二次函数与相似三角形综合题教案
二次函数与相似三角形经典教学案
二次函数与相似三角形一、二次函数的系数问题【例1】 ⑴ 二次函数2y ax bx c =++的图象如下左图所示，判断a ，b ，c ，24b ac -，2a b +，a b c ++，a b c -+的符号.⑵（福州）如下右图所示，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过点()12-，坐标分别为1x ，2x ，其中121x -<<-，201x <<，下列结论：①420a b c -+<；②20a b -<；③1b <-；④284b a ac +>．其中正确的有（ ） A.1个 B.2个 C .3个 D .4个【巩固】 设二次函数()20y ax bx c a =++≠图像如图所示，试判断24a b c a b c a b c b ac ++-+-、、、、、的符号． 【例2】 （甘肃）如图为二次函数2y ax bx c =++的图象，给出下列说法：①0ab <；②方程20ax bx c ++=的其中一根为x=-1；③a+b+c=0； ④当1x >时，y 随x 值的增大而减小；⑤当0y >时，13x -<<．其中，正确的说法有 _______．（请写出所有正确说法的序号）【巩固】（湖北黄石）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<；⑤1c a ->其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．①③④C ．①②③⑤D ．①②③④⑤【例3】 已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列5个结论：① 0abc >；②b ac <+；③ 420a b c ++>；④ 23c b <；⑤ ()a b m am b +>+，（1m ≠的实数）其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个【巩固】（08天门）已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列结论：①0abc >；②20a b +>；③0a b c -+<；④0a c +>，其中正确结论的个数为（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【例4】 已知函数2y ax bx c =++（0a≠）的图象，如图所示．求证：22()a c b +<【例5】 2y ax bx c =++的图象如图所示．并设|||||2||2|M a b c a b c ab a b =++--+++--则（） A ．0M > B ．0M =C ．0M <D ．不能确定M 为正，为负或为0【例6】 二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示，求a 的取值范围【巩固】 已知抛物线2y ax bx c =++的一段图象如图所示．⑴确定a 、b 、c 的符号；⑵求a b c ++的取值范围．【例7】 设二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，若OA OB =，求abc 的取值范围.二、二次函数图像特征【例8】 （09烟台）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数a b cy x++=在同一坐标系内的图象大致为（ ）【例9】 若二次函数c bx ax y ++=2的图象的开口向下，顶点在第一象限，抛物线交于y 轴的正半轴;则点⎪⎭⎫ ⎝⎛b c a P ,在（ ）.(A)第一象限 (B)第二象限限 (C) 第三象限 (D) 第四象限【例10】 ⑴（09湖北荆门）函数1y ax =+与()210y ax bx a =++≠的图象可能是( )(2) (09兰州）在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和函数222y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可能．．是【巩固】（09嘉兴）已知，在同一直角坐标系中，函数与的图象有可能是（ ）ABCDDCB A 0≠a ax y =2ax y =1． ⑴ 下左图所示为二次函数2y ax bx c =++的图象，则一次函数by ax c=-的图象不经过（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ⑵ 二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如下右图所示，试求a b c ++的取值范围.⑶（2008天津）已知，如图所示为二次函数2y ax bx c =++的图象，则一次函数y ax bc =+的图象不经过（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2． （092()0y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论：0ac >①；②方程20ax bx c++=的两根之和大于0；y ③随x 的增大而增大；④0a b c -+<，其中正确的个数（ ）A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个3． （1） 已知二次函数2y ax bx c =++（其中a 是正整数）的图象经过点()14A -，和()21B ，，且与x 轴 有两个不同的交点，求b c +的最大值．（2）二次函数2y ax bx c =++的图象一部分如下图，求a 的取值范围．4． ⑴ 函数22(1)1y x =---的图象可由函数22(2)3y x =-++的图象平移得到，那么平移的步骤是（ ）A. 右移三个单位，下移四个单位B. 右移三个单位，上移四个单位C. 左移三个单位，下移四个单位D. 左移四个单位，上移四个单位 ⑵ （07萧山）二次函数2241y x x =-++的图象如何移动就得到22y x =-的图象（ ）A习题精讲A.向左移动1个单位，向上移动3个单位.B.向右移动1个单位，向上移动3个单位.C.向左移动1个单位，向下移动3个单位.D.向右移动1个单位，向下移动3个单位.2.如图，抛物线y＝12x2＋bx－2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A(－1，0)．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断ABC△的形状，证明你的结论；（3）点(0)M m，是x轴上的一个动点，当MC＋MD的值最小时，求m的值．三、相似三角形一、相似三角形的判定定理（1）有两个角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似；（4）直角边和一条斜边对应成比例的两个直角三角形相似.二、相似三角形的性质（1）相似三角形对应的高线、中线、角平分线的比等于相似比；（2）相似三角形的周长之比等于相似比；（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.【例1】（2007年北师大附中期末试题）如图，D、E是ABC∆的边AC、AB上的点，且AD AC⋅=AE AB⋅，求证：ADE B∠=∠.巩固：如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥于D ，CE AB ⊥于E ，∠ADE=∠ACE, ABC ∆的面积是BDE ∆面积的4倍，6AC =，求DE 的长.A ED CBA EDC。
二次函数综合(动点与三角形)问题方法与解析
二次函数综合（动点与三角形）问题一、知识准备：抛物线与直线形的结合表现形式之一是，以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能构成某些特殊三角形，有以下常见的基本形式。
（1）抛物线上的点能否构成等腰三角形；（2）抛物线上的点能否构成直角三角形；（3）抛物线上的点能否构成相似三角形；解决这类问题的基本思路：假设存在，数形结合，分类归纳，逐一考察。
二、例题精析㈠【抛物线上的点能否构成等腰三角形】（2013•铜仁地区）如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c 例一．经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）求△ABC的面积；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标．考点：二次函数综合题专题：综合题．分析：（1）根据直线解析式求出点A及点B的坐标，然后将点A及点B的坐标代入抛物线解析式，可得出b、c的值，求出抛物线解析式；（2）由（1）求得的抛物线解析式，可求出点C的坐标，继而求出AC的长度，代入三角形的面积公式即可计算；（3）根据点M在抛物线对称轴上，可设点M的坐标为（﹣1，m），分三种情况讨论，①MA=BA，②MB=BA，③MB=MA，求出m的值后即可得出答案．解答：解：（1）∵直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，∴可得A（1，0），B（0，﹣3），把A、B两点的坐标分别代入y=x2+bx+c得：，解得：．∴抛物线解析式为：y=x2+2x﹣3．（2）令y=0得：0=x2+2x﹣3，解得：x1=1，x2=﹣3，则C点坐标为：（﹣3，0），AC=4，故可得S△ABC=AC×OB=×4×3=6．（3）抛物线的对称轴为：x=﹣1，假设存在M（﹣1，m）满足题意：讨论：①当MA=AB时，，解得：，∴M1（﹣1，），M2（﹣1，﹣）；②当MB=BA时，，解得：M3=0，M4=﹣6，∴M3（﹣1，0），M4（﹣1，﹣6），③当MB=MA时，，解得：m=﹣1，∴M5（﹣1，﹣1），答：共存在五个点M1（﹣1，），M2（﹣1，﹣），M3（﹣1，0），M4（﹣1，﹣6），M5（﹣1，﹣1）使△ABM为等腰三角形．点评：本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形的性质及三角形的面积，难点在第三问，注意分类讨论，不要漏解．㈡【抛物线上的点能否构成直角三角形】（2013鞍山）如图，已知一次函数y=0.5x+2的图象与x轴交于点A，与二次函数y=ax2+bx+c 例二．的图象交于y轴上的一点B，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）设一次函数y=0.5x+2的图象与二次函数y=ax2+bx+c的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且△PBD为直角三角形，求点P的坐标．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据y=0.5x+2交x轴于点A，与y轴交于点B，即可得出A，B两点坐标，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2．得出可设二次函数y=ax2+bx+c=a （x﹣2）2，进而求出即可；（2）根据当B为直角顶点，当D为直角顶点，以及当P为直角顶点时，分别利用三角形相似对应边成比例求出即可．解答：解：（1）∵y=0.5x+2交x轴于点A，∴0=0.5x+2，∴x=﹣4，与y轴交于点B，∵x=0，∴y=2∴B点坐标为：（0，2），∴A（﹣4，0），B（0，2），∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2∴可设二次函数y=a（x﹣2）2，把B（0，2）代入得：a=0.5∴二次函数的解析式：y=0.5x2﹣2x+2；（2）（Ⅰ）当B为直角顶点时，过B作BP1⊥AD交x轴于P1点由Rt△AOB∽Rt△BOP1∴=，∴=，得：OP1=1，∴P1（1，0），（Ⅱ）作P2D⊥BD，连接BP2，将y=0.5x+2与y=0.5x2﹣2x+2联立求出两函数交点坐标：D点坐标为：（5，4.5），则AD=，当D为直角顶点时∵∠DAP2=∠BAO，∠BOA=∠ADP2，∴△ABO∽△AP2D，∴=，=，解得：AP2=11.25，则OP2=11.25﹣4=7.25，故P2点坐标为（7.25，0）；（Ⅲ）当P为直角顶点时，过点D作DE⊥x轴于点E，设P3（a，0）则由Rt△OBP3∽Rt△EP3D得：，∴，∵方程无解，∴点P3不存在，∴点P的坐标为：P1（1，0）和P2（7.25，0）．点评：此题主要考查了二次函数综合应用以及求函数与坐标轴交点和相似三角形的与性质等知识，根据已知进行分类讨论得出所有结果，注意不要漏解．㈢【抛物线上的点能否构成相似三角形】例三．（2013•恩施州）如图所示，直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．把△AOB 沿y轴翻折，点A落到点C，抛物线过点B、C和D（3，0）．（1）求直线BD和抛物线的解析式．（2）若BD与抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标．（3）在抛物线上是否存在点P，使S△PBD=6？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题．