学案3：1.1.7 柱、锥、台和球的体积（二）

1.1.7 柱、锥、台和球的体积(二)
学习目标
1．了解球的体积公式
2．会计算简单组合体的体积．
3．培养学生的空间想象能力和思维能力．
自学导引
1．球的表面积 设球的半径为R ，则球的表面积S ＝________，即球的表面积等于它的大圆面积的______倍．
2．球的体积 设球的半径为R ，则球的体积V ＝__________.
对点讲练
知识点一 球的体积和表面积的计算
例1 (1)球的体积是32π3
，则此球的表面积是( ) A ．12π B ．16π C.16π3 D.64π3
(2)一个平面截一球得到直径为6 cm 的圆面，球心到这个平面的距离为4 cm ，则球的体积为
( )
A.100π3
cm 3 B.208π3cm 3 C.500π3cm 3 D.41613π3
cm 3 点评 遇到球的表面积及体积的有关计算问题时，我们的分析方向就是要充分利用条件去确定球心的位置和半径，只要这两点确定了，那球的表面积及体积问题就会迎刃而解． 变式训练1 球的截面把垂直于截面的直径分成1∶3的两段，若截面圆半径为3，则球的体积为( )
A ．16π B.16π3 C.32π3 D ．43π
知识点二 有关几何体的外接球与内切球问题
例2 在半球内有一个内接正方体，试求这个半球的体积与正方体的体积之比．
点评 解决与球有关的组合问题，可通过画过球心的截面来分析，并注意组合体中半径与相
关几何体的关系：
①长方体的8个顶点在同一个球面上，则长方体的体对角线是球的直径；球与正方体的六个面均相切，则球的直径等于正方体的棱长；球与正方体的12条棱均相切，则球的直径是正方体的面对角线．
②球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径．
③球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．
变式训练2有三个球，第一个球内切于正方体六个面，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．
知识点三综合应用
例3有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．
点评在处理与球有关的相接、相切问题时，一般要通过作一适当的截面，将立体几何问题转化为平面问题解决，而这类截面往往指的是圆锥的轴截面、球的大圆等．
变式训练3一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥内又有一个内切球．求：(1)圆锥的侧面积；
(2)圆锥的内切球的体积．
课堂小结
1．利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算．2．解决球与其他几何体的切接问题，通常作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算.
当堂检测
1．三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的()
A ．1倍
B ．2倍
C ．95倍
D ．74
倍 2．四面体ABCD 中，公共顶点A 的三条棱两两相互垂直，且其长分别为1，6，3，若它的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为( )
A ．3π
B ．4π
C ．33π
D ．16π
3．一个底面直径是32 cm 的圆柱形水桶装入一些水，将一个球放入桶内完全淹没，水面上升了9 cm ，则这个球的表面积是________．
4．有一棱长为a 的正方体框架，其内放置一气球，使其充气且尽可能地膨胀(仍保持为球的形状)，则气球表面积的最大值为________．
5．某个几何体的三视图如图所示(单位：m)，
(1)求该几何体的表面积(结果保留π)；
(2)求该几何体的体积(结果保留π)．
参考答案
自学导引
1．4πR 2 4 2.43
πR 3 对点讲练
例1 (1)【答案】B
【解析】设球的半径为R ，则由已知得V ＝43πR 3＝32π3
，R ＝2.∴球的表面积S ＝4πR 2＝16π. (2)【答案】C
【解析】由球的性质知，球的半径R ＝32＋42＝5，∴V 球＝
4π3×53＝500π3
(cm 3)． 变式训练1 【答案】C
【解析】设直径被分成的两段为x ,3x ；则球心O 到截面的距离为x ，球半径为2x ，
由勾股定理得：x 2＋(3)2＝(2x )2，x ＝1，球半径为2，所以V ＝43π·23＝323
π. 例2 解 方法一 作正方体对角面的截面，如图所示，设半球的半径为R ，正方体的棱长 为a ，那么CC ′＝a ，OC ＝2a 2.
在Rt △C ′CO 中，由勾股定理，得CC ′2＋OC 2＝OC ′2，
即a 2＋(2a 2)2＝R 2，所以R ＝62
a . 从而V 半球＝23πR 3＝23π(62a )3＝62
πa 3，V 正方体＝a 3. 因此V 半球∶V 正方体＝62
πa 3∶a 3＝6π∶2. 方法二 将半球补成整个球，同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体，构成的长方体刚好是这个球的内接长方体，那么这个长方体的对角线便是它的外接球的直径．设原正方体棱长为a ，球的半径为R ，
则根据长方体的对角线性质，得(2R )2＝a 2＋a 2＋(2a )2，
即4R 2＝6a 2，所以R ＝62
a . 从而V 半球＝23πR 3＝23π(62a )3＝62
πa 3，V 正方体＝a 3. 因此V 半球∶V 正方体＝62
πa 3∶a 3＝6π∶2. 变式训练2 解 设正方体的棱长a .
(1)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面的中心，经过四个切点及球心作截面，如图(1)，
所以有2r 1＝a ，r 1＝a 2
，所以S 1＝4πr 21＝πa 2. (2)球与正方体各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图(2)， 2r 2＝2a ，r 2＝22
a ，所以S 2＝4πr 22＝2πa 2.
(3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图(3)，
所以有2r 3＝3a ，r 3＝
32
a ， 所以S 3＝4πr 23＝3πa 2. 综上知S 1∶S 2∶S 3＝1∶2∶3.
例3 解 由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．
根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r ，水面的半径为3r ，则容器内水的体积为V
＝V 圆锥－V 球＝13π·(3r )2·3r －43πr 3＝53
πr 3，而将球取出后，设容器内水的深度为h ，则水面圆的半径为33h ，从而容器内水的体积是V ′＝13π·(33h )2·h ＝19
πh 3， 由V ＝V ′，得h ＝315r .
变式训练3 解 (1)如图，
作轴截面，则等腰三角形CAB 内接于⊙O ，而⊙O 1内切于△ABC .
设⊙O 的半径为R ，由题意得43
πR 3＝972π.
∴R 3＝729，∴R ＝9，∴CE ＝18.
已知CD ＝16，∴ED ＝2.
连接AE ，∵CE 是直径，CA ⊥AE ，
CA 2＝CD ·CE ＝16×18＝288，∴CA ＝12 2.
∵AB ⊥CD ，∴AD 2＝CD ·DE ＝16×2＝32，
∴AD ＝4 2.∴S 圆锥侧＝π·42·122＝96π.
(2)设内切球O 1的半径为r ，
∵△ABC 的周长为2×(12 2＋42)＝322，
∴12r ·322＝12×82×16，∴r ＝4. ∴内切球O 1的体积V 球＝43πr 3＝2563
π. 当堂检测
1．D
2．C
3．12π
4．2πa 2
5．解 由三视图可知：
该几何体的下半部分是棱长为2 m 的正方体，上半部分是半径为1 m 的半球．
(1)几何体的表面积为
S ＝12
×4π×12＋6×22－π×12＝24＋π(m 2)． (2)几何体的体积为
V ＝23＋12×43×π×13＝8＋2π3
(m 3)．。