近世代数课件--2.7 循环群
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在近世代数里不管是在群论里还是在其它部门里我们研究一种代数系统就是要解决这一种系统的存在问题数量问题和构造问题
§7．循环群 • • • • 7.1 例子 7.2 定义 7.3 基本定理 7.4 如何研究代数系统
7.1例子
例1、n次分园域 U n { x x n 1} { .......} 例2、整数加群Z． 启示： 例1群的元都是G的某一个固定元a的乘方。例2 也 是,这个群的全体的元就都是１的乘方．这一点，假如把G的代 数运算不用＋而用 “ ” 来表示，就很容易看出．我们知道 １ m m m m 的逆元是－１．假定m是任意正整数，那么 m
G ( a ) {a
n
n Z } { a
2
, a , e , a , a }
1
1
2
，
那么G的构造完全可以由a的阶来决定： (1)如果 a 0 ( o r ) ，那么 G Z (2) a n 0 ，那么 G Z n
证明 分两种情况 (1)第一个情形：a的阶无限。构造映射 1)……. 2)……… 3)……… 4)………所以G Z n (2)第二种情形：a的阶是n. 定义映射: f 首先,必须证明映射的合理性;其次, 1)……. 2)……… 3)……… 4)………所以G Z
'
'
（1）…… （2）[ a ] ([ b ] [ c ]) [ a ] [ b c ] [ a ( b c )] [ a b c ]
([ a ] [ b ]) [ c ] [ a b ] [ c ] [( a b ) c ] [ a b c ]
G (a )
来表示．a叫做G的一个生成元。 问题: a的任意乘方 a
n
n
G (n Z )
2 1
属于G吗?.....
1 2
G ( a ) { a n Z } { a , a , e , a , a }
，它到底包含多
少个互异的元素?
我们再举一个重要的例． 例3 G包含模n的n个剩余类．我们要规定一个G的代数运 算,我们把这个代数运算叫做加法，并用普通表示加法的符 号来表示,规定：[ a ] [ b ] [ a b ] ……（1） 首先,必须证明这样规定的“＋”不会产生歧义（复习等 价类 ' ' a [a ] [ a ] [ a ] [b ] [b ] b 及剩余类）。 [ b ] ， [ a ' ] [ b ' ] [ a ' b ' ]， 那 ' ' [ a b ]……（2） [a b ] 照我们的规定： 如果它们的右端不一样： ，那“＋”就不是 一种代数运算了。我们将证明这种情形不会发生。 ……………………
[ a ] ([ b ] [ c ]) ([ a ] [ b ]) [ c ]
[0] [ a ] [0 a ] [ a ] （3） （4） [ a ] [ a ] [ a a ] [0 ] 所以对于这个加法来说G作成一个群．这个群叫做模n的剩余 类加群, 用 Z n 。 以n=4 介绍 Z n 的乘法表
m 1 1 1 1 1 1 1
m
m ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1
m 这样G的不等于零的元都是１的乘方．但０是G的单位元，照 0 1 定义
7.2定义
定义 若一个群G的每一个元G都是的某一个固定元a的乘 方，我们就把G叫做循环群；我们也说，G是由a元所生成的 ，并且用符号
a 0(or )
7.3基本定理
例4 i j 设 a n 0 ，那么 a a ..... ? i j 设 a 0 ( o r ) ，那么 a a ..... ? 现在回答: 循环群 G ( a ) { a n n Z } { a 2 , a 1 , e , a 1 , a 2 } ，包含多少个互异 的元素? ……. 它们和上面的两种循环群的例子一致． 定理 : 假定G是一个由元a所生成的循环群
f : Zn G
， f (k ) a
k
:Z G
f ， ([ k ]) a
k
7.4 如何研究代数系统
I.分类: 同构的分成同一类,存在及数量 II. 每一类的内部结构 III.表示: 对于循环群的存在问题，数量问题，构造问题都已能解 答，循环群已完全在我们的掌握之中．这一节的研讨是近 世代数的研讨的一个缩影．在近世代数里，不管是在群论 里还是在其它部门里，我们研究一种代数系统就是要解决 这一种系统的存在问题，数量问题和构造问题．假如我们 对于这三个问题能得到如同我们对于循环群所得到的这样 完美的解答，我们的目的就算达到了． 作业: P61:3-5
