且+
4
π
ϕ=,2
k k Z π
π+
∈，解得ω=2，ϕ=,4
k k Z π
π+
∈，
又||ϕ<
2π
，所以ϕ
=4
π， 所以()f x =2
+2x π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
2x ， 当0,
2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，()20,x π∈，故()f x 在0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递减，故A 正确，C 错误； 当3,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,232x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，故
()f x 在3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，故B 、D 错误. 故选：A. 【点睛】
本题考查了三角函数图象与性质的综合应用，考查了三角恒等变换的应用，牢记三角函数图象的特征是解题关键，属于中档题.
12．C
【分析】
利用三角恒等变换化()f x 为正弦型函数，由此求出A 、T 以及12x x -的最小值，可得解. 【详解】
()3sin(2020))2623
f x x x ππ=++-，
392020cos 2020cos 2020202044x x x x =
+-，
3
2022
0cos 2020x x =
-3sin(2020)6x π=-，
∴max ()3A f x ==，
又存在实数1x ，2x ，对任意实数x 总有12()()()f x f x f x ≤≤成立， ∴2max ()()2f x f x ==，1min ()()2f x f x ==-， 则12x x -的最小值为函数()f x 的半个最小正周期长度，
12min 1122220202020
x x T ππ
∴-==⨯=
∴()
12min
32020
A x x π
⋅-=
， 故选：C. 【点睛】
本题考查三角函数的最值，着重考查两角和与差的正弦与余弦，考查三角恒等变换，突出正弦函数的周期性的考查，属于中档题．
二、填空题
13．【分析】利用及易得由同角三角函数的关系易得的值然后由代值计算即可得解【详解】因为又所以因为所以故答案为：【点睛】关键点睛：本题的解题关键是利用公式并结合两角和的余弦公式展开进行计算
【分析】
利用2A+C =B 及A B C π++=易得3
B π
=
，由同角三角函数的关系易得sinA 的值，
然后由()cos cos cos cos sin sin C A B A B A B =-+=-+代值计算即可得解. 【详解】
因为2A+C =B ，又A B C π++=，
所以3
B π
=
，
因为4cos 5A =，所以3sin 5A ===，
()413cos cos cos cos sin sin 525C A B A B A B =-+=-+=-⨯+=
.
故答案为：4
10
. 【点睛】
关键点睛：本题的解题关键是利用公式()cos cos C A B =-+并结合两角和的余弦公式展开进行计算.
14．【分析】将函数解析式变形为且有利用二次函数的基本性质可求出该函数的最大值【详解】且因此当时函数取得最大值故答案为：【点睛】本题考查二次型三角函数的最值利用二倍角余弦公式将问题转化为二次函数的最值问题
解析：9
8
【分析】
将函数解析式变形为2
2sin sin 1y x x =-++，且有1sin 1x -≤≤，利用二次函数的基本性质可求出该函数的最大值. 【详解】
2
219cos 2sin 12sin sin 2sin 48y x x x x x ⎛
⎫=+=-+=--+ ⎪⎝
⎭，且1sin 1x -≤≤，
因此，当1
sin 4x =时，函数2cos sin y x x =+取得最大值98
. 故答案为：98
. 【点睛】
本题考查二次型三角函数的最值，利用二倍角余弦公式将问题转化为二次函数的最值问题是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
15．【分析】先由求得的值进而求得的值再根据两角差的正弦公式求得的值【详解】依题意即故由于而所以故因此所以【点睛】本小题主要考查二倍角公式考查同角三角函数的基本关系式考查两角差的正弦公式考查化归与转化的数
【分析】 先由cos 4πθ⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
求得πcos 22θ⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
的值，进而求得sin 2,cos 2θθ的值，再根据两角差的
正弦公式，求得sin 23πθ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
的值. 【详解】 依题意πcos 22θ⎛⎫+
⎪⎝
⎭2π42cos 145θ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，即4sin 25θ-=-，故4sin 25θ=，由于ππ
π3π0,,,2444θθ⎛
⎫⎛⎫
∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而πcos 04θ⎛
⎫
+> ⎪⎝
⎭，所以π
ππ,442θ⎛⎫
+∈ ⎪⎝⎭，故ππ0,,20,42θθ⎛⎫⎛⎫
∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，因此3cos 25
θ===.所以
ππsin 2sin 2cos cos 2sin 333πθθθ⎛
⎫-=- ⎪⎝
⎭=
【点睛】
本小题主要考查二倍角公式，考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正弦公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
16．1【分析】本题先求出再化简代入求值即可【详解】解：∵∴或①当且时；②当且时故答案为：1【点睛】本题考查了同角三角函数关系二倍角公式是基础题
解析：1 【分析】
本题先求出sin α、cos α，再化简2sin 2cos αα+代入求值即可. 【详解】
解：∵ tan 2α=，sin tan cos α
αα
=
，22sin cos 1αα+=， ∴
sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
或sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
①
当sin 5
α=
且cos 5α=时，
2
22
sin 2cos 2sin cos cos 21555ααααα⎛+=⋅+=⨯+= ⎝⎭
； ②
当sin α=
且cos α=时，
2
22sin 2cos 2sin cos cos 21555ααααα⎛⎫⎛⎛⎫
+=⋅+=⨯-⨯-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：1.
