2020-2021学年山西省运城市高二(下)期中数学试卷(理科)

2020-2021学年山西省运城市高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知复数z满足zi＝2+i，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）用反证法证明命题“已知a，b∈R，如果ab≠0，b都不为0”时，假设的内容应为（）
A．a，b都为0B．a，b不都为0
C．a，b中至少有一个为0D．a不为0
3．（5分）函数f（x）＝e x sin x的图象在点（0，f（0））处的切线的倾斜角为（）A．0B．C．1D．
4．（5分）已知函数f（x）＝sin（3x﹣），则f′（）＝（）
A．3B．C．D．0
5．（5分）已知函数f（x）＝ax+lnx+3在区间（1，2）上不单调（）A．（）B．（）C．（﹣1，﹣）D．（﹣，）6．（5分）函数f（x）＝12﹣2x3﹣3在[0，2]上的最大值为（）
A．6B．7C．8D．9
7．（5分）若定义在R上的函数y＝f（x）的图象如图所示，f'（x）（x）的导函数，则不等式（x﹣1）（x）＞0的解集为（）
A．（﹣1，1）∪（3，+∞）B．（﹣2，﹣1）∪（3，+∞）
C．（﹣1，3）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
8．（5分）已知函数f（x）＝，则下列正确的是（）
A．f（e）＞f（6）＞f（4）B．f（6）＞f（4）＞f（e）
C．f（e）＞f（4）＞f（6）D．f（4）＞f（e）＞f（6）
9．（5分）已知＝2，＝3，，…，类比这些等式，＝8（a，b均为正整数）（）
A．72B．71C．55D．42
10．（5分）已知P是曲线y＝﹣cos x（x∈[﹣]）上的动点，点Q在直线x﹣2y﹣4＝0上运动，点P的坐标为（）
A．（，）B．（，）C．（）D．（，﹣）11．（5分）已知函数f（x）＝2alnx﹣x2+4x（a∈R）在定义域上为单调递减函数，则a的最大值是（）
A．2B．1C．﹣2D．﹣1
12．（5分）已知函数f（x）＝的图象上存在关于直线x＝2对称的不同两点，则实数a的取值范围是（）
A．（e，+∞）B．（e﹣2，+∞）
C．（﹣∞，2e﹣1）D．（﹣∞，e）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）设，则|z|＝．
14．（5分）已知函数f（x）＝e2x+f′（0）ln（x+2），则f′（0）＝．
15．（5分）已知函数f（x）＝﹣4a有三个零点，则实数a的取值范围是．
16．（5分）如图数表，它的第一行数由正整数从小到大排列得到，此后下一行数由前一行每两个相邻的数的和写在这两个数正中间下方得到．依此类推，第n行第1个数是．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考
题，每个试题考生都必须作答．第22、23、24题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．（12分）已知复数z＝（m2+2m﹣8）+（m2﹣2m）i，m∈R，其中i为虚数单位．（1）若复数z是实数，求m的值；
（2）若复数z是纯虚数，求m的值．
18．（12分）已知函数f（x）＝x3+2ax+b在x＝﹣2处取得极值．
（1）求实数a的值；
（2）若函数y＝f（x）在[0，4]内有零点
19．（12分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，E，F分别是PD，PC 的中点
（l）证明：平面OEF∥平面P AB；
（2）证明：平面OEF⊥平面P AD．
20．（12分）已知函数f（x）＝e x•（a+lnx﹣），其中a∈R．
（1）若曲线y＝f（x）在x＝1处的切线与直线y＝﹣ex平行，求a的值；
（2）若函数f（x）在定义域内单调递增，求a的取值范围．