分析： （1）由待定系数法求出直线BD 和抛物线的解析式；（2）首先确定△MCD 为等腰直角三角形，因为△BND 与△MCD 相似，所以△BND 也是等腰直角三角形．如答图1所示，符合条件的点N 有3个；（3）如答图2、答图3所示，解题关键是求出△PBD 面积的表达式，然后根据S △PBD =6的已知条件，列出一元二次方程求解．解答： 解：（1）∵直线l ：y=3x+3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，∴A （﹣1，0），B （0，3）；∵把△AOB 沿y 轴翻折，点A 落到点C ，∴C （1，0）．设直线BD 的解析式为：y=kx+b ，∵点B （0，3），D （3，0）在直线BD 上，∴，解得k=﹣1，b=3，∴直线BD 的解析式为：y=﹣x+3．设抛物线的解析式为：y=a （x ﹣1）（x ﹣3），∵点B （0，3）在抛物线上，∴3=a ×（﹣1）×（﹣3），解得：a=1，∴抛物线的解析式为：y=（x ﹣1）（x ﹣3）=x 2﹣4x+3．（2）抛物线的解析式为：y=x 2﹣4x+3=（x ﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，﹣1）．直线BD ：y=﹣x+3与抛物线的对称轴交于点M ，令x=2，得y=1，∴M （2，1）．设对称轴与x 轴交点为点F ，则CF=FD=MN=1，∴△MCD 为等腰直角三角形．∵以点N 、B 、D 为顶点的三角形与△MCD 相似，∴△BND 为等腰直角三角形．如答图1所示：（I ）若BD 为斜边，则易知此时直角顶点为原点O ，∴N1（0，0）；（II）若BD为直角边，B为直角顶点，则点N在x轴负半轴上，∵OB=OD=ON2=3，∴N2（﹣3，0）；（III）若BD为直角边，D为直角顶点，则点N在y轴负半轴上，∵OB=OD=ON3=3，∴N3（0，﹣3）．∴满足条件的点N坐标为：（0，0），（﹣3，0）或（0，﹣3）．（3）假设存在点P，使S△PBD=6，设点P坐标为（m，n）．（I）当点P位于直线BD上方时，如答图2所示：过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=n，DE=m﹣3．S△PBD=S梯形PEOB﹣S△BOD﹣S△PDE=（3+n）•m﹣×3×3﹣（m﹣3）•n=6，化简得：m+n=7 ①，∵P（m，n）在抛物线上，∴n=m2﹣4m+3，代入①式整理得：m2﹣3m﹣4=0，解得：m1=4，m2=﹣1，∴n1=3，n2=8，∴P1（4，3），P2（﹣1，8）；（II）当点P位于直线BD下方时，如答图3所示：过点P作PE⊥y轴于点E，则PE=m，OE=﹣n，BE=3﹣n．S△PBD=S梯形PEOD+S△BOD﹣S△PBE=（3+m）•（﹣n）+×3×3﹣（3﹣n）•m=6，化简得：m+n=﹣1 ②，∵P（m，n）在抛物线上，∴n=m2﹣4m+3，代入②式整理得：m2﹣3m+4=0，△=﹣7＜0，此方程无解．故此时点P不存在．综上所述，在抛物线上存在点P，使S△PBD=6，点P的坐标为（4，3）或（﹣1，8）．点评：本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形的判定与性质、图形面积计算、解一元二次方程等知识点，考查了数形结合、分类讨论的数学思想．第（2）（3）问均需进行分类讨论，避免漏解．三、形成训练1．（2013•湘西州）如图，已知抛物线y=﹣x 2+bx+4与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，若已知A 点的坐标为A （﹣2，0）．（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求点C 的坐标，连接AC 、BC 并求线段BC 所在直线的解析式；（3）试判断△AOC 与△COB 是否相似？并说明理由；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若不存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，利用配方法或利用公式x=求出对称轴方程；（2）在抛物线解析式中，令x=0，可求出点C坐标；令y=0，可求出点B坐标．再利用待定系数法求出直线BD的解析式；（3）根据，∠AOC=∠BOC=90°，可以判定△AOC∽△COB；（4）本问为存在型问题．若△ACQ为等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类讨论，逐一计算，避免漏解．解答：解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+4的图象经过点A（﹣2，0），∴﹣×（﹣2）2+b×（﹣2）+4=0，解得：b=，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+4，又∵y=﹣x2+x+4=﹣（x﹣3）2+，∴对称轴方程为：x=3．（2）在y=﹣x2+x+4中，令x=0，得y=4，∴C（0，4）；令y=0，即﹣x2+x+4=0，整理得x2﹣6x﹣16=0，解得：x=8或x=﹣2，∴A（﹣2，0），B（8，0）．设直线BC的解析式为y=kx+b，把B（8，0），C（0，4）的坐标分别代入解析式，得：，解得k=，b=4，∴直线BC的解析式为：y=x+4．（3）可判定△AOC∽△COB成立．理由如下：在△AOC与△COB中，∵OA=2，OC=4，OB=8，∴，又∵∠AOC=∠BOC=90°，∴△AOC∽△COB．（4）∵抛物线的对称轴方程为：x=3，可设点Q（3，t），则可求得：AC===，AQ==，CQ==．i）当AQ=CQ时，有=，25+t2=t2﹣8t+16+9，解得t=0，∴Q1（3，0）；ii）当AC=AQ时，有=，t2=﹣5，此方程无实数根，∴此时△ACQ不能构成等腰三角形；iii）当AC=CQ时，有=，整理得：t2﹣8t+5=0，解得：t=4±，∴点Q坐标为：Q2（3，4+），Q3（3，4﹣）．综上所述，存在点Q，使△ACQ为等腰三角形，点Q的坐标为：Q1（3，0），Q2（3，4+），Q3（3，4﹣）．点评： 本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形的判定、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点．难点在于第（4）问，符合条件的等腰三角形△ACQ 可能有多种情形，需要分类讨论．2 ：已知：直线112y x =+与y 轴交于A ，与x 轴交于D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 （1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）动点P 在x 轴上移动，当△P AE 是直角三角形时，求点P 的坐标．3、如图，抛物线212222y x x =-++与x 轴交于A B 、两点，与y 轴交于C 点．（1）求A B C 、、三点的坐标；（2）证明ABC △为直角三角形；（3）在抛物线上除C 点外，是否还存在另外一个点P ，使ABP △是直角三角形，若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．4、如图，已知抛物线224233y x x =-++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴与x 轴交于点D ． 点M 从O 点出发，以每秒1个单位长度的速度向B 运动，过M 作x 轴的垂线，交抛物线于点P ，交BC 于Q ．（1）求点B 和点C 的坐标；（2）设当点M 运动了x （秒）时，四边形OBPC 的面积为S ，求S 与x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围．（3）在线段BC 上是否存在点Q ，使得△DBQ成为以．BQ ．．为一腰．．．的等腰三角形？若存在， 求出点Q 的坐标，若不存在，说明理由．5、（09年成都）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y=2(1)(0)a x c a ++>与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，其顶点为M,若直线MC 的函数表达式为3y kx =-,与x 轴的交点为N ，且COS ∠BCO ＝31010。
第八讲 二次函数与几何图形的综合运用1(含答案)
第八讲 二次函数与几何图形的运用一、知识梳理二次函数与三角形的综合运用：1、求面积及最值2、与三角形的综合运用3、与相似三角形的综合运用4、与四边形的综合运用二、例题例1：如图，已知抛物线y=﹣x 2+mx+3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为（3，0）（1）求m 的值及抛物线的顶点坐标．（2）点P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当PA+PC 的值最小时，求点P 的坐标．变式 1 如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0). （1）求该抛物线的解析式；（2）动点P 在x 轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，求点P 的坐标.例2、如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（﹣1，﹣2），抛物线F：y=x2﹣2mx+m2﹣2与直线x=﹣2交于点P．（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；（2）设点P的纵坐标为y P，求y P的最小值，此时抛物线F上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小；（3）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．例3：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过B（﹣2，6），C（2，2）两点．（1）试求抛物线的解析式；（2）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；（3）若直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，求b的取值范围．例4：已知二次函数y=ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B 两点，与y轴交于点C，它的顶点为P，直线CP与过点B且垂直于x轴的直线交于点D，且CP：PD=2：3（1）求A、B两点的坐标；（2）若tan∠PDB=，求这个二次函数的关系式．例5、如图1，二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其对称轴l与x轴交于点C，它的顶点为点D．（1）写出点D的坐标．（2）点P在对称轴l上，位于点C上方，且CP=2CD，以P为顶点的二次函数y2=ax2+bx+c （a≠0）的图象过点A．①试说明二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点B；②点R在二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）的图象上，到x轴的距离为d，当点R的坐标为时，二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于2d；③如图2，已知0＜m＜2，过点M（0，m）作x轴的平行线，分别交二次函数y1=（x﹣2）（x ﹣4）、y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象于点E、F、G、H（点E、G在对称轴l左侧），过点H 作x轴的垂线，垂足为点N，交二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）的图象于点Q，若△GHN∽△EHQ，求实数m的值．三、课堂练习1、如图，在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C，F，M，过点C作DE⊥OC，分别交OA，OB于点D，E，以FM为对角线作菱形FGMH.已知∠DFE＝∠GFH＝120°，FG＝FE.设OC＝x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是 ( )A．y＝32x2 B．y＝3x2 C．y＝23x2 D．y＝33x22、已知抛物线y=2x2+bx+c与直线y=﹣1只有一个公共点，且经过A（m﹣1，n）和B（m+3，n），过点A，B分别作x轴的垂线，垂足记为M，N，则四边形AMNB的周长为．3、直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，当OA⊥OB时，直线AB 恒过一个定点，该定点坐标为．4、如图，抛物线y=ax2+bx﹣经过点A（1，0）和点B（5，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）以点A为圆心，作与直线BC相切的⊙A，请判断⊙A与y轴有怎样的位置关系，并说明理由；（3）在直线BC上方的抛物线上任取一点P，连接PB、PC，请问：△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个值和此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．5、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点坐标为（2，9），与y 轴交于点A （0，5），与x 轴交于点E 、B ． （1）求二次函数y=ax 2+bx+c 的表达式；（2）过点A 作AC 平行于x 轴，交抛物线于点C ，点P 为抛物线上的一点（点P 在AC 上方），作PD 平行与y 轴交AB 于点D ，问当点P 在何位置时，四边形APCD 的面积最大？并求出最大面积；（3）若点M 在抛物线上，点N 在其对称轴上，使得以A 、E 、N 、M 为顶点的四边形是平行四边形，且AE 为其一边，求点M 、N 的坐标．六、课后作业1、已知抛物线y=ax 2﹣3x+c （a ≠0）经过点（﹣2，4），则4a+c ﹣1= ．2、a 、b 、c 是实数，点A （a+1、b ）、B （a+2，c ）在二次函数y=x 2﹣2ax+3的图象上，则b 、c 的大小关系是b c （用“＞”或“＜”号填空）3、已知二次函数n mx x y ++=2的图像经过点()1,3-P ，对称轴是经过()0,1-且平行于y轴的直线。