【点睛】
本题考查了同角三角函数关系，二倍角公式，是基础题.
17．【分析】原式分母看做利用同角三角函数间的基本关系化简将的值代入计算即可求出值【详解】∵∴原式故答案为【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用熟练掌握基本关系是解本题的关键属于基础题
解析：3
5
【分析】
原式分母看做“1”，利用同角三角函数间的基本关系化简，将tan α的值代入计算即可求出值． 【详解】 ∵tan 2α=，
∴原式2222
2
222
sin cos tan 1413
sin cos sin cos tan 1415
αααααααα---=-====+++，故答案为35. 【点睛】
本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基础题.
18．【分析】由已知式求出利用同角三角函数间的平方关系和商数关系将化为代入即可求值【详解】则故答案为：【点睛】本题考查了同角三角函数间的平方关系和商数关系正余弦其次式的计算二倍角的正弦公式属于中档题 解析：
2425
【分析】
由已知式求出3
tan 4
α=-
，利用同角三角函数间的平方关系和商数关系，将2sin 23cos +αα化为2
2tan 3
tan 1
αα++，代入即可求值. 【详解】
4sin 3cos 0αα+=，
3
tan 4
α∴=-，
则22
222sin cos 3cos sin 23cos sin cos ααα
αααα
++=+
22tan 3
tan 1
αα+=
+
2
32()3
43()14
⨯-+=-+ 2425
=
. 故答案为：2425
. 【点睛】
本题考查了同角三角函数间的平方关系和商数关系，正、余弦其次式的计算，二倍角的正弦公式，属于中档题.
19．【分析】由已知结合正弦定理可求结合为的平分线可得再由结合和角正弦公式即可求解【详解】中由正弦定理可得所以为的平分线即故答案为：【点睛】本题考查角的正弦值的计算涉及正弦定理以及两角和的正弦公式的应用考 解析：
25
【分析】
由已知结合正弦定理可求sin BAD ∠，结合AD 为BAC ∠的平分线可得
BAD CAD ∠=∠，再由()sin sin 45C DAC =∠+，结合和角正弦公式即可求解.
【详解】
ABD ∆中，由正弦定理可得，
55sin sin135BAD =
∠，所以10
sin 10
BAD ∠=， AD 为BAC ∠的平分线即10
sin sin 10
BAD CAD ∠=∠=
， ()102310225
sin sin 451021025
C DAC ∴=∠+∠=
⨯+⨯=
. 故答案为：
25
.
【点睛】
本题考查角的正弦值的计算，涉及正弦定理以及两角和的正弦公式的应用，考查计算能力，属于中等题.
20．【分析】根据正切的和角公式将用的函数表示出来利用均值不等式求最值
求得取得最大值的再用倍角公式即可求解【详解】故可得则当且仅当即时此时有故答案为：【点睛】本题考查正切的和角公式以及倍角公式涉及均值不等
【分析】
根据正切的和角公式，将tan α用tan β的函数表示出来，利用均值不等式求最值，求得取得最大值的tan α，再用倍角公式即可求解. 【详解】
0,,0,22
ππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝
⎭
tan 0,tan 0αβ∴>> tan()2tan αββ+=
故可得
tan tan
2tan 1tan tan α
β
βαβ
+=- 则
2
tan 1tan 1
12tan 2tan tan β
αβ
ββ
=
=≤
=
++
当且仅当
1
2
tan tan ββ=，即tan
β=时，
max tan 4
α=
此时有222tan 4
tan 221tan 116
ααα⨯
==
=--故答案为：7
. 【点睛】
本题考查正切的和角公式，以及倍角公式，涉及均值不等式的使用.