21．（12分）已知函数f（x）＝ae x﹣1﹣x﹣1．
（1）当a∈R时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a＞0时，若g（x）＝lnx﹣x﹣lna（x）≥g（x）在x＞0时恒成立
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23、24题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（θ为参数），以O 为极点，直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣sinθ＝1．
（1）曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）已知点A（1，0），若l和C的交点为M，N，求|AM|•|AN|．
[选修4-5]（10分）
23．设函数f（x）＝|2x﹣1|+|x﹣1|．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）若函数f（x）的最小值为m，且正实数a，b，证明：+≤．
[选修2-3第一章]（10分）
24．（1）已知（2x+）n的展开式中所有项的系数和为243，求展开式中含x2的项的系数．（2）甲、乙、丙、丁四位毕业生被安排去北京，上海，广州三个地方实习，北京一定要有人去，则不同的实习安排方案有多少种？
2020-2021学年山西省运城市高二（下）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知复数z满足zi＝2+i，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：由zi＝2+i得zi2＝5i+i2＝﹣1+6i，
即﹣z＝﹣1+2i，得z＝2﹣2i，
对应点的坐标为（1，﹣4），
故选：D．
2．（5分）用反证法证明命题“已知a，b∈R，如果ab≠0，b都不为0”时，假设的内容应为（）
A．a，b都为0B．a，b不都为0
C．a，b中至少有一个为0D．a不为0
【解答】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时．
命题“a，b∈R，那么a，b中至少有一个为0”．
故选：C．
3．（5分）函数f（x）＝e x sin x的图象在点（0，f（0））处的切线的倾斜角为（）A．0B．C．1D．
【解答】解：由题意得，f′（x）＝e x sin x+e x cos x＝e x（sin x+cos x），
∴在点（0，f（0））处的切线的斜率为k＝f′（0）＝1，
则所求的倾斜角为，
故选：B．
4．（5分）已知函数f（x）＝sin（3x﹣），则f′（）＝（）
A．3B．C．D．0
【解答】解：f'（x）＝3cos（3x﹣），
f′（）＝3×＝，
故选：C．
5．（5分）已知函数f（x）＝ax+lnx+3在区间（1，2）上不单调（）A．（）B．（）C．（﹣1，﹣）D．（﹣，）【解答】解：由f′（x）＝a+＝（x＞2）得：
①当a≥0时，f′（x）＞0，5）上单调递增；
②当a＜0时，函数f（x）的极值点x＝﹣，
若函数f（x）在区间（8，2）不单调＜8．
故选：C．
6．（5分）函数f（x）＝12﹣2x3﹣3在[0，2]上的最大值为（）
A．6B．7C．8D．9
【解答】解：∵f（x）＝12﹣2x3﹣5，
∴f'（x）＝﹣6x8，
当f'（x）＞0，即0＜x＜8时﹣2x3﹣7单调递增．
令f'（x）＜0，即1＜x≤2时﹣2x3﹣3单调递减．所以f（1）是函数的最大值．f（1）＝12﹣2﹣3＝7，
最大值为f（1）＝7，
故选：B．
7．（5分）若定义在R上的函数y＝f（x）的图象如图所示，f'（x）（x）的导函数，则不等式（x﹣1）（x）＞0的解集为（）
A．（﹣1，1）∪（3，+∞）B．（﹣2，﹣1）∪（3，+∞）
