9-5-静电场的环路定理解析

•电势是标量，有正有负； •电势的单位：伏特 1V=1J.C-1； •电势具有相对意义，它决定于电势零点的选择。 在理论计算中，通常选择无穷远处的电势为零；
•在实际工作中，通常选择地面的电势为零。 •但是对于“无限大”或“无限长”的带电体， 只能在有限的范围内选取某点为电势的零点。
3、电势差
在静电场中，任意两点A和点B之间的电势之差， 称为电势差，也叫电压。
步骤：
(1)先算场强 (2)选择合适的路径L
(3) 积分(计算)
•2、利用点电荷的电势公式和电势的叠加原理
dq dV
4 0r
dq
V 4 0r
要求电荷的分布区域是已知的；
当电荷分布在有限的区域内，可以选择无穷
远点作为电势的零点的；而当激发电场的电荷分
布延伸到无穷远时，只能根据具体问题的性质，
在场中选择某点为电势的零点。
E
1
4 0
Q r2
er
B
Q
rB
r
rA
dr C r
A
dl
er
E
dW
1
4 0
Qq0 r2
er
dl
1
4 0
Qq0 r2
dr
rB
W
Qq0
dr Qq0 ( 1 1 )
rA 40r 2
40 rA rB
在点电荷的静电场中，电场力对试验电荷所作
的功与其移动时起始位置与终了位置有关，与
其所经历的路径无关。
V
p 3xy
Ey
y
4 0
x2 y2 5/2
-q
+q
电偶极子的延长线上 y 0
2p 1
E x 4 0 x 3
Ey 0
电偶极子的中垂线上 x 0
p1
Ex
4 0
y3
Ey 0
-q
+q
附 静电场中的电偶极子
一、在外电场中电偶极子的力矩和取向
1、在匀强电场中的受力情况
FF＝ ＝qEqE
+q
F+
r r
r2
V
q
4 0
l cos
r2
电场强度为
引入电偶极子的偶极矩p=ql
V
p y2 2x2
px p
x
V 4 0r 2 r 4 0 x2 y2 3/2
Ex
x
4 0
x2 y2 5/2
Ey
V y
p
4 0
3xy x2 y2 5/2
V
p y2 2x2
Ex
x
4 0
x2 y2 5/2
2、点电荷系的电场
根据叠加原理可知，点电荷系的场强为各点电荷
场强的叠加
E E1 E2
则点电荷系的电场力所作的功为
W q0 E dl q0 E1 dl q0 E2 dl
l
l
l
每一项均与路径无关，故它们的代数和也必然与 路径无关。
3、任意带电体电场
任意连续带电体都可以看成由许多点电荷组成的 点电荷系，因而在连续带电体产生的电场中，我 们一样会得出
dV 1
1 2rdr rdr
4 0 x 2 r 2
2 0 x 2 r 2
积分得场点的电势为
a
V
rdr x2 a2 x
0 2 0 x2 r 2 2 0
当x>>a时
x2 a2 x a2 /(2x)
a2 q a2
q
V 20 2x a2 2 0 2x 4 0 x
例题1 求均匀带电细圆环轴线上一点的场强。 解：细圆环轴线上一点的电势为
q
V 4 0 x2 R2 1/2
式中R为圆环的半径。因而轴线上一 点的场强为
x
P
r
R dq
E
＝
x
－V x
－ x
4 0
q x2 R2
1/ 2
4 0
qx x2 R2
3/2
Ey 0
Ez 0
例题2 求电偶极子电场中任一点的电势和电场强度。
解：设A与+q和-q均在xoy平面内，A到+q和-q
的距离分别为r+和r-，+q和-q单独存在时，A
点的电势为
V＋＝
q
4 0
r
V－＝
q
4 0
r－
由电势的叠加原理，A点的电势为
V
V＋
V＝
q
4
0
1 r
1 r
q
4 0
r r r r
对于电偶极子，l <<r，所以
yA
r
q
r
r
q
r0 x
r r l cos
结论：试验电荷q0在电场中点A的电势能，在取 值上等于把它从点A移到到零电势能处的电场力 所作的功。
四、电势
1、电势
q0
E dl
AB
W A
WB
比值 WA/ q0与q0无关，只决定于电场的性质及 场点的位置，所以这个比值是反映电场本身性质
的物理量，可以称之为电势。
静电场中带电体所具有的电势能与该带电 体的电量的比值定义为电势。
r0 θ F- -q