二次函数与相似三角形综合题教案
O 二次函数与相似三角形综合题教学目标：教学目标：1、会求二次函数解析式；、会求二次函数解析式；2、根据条件寻找或构造相似三角形，在二次函数的综合题中利用其性质求出线段的长度，从而得出点的坐标。
度，从而得出点的坐标。
教学重点：教学重点：1、求二次函数解析式；、求二次函数解析式；2、相似三角形的判定与性质在二次函数综合题中的运用。
、相似三角形的判定与性质在二次函数综合题中的运用。
教学难点：教学难点：根据条件构造相似三角形解决问题。
根据条件构造相似三角形解决问题。
情感与态度：情感与态度：1、培养学生积极参与教学学习活动的兴趣，增强数学学习的好奇心和求知欲。
、培养学生积极参与教学学习活动的兴趣，增强数学学习的好奇心和求知欲。
2、使学生感受在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼学生克服困难的意志，建立自信心。
信心。
3、培养学生科学探索的精神。
、培养学生科学探索的精神。
教学过程：教学过程：一、复习巩固一、复习巩固如图，抛物线y=ax 2+b x －2与x 轴交于点A （－（－11，0），B （m ，0）两点，与y 轴交于C 点，且∠点，且∠ACB=90ACB=90ACB=90°，求抛物线的解析式°，求抛物线的解析式°，求抛物线的解析式. .分析：OC 2=OA·=OA·OB OB ∴4=1×4=1×m m ，m=4 ∴B （4，0）设抛物线解析式为y=a(x+1)(x －4) 代入C 点（0，－2） ∴抛物线解析式为213222y x x =--. 二、新授二、新授例题、如图，直线y =－x+3与x 轴、y 轴分别相交于B 、C ，经过B 、C 两点的抛物线y=ax 2+bx+c与x 轴另一交点为A ，顶点为P ，且对称轴是直线x=2x=2，，（1）求抛物线解析式；）求抛物线解析式；（2）连结AC AC，请问在，请问在x 轴上是否存在点Q ，使得以点P 、B 、Q 为顶点的三角形与△为顶点的三角形与△ACB ACB 相似，若存在，请求出Q 点坐标；若不存在，说明理由点坐标；若不存在，说明理由. .（3）D 点为第四象限的抛物线上一点，过点D 作DE ⊥x 轴，交CB 于E ，垂足于H ，过D 作DF ⊥CB ，垂足为F ，交x 轴于G ，试问是否存在这样的点D ，使得△DEF 的周长恰好被x 轴平分？若能，请求出D 点坐标；若不能，请说明理由. [解] （1） 直线3y x =-+与x 轴相交于点B ， \当0y =时，3x =，\点B 的坐标为(30)，． 又 抛物线过x 轴上的A B ，两点，且对称轴为2x =，根据抛物线的对称性，根据抛物线的对称性， \点A 的坐标为(10)，． 3y x =-+ 过点C ，易知(03)C ，，3c \=．又 抛物线2y ax bx c =++过点(10)(30)A B ，，，， ∴(1)(3)y a x x =--，经过C 点(0,3)243y x x \=-+． （2）连结PB ，由2243(2)1y x x x =-+=--，得(21)P -，，设抛物线的对称轴交x 轴于点M ，在Rt PBM △中，1PM MB ==，452PBM PB \== ，∠． 由点(30)(03)B C ，，，易得3OB OC ==，在等腰直角三角形OBC 中，中，45ABC = ∠，由勾股定理，得32BC =．假设在x 轴上存在点Q ，使得以点P B Q ，，为顶点的三角形与ABC △相似．相似． ①当BQ PB BC AB=，45PBQ ABC == ∠∠时，PBQ ABC △∽△． 即2232BQ=，3BQ \=， 又3BO = ，\点Q 与点O 重合，1Q \的坐标是(00)，．②当QB PB AB BC=，45QBP ABC == ∠∠时，QBP ABC △∽△． 即2232QB=，23QB \=． A B C P O xy2x =21P 273333OB OQ OB QB =\=-=-= ，， 2Q \的坐标是703æöç÷èø，． 180********PBx BAC PBx BAC =-=<\¹ ，，∠∠∠∠．\点Q 不可能在B 点右侧的x 轴上．轴上．综上所述，在x 轴上存在两点127(00)03Q Q æöç÷èø，，，，能使得以点P B Q ，，为顶点的三角形与ABC △相似．相似．（3）设D （a ，a 2－4a+34a+3）），则E （a ，－a+3） △DFE ∽△BOC ∴DE ：BC=L △DEF ：L △BOC ∴2332a a -+=632DFE L D + ∴L △DEF =(21+)×(－a 2+3a) ∴DH+DG=12DFE L D = (21)DH += 2(21)(43)a a +-+- = 12(21+)×(－a 2+3a) ∴243a a -+-=21(3)2a a -+ ∴a 1=2，a 2=3(舍) ∴D （2，－1）应用变式：应用变式：1、在此抛物线上是否存在P 点？使得∠1+∠2=45°，若存在，请求出P 点坐标；若不存在，请说明理由. 分析：分析：（1）延长CP 与x 轴交于E 点，∠1+∠2=45°=∠ABC=∠E+∠2 ∴∠1=∠E ，E E N 的坐标为（113，169）的坐标为（,39）2x -（,24）。
中考数学二次函数复习类型六相似三角形问题课件
62 ∴OM＝23， ∴点 M 的坐标为(0，23)或(0，－23)；
M1 M2 例题图①
类型六 类似三角形问题 (2)点 N 是 y 轴上一点，若△AON∽△CAN，求点 N 的坐标；
例题图②
【思维教练】要证△AON∽△CAN，已知∠ANO＝∠CNA，∴点 N 在 y 轴负半轴，此时∠NAO＝∠ACO，根据相似三角形的对应边成比例即可 求解；
相似，则分∠QCG＝∠ACO 和∠QCG＝∠CAO 两种情况讨论． (5)存在．如解图，过点 Q 作 QH⊥x 轴交 BC 于点 H，
则△QGH 是等腰直角三角形，
由 B(6，0)，C(0，6)易知直线 BC 的解析式为 y＝－x＋6，
Q
设 Q(n，－1n2＋2n＋6)，则 H(n，－n＋6)(0＜n＜6)， 2
例题图③
类型六 类似三角形问题
(3)存在，
由点 A、B、C 的坐标知，AB＝8，BC＝6 2.
∵∠CBA＝∠DCB，
要使以 B，C，D 为顶点的三角形与△ABC 相似，
∴分∠BAC＝∠CDB 和∠BAC＝∠CBD 两种情况：
①当∠BAC＝∠CDB
时， A B ＝B C，即 CD CB
CD＝AB＝8，
第 1 题图
类型六 类似三角形问题
(3)存在，符合条件的点 P 的坐标为(68，34)或(6＋2 41，3＋ 41)．
99
5
5
理由：在△ABC 中，AB＝5，AC＝ 5，BC＝2 5，
∴AB2＝AC2＋BC2，
∴△ABC 为直角三角形．
∵△PQB∽△CAB，
∴PPQB ＝CCAB＝12.
第 1 题图
P E
第2题图
二次函数与相似三角形之间的综合题.doc
二次函数与相似三角形之间的综合题型教学设计田敏（一）二次函数综合——二次函数与相似三角形存在问题适用学科数学适用年级初三适用区域人教版课时时长（分钟）40知识点.二次函数综合与三角形相似的综合教学目标 1. 熟练运用所学知识解决二次函数综合问题2．灵活运用数形结合思想教学重点巧妙运用数形结合思想解决综合问题教学难点灵活运用技巧及方法解决综合问题教材分析：1、二次函数是初中数学新人教版二十二章的内容，是一种常见的函数，应用非常广泛，它是客观地反映现实世界中变量之间的数量关系和变化规律的一种非常重要的数学模型。
也是中考的必考内容之一，中考分值已超过了10% 。
所以在初中数学中占着重要的地位。
学情分析：2、二次函数与几何图形的综合也是这几年中考的热点题型。
应用信息技术解决重点难点的地方：本节课主要体现二次函数的与相似三角形的综合性试题。
重在思考线路。
3、学习二次函数，对学生进入高中后进一步学习函数的一般性质起着承上启下的作用。
同时也是学习物理等其他学科的重要工具。
教学过程一、复习预习1.二次函数的基础知识2.勾股定理3.相似三角形的性质二、知识梳理考点1 二次函数的基础知识1.一般地，如果y=ax 2+bx+c （a，b，c 是常数且a≠0），那么y 叫做x 的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．当b=c=0 时，二次函数y=ax 2 是最简单的二次函数．2.二次函数y=ax 2+bx+c （a，b，c 是常数，a≠0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax 2+bx+c ，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a （x－h）2+k ，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a （x－x1）（x－x2），通常要知道图像与x 轴的两个交点坐标x1，x2才能求出此解析式；对于y=ax 2+bx+c 而言，其顶点坐标为（－b2a24ac b，4a）．对于y=a（x－h）2+k 而言其顶点坐标为（h，k），?由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点．考点2 勾股定理及逆定理1.定理：直角三角形两直角边a，b 的平方和等于斜边 c 的平方。
二次函数综合(动点)问题——相似三角形存在问题培优教案(横版)
考点/易错点2
相似三角形的性质： (1)相似三角形的对应角相等。 (2)相似三角形的对应边成比例。 (3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 (4)相似三角形的周长比等于相似比。 (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
考点/易错点 3 相似三角形模型探究与解题技巧： 1、课堂导入题解 如图，在平面直角坐标系中有两点 A（4，0）、B（0，2），如果点 C 在 x 轴上（C 与 A 不重合），当 点 C 的坐标为_________________时，使得由点 B、O、C 组成的三角形与△AOB 相似（至少找出两个满 足条件的点的坐标）．
解：∵点 C 在 x 轴上，∴点 C 的纵坐标是 0，且当∠BOC=90°时，由点 B、O、C 组成的三角形与△AOB 相似，即∠BOC 应该与∠BOA=90°对应，
①当△AOB∽△COB，即 OC 与 OA 相对应时，则 OC=OA=4，C（-4，0）； ②当△AOB∽△BOC，即 OC 与 OB 对应，则 OC=1，C（-1，0）或者（1，0）． 故答案可以是：（-1，0）；（1，0）． 解析：分类讨论：①当△AOB∽△COB 时，求点 C 的坐标；②当△AOB∽△BOC 时，求点 C 的坐标； 如果非直角三角形也要分类讨论，对应边不一样就得到不同的结果。
图象
开口 对称轴 顶点坐标 最值
a＞0
a＜0
当 x＝
时，y 有最
当 x＝ 值是
是
时，y 有最 值
增 在对称轴左侧 y 随 x 的增大而
减 在对称轴右侧 y 随 x 的增大而
性
y 随 x 的增大而 y 随 x 的增大而
（二）梯形的性质：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形； 直角梯形的性质：有两个角是直角的梯形； 等腰梯形：两底角相等，两顶角相等，两腰相等，对角线相等的梯形。
二次函数中相似三角形的存在性问题--教师版