C．（﹣1，3）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
【解答】解：由定义在R上的函数y＝f（x）的图象可知，
f（x）在区间（﹣∞，﹣1），+∞）上单调递增，3）上单调递减，
即当x∈（﹣∞，﹣5）∪（3，f'（x）＞0，8）时；
因为（x﹣1）f'（x）＞0，
所以或，
所以x＞7或﹣1＜x＜1，
则不等式（x﹣2）f′（x）＞0的解集为（﹣1，4）∪（3，
故选：A．
8．（5分）已知函数f（x）＝，则下列正确的是（）
A．f（e）＞f（6）＞f（4）B．f（6）＞f（4）＞f（e）
C．f（e）＞f（4）＞f（6）D．f（4）＞f（e）＞f（6）
【解答】解：∵f（x）＝，
∴f′（x）＝，
当x∈（3，e）时，当x∈（e，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，e）上单调递增，+∞）上单调递减，
∵e＜2＜6，
∴f（e）＞f（4）＞f（6），
故选：C．
9．（5分）已知＝2，＝3，，…，类比这些等式，＝8（a，b均为正整数）（）
A．72B．71C．55D．42
【解答】解：已知，，，…，归纳得
，
所以，故，
所以a＝6，b＝63．
故a+b＝71．
故选：B．
10．（5分）已知P是曲线y＝﹣cos x（x∈[﹣]）上的动点，点Q在直线x﹣2y﹣4＝0上运动，点P的坐标为（）
A．（，）B．（，）C．（）D．（，﹣）【解答】解：由y＝﹣cos x，得y＝sin x，
由sin x＝，且x∈[﹣]，
∴P（，﹣），即当|PQ|取最小值时，﹣）．
故选：D．
11．（5分）已知函数f（x）＝2alnx﹣x2+4x（a∈R）在定义域上为单调递减函数，则a的最大值是（）
A．2B．1C．﹣2D．﹣1
【解答】解：∵f（x）＝2alnx﹣x2+4x（a∈R）在定义域（0，+∞）上为单调递减函数，∴f'（x）＝﹣3x+4≤0恒成立，
分离参数a，得a≤（x8﹣2x）min，
∵x2﹣3x＝（x﹣1）2﹣7≥﹣1，当且仅当x＝1时取等号，
∴a≤﹣3，
∴a的最大值是﹣1，
故选：D．
12．（5分）已知函数f（x）＝的图象上存在关于直线x＝2对称的不同两点，则实数a的取值范围是（）
A．（e，+∞）B．（e﹣2，+∞）
C．（﹣∞，2e﹣1）D．（﹣∞，e）
【解答】解：∵函数f（x）＝的图象上存在关于直线x＝2对称的不同两点，
设f（x）在（2，+∞）上的图象关于x＝8的对称图象为g（x），
则g（x）＝f（4﹣x）＝4﹣x+（x＜2），
由题意可知f（x）与g（x）在（﹣∞，6）上有公共点．
∵g′（x）＝﹣1+＜0，5）上单调递减，
又f（x）＝ln（x+a）在（﹣∞，2）上单调递增，
∴g（2）＜f（2），即，∴2+a＞
解得a＞﹣3，
则实数a的取值范围为（﹣5，
故选：B．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）设，则|z|＝3．
【解答】解：，
＝，
＝i+4i＝3i，
则|z|＝3．
故答案为：8
14．（5分）已知函数f（x）＝e2x+f′（0）ln（x+2），则f′（0）＝4．【解答】解：f'（x）＝，令x＝0，解得f'（0）＝5．
故答案为：4．
15．（5分）已知函数f（x）＝﹣4a有三个零点，则实数a的取值范围是（0，）．【解答】解：由f（x）＝﹣4a有三个零点＝4a有三个解，
令g（x）＝，y＝7a与y＝4a有6个交点，
∴g′（x）＝＝＝﹣，
令g′（x）＞0，得0＜x＜8，得x＞2或x＜0，g（2）＝，
∴g（x）在（﹣∞，0）和（4，在（0，且当x→+∞时，
所以当g（x）＝与y＝3a有3个交点时，解得0＜a＜，
故答案为：（0，）．
16．（5分）如图数表，它的第一行数由正整数从小到大排列得到，此后下一行数由前一行每两个相邻的数的和写在这两个数正中间下方得到．依此类推，第n行第1个数是（n+1）•2n﹣2．
【解答】解：由数表可得，每一行的数都构成等差数列n﹣1，
