一元二次方程根与系数的关系

当二次项系数为1时 x2+px+q=0的两根为x1,, x2
则有
x1 x2 P
x .x
1
2
q
如果一元二次方程 ax bx c 0(a 0)
2
的两个根分别是
b x1 x2 a
x1
、 x2 ，那么：
c x1 x2 a
这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。
解法一： 设方程的另一个根为x1. x1 ＋2= k+1 由根与系数的关系，得 x1 ●2= 3k x1 =－3
解这方程组，得
k =－2
答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2。
例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。
解法二： 设方程的另一个根为x1. 把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0 解这方程，得 k= - 2 由根与系数的关系，得x1●2＝3k 即2 x1 ＝－6 ∴ x1 ＝－3 答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2。
本堂课结束了，望同学 们勤于思考，学有所获。
b 2 4ac
0 两个不相等的实数根 0 两个相等的实数根 0 没有实数根
填写下表：
方程 两个根
两根 之和 两根 之积 a与 b 之间 关系 a与 c 之间 关系
c a
x1 x2 x1 x2
x 2 3x 4 0
4 1 3 x 2 5x 6 0 2
2 x 3x 1 0
2
3
5
3 2
2
4 6
1 2
b x1 x2 a
3
5
4
6
1 2
1 2
1
3 2
猜想： 如果一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 的两个根 分别是 x1 、 x2 ，那么，你可以发现什么结论？
2．小组合作，类比探究
问题：你发现这些一元二次方程的根与系数 有什么规律？
例3 已知方程x 2 kx k 2 0 的两个实数根 2 是 x1, x2 且 x12 x2 4 求k的值。 解：由根与系数的关系得 X1+X2=-k， X1×X2=k+2 解得：k=4 或k=－2 2-4k-8 ∵ △ = K 又 X 1 2+ X 2 2 = 4 当k=4时， △＜0 2 即(X1+ X2) -2X1X2=4 当k=-2时，△＞0 2 K - 2(k+2）=4 ∴ k=-2 2 K -2k-8=0
b b2 4ac b b2 4ac 2a
2b 2a
b a
b b 4ac b b 4ac x1 x2 2a 2a
2 2
b b 4ac 2 4a 4ac 2 4a
2 2


c a
• 口答下列方程的两根之和与两根之积。
2
返回
2.方程 x 3kx 2k 1 0 的两根互
2
为倒数，求k的值。
解：设方程的两根分别为 x1 和 x2 ， x1 x2 2k 1 则： 而方程的两根互为倒数 即： x1 x2 1 所以： 2k 1 1 得： k 1
例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。
一元二次方程根与系数的关系是法国数学家“韦达”发现的 所以我们又称之为韦达定理.
已知：如果一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 的两个根分别是 x1 、 x2 。
2
b 求证： x1 x2 a
c x1 x2 a
推导:
b b2 4ac b b2 4ac x1 x2 2a 2a
1. 2. 3. 4. 5.
x 2 x 15 0 2 x 6x 4 0
2
2 x 3x 5 0
2
3x 7 x 0
2
2x 5
2
如果一元二次方程
ax2+bx+c=0（a、b、c是常数且 a=0 ）的两根为x1、x2，则 b 2 4ac 0 x1.x2与系数a，b，c 的关系。
另外几种常见的求值
x1 x2 1 1 1. x1 x2 x1 x2
x1 x 2 x x 2. x1 x2 x 2 x1
2 1
2 2
( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 x1 x2
3.(x1 1)(x2 1) x1 x2 ( x1 x2 ) 1
4. x1 x2 ) 4 x1 x 2
2
1.一元二次方程根与系数的关系是什么? 2.应用一元二次方程的根与系数关系时， 首先要把已知方程化成一般形式. 3.应用一元二次方程的根与系数关系时， 要特别注意，方程有实根的条件，即在初 2 中代数里，当且仅当 b 4ac 0时，才 能应用根与系数的关系.
b x1 x2 a
x1 x 2
c a
例1、利用根与系数的关系，求一元二次方程
2 x 3x 1 0
2
两个根的；（1）平方和；（2）倒数和 解：设方程的两个根是x1 x2，那么
3 1 x1 x2 , x1 x2 2 2 2 1∵ x1 x2 x12 2 x1 x2 x22 3 1 13 2 2 2 4 1 1 x1 x2 3 1 2 3 x1 x2 x1 x2 2 2
1．复习知识，回顾方法
问题1 一元二次方程的根与方程中的系数之间有 怎样的关系？
1.一元二次方程的一般形式是什么？
ax bx c 0(a 0)
2
2.一元二次方程的求根公式是什么？
b b 4ac 2 x (b 4ac 0) 2a
2
3.一元二次方程的根的情况怎样确定？