二次函数中相似三角形的存在性问题班级：_______ 姓名：______ 专题攻略相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验．应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等． 应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．例题解析例❶ 如图1-1，抛物线213482y x x =-+与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点左侧），与y 轴交于点C ．动直线EF （EF //x 轴）从点C 开始，以每秒1个单位的速度沿y 轴负方向平移，且分别交y 轴、线段BC 于E 、F 两点，动点P 同时从点B 出发，在线段OB 上以每秒2个单位的速度向原点O 运动．是否存在t ，使得△BPF 与△ABC 相似．若存在，试求出t 的值；若不存在，请说明理由．图1-1【解析】△BPF 与△ABC 有公共角∠B ，那么我们梳理两个三角形中夹∠B 的两条边．△ABC 是确定的．由213482y x x =-+，可得A (4, 0)、B (8, 0)、C (0, 4)．于是得到BA ＝4，BC ＝12CE CO EF OB ==． △BPF 中，BP ＝2t ，那么BF 的长用含t 的式子表示出来，问题就解决了．在Rt △EFC 中，CE ＝t ，EF ＝2t ，所以CF =．因此)BF t ==-．于是根据两边对应成比例，分两种情况列方程： ①当BA BPBC BF ==43t =（如图1-2）．②当BA BFBC BP ==207t =（如图1-3）．图1-2 图1-3 例❷ 如图2-1，在平面直角坐标系中，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°．（1）求这条抛物线的解析式；（2）连结OM ，求∠AOM 的大小；（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．图2-1【解析】△ABC 与△AOM 中相等的一组角在哪里呢？本题由简到难，层层深入．第（1）题求出抛物线的解析式，得到顶点M 的坐标，为第（2）题求∠AOM 的大小作铺垫；求得了∠AOM 的大小，第（3）题暗示了要在△ABC 中寻找与∠AOM 相等的角．（1）如图2-2，过点A 作AH ⊥y 轴，垂足为H ．容易得到A (-．再由A (-、B (2,0)两点，可求得抛物线的解析式为2y x =-．（2）由221)y x x x ==--M (1,．所以tan 3BOM ∠=．所以∠BOM ＝30°．所以∠AOM ＝150°．图2-2（3）由A (-、B (2,0)，可得∠ABO ＝30°．因此当点C 在点B 右侧时，∠ABC ＝∠AOM ＝150°．所以△ABC 与△AOM 相似，存在两种情况：①当BA OABC OM ==2BC ===．此时C (4,0)（如图2-3）．②当BC OA BA OM ==6BC ===．此时C (8,0)（如图2-4）．图2-3 图2-4例❸ 如图3-1，抛物线y ＝ax 2＋bx －3与x 轴交于A (1, 0)、B (3, 0)两点，与y 轴交于点D ，顶点为C ．（1）求此抛物线的解析式；（2）在x 轴下方的抛物线上是否存在点M ，过M 作MN ⊥x 轴于点N ，使以A 、M 、N 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图3-1【解析】△AMN 是直角三角形，因此必须先证明△BCD 是直角三角形．一般情况下，根据直角边对应成比例分两种情况列方程．（1）抛物线的解析式为y ＝－x 2＋4x －3．（2）由y ＝－x 2＋4x －3＝－(x －2)2＋1，得D (0,－3)，C (2, 1)．如图3-2，由B (3, 0)、D (0,－3)、C (2, 1)，可知∠CBO ＝45°，∠DBO ＝45°．所以∠CBD ＝90°，且13BC BD ==．图3-2 图3-3 图3-4设点M 、N 的横坐标为x ，那么NM ＝－y M ，而NA 的长要分N 在A 的右边或左边两种情况，因此列方程要“两次分类”：当N 在A 右侧时，NA ＝x －1，分两种情况列方程： ①当3NA BD NM BC ==时，13(1)(3)x x x -=--．解得103x =．此时M 107(,)39-（如图3-3）． ②当13NA BC NM BD ==时，11(1)(3)3x x x -=--．解得x ＝6．此时M (6,－15)（如图3-5）． 当N 在A 左侧时，NA ＝1－x ，也要分两种情况列方程： ①当3NA BD NM BC ==时，13(1)(3)x x x -=--．解得83x =＞1，不符合题意（如图3-4）． ②当13NA BC NM BD ==时，11(1)(3)3x x x -=--．解得x ＝0，此时M (0,－3)（如图3-6）．图3-5 图3-6例❹ 如图4-1，在平面直角坐标系中，A (8,0)，B (0,6)，点C 在x 轴上，BC 平分∠OBA ．点P 在直线AB 上，直线CP 与y 轴交于点F ，如果△ACP 与△BPF 相似，求直线CP 的解析式．图4-1【解析】首先求得点C (3,0)．△ACP 与△BPF 中，相等的角在哪里啊？①如图4-2，当点P 在线段AB 上时，△ACP 与△BPF 中，∠APC 与∠BPF 是邻补角，如果这两个邻补角一个是锐角，一个是钝角，两个三角形怎么可能相似呢？因此CP 与AB 是垂直的．可以求得F (0,－4)，于是直线CF (CP )为443y x =-． ②如图4-3，当点P 在AB 的延长线上时，△ACP 与△BPF 有公共角∠P ．于是∠OFC＝∠PFB ＝∠A ，可以求得F (0, 4)，因此直线CF (CP )为443y x =-+． ③如图4-4，当点P 在BA 的延长线上时，∠B 与∠PCA 不可能相等．在△AOB 中，根据大边对大角，∠B ＞∠BAO ；∠BAO 又是△PCA 的一个外角，∠BAO ＞∠PCA ．图4-2 图4-3 图4-4例❺ 如图5-1，二次函数y ＝x 2＋3x 的图象经过点A (1,a )，线段AD 平行于x 轴，交抛物线于点D ．在y 轴上取一点C (0, 2)，直线AC 交抛物线于点B ，连结OA 、OB 、OD 、BD ．求坐标平面内使△EOD ∽△AOB 的点E 的坐标；图5-1【解法一】点A 、D 、B 都是确定的，可以求得A (1, 4)，D (－4, 4)，B (－2,－2)．所以AO =BO =，AB =，DO =．△EOD ∽△AOB ，对应边已经确定，因此我们可以根据判定定理3列方程． 由EO OD DE AO OB BA ====EO =，DE = 设点E 的坐标为(x , y )，根据EO 2＝68，DE 2＝180，列方程组222268,(4)(4)180.x y x y ⎧+=⎪⎨++-=⎪⎩解得118,2,x y =⎧⎨=-⎩ 222,8,x y =⎧⎨=-⎩ 所以点E 的坐标为(8,－2)或(－2, 8)．上面的解题过程是“盲解”，我们并不明白两个三角形的位置关系．【解法二】如图5-2，△AOB 是确定的，△AOB 与△EOD 有公共点O ，OB ∶OD ＝1∶2，∠BOD ＝90°．如果△EOD ∽△AOB ，我们可以把△AOB 绕着点O 顺时针旋转，使得点B ′落在OD 上，此时旋转角为90°，点B ′恰好落在OD 的中点．按照这个运动规则，点A (1, 4) 绕着点O 顺时针旋转90°，得到点A ′(4,－1)，点A ′是线段OE 的中点，因此点E 的坐标为(8,－2)．如图5-3，点E(8,－2)关于直线OD（即直线y＝－x）对称的点为E′(2,－8)．图5-2 图5-3。
专题07 二次函数背景下的三角形相似(全等)(解析版)
备战2019年中考数学压轴题之二次函数专题07 二次函数背景下的三角形相似（全等）【方法综述】三角形全等是三角形相似的特殊情况。
三角形的全等和相似是综合题中的常见要素，解答时注意应用全等三角形和相似的判定方法。
另外，注意题目中“”与全等表述、“”和相似表述的区别。
全等和相似的符号，标志着三角形全等（相似）的对应点的一、一对应关系。
解答时，对于确定的对应边角可以直接利用于解题。
而全等、相似的语言表述，标志着对应点之间的组合关系，解答时，要进行对应边的分类讨论。
【典例示范】类型一例1：（陕西省渭南市大荔县中考数学三模试题）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为，抛物线的顶点为P．求b的值，并求出点P、B的坐标；在x轴下方的抛物线上是否存在点M，使≌？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，试说明理由．【答案】存在，【解析】抛物线经过，，解得：，抛物线的表达式为．，点P的坐标为令得：，解得或，的坐标为．存在，点如图：过点P作轴，垂足为C，连接AP、BP，作的平分线，交PB与点N，交抛物线与点M，连接PM、BM．，，，，，，是等边三角形，，．，，．在和中，，≌．存在这样的点M，使得≌．，，点N是PB的中点，设直线AM的解析式为，将点A和点N的坐标代入得：，解得：，直线AM的解析式为．将代入抛物线的解析式得：，解得：或舍去，当时，，点M的坐标为针对训练1．（2018年九年级数学北师大版下册：第二章检测卷）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为(－2，0)，(6，－8)．(1)求抛物线的解析式，并分别求出点B和点E的坐标；(2)试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE.若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1) y＝12x2－3x－8；（2）点F的坐标为(3＋17，－4)或(3－17，－4)．【解析】（1）∵抛物线y=ax2+bx-8经过点A（-2，0），D（6，-8），∴4280 {36688a ba b--+--＝＝解得1 {23 ab-＝＝∴抛物线的函数表达式为y＝12x2−3x−8；∵y＝12x2−3x−8＝12(x −3)2−252，∴抛物线的对称轴为直线x=3．又抛物线与x轴交于A，B两点，点A 的坐标为（-2，0）．∴点B的坐标为（8，0），设直线L的函数表达式为y=kx．∵点D（6，-8）在直线L上，∴6k=-8，解得k=-43，∴直线L的函数表达式为y=-43x，∵点E为直线L和抛物线对称轴的交点，∴点E的横坐标为3，纵坐标为-43×3=-4，∴点E的坐标为（3，-4）；（2）抛物线上存在点F，使△FOE≌△FCE．∵OE=CE=5，∴FO=FC，∴点F在OC的垂直平分线上，此时点F的纵坐标为-4，∴12x2-3x-8=-4，解得x=3±17，∴点F的坐标为（3-17，-4）或（3+17，-4）．2．（河南省濮阳市2018届九年级中考数学二模试题）如图，一次函数与坐标轴分别交于A，B两点，抛物线经过点A，B，点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线BA运动，点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AO运动，两点同时出发，运动时间为t秒．求此抛物线的表达式；求当为等腰三角形时，所有满足条件的t的值；点P在线段AB上运动，请直接写出t为何值时，的面积达到最大？此时，在抛物线上是否存在一点T，使得≌？若存在，请直接写出点T的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；（2）当为等腰三角形时，t的值为、或或4；（3）点T的坐标为．【解析】把代入中，得．把代入中，得．，把，分别代入中，得，，抛物线的表达式为，，由勾股定理，得，．运动t秒后，，．为等腰三角形，有，，三种情况，当时，过点Q作于点D．在中，，，．解得；当时，若点P在x轴上方的直线AB上，，，，解得；若点P在x轴下方的直线AB上，，，解得：；当时，过点P作于点E．则，在中，，．解得：综上所述，当为等腰三角形时，t的值为、或或4．过点P作于点F，延长FP交抛物线与点T．为底边AQ上的高．，，．．当时，的面积最大此时点P为AB的中点，且．连接OP，则，点，点T的横坐标为，将代入抛物线的解析式得：．．在中，由勾股定理可知：，．≌．点T的坐标为．类型二全等三角形的存在性探究例2．（四川省眉山市洪雅县2018届九年级中考适应性考）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点分别为A（﹣6，0）和点B（4，0），与y轴的交点为C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是线段OA上一动点（不与点A重合），过P作平行于y轴的直线与AC交于点Q，点D、M在线段AB上，点N在线段AC上．①是否同时存在点D和点P，使得△APQ和△CDO全等，若存在，求点D的坐标，若不存在，请说明理由；②若∠DCB=∠CDB，CD是MN的垂直平分线，求点M的坐标．【答案】（1）y=﹣x2﹣x+3；（2）①点D坐标为（﹣，0）；②点M（，0）.【解析】（1）将点（-6，0），C（0，3），B（4，0）代入y=ax2+bx+c，得，解得：，∴抛物线解析式为：y=-x2-x+3；（2）①存在点D，使得△APQ和△CDO全等，当D在线段OA上，∠QAP=∠DCO，AP=OC=3时，△APQ和△CDO全等，∴tan∠QAP=tan∠DCO，，∴，∴OD=，∴点D坐标为（-，0）.由对称性，当点D坐标为（，0）时，由点B坐标为（4，0），此时点D（，0）在线段OB上满足条件．②∵OC=3，OB=4，∴BC=5，∵∠DCB=∠CDB，∴BD=BC=5，∴OD=BD-OB=1，则点D坐标为（-1，0）且AD=BD=5，连DN，CM，则DN=DM，∠NDC=∠MDC，∴∠NDC=∠DCB，∴DN∥BC，∴，则点N为AC中点．∴DN时△ABC的中位线，∵DN=DM=BC=，∴OM=DM-OD=∴点M（，0）针对训练1．如图，在平面直角坐标系中，以点M（2，0）为圆心的⊙M与y轴相切于原点O，过点B（﹣2，0）作⊙M的切线，切点为C，抛物线经过点B和点M．