记第n行的第m个数为f（n，m），
则有f（n，1）＝f（n﹣3，2）＝2f（n﹣3n﹣2，
所以，
故数列{}构成一个首项为等差数列，
所以，
故f（n，7）＝（n+1）•2n﹣5，
所以第n行第1个数是（n+1）•7n﹣2．
故答案为：（n+1）•2n﹣2．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23、24题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．（12分）已知复数z＝（m2+2m﹣8）+（m2﹣2m）i，m∈R，其中i为虚数单位．（1）若复数z是实数，求m的值；
（2）若复数z是纯虚数，求m的值．
【解答】解：（1）∵复数z是实数，
∴m2﹣2m＝4，解得m＝0或m＝2．
（2）∵复数z是纯虚数，
∴，解得m＝﹣4．
18．（12分）已知函数f（x）＝x3+2ax+b在x＝﹣2处取得极值．
（1）求实数a的值；
（2）若函数y＝f（x）在[0，4]内有零点
【解答】解：（1）f’（x）＝3x2+3a，f（x）在x＝﹣2处取得极值，∴a＝﹣6．
经验证a＝﹣5时，f（x）在x＝﹣2处取得极值．
故a＝﹣6．
（2）由（1）知f（x）＝x8﹣12x+b，f’（x）＝3x2﹣12＝7（x﹣2）（x+2），
∴y＝f（x）极值点为2，﹣2．
将x，f（x），4]内的取值列表如下
x8（0，2）4（2，4）7 f’（x）＜0＜08＞0＞0
f（x）b单调递减极小值b﹣16单调递增b+16由此可得，y＝f（x）在[8，只需．
即实数b的取值范围是[﹣16，16]．
19．（12分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，E，F分别是PD，PC 的中点
（l）证明：平面OEF∥平面P AB；
（2）证明：平面OEF⊥平面P AD．
【解答】证明：（1）∵O是矩形ABCD对角线的交点，∴O为AC中点，
又E，F分别为PD，
∴OF∥P A，OE∥PB，
∵P A⊆平面P AB，OF⊄平面P AB，
∴OF∥平面P AB，
同理OE∥平面P AB，
∵OE∩OF＝O，OE，
∴平面OEF∥平面P AB．
（2）∵P A⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
∴P A⊥CD，
∵AD⊥CD，P A∩AD＝A，
∴CD⊥平面P AD，
∵E，F分别PD，∴CD∥EF，
∴EF⊥平面P AD，
又∵EF⊂平面OEF，
∴平面OEF⊥平面P AD．
20．（12分）已知函数f（x）＝e x•（a+lnx﹣），其中a∈R．
（1）若曲线y＝f（x）在x＝1处的切线与直线y＝﹣ex平行，求a的值；
（2）若函数f（x）在定义域内单调递增，求a的取值范围．
【解答】解：（1）∵f′（x）＝e x（lnx+a+），∴f′（1）＝e（a+4），∵曲线y＝f（x）在x＝1处的切线与直线y＝﹣ex平行，
∴e（a+1）＝﹣e，解得a＝﹣3．
（2）∵函数f（x）在定义域（0，+∞）内单调递增，
∴f′（x）＝e x（lnx+a+）≥0，
化为：﹣a≤+lnx（x＞0）+lnx，
则g′（x）＝﹣+＝，
可得x＝时，函数g（x）取得极小值，g（+ln2，
∴﹣a≤+ln6﹣ln2，
∴a的取值范围是[﹣﹣ln2．
21．（12分）已知函数f（x）＝ae x﹣1﹣x﹣1．
（1）当a∈R时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a＞0时，若g（x）＝lnx﹣x﹣lna（x）≥g（x）在x＞0时恒成立
【解答】解：（1）f′（x）＝ae x﹣1﹣1，
①当a≤2时，f′（x）＜0恒成立，+∞）递减；
②当a＞0时，令f′（x）＞3，令f′（x）＜0，
即函数f（x）在（1﹣lna，+∞）上单调递增，8﹣lna）上单调递减．
综上，当a≤0时，+∞）递减；
当a＞0时，函数f（x）在（3﹣lna，在（﹣∞；