§7．循环群 • • • • 7.1 例子 7.2 定义 7.3 基本定理 7.4 如何研究代数系统
7.1例子
例1、n次分园域 U n { x x n 1} { .......} 例2、整数加群Z． 启示： 例1群的元都是G的某一个固定元a的乘方。例2 也 是,这个群的全体的元就都是１的乘方．这一点，假如把G的代 数运算不用＋而用 “ ” 来表示，就很容易看出．我们知道 １ m m m m 的逆元是－１．假定m是任意正整数，那么 m
G ( a ) {a
n
n Z } { a
2
, a , e , a , a }
1
1
2
，
那么G的构造完全可以由a的阶来决定： (1)如果 a 0 ( o r ) ，那么 G Z (2) a n 0 ，那么 G Z n
证明 分两种情况 (1)第一个情形：a的阶无限。构造映射 1)……. 2)……… 3)……… 4)………所以G Z n (2)第二种情形：a的阶是n. 定义映射: f 首先,必须证明映射的合理性;其次, 1)……. 2)……… 3)……… 4)………所以G Z
'
'
（1）…… （2）[ a ] ([ b ] [ c ]) [ a ] [ b c ] [ a ( b c )] [ a b c ]
([ a ] [ b ]) [ c ] [ a b ] [ c ] [( a b ) c ] [ a b c ]
G (a )
来表示．a叫做G的一个生成元。 问题: a的任意乘方 a
n
n
G (n Z )
2 1
属于G吗?.....
1 2
G ( a ) { a n Z } { a , a , e , a , a }
，它到底包含多
少个互异的元素?
我们再举一个重要的例． 例3 G包含模n的n个剩余类．我们要规定一个G的代数运 算,我们把这个代数运算叫做加法，并用普通表示加法的符 号来表示,规定：[ a ] [ b ] [ a b ] ……（1） 首先,必须证明这样规定的“＋”不会产生歧义（复习等 价类 ' ' a [a ] [ a ] [ a ] [b ] [b ] b 及剩余类）。 [ b ] ， [ a ' ] [ b ' ] [ a ' b ' ]， 那 ' ' [ a b ]……（2） [a b ] 照我们的规定： 如果它们的右端不一样： ，那“＋”就不是 一种代数运算了。我们将证明这种情形不会发生。 ……………………
[ a ] ([ b ] [ c ]) ([ a ] [ b ]) [ c ]
[0] [ a ] [0 a ] [ a ] （3） （4） [ a ] [ a ] [ a a ] [0 ] 所以对于这个加法来说G作成一个群．这个群叫做模n的剩余 类加群, 用 Z n 。 以n=4 介绍 Z n 的乘法表
m 1 1 1 1 1 1 1
m
m ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1
m 这样G的不等于零的元都是１的乘方．但０是G的单位元，照 0 1 定义
7.2定义
定义 若一个群G的每一个元G都是的某一个固定元a的乘 方，我们就把G叫做循环群；我们也说，G是由a元所生成的 ，并且用符号
a 0(or )
7.3基本定理
例4 i j 设 a n 0 ，那么 a a ..... ? i j 设 a 0 ( o r ) ，那么 a a ..... ? 现在回答: 循环群 G ( a ) { a n n Z } { a 2 , a 1 , e , a 1 , a 2 } ，包含多少个互异 的元素? ……. 它们和上面的两种循环群的例子一致． 定理 : 假定G是一个由元a所生成的循环群
f : Zn G
， f (k ) a
k
:Z G
f ， ([ k ]) a
k
7.4 如何研究代数系统
I.分类: 同构的分成同一类,存在及数量 II. 每一类的内部结构 III.表示: 对于循环群的存在问题，数量问题，构造问题都已能解 答，循环群已完全在我们的掌握之中．这一节的研讨是近 世代数的研讨的一个缩影．在近世代数里，不管是在群论 里还是在其它部门里，我们研究一种代数系统就是要解决 这一种系统的存在问题，数量问题和构造问题．假如我们 对于这三个问题能得到如同我们对于循环群所得到的这样 完美的解答，我们的目的就算达到了． 作业: P61:3-5