（1）求这条抛物线解析式；（2）求点C的坐标，并判断点C是否在（1）中抛物线上；（3）动点P从原点O出发，沿y轴负半轴以每秒1个单位长的速度向下运动，当运动t秒时到达点Q处．此时△BOQ与△MCB 全等，求t的值．【答案】（1）y＝﹣x2+；（2）点C在（1）的抛物线上；（3）t＝2．【解析】（1）将点M（2，0）、B（﹣2，0）代入y x2+bx+c中，得：解得：∴抛物线的解析式：y x2．（2）连接MC，则MC⊥BC；过点C作CD⊥x轴于D，如图，在Rt△BCM中，CD⊥BM，CM＝2，BM＝4，则：DM1，CD，OD＝OM﹣DM＝1，∴C（1，）．当x＝1时，y x2，所以点C在（1）的抛物线上．（3）△BCM和△BOQ中，OB＝CM＝2，∠BOQ＝∠BCM＝90°，若两三角形全等，则：OQ＝BC，∴当t＝2时，△MCB和△BOQ全等．2．（广西田阳县实验中学2019届九年级中考一）如图所示，抛物线（m＞0）的顶点为A，直线与轴的交点为点B.（1）求出抛物线的对称轴及顶点A的坐标（用含的代数式表示）；（2）证明点A在直线上，并求∠OAB的度数；（3）动点Q在抛物线对称轴上，问：抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、A为顶点的三角形与△OAB全等？若存在，求出的值，并写出所有符合上述条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）抛物线的对称轴为直线，顶点A的坐标为（，0）；（2）∠OAB=30°；（3）存在，①=时，P（0，-），P（，-）；②=时，P（，-3），P（3+，-3）；③=2时，P（，-3），P（，-3）；④=时，P（，-），P（，-）.【解析】（1）对称轴：x=m；顶点：A（m，0）．（2）将x=m代入函数y=x-m，得y=×m-m=0∴点A（m，0）在直线l上．当x=0时，y=-m，∴B（0，-m）tan∠OAB=，∴∠OAB=30度．（3）以点P、Q、A为顶点的三角形与△OAB全等共有以下四种情况：①当∠AQP=90°，PQ=m，AQ=m时，如图1，此时点P在y轴上，与点B重合，其坐标为（0，-m），代入抛物线y=-（x-m）2得-m=-3m2，∵m＞0，∴m=这时有P1（0，-）其关于对称轴的对称点P2（，- ）也满足条件．②当∠AQP=90°，PQ=m，AQ=m时点P坐标为（m-m，-m），代入抛物线y=-（x-m）2得m=m2，∵m＞0，∴m=这时有P3（3-，-3）还有关于对称轴的对称点P4（3+，-3）．③当∠APQ=90°，AP=m，PQ=m时点P坐标为（m，−m），代入抛物线y=-（x-m）2得m=m2，∵m＞0，∴m=2这时有P5（，-3）还有关于对称轴的对称点P6（3，-3）．④当∠APQ=90°，AP=m，PQ=m时点P坐标为（m，−m），代入抛物线y=-（x-m）2得m=m2，∵m＞0，∴m=这时有P7（，-）还有关于对称轴对称的点P8（，-）．所以当m=时，有点P1（0，-），P2（，-）；当m=时，有点P3（3-，-3），P4（3+，-3）；当m=2时，有点P5（，-3），P6（3，-3）；当m=时，有点P7（，-），P8（，-）．3．如图1，抛物线y1=ax2﹣x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，），抛物线y1的顶点为G，GM⊥x 轴于点M．将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y2．（1）求抛物线y2的解析式；（2）如图2，在直线l上是否存在点T，使△TAC是等腰三角形？若存在，请求出所有点T的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P为抛物线y1上一动点，过点P作y轴的平行线交抛物线y2于点Q，点Q关于直线l的对称点为R，若以P，Q，R 为顶点的三角形与△AMG全等，求直线PR的解析式．【答案】（1）y2=-x2+x-；（2）存在；（3）y=﹣x+或y=﹣.【解析】（1）由已知，c=，将B（1，0）代入，得：a﹣=0，解得a=﹣，抛物线解析式为y1=x2-x+，∵抛物线y1平移后得到y2，且顶点为B（1，0），∴y2=﹣（x﹣1）2，即y2=-x2+x-；（2）存在，如图1：抛物线y2的对称轴l为x=1，设T（1，t），已知A（﹣3，0），C（0，），过点T作TE⊥y轴于E，则TC2=TE2+CE2=12+（）2=t2﹣t+，TA2=TB2+AB2=（1+3）2+t2=t2+16，AC2=，当TC=AC时，t2﹣t+=，解得：t1=，t2=；当TA=AC时，t2+16=，无解；当TA=TC时，t2﹣t+=t2+16，解得t3=﹣；当点T坐标分别为（1，），（1，），（1，﹣）时，△TAC为等腰三角形；（3）如图2：设P（m，），则Q（m，），∵Q、R关于x=1对称∴R（2﹣m，），①当点P在直线l左侧时，PQ=1﹣m，QR=2﹣2m，∵△PQR与△AMG全等，∴当PQ=GM且QR=AM时，m=0，∴P（0，），即点P、C重合，∴R（2，﹣），由此求直线PR解析式为y=﹣x+，当PQ=AM且QR=GM时，无解；②当点P在直线l右侧时，同理：PQ=m﹣1，QR=2m﹣2，则P（2，﹣），R（0，﹣），PQ解析式为：y=﹣；∴PR解析式为：y=﹣x+或y=﹣.类型三确定的相似三角形条件的判定应用例3：（重庆市九龙坡区西彭三中2019届九年级（上)期末）如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，交直线BD于点M．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）点P在线段AB上运动的过程中，是否存在点Q，使得△BOD∽△QBM？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）已知点F（0，），点P在x轴上运动，试求当m为何值时以D、M、Q、F为顶点的四边形是平行四边形．【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）存在，点Q的坐标为（3，2）；（3）m＝﹣1或m＝3或m＝1+或1﹣时，四边形DMQF是平行四边形．【解析】（1）由抛物线过点A（﹣1，0）、B（4，0）可设解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），将点C（0，2）代入，得：﹣4a＝2，解得：a＝﹣，则抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣4）＝﹣x2+x+2；（2）如图所示：∵当△BOD∽△QBM时，则，∵∠MBQ＝90°，∴∠MBP+∠PBQ＝90°，∵∠MPB＝∠BPQ＝90°，∴∠MBP+∠BMP＝90°，∴∠BMP＝∠PBQ，∴△MBQ∽△BPQ，∴，∴，解得：m1＝3、m2＝4，当m＝4时，点P、Q、M均与点B重合，不能构成三角形，舍去，∴m＝3，点Q的坐标为（3，2）；（3）由题意知点D坐标为（0，﹣2），设直线BD解析式为y＝kx+b，将B（4，0）、D（0，﹣2）代入，得：，解得：，∴直线BD解析式为y＝x﹣2，∵QM⊥x轴，P（m，0），∴Q（m，﹣m2+m+2）、M（m，m﹣2），则QM＝﹣m2+m+2﹣（m﹣2）＝﹣m2+m+4，∵F（0，）、D（0，﹣2），∴DF＝，∵QM∥DF，∴当|﹣m2+m+4|＝时，四边形DMQF是平行四边形，解得：m＝﹣1或m＝3或m＝1+或1﹣即m＝﹣1或m＝3或m＝1+或1﹣时，四边形DMQF是平行四边形．针对训练1．（湖南省长沙一中2018届九年级（下)段考）如图1，一次函数y＝﹣x+3的图象交x轴于点A，交y轴于点D，抛物线y ＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C，其图象过A、D两点，并与x轴交于另一个点B（B点在A点左侧），若；（1）求此抛物线的解析式；（2）连结AC、BD，问在x轴上是否存在一个动点Q，使A、C、Q三点构成的三角形与△ABD相似．如果存在，求出Q 点坐标；如果不存在，请说明理由．（3）如图2，若点P是抛物线上一动点，且在直线AD下方，（点P不与点A、点D重合），过点P作y轴的平行线l与直线AD交于点M，点N在直线AD上，且满足△MPN∽△ABD，求△MPN面积的最大值．【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）见解析;（3）△MPN的面积的最大值为:．【解析】（1）当x＝0时，y＝﹣x+3＝3，则D（3，0）；当y＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝3，则A（3，0），∵OD＝OA，∴△OAD为等腰直角三角形，∴AD＝3，∵，∴AB＝2，∴B（1，0），设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），把D（0，3）代入得a•（﹣1）•（﹣3）＝3，解得a＝1，∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）（x﹣3），即y＝x2﹣4x+3；（2）作CH⊥x轴，如图1，∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴C（2，﹣1）∴AH＝CH＝1，∴△ACH为等腰直角三角形，∴∠CAH＝45°，AC＝，∵△OAD为等腰直角三角形，∴∠DAO＝45°，∵∠CAQ＝∠DAB，∴当时，△AQC∽△ADB，即，解得AQ＝3，此时Q（0，0）；当时，△AQC∽△ABD，即，解得AQ＝，此时Q（，0）；综上所述，Q点的坐标为（0，0）或（，0）；（3）作PE⊥AD于E，如图2，∵△MPN∽△ABD，∴，∴MN＝MP，设P（x，x2﹣4x+3），则M（x，﹣x+3），∴MP＝﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）2+，当x＝时，MP有最大值，∴MN的最大值为＝，∵∠PME＝45°，∴PE＝PM，∴PE的最大值为×＝，∴△MPN的面积的最大值为××＝．2．（浙江省嘉兴市海宁新仓中学2019届九年级上学期数学第一次月考）如图，抛物线y=ax2+bx+c过原点O、点A （2，﹣4）、点B （3，﹣3），与x轴交于点C，直线AB交x轴于点D，交y轴于点E．（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标；（2）直线AF⊥x轴，垂足为点F，AF上取一点G，使△GBA∽△AOD，求此时点G的坐标；（3）过直线AF左侧的抛物线上点M作直线AB的垂线，垂足为点N，若∠BMN=∠OAF，求直线BM的函数表达式．【答案】（1）y=x2-4x；（2，-4）；（2）G（2，）；（3）y=或y=-3x+6．【解析】（1）解：将原点O（0,0）、点A （2，﹣4）、点B （3，﹣3），分别代入y=ax2+bx+c，得，解得，∴y=x2-4x= ，∴顶点为（2，-4）.（2）解：设直线AB为y=kx+b，由点A（2，-4），B（3，-3），得解得，∴直线AB为y=x-6.当y=0时，x=6，∴点D（6，0）.∵点A（2，-4），D（6,0），B（3，-3），∴OA= ，OD=6，AD= ，AF=4，OF=2，DF=4，AB= ，∴DF=AF，又∵AF⊥x轴，∴∠AD0=∠DAF=45°，∵△GBA∽△AOD，∴，∴，解得，∴FG=AF-AG=4- ，∴点G（2，）.（3）解：如图1，∵∠BMN=∠OAF，，∴∠MBN=∠AOF，设直线BM与AF交于点H，∵∠ABH=∠AOD，∠HAB=∠ADO，∴∴，则，解得AH= ，∴H（2，）.设直线BM为y=kx+b，∵将点B、G的坐标代入得，解得．∴直线BM的解析式为y= ；如图2，BD=AD-AB= ．∵∠BMN=∠OAF，∠GDB=∠ODA，∴△HBD∽△AOD．∴，即，解得DH=4．∴点H的坐标为（2，0）．设直线BM的解析式为y=kx+b．∵将点B和点G的坐标代入得：，解得k=-3，b=6．∴直线BM的解析式为y=-3x+6．综上所述，直线MB的解析式为y= 或y=-3x+6．3．（江西省景德镇市2018届九年级第二次质检）如果一条抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，［a，b，c］称为“抛物线系数”．（1）任意抛物线都有“抛物线三角形”是______（填“真”或“假”）命题；（2）若一条抛物线系数为［1，0，－2］，则其“抛物线三角形”的面积为________；（3）若一条抛物线系数为［－1，2b，0］，其“抛物线三角形”是个直角三角形，求该抛物线的解析式；（4）在（3）的前提下，该抛物线的顶点为A，与x轴交于O，B两点，在抛物线上是否存在一点P，过P作PQ⊥x轴于点Q，使得△BPQ∽△OAB，如果存在，求出P点坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）假；（2）；（3）y＝－x2＋2x 或y＝－x2－2x；（4）P（1，1）或P（－1，－3）或P（1，－3）或（－1，1）．【解析】（1）当△＞0时，抛物线与x轴有两个交点，此时抛物线才有“抛物线三角形”，故此命题为假命题；（2）由题意得：，令y=0，得：x=，∴S==；（3）依题意：y＝－x2＋2bx，它与x轴交于点（0，0）和（2b，0）；当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形．