当θ=π时，电偶极子所受的力矩为零，——非稳定平衡位置。
只要电偶极子稍微偏离这个位置，它将在力矩的作用下，使 电偶极子电矩的方向与电场强度的方向一致。
4、在不均匀电场中的行为
这时作用在在+q和-q上的电场力F+和F-大小不相等，这 时电偶极子不仅要转动，而且还将要在空间平动。
二、电偶极子在电场中的电势能和平衡位置
4 0r 4 0r 2R
积分得场点的电势为
V 1 q dl q 1
q
4 0r 2R l 4 0r 4 0 R2 x2
O
x
例题2 均匀带电圆盘轴线的电势。
已知电荷q均匀地分布在半径为R的圆盘上， 求圆盘的轴线上与盘心相距x的点的电势。
解：在圆盘上取一半径为r，宽度为dr 的圆环，其电量为dq=σ2πrdr，在场点 的电势为
规定：两个相邻等势面的电势差相等，所以等势 面较密集的地方，场强较大；等势面较稀疏的地 方，场强较小。
4、应用
测量电势分布，得到等势面，在根据等势面与电 场强度的关系，定性画出电场线。
九、电场强度与电势的关系
1、沿任一方向的分量
V
静电场中两个靠得很近的等势面， 电势分别为V和V+ΔV，在等势面上
•除电场强度为零处外，电场线与等势面正交。
证明：因为将单位正电荷从等势 面上M点移到N点，
N
电场力做功为零，而路径不为零， dl≠0
dl
E
M
dWMN E dl Edl cos 0
/ 2
•电场线的方向指向电势降落的方向。
3、典型的电场线与等势面
q
q
正点电荷的电场
负点电荷的电场
匀强电场
步骤
(1)把带电体 分为无限多dq
(2)由dq d
(3)由d = d
例题1 均匀带电圆环轴线的电势。
已知电荷q 均匀地分布在半径为R的圆环上， 求圆环的轴线上与环心相距x 的点的电势。 解：在圆环上取一电荷元
dq q dl
2R
它在场点的电势为
x
P
r
R dq
dV dq 1 q dl
复习
9-3、4 电场线 静电场的高斯定理
• 电场线 • 电场强度通量 • 高斯定律 • 高斯定律应用举例
9-5 静电场的环路定理
一、静电场力所作的功
1、点电荷电场
点电荷Q固定于原点O，试验 电荷q0在Q的电场中由A点沿 任意路径ACB到达B点，取 微为元ddlW，电 场F 力 dl对q0q的0 E元 d功l
三、电势能
电荷在电场的一定位置上，具
B
有一定的能量，叫做电势能。
静电场力对电荷所作的功等
于电势能增量的负值。
A
WAB (WB WA ) WA WB
q0
E dl
AB
WA WB
电势能的参考点选择是任意的，若选B点为参考 点，则WB=0，则电场中任一点A点的电势能为：
参考点
WA q0 A E dl
x
P
r
R dq
例题3 均匀带电球体的电势。
已知电荷q均匀地分布在半径为R的球 体上，求空间各点的电势。
解：由高斯定理可求出电场强度的分布
q
E ＝
4 0r
qr
2
4 0 R3
rR rR
方向沿径向
当r>R时
V＝
r
q
4 0r 2
dr
q
4 0r
当r≤R时
R
V＝
r
qr
4 0R3
dr
R
q
4 0r
2
dr
l
l
W＝q0 E dl q0 E dl
ABC
CDA
E dl E dl
C B
AD
CDA
ADC
q0 E dl q0 E dl
ADC
ABC
电场力作 功
与路径无 关
W＝q0 E dl＝0
E dl＝0
定义：电场强度沿任意闭合路径的线积分叫电 场强度的环流。
静电场的环路定理：在静电场中，电场强度的 环流为零。
B
U AB VA VB
E dl
A
静电场中任意两点A、B之间的电势差，在数值 上等于把单位正电荷从点A移到点B时，静电场 力所作的功。
W
B
q0
E dl
q0U AB
q0 VA
VB
A
五、点电荷电场的电势
V E dl Edr
r
r
q
4 0r
2
r
dr
V q
4 0r
正电荷的电势为正，离电荷越远，电势越低； 负电荷的电势为负，离电荷越远，电势越高。
V+△V △l A
取两点A和B，间距为Δl，设与E之
B
间的夹角为θ。
E
I
VA VB E l E l cos
II
令电势的增量为 V＝VB VA
－V＝El l
E
＝
l
－
V l
E
＝
l
－
V l