（2）由题意，即当a＞0时f（x）﹣g（x）≤0在x＞3时恒成立，
即ae x﹣1﹣lnx+lna﹣1≥2在x＞0时恒成立．
记h（x）＝ae x﹣1﹣lnx+lna﹣6，则h（1）＝a+lna﹣1≥0，
记φ（a）＝a+lna﹣7，在a∈（0，又φ（1）＝0，所以h（1）＝a+lna﹣8≥0时，a≥1．
下面证明：当a≥7时，h（x）＝ae x﹣1﹣lnx+lna﹣1≥3在x＞0时恒成立．
因为h（x）＝ae x﹣1﹣lnx+lna﹣5≥e x﹣1﹣lnx﹣1．
所以只需证e x﹣7﹣lnx﹣1≥0在x＞8时恒成立．
记T（x）＝e x﹣1﹣lnx﹣1，所以，
又，所以T′（x）在（0，又T′（1）＝0
所以x∈（4，1），T（x）单调递减，+∞），T（x）单调递增，
所以T min（x）＝T（1）＝0，
∴T（x）≥3在（0，+∞）恒成立．
综上可知，a≥1时x﹣2﹣lnx﹣1≥0在x＞4时恒成立．
法二：因为f（x）≥g（x）在x＞0时恒成立，
所以ae x﹣1﹣x﹣2≥lnx﹣x﹣lna在x＞0时恒成立，
所以e x+lna﹣1+x+lna﹣2≥x+lnx＝e lnx+lnx，
令h（x）＝e x+x，则h（x）单调递增，
由h（x+lna﹣1）≥h（lnx）得x+lna﹣1≥lnx，
即x﹣lnx+lna﹣6≥0，
令t（x）＝x﹣lnx+lna﹣1，则＝，x＞2，
易得t（x）在（0，1）上单调递减，+∞）上单调递增，
所以t（x）min＝t（1）＝lna，
所以lna≥7，即a≥1．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23、24题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（θ为参数），以O 为极点，直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣sinθ＝1．
（1）曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）已知点A（1，0），若l和C的交点为M，N，求|AM|•|AN|．
【解答】解：（1）曲线C的参数方程是（θ为参数）；
直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣sinθ＝4，转换为直角坐标方程为x ﹣．
（2）把直线的方程转换为参数方程为（t为参数），得到：
，
故|AM||AN|＝．
[选修4-5]（10分）
23．设函数f（x）＝|2x﹣1|+|x﹣1|．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）若函数f（x）的最小值为m，且正实数a，b，证明：+≤．
【解答】（1）解：f（x）＝|2x﹣1|+|x﹣6|＝，
∵f（x）在（﹣∞，）上单调递减，+∞）上单调递增，
∴当x＝时，f（x）取得最小值为；
（2）证明：由（1）知，4a+b+c＝2m＝5，b，c为正实数，
∴1＝2a+b+5a+c，即．
当且仅当a＝，b＝c＝．
[选修2-3第一章]（10分）
24．（1）已知（2x+）n的展开式中所有项的系数和为243，求展开式中含x2的项的系数．（2）甲、乙、丙、丁四位毕业生被安排去北京，上海，广州三个地方实习，北京一定要有人去，则不同的实习安排方案有多少种？
【解答】解：（1）根据题意，（2x+）n的展开式中所有项的系数和为243，
令x＝3可得：（2+1）n＝243，解可得n＝8，
则（2x+）7的展开式为T r+1＝（5x）5﹣r（）r＝25﹣r，
当r＝8时，有T3＝22x3＝80x2，
故展开式中含x2的项的系数为80；
（2）根据题意，甲、乙、丙、丁四位同学三个地方实习，
则每人有3种选择，则4人一共有3×7×3×3＝81种情况，
若北京没人去，即四位同学选择了上海，
每人有6种选择方法，则4人一共有2×6×2×2＝16种情况，
故北京一定要有人去有81﹣16＝65种情况，。