∵y＝－x2＋2bx=，∴顶点为（b，b2），由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到：，∴，解得：b＝0（舍去）或b＝±1，∴y＝－x2＋2x 或y＝－x2－2x．（4）①当抛物线为y＝－x2＋2x 时．∵△AOB为等腰直角三角形，且△BPQ∽△OAB，∴△BPQ为等腰直角三角形，设P（a，－a2＋2a），∴Q（（a，0），则｜－a2＋2a｜＝｜2－a｜，即．∵a－2≠0，∴，∴a=±1，∴P（1，1）或（－1，－3）．②当抛物线为y＝－x2－2x 时．∵△AOB为等腰直角三角形，且△BPQ∽△OAB，∴△BPQ为等腰直角三角形，设P（a，－a2－2a），∴Q（（a，0），则｜－a2－2a｜＝｜2+a｜，即．∵a+2≠0，∴，∴a=±1，∴P（1，－3，）或（－1，1）．综上所述：P（1，1）或P（－1，－3）或P（1，－3，）或（－1，1）．类型四相似三角形存在性探究例4. （江苏省苏州市张家港市）如图，直线与轴交于点，与轴交于点,抛物线经过点.(1)求抛物线的解析式，(2)已知点是抛物线上的一个动点，并且点在第二象限内，过动点作轴于点，交线段于点.①如图1，过作轴于点，交抛物线于两点(点位于点的左侧)，连接，当线段的长度最短时，求点的坐标，②如图2，连接，若以为顶点的三角形与相似，求的面积.【答案】(1) ；(2) ①点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为；②【解析】(1)把代入得，由，得，(2) ①由题意可知，四边形是矩形，所以.由(1)可知，当时，最短，即最短，此时点是的中点，所以，，点的坐标为，将代入得，，点的坐标为，将代入得，，解得，，点的坐标为，点的坐标为②当时(如图2)，则、关于抛物线的对称轴对称，的坐标为，点的坐标为，，当时(如图3)，则是等腰直角三角形，，过点作于点，设点的坐标为，，，，解得，.针对训练1．（贵州黔东南州锦屏县敦寨中学2018-2019学年度九年级（上)期末数学试卷）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝-x+2分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B．点P是x轴上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线分别交抛物线和直线AB于点E和点F．设点P的横坐标为m．（1）点A的坐标为．（2）求这条抛物线所对应的函数表达式．（3）点P在线段OA上时，若以B、E、F为顶点的三角形与△FPA相似，求m的值．（4）若E、F、P三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），称E、F、P三点为“共谐点”．直接写出E、F、P三点成为“共谐点”时m的值．【答案】（1）（4，0）（2）y＝﹣x2+x+2（3），（4）﹣1或﹣或【解析】（1）在y＝-x+2中，令y＝0，则x＝4，∴A（4，0）；故答案为：（4，0）；（2）∵在y＝-x+2中，令x＝0，则y＝2，∴B（0，2），把A（4，0），B（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，得b＝，∴这条抛物线所对应的函数表达式为y＝﹣x2+x+2；（3）∵P（m，0），E（m，﹣m2+m+2），F（m，﹣m+2），∵且∠BFE＝∠AEP，∴∠BEP＝∠APF＝90°或∠EBF＝∠APF＝90°，则有BE⊥PE，∴E点的纵坐标为2，∴解得m＝0（舍去）或m＝，如图1，过点E作EC⊥y轴于点C，则∠EBC+∠BEC＝90°，EC＝m，BC＝﹣m2+m+2﹣2＝﹣m2+m，∵∠EBF＝90°，∴∠EBC+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠BEC，∴Rt△ECB∽Rt△BOA，∴,∴,解得m＝0（舍去）或m＝，解得，m＝，综上所述，以B、E、F为顶点的三角形与△FPA相似，m的值＝，（4）由（1）知，P（m，0），E（m，﹣m2+m+2），F（m，﹣m+2），∵E、F、P三点为“共谐点”，∴有F为线段PE的中点、P为线段FE的中点或E为线段PF的中点，当F为线段PE的中点时，则有2（﹣m+2）＝﹣m2+m+2，解得m＝4（三点重合，舍去）或m＝；当P为线段FE的中点时，则有﹣m+2+（﹣m2+m+2）＝0，解得m＝4（舍去）或m＝﹣1；当E为线段FP的中点时，则有﹣m+2＝2（﹣m2+m+2），解得m＝4（舍去）或m＝﹣；综上可知当E、F、P三点成为“共谐点”时m的值为﹣1或﹣或．2．（广东省汕头市龙湖区2019届九年级上学期期末质量检测）如图，抛物线经过A(4，0)，B(1，0)，C(0，－2)三点．(1)求出抛物线的解析式；(2)P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1) y＝－x2＋x－2;(2)点P为(2，1)或(5，－2)或(－3，－14)或(0，－2).【解析】解：(1)∵该抛物线过点C(0，－2)，∴可设该抛物线的解析式为y＝ax2＋bx－2.将A(4，0)，B(1，0)代入，得，解得，∴此抛物线的解析式为.(2)存在，设P点的横坐标为m，则P点的纵坐标为－m2＋m－2，当1＜m＜4时，AM＝4－m，PM＝－m2＋m－2.又∵∠COA＝∠PMA＝90°，∴①当＝＝时，△APM∽△ACO，即4－m＝2(－m2＋m－2)．解得m1＝2，m2＝4(舍去)，∴P(2，1)．②当＝＝时，△APM∽△CAO，即2(4－m)＝－m2＋m－2.解得m1＝4，m2＝5(均不合题意，舍去)，∴当1＜m＜4时，P(2，1)．类似地可求出当m＞4时，P(5，－2)．当m＜1时，P(－3，－14)或P(0，－2)，综上所述，符合条件的点P为(2，1)或(5，－2)或(－3，－14)或(0，－2).3．（2018年四川省绵阳市中考数学试卷）如图，已知抛物线过点A(,-3) 和B(3,0)，过点A作直线AC//x轴，交y轴与点C.（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D，连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标；（3）抛物线上是否存在点Q，使得?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）P点坐标为（4,6）或（,- ）；（3）Q点坐标（3，0）或（-2，15）【解析】（1）把，和点，代入抛物线得：，解得：，，则抛物线解析式为；（2）当在直线上方时，设坐标为，则有，，当时，，即，整理得：，即，解得：，即或（舍去），此时，；当时，，即，整理得：，即，解得：，即或（舍去），此时，；当点时，也满足；当在直线下方时，同理可得：的坐标为，，综上，的坐标为，或，或，或；（3）在中，，，根据勾股定理得：，，，，边上的高为，过作，截取，过作，交轴于点，如图所示：在中，，即，过作轴，在中，，，即，，设直线解析式为，把坐标代入得：，即，即，联立得：，解得：或，即，或，，则抛物线上存在点，使得，此时点的坐标为，或，．4．（湖南省衡阳市2019届中考数学试卷）如图，已知直线分别交轴、轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC轴于点C，交抛物线于点D．（1）若抛物线的解析式为，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．①求点M、N的坐标；②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．【答案】（1）①②答案见解析（2）存在，或【解析】（1）①如图1，，顶点为的坐标为，，当时，，则点坐标为，；②不存在．理由如下：，设点坐标为，则，，，当时，四边形为平行四边形，即，解得（舍去），，此时点坐标为，，，，平行四边形不为菱形，不存在点，使四边形为菱形；（2）存在．如图2，，，则，当时，，则，，设抛物线的解析式为，把代入得，解得，抛物线的解析式为，当时，，则，，，，当时，，即，解得，此时抛物线解析式为；当时，，即，解得，此时抛物线解析式为；综上所述，满足条件的抛物线的解析式为或．5．（湖北省襄州区2018届九年级上学期）如图，已知抛物线y＝ax2+x+c 与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交于C 点，且A（2，0）、C（0，﹣4），直线l：y＝﹣x﹣4 与x 轴交于点D，点P 是抛物线y＝ax2+x+c 上的一动点，过点P 作PE⊥x 轴，垂足为E，交直线l 于点F．（1）试求该抛物线表达式；（2）如图1，若点P 在第三象限，四边形PCOF 是平行四边形，求P 点的坐标；（3）如图2，过点P 作PH⊥y 轴，垂足为H，连接AC．①求证：△ACD 是直角三角形；②试问是否存在这样的点P，使得以点P、C、H 为顶点的三角形与△ACD 相似？若存在，请直接写出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝；（2）P 的坐标为（﹣8，﹣4）或（﹣2.5，﹣）；（3）①详见解析；②点P 的横坐标为2或﹣5.5 或﹣10.5 或﹣18 时，使得以点P、C、H为顶点的三角形与△ACD 相似．【解析】解：（1）把A（2，0）、C（0，﹣4）代入y＝ax2+x+c 中得：，解得：，∴该抛物线表达式为：y＝x2+ x﹣4；（2）如图1，设点P 的坐标为（x，x2+x﹣4），则F（x，﹣x﹣4），∵点P在第三象限，∴PF＝（﹣x﹣4）﹣（x2+ x﹣4）＝﹣﹣x，∵C（0，﹣4），∴OC＝4，∵四边形PCOF 是平行四边形，且PF∥OC，∴PF＝OC＝4，即﹣﹣x＝4，2x2+21x+40＝0，（x+8）（2x+5）＝0，x1＝﹣8，x2＝﹣2.5，当y＝0 时，x2+ x﹣4＝0，解得：x1＝﹣10，x2＝2，∴P 的坐标为（﹣8，﹣4）或（﹣2.5，﹣）；（3）①当y＝0 时，﹣x﹣4＝0，x＝﹣8，∴D（﹣8，0），由勾股定理得：DC2＝82+42＝80，AC2＝22+42＝20，AD2＝102＝100，∴AD2＝AC2+DC2，∴∠ACD＝90°，∴△ACD 是直角三角形；②设点P 的坐标为（x，x2+x﹣4），由①知：∠ACD＝90°，∠PHC＝90°，AC＝＝2 ，CD＝＝4，∴＝如图3，点P 在第一象限，当△ACD∽△PHC 时，则＝＝，∴CH＝2PH，∴x2+ x﹣4﹣（﹣4）＝2x，解得：x1＝0（P 与C 重合，舍去），x2＝2，∴此时点P 的横坐标为2；如图4，点P 在第一象限，当△ACD∽△CHP 时，则＝，∴PH＝2CH，∴﹣x＝2[﹣4﹣（x2+x﹣4）]，解得：x1＝0（舍去），x2＝﹣5.5，∴此时点P 的横坐标为﹣5.5；如图5，点P 在第二象限，当△ACD∽△CHP 时，则＝，∴PH＝2CH，∴﹣x＝2[（x2+ x﹣4）﹣（﹣4）]，解得：x1＝0（舍），x2＝﹣10.5，∴此时点P 的横坐标为﹣10.5（P 在直线l 上）；如图6，点P 在第二象限，当△ACD∽△PHC 时，则＝＝，∴CH＝2PH，∴[（x2+ x﹣4）﹣（﹣4）]＝﹣2x，解得：x1＝0（舍），x2＝﹣18，∴此时点P 的横坐标为﹣18；综上所述，点P 的横坐标为2 或﹣5.5 或﹣10.5 或﹣18 时，使得以点P、C、H为顶点的三角形与△ACD 相似．6．（江西省南昌市2018届九年级中考三模数学）如图，一次函数y＝﹣x﹣2的图象与二次函数y＝ax2+bx﹣4的图象交于x 轴上一点A，与y 轴交于点B，在x轴上有一动点C．已知二次函数y＝ax2+bx﹣4的图象与y轴交于点D，对称轴为直线x ＝n（n＜0），n是方程2x2﹣3x﹣2＝0的一个根，连接AD．（1）求二次函数的解析式．（2）当S△ACB＝3S△ADB时，求点C的坐标．（3）试判断坐标轴上是否存在这样的点C，使得以点A、B、C组成的三角形与△ADB 相似？若存在，试求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝2x2+2x﹣4；（2）点C 的坐标为（4，0）或（﹣8，0）；（3）在x 轴上有一点C（﹣4，0）或（﹣6，0），使得以点A、B、C 组成的三角形与△ADB 相似．【解析】（1）在y=-x-2中，令y=0，则x=-2∴A（-2，0）．由2x2-3x-2=0，得x1=-，x2=2，∴二次函数y=ax2+bx-4的对称轴为直线x=-，∴，解得，∴二次函数的解析式为：y=2x2+2x-4；（2）∵S△ADB=BD•OA=2，∴S△ACB=3S△ADB=6．∵点C在x轴上，∴S△ACB=AC•OB=×2AC=6，∴AC=6．∵点A的坐标为（-2，0），∴当S△ACB=3S△ADB时，点C的坐标为（4，0）或（-8，0）；（3）存在．理由：令x=0，一次函数与y轴的交点为点B（0，-2），∴AB=，∠OAB=∠OBA=45°．∵在△ABD中，∠BAD、∠ADB都不等于45°，∠ABD=180°-45°=135°，∴点C在点A的左边．①AC与BD是对应边时，∵△ADB∽△BCA，∴=1，∴AC=BD=2，∴OC=OA+AC=2+2=4，∴点C的坐标为（-4，0）．②当AC与AB是对应边时，∵△ADB∽△CBA∴=，∴AC=AB=×2=4，∴OC=OA+AC=2+4=6，∴点C的坐标为（-6，0）．综上所述，在x轴上有一点C（-4，0）或（-6，0），使得以点A、B、C组成的三角形与△ADB相似．