负号表明：沿着场强的方向，电势由高到低； 逆着场强的方向，电势由低到高
lim E
＝－
l
l 0
V l
dV dl
六、电势叠加原理
1、点电荷系电场的电势
电场由几个点电 荷q1，q2，…，qn产生
E Ei
V
E dl
Ei
dl
＝ Ei dl＝Vi
点电荷系所激发的电场中某点的电势，等于各点电 荷单独存在时在该点的电势的代数和。这个结论叫
做静电场的电势叠加原理。
2、连续分布电荷电场的电势
dq dV
4 0r
E p E p＋E p－ qV qV
+q
F+
－q
V V
r0 cos
－qr0E cos
电场中任一点的场强，等于该点电势沿等势面法 线方向单位长度的变化率的负值。
直角坐标系
E
V x
i
V y
j
V z
k
V Ex x 3、应用
V E y y
V Ez z
电势是标量，容易计算。可以先计算电势，然后 利用场强与电势的微分关系计算电场强度，这样 做的好处是可以避免直接用场强叠加原理计算电 场强度的矢量运算的麻烦。
电场中某一点的场强沿任一方向的分量，等于这 一点的电势沿该方向单位长度的电势变化率的负 值，这就是电场强度和电势之间的关系。
2、切向和法向分量 •等势面上任一点场强的切向 分量为零
•法向分量
V
en
V+dV
En
dV dln
E dV
dln
dV E dn en V gradV

低电势 高电势
r0 θ
F- -q
F＝F＋＋F－＝qE qE 0
在匀强电场中，电偶极子不受电场力的作用；电偶极子 没有平动。
2、在匀强电场中所受的力矩
M q r0E sin pE sin
M pE
在力矩的作用下，电偶极子将在平面内转动。
3、在匀强电场中电偶极子的取向
+q
F+
当θ=0时，电偶极子所受的力矩为 零，——稳定的平衡位置；
VA WA / q0
VB WB / q0
VA
E dl
AB
VB
当电荷分布在有限空间时，无限远处的电势能和 电势为零
VA
E dl
A
•电场中某点的电势在数值上等于放在该点的单 位正电荷的电势能
•电场中某点的电势在数值上等于把单位正电荷 从该点移到势能为零的点时，电场力所作的功。
2、说明：
dr
q
4 0R
例题5 求无限长均匀带电直线的电场中的电势分布。
解：假设电荷线密度为，则场强为：
E
2 0r
方向垂直于带电直线。
若仍然选取无穷远为电势零点，则由积分可知各点电势将
为无限大而失去意义。此时，我们可以选取某一距带电直
导线为rB的B点为电势零点，则距带电直线为r的P点的电势：
U
B E dl
q( R2
8
r2 0R3
)
q
4 0R
例题4 均匀带电球壳的电势。
已知电荷q均匀地分布在半径为R的球 壳上，求空间各点的电势。
解：由高斯定理可求出电场强度的分布
q
E＝ 4 0r 2
0
rR rR
方向沿径向 V
当r>R时
V＝
r
q
4 0r 2
dr
q
4 0r
当r≤R时
R
r
R
V＝
r
0dr
R
q
4 0r 2
电场力所作的功与路径无关！
4、结论
在真空中，一试验电荷在静电场中移动时，静电场
力对它所作的功，仅与试验电荷的电量、起始与终 了位置有关，而与试验电荷所经过的路径无关。 静电场力也是保守力，静电场是保守场。
二、静电场的环路定理
在静电场中，将试验电荷沿闭合路径移到一周时，
电场力所作的功为
W＝ q0E dl＝q0 E dl
dq
V 4 0r
线分布
dl
V
l 4 0r
面分布
dS
V S 4 0r
体分布
V
V
dV 4 0r
dq
r
P
七、电势的计算
计算电势的方法有两种：
•1、利用电势的定义式
VA
E dl
A
要注意参考点的选择，只有电荷分布在有限 的空间时，才能选无穷远点的电势为零；
积分路径上的电场强度的函数形式要求已知 或可求。
rB
dr
P
r 2 0r
r
P
ln rB
2 0 r
B
由此例看出，当电荷分布扩展到无穷远时，
rB
电势零点不能再选在无穷远处。
八、等势面
1、定义
电场中电势相等的点所构成的面，叫 做等势面。即V(x,y,z)=C，的空间曲 面称为等势面。
2、等势面的性质
1 2
3 n
•在等势面上移动电荷时，电场力不作功；