三、解答题
21．（1）()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦
；（2）[]1,1-
【分析】
（1）首先利用二倍角公式和辅助角公式化简函数()2sin 216f x x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭，再求函数的
单调递减区间；
（2）先求26
x π
-的范围，再求函数sin 26x π⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
的范围，最后求函数的值域. 【详解】
（1）因为()21cos 22sin 216f x x x x π⎛⎫
=+-=-+ ⎪⎝
⎭
， 令
32222
6
2
k x k π
π
πππ+≤-
≤
+，解得5,36k x k k Z ππ
ππ+≤≤
+∈ 所以函数()f x 的单调增区间为()5,36k k k Z π
π
ππ⎡⎤
++∈⎢⎥⎣⎦
. （2）
,312x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，22,36x ππ⎡⎤
∴∈-⎢⎥⎣⎦，52,066x ππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦
，
利用正弦函数的图像与性质知[]sin 21,06x π⎛
⎫
-∈- ⎪⎝
⎭，[]2sin 211,16x π⎛
⎫∴-+∈- ⎪⎝⎭
所以()f x 的值域为[]1,1-. 【点睛】
方法点睛：本题考查三角函数恒等变换和函数性质的综合应用，()sin y A x ωϕ=+的性质：（1）周期2π
.T ω
=
（2）由 ()π
π2x k k +=
+∈Z ωϕ求对称轴，由()πx k k ωϕ+=∈Z 求对称中心.（3）由()ππ2π2π2
2
k x k k -+≤+≤+∈Z ωϕ求增区
间；由
()π3π2π2π22
k x k k +≤+≤+∈Z ωϕ求减区间.
22．（1；（2）74π. 【分析】
（1）由tan α求得sin ,cos αα，由sin β求得cos β，然后由两角差的余弦公式计算； （2）由两角和的正弦公式求得sin()αβ+后，由3522
ππ
αβ<+<可得αβ+ 【详解】 因为1tan 3α=，所以
sin 1
cos 3αα=，又因为22sin cos 1αα+=，02
πα<<，
所以sin α=
cos α=sin β=322πβπ<<，
所以cos β===.
（1）cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+⎛=
⎝⎭10
=.
（2）因为sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+⎛= ⎝⎭2
=-. 因为02
πα<<，
322π
βπ<<，所以3522ππαβ<+<，所以74
αβπ+=． 【点睛】
方法点睛：本题考查两角和与差的正弦、余弦公式，考查同角间的三角函数关系，求角求值．解题关键是确定“已知角”和“未知角”的关系，以便选用恰当的公式求值．在求角，一般先确定出这个角的范围，在这个范围内选三角函数值是一对一的函数求得这个三角函数值，然后得角，如果不能直接得出一对一的函数，常常需要由已知或已求出的三角函数值缩小角的范围，从而得出角．
23．（1）511[,] ()1212k k k Z ππππ++∈；（2）3
[2
-. 【分析】
（1）由二倍角公式，两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数的单调区间求解．
（2）由图象变换得出()g x ，由整体法可求值域． 【详解】
解：（1）()23()22sin 122f x x x =
+-=3
2cos222
x x -
23x π⎫⎛
=- ⎪⎝
⎭
因为：3
222232
k x k π
π
πππ+
≤-
≤+5111212k x k ππππ⇔+≤≤+.
所以函数的单调递减区间是511
[,] ()1212k k k Z ππππ++∈
（2）由题可知， ()))4312
g x x x πππ
=+-=-.
因为1344x ππ-≤≤⇔12
3123
x πππ-≤-
≤，
所以sin()112
x π
≤-≤.
故()g x 在3[,
]44ππ
-上的值域为3
[2
-. 【点睛】
方法点睛：本题考查两角差的正弦公式，二倍角公式，考查正弦函数的性质．此类问题的解题方法是：利用二倍角公式降幂，利用诱导公式、两角和与差的正弦（余弦）公式展开与合并，最终把函数化为()sin()f x A x m ωϕ=++形式，然后结合正弦函数性质求解． 如果求函数值域，则可由x 的范围求出x ωϕ+的范围，然后由正弦函数性质得值域．
24．（1）2-；（2）详见解析. 【分析】
（1）首先变形sin 20
tan 20cos 20
=
，再通分变形，利用辅助角公式化简求值；（2）利用诱
导公式化简正切，即sin tan cos x
x x
=，代入后化简证明. 【详解】 （1）原式sin 20cos 20
3cos 20sin 40⎛⎫=-⋅
⎪⎝⎭
sin 203cos 20cos 20
cos 20sin 40⎛⎫-=⋅ ⎪ ⎪⎝
⎭
()2sin 2060
cos 20
cos 20
sin 40
-=
⋅
2sin 40cos 20
cos 20sin 40
-=
⋅
2=- ；
（2）原式sin 11tan cos sin 1tan 1cos x
x x x
x x
-
-=
=++ ()()()
2
cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin x x x x
x x x x x x --==
++- ()222222
cos sin sin 21sin 2cos sin 1sin sin x x x x x x x x +--==--- 21sin 212sin x
x -=
-
【点睛】 思路点睛：三角函数化简求值或证明，如果有正切，正弦和余弦时，第一步先正切化为正弦和余弦公式，第一题通分后利用辅助角公式化简；第二题，也可以左右都化简，证明等于同一个式子. 25．（1）7
25；（2）109
-
. 【分析】
（1）由韦达定理及α是第二象限角可以求得sin α和cos α的值， 再由22cos 2cos sin ααα=-计算即可；
（2）由（1）可知sin α和cos α的值，然后代值计算即可. 【详解】
（1）因为sin α、cos α分别是方程2255120x x +-=的两根，
所以有1sin cos 5
12sin cos 25αααα⎧
+=-⎪⎪⎨⎪=-
⎪⎩
，
又α是第二象限角，所以sin 0α>，cos 0α<，
3
sin 5α∴=，4cos 5
α=-，
2
2
2
2
437cos 2cos sin 5525
ααα⎛⎫⎛⎫
∴=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；
（2）由（1）知，3
sin 5α=
，4cos 5
α=-， 3422sin cos 21055934sin 3cos 93555αααα⎛⎫⨯-- ⎪
-⎝⎭∴===-+⎛⎫
-
+⨯- ⎪⎝⎭
.