7．（人教版九年级上学期第二十二章二次函数单元检测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点P是直线BC下方抛物线上的任意一点．（1）求这个二次函数y=x2+bx+c的解析式．（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，如果四边形POP′C为菱形,求点P的坐标．（3）如果点P在运动过程中，能使得以P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，请求出此时点P的坐标．【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3（2）（2）（，-）（3）P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，此时点P的坐标（1，﹣4）【解析】（1）将B、C点代入函数解析式，得：，解得：，这个二次函数y＝x2+bx+c的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵四边形POP′C为菱形，∴OC与PP′互相垂直平分，∴y P，即x2﹣2x﹣3，解得：x1，x2（舍），P（）；（3）∵∠PBC＜90°，∴分两种情况讨论：①如图1，当∠PCB＝90°时，过P作PH⊥y轴于点H，BC的解析式为y＝x﹣3，CP的解析式为y＝﹣x﹣3，设点P的坐标为（m，﹣3﹣m），将点P代入代入y═x2﹣2x﹣3中，解得：m1＝0（舍），m2＝1，即P（1，﹣4）；AO＝1，OC＝3，CB，CP，此时3，△AOC∽△PCB；②如图2，当∠BPC＝90°时，作PH⊥y轴于H，作BD⊥PH于D．∵PC⊥PB，∴△PHC∽△BDP，∴．设点P的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），则PH=m，HC=－（m2﹣2m﹣3）－（－3）=－m2+2m，BD=－（m2﹣2m﹣3），PD=3－m，∴，∴，解得：m或（舍去）．当m时，m2﹣2m﹣3=．∵△PHC∽△BDP，∴==3，以P、C、B为顶点的三角形与△AOC不相似．综上所述：P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，此时点P的坐标（1，﹣4）．8．（江苏省东台市第二联盟2019届九年级12月月考）如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x﹣2交于B，C两点．⑴求抛物线的解析式及点C的坐标；⑵求证：△ABC是直角三角形；⑶若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=﹣x2+2x；C(-1，-3)；(2)证明过程略；(3)（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）.【解析】解：（1）∵顶点坐标为（1，1），∴设抛物线解析式为y=a（x-1）2+1，又抛物线过原点，∴0=a（0-1）2+1，解得a=-1，∴抛物线解析式为y=-（x-1）2+1，即y=-x2+2x，联立抛物线和直线解析式可得,解得或,∴B（2，0），C（-1，-3）；（2）如图，分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于点D、E两点，则AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3，∴∠ABO=∠CBO=45°，即∠ABC=90°，∴△ABC是直角三角形；（3）假设存在满足条件的点N，设N（x，0），则M（x，-x2+2x），∴ON=|x|，MN=|-x2+2x|，由（2）在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分别求得AB=，BC=3，∵MN⊥x轴于点N∴∠ABC=∠MNO=90°，∴当△ABC和△MNO相似时有或，当时，则有，即|x||-x+2|=|x|，∵当x=0时M、O、N不能构成三角形，∴x≠0，∴|-x+2|=，即-x+2=±，解得x=或x=，此时N点坐标为（，0）或（，0）；②当时，则有，即|x||-x+2|=3|x|，∴|-x+2|=3，即-x+2=±3，解得x=5或x=-1，此时N点坐标为（-1，0）或（5，0），综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，0）或（，0）或（-1，0）或（5，0）．9．（江苏省东台市第二联盟2019届九年级12月月考）如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x﹣2交于B，C两点．⑴求抛物线的解析式及点C的坐标；⑵求证：△ABC是直角三角形；⑶若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=﹣x2+2x；C(-1，-3)；(2)证明过程略；(3)（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）.【解析】解：（1）∵顶点坐标为（1，1），∴设抛物线解析式为y=a（x-1）2+1，又抛物线过原点，∴0=a（0-1）2+1，解得a=-1，∴抛物线解析式为y=-（x-1）2+1，即y=-x2+2x，联立抛物线和直线解析式可得,解得或,∴B（2，0），C（-1，-3）；（2）如图，分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于点D、E两点，则AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3，∴∠ABO=∠CBO=45°，即∠ABC=90°，∴△ABC是直角三角形；（3）假设存在满足条件的点N，设N（x，0），则M（x，-x2+2x），∴ON=|x|，MN=|-x2+2x|，由（2）在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分别求得AB=，BC=3，∵MN⊥x轴于点N∴∠ABC=∠MNO=90°，∴当△ABC和△MNO相似时有或，当时，则有，即|x||-x+2|=|x|，∵当x=0时M、O、N不能构成三角形，∴x≠0，∴|-x+2|=，即-x+2=±，解得x=或x=，此时N点坐标为（，0）或（，0）；②当时，则有，即|x||-x+2|=3|x|，∴|-x+2|=3，即-x+2=±3，解得x=5或x=-1，此时N点坐标为（-1，0）或（5，0），综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，0）或（，0）或（-1，0）或（5，0）．10．（段考模拟君之2018-2019学年九年级数学上学期期末原创卷A卷）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B（0，1）和C（4，3）两点，与x轴交于点D、点E，过点B和点C的直线与x轴交于点A．(1)求二次函数的解析式；(2)在x轴上有一动点P，随着点P的移动，存在点P使△PBC是直角三角形，请你求出点P的坐标；(3)若动点P从A点出发，在x轴上沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q也从A点出发，以每秒a个单位的速度沿射线AC运动，是否存在以A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，直接写出a的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)抛物线解析式y=x2–x+1；(2)点P坐标为（1，0），（3，0），（，0），（，0）；(3)a=或．【解析】(1)∵二次函数y=0.5x2+bx+c的图象过点B（0，1）和C（4，3）两点，∴，解得，∴抛物线解析式y=x2–x+1．(2)设点P坐标为（x，0）．∵点P（x，0），点B（0，1），点C（4，3），∴PB==，CP==，BC==2，若∠BCP=90°，则BP2=BC2+CP2．∴x2+1=20+x2–8x+25，∴x=．若∠CBP=90°，则CP2=BC2+BP2．∴x2+1+20=x2–8x+25，∴x=．若∠BPC=90°，则BC2=BP2+CP2．∴x2+1+x2–8x+25=20，∴x1=1，x2=3，综上所述：点P坐标为（1，0），（3，0），（，0），（，0）．(3)a=或．∵抛物线解析式y=x2–x+1与x轴交于点D，点E，∴0=x2–x+1，∴x1=1，x2=2，∴点D（1，0）．∵点B（0，1），C（4，3），∴直线BC解析式y=x+1．当y=0时，x=–2，∴点A（–2，0）．∵点A（–2，0），点B（0，1），点D（1，0），∴AD=3，AB=．设经过t秒，∴AP=2t，AQ=at，若△APQ∽△ADB，∴，即，∴a=，若△APQ∽△ABD，∴，即，∴a=．综上所述：a=或．。
二次函数综合(动点与三角形)问题方法与解析
二次函数综合（动点与三角形）问题一、知识准备：抛物线与直线形的结合表现形式之一是，以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能构成某些特殊三角形，有以下常见的基本形式。
（1）抛物线上的点能否构成等腰三角形；（2）抛物线上的点能否构成直角三角形；（3）抛物线上的点能否构成相似三角形；解决这类问题的基本思路：假设存在，数形结合，分类归纳，逐一考察。
二、例题精析㈠【抛物线上的点能否构成等腰三角形】例一．（2013•铜仁地区）如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c 经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）求△ABC的面积；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标．的坐标为（﹣得：解得：，OB=×时，解得：））时，，，，），﹣）㈡【抛物线上的点能否构成直角三角形】（2013鞍山）如图，已知一次函数y=0.5x+2的图象与x轴交于点A，与二次函数y=ax2+bx+c 例二．的图象交于y轴上的一点B，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）设一次函数y=0.5x+2的图象与二次函数y=ax2+bx+c的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且△PBD为直角三角形，求点P的坐标．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据y=0.5x+2交x轴于点A，与y轴交于点B，即可得出A，B两点坐标，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2．得出可设二次函数y=ax2+bx+c=a （x﹣2）2，进而求出即可；（2）根据当B为直角顶点，当D为直角顶点，以及当P为直角顶点时，分别利用三角形相似对应边成比例求出即可．解答：解：（1）∵y=0.5x+2交x轴于点A，∴0=0.5x+2，∴x=﹣4，与y轴交于点B，∵x=0，∴y=2∴B点坐标为：（0，2），∴A（﹣4，0），B（0，2），∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2∴可设二次函数y=a（x﹣2）2，把B（0，2）代入得：a=0.5∴二次函数的解析式：y=0.5x2﹣2x+2；（2）（Ⅰ）当B为直角顶点时，过B作BP1⊥AD交x轴于P1点由Rt△AOB∽Rt△BOP1∴=，∴=，得：OP1=1，∴P1（1，0），（Ⅱ）作P2D⊥BD，连接BP2，将y=0.5x+2与y=0.5x2﹣2x+2联立求出两函数交点坐标：D点坐标为：（5，4.5），则AD=，当D为直角顶点时∵∠DAP2=∠BAO，∠BOA=∠ADP2，∴△ABO∽△AP2D，∴=，=，解得：AP2=11.25，则OP2=11.25﹣4=7.25，故P2点坐标为（7.25，0）；（Ⅲ）当P为直角顶点时，过点D作DE⊥x轴于点E，设P3（a，0）则由Rt△OBP3∽Rt△EP3D得：，∴，∵方程无解，∴点P3不存在，∴点P的坐标为：P1（1，0）和P2（7.25，0）．点评：此题主要考查了二次函数综合应用以及求函数与坐标轴交点和相似三角形的与性质等知识，根据已知进行分类讨论得出所有结果，注意不要漏解．㈢【抛物线上的点能否构成相似三角形】例三．（2013•恩施州）如图所示，直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．把△AOB 沿y轴翻折，点A落到点C，抛物线过点B、C和D（3，0）．（1）求直线BD和抛物线的解析式．（2）若BD与抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标．（3）在抛物线上是否存在点P，使S△PBD=6？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（﹣（（×﹣三、形成训练1．