【点睛】
易错点睛：本题易忽略角α的范围，从而导致错解sin α和cos α的值，最后结果错误. 26．（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）答案见解析. 【分析】
选① (Ⅰ)
逆用余弦的二倍角公式降幂后，使用辅助角公式化简得
())f x x ϕ=+ ，根据对称轴求得ϕ的值，进而求得a 的值，得到函数的解析
式，求得最小正周期；
（Ⅱ） 根据正弦函数的单调性，利用整体代换法求得()f x 的递增区间.
选② (Ⅰ)逆用余弦的二倍角公式降幂得到()f x sin2cos2a x x =+，根据选择的条件求得a 的值，得到函数的解析式，并利用辅助角公式化简，然后求得()f x 的最小正周期； （Ⅱ）根据正弦函数的单调性，利用整体代换法求得()f x 的递增区间.
选③逆用余弦的二倍角公式降幂后，使用辅助角公式化简得到()f x 2sin(2)6
x π
=+
然后求得()f x 的最小正周期；
（Ⅱ）根据正弦函数的单调性，利用整体代换法求得()f x 的递增区间. 【详解】
选① （()f x 图像的一条对称轴为8
x π=
）
解：(Ⅰ) ()2
sin 22cos 1f x a x x =+-
sin2cos2a x x =+
22x x ⎛⎫=+⎪
⎭
)x ϕ=+（其中1
tan a
ϕ=
） 因为()f x 图像的一条对称轴为8
x π=
所以()1sin()84
f ππ
ϕ=+=即有
,4
2
k k Z π
π
ϕπ+=+
∈
所以,4
k k Z π
ϕπ=+
∈
所以1
tan tan()tan 144k a
ππϕπ=+===
1a
故())4
f x x π
=
+ 所以()f x 的最小正周期为：22||2
T πππω=== （Ⅱ） +22+2,2
4
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤+
≤
∈
3+22+2,44k x k k Z ππ
ππ∴-≤≤∈ 3++,88
k x k k Z ππ
ππ∴-
≤≤∈ 所以()f x 的递增区间为3[+],k 88
k Z ππ
ππ-∈+k ， 选② (()1)4
f π
=
解：(Ⅰ)()2
sin 22cos 1f x a x x =+-
sin2cos2a x x =+
()sin cos 1422
f a πππ
∴=+=
1a
()sin 2cos 2f x x x =+
22)x x =
)4
x π=+ 所以()f x 的最小正周期为：22||2T πππω=
== （Ⅱ） +22+2,242k x k k Z π
π
π
ππ-≤+≤∈ 3+22+2,44k x k k Z ππππ∴-
≤≤∈ 3++,88k x k k Z ππππ∴-≤≤∈ 所以()f x 的递增区间为3[+],k 88k Z ππππ-
∈+k ，
选③（a =
解：（I ）()222cos 1f x x x =+-
2cos2x x =+
312(sin 2cos 2)2x x 2sin(2)6
x π=+ 所以()f x 的最小正周期为：22||2T πππω=
== （Ⅱ） +22+2,262k x k k Z π
π
π
ππ-≤+≤∈ 2+22+2,33
k x k k Z ππππ∴-≤≤∈ ++,36k x k k Z ππππ∴-≤≤∈ 所以()f x 的递增区间为[+],k 36
k Z ππππ-∈+k ， 【点睛】
本题考查三角函数的恒等变形和三角函数的性质，关键是逆用余弦的二倍角公式降幂后，并使用辅助角公式化简.。