（2013•湘西州）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；（3）试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若不存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．x=）根据﹣∴﹣，x+x x+4=（，﹣+，即﹣+，，y=，=AQ====，==±﹣4+2 ：已知：直线12y x =+与y 轴交于A ，与x 轴交于D ，抛物线22y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 （1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）动点P 在x 轴上移动，当△P AE 是直角三角形时，求点P 的坐标．3、如图，抛物线21222y x x =-++与x 轴交于A B 、两点，与y 轴交于C 点．（1）求A B C 、、三点的坐标；（2）证明ABC △为直角三角形；（3）在抛物线上除C 点外，是否还存在另外一个点P ，使ABP △是直角三角形，若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．4、如图，已知抛物线224233y x x =-++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴与x 轴交于点D ． 点M 从O 点出发，以每秒1个单位长度的速度向B 运动，过M 作x 轴的垂线，交抛物线于点P ，交BC 于Q ．（1）求点B 和点C 的坐标；（2）设当点M 运动了x （秒）时，四边形OBPC 的面积为S ，求S 与x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围．（3）在线段BC 上是否存在点Q ，使得△DBQ成为以．BQ ．．为一腰．．．的等腰三角形？若存在， 求出点Q 的坐标，若不存在，说明理由．5、（09年成都）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y=2(1)(0)a x c a ++>与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，其顶点为M,若直线MC 的函数表达式为3y kx =-,与x 轴的交点为N ，且COS ∠BCO ＝10。
二次函数与相似三角形问题(含答案)
综合题讲解 函数中因动点产生的相似三角形问题例题 如图1，已知抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B 。
⑴求抛物线的解析式；（用顶点式．．．求得抛物线的解析式为x x 41y 2+-=） ⑵若点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标；⑶连接OA 、AB ，如图2，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得△OBP 与△OAB 相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。
分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线．．．．．．．为四边形的边和对角线来考虑问题以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB 为边和对角线两种情况2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。
根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。
②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。
③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。
例1题图图1O AByxOAByx图2y xEQ PC B OA 例题2：如图，已知抛物线y=ax 2+4ax+t （a ＞0）交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点E ，点B 的坐标为（-1，0）． （1）求抛物线的对称轴及点A 的坐标；（2）过点C 作x 轴的平行线交抛物线的对称轴于点P ，你能判断四边形ABCP 是什么四边形？并证明你的结论；（3）连接CA 与抛物线的对称轴交于点D ，当∠APD=∠ACP 时，求抛物线的解析式．练习1、已知抛物线2y ax bx c =++经过53(33)02P E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，，及原点(00)O ，．（1）求抛物线的解析式．（由一般式．．．得抛物线的解析式为225333y x x =-+） （2）过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上，任取一点Q ，过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点，交直线PC 于B 点，直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC ．是否存在点Q ，使得OPC △与PQB △相似？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，说明理由．（3）如果符合（2）中的Q 点在x 轴的上方，连结OQ ，矩形OABC 内的四个三角形OPC PQB OQP OQA ，，，△△△△之间存在怎样的关系？为什么？练习2、如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，将边BC 折叠，使点B 落在边OA 的点D 处。
二次函数和相似三角形复习课
教案学生姓名年级九年级授课时段课题二次函数和相似三角形复习课重点难点二次函数和反比例函数的概念、图像和性质；相似三角形的判定与性质利用二次函数和反比例函数解决实际问题；相似三角形的证明与计算教学活动设计体系目的：复习九年级上册第22章和第23章的相关内容，并进行一些习题的练习，加强学生的实际应用能力。
课程引入：首先温习课本基础知识，然后做习题测试学生对知识的掌握程度，最后针对学生对内容的掌握程度进行例题分析及习题讲解。
知识框架：第22章二次函数与反比例函数22.1 二次函数了解基本概念22.2 二次函数2y ax=的图像和性质会用描点法二次函数2y ax=的图像且理解其性质22.3 二次函数2y ax bx c=++的图像和性质会用描点法二次函数2y ax=的图像且理解其性质22.4 二次函数与一元一次方程研究二次函数与一元二次方程的关系22.5 二次函数的应用利用二次函数解决实际问题22.6 反比例函数学习反比例函数的图像、性质并加以应用第23章相似性23.1比例线段1.基本概念（了解）相似多边形、相似比（相似系数）、比例线段、黄金分割点。
23.2相似三角形的判定判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似。
判定定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似。
（特殊情况）：对于直角三角形若一个直角三角形斜边和一条直角边与另一直角三角形斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
23.3 相似三角形性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
定理2：相似三角形周长的比等于相似比。
定理3：三角形面积的比等于相似比的平方。
23.4 相似多边形的性质一般的，两个相似多边形可以被分成个数相同且对应相似的三角形。
定理1：相似多边形周长的比等于相似比。
定理2：相似多边形面积的彼等于相似比的平方。
23.5位似图进门考1.如图，已知△ABC中，DE//BC，分别交BA、CA的延长线于点D、E，F是BC的中点，FA的延长线交DE于点G。
中考复习函数专题28 二次函数中的三角形问题(老师版)
专题28 二次函数中的三角形问题知识对接考点一、二次函数中的三角形问题考点分析：二次函数与三角形的综合解答题一般涉及到这样几个方面：1.三角形面积最值问题2.特殊三角形的存在问题包括等腰等边和直角三角形。
这类题目一般出现在压轴题最后两道上，对知识的综合运用要求比较高。
考点二、解决此类题目的基本步骤与思路1.抓住目标三角形，根据动点设点坐标2.根据所设未知数去表示三角形的底和高，一般常用割补法去求解三角形的面积从而得出面积的关系式3. 根据二次函数性质求出最大值.4.特殊三角形问题首先要画出三角形的大概形状，分类讨论的去研究。
例如等腰三角形要弄清楚以哪两条边为要，直角三角形需要搞清楚哪个角作为直角都需要我们去分类讨论。
要点补充：1.简单的直角三角形可以直接利用底乘高进行面积的表示2.复杂的利用“补”的方法构造矩形或者大三角形，整体减去部分的思想3.利用“割”的方法时，一般选用横割或者竖割，也就是做坐标轴的垂线。
4.利用点坐标表示线段长度时注意要用大的减去小的。
5.围绕不同的直角进行分类讨论，注意检验答案是否符合要求。
6.在勾股定理计算复杂的情况下，灵活的构造K字形相似去处理。
要点补充：专项训练一、单选题1．如图，直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上，三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形．设穿过时间为t，正方形与三角形不重合部分的面积为s（阴影部分），则s与t的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】设三角形运动速度为1，分0≤t≤2时，2＜t≤2时，2＜时，时五种情况，可知等腰直角三角形与正方形的不重叠部分面积变化过程是变小--不变--变大，分别求出函数关系式，即可得出答案． 【详解】∵等腰直角三角形的直角边长为1， ∵当s ＝12×1×1+2×2﹣212t ⨯＝92﹣12t 2；s ＝22-12+2×12t)2=t 2﹣112；t≤2时，s ＝2122-×1×1＝72；当2＜时，s ＝22-2×12(t -2)2=t 2﹣4t+152；当2+2＜s ＝22+12-2×12t+2）2=92t+2）2，∵等腰直角三角形与正方形的不重叠部分面积变化过程是变小--不变--变大，且变小、变大时的图象为抛物线，不变时的图象为直线， ∵A 符合要求， 故选：A ． 【点睛】考查了动点问题的函数图象，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论，熟练掌握二次函数的图象是解题关键．2.定义：若抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为“美丽抛物线”．如图，直线l ：13y x b =+经过点10,4M ⎛⎫⎪⎝⎭一组抛物线的顶点()111B y ，，()222,B y ，()333,B y ，…(),n n B n y （n 为正整数），依次是直线l 上的点，这组抛物线与x 轴正半轴的交点依次是：()11,0A x ，()22,0A x ，()33,0A x ，…()11,0n n A x ++（n 为正整数）．若()101x d d =<<，当d 为（ ）时，这组抛物线中存在美丽抛物线A ．512或712B ．512或1112C ．712或1112D ．712【答案】B 【分析】由抛物线的对称性可知，所有构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰三角形，所以此等腰三角形斜边上的高等于斜边的一半，又0＜d ＜1，所以等腰直角三角形斜边的长小于2，所以等腰直角三角形斜边的高一定小于1，即抛物线的顶点纵坐标必定小于1，据此对上一步结论分析可得满足美丽抛物线对应的顶点，再确定抛物线与x 轴的交点值与对称轴的距离，从而可求得d 的值 【详解】解： 直线l ：13y x b =+经过点M （0，14）则b=14，∵直线l ：1134y x =+由抛物线的对称性知：抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的直角三角形必为等腰直角三角形； ∵该等腰三角形的高等于斜边的一半 ∵0＜d ＜1∵该等腰直角三角形的斜边长小于2，斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于1）∵当x=1时，11173412y =+=＜1；当x=2时，221113412y =+= ＜1； 当x=3时，315144y =+=＞1； ∵美丽抛物线的顶点只有12,B B ∵若1B 为顶点，由17(1,)12B ，则7511212d =-= ， ∵若2B 为顶点，由211(2,)12B ，则11111(2)11212d ⎡⎤=---=⎢⎥⎣⎦综上所述，d 的值为512或1112时，存在美丽抛物线． 故选B ． 【点睛】此题主要考查抛物线与x 轴的交点，抛物线的对称性．3．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB的两个交点之间的距离为形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是A．16B．15C．14D．13【答案】C【详解】根据在OB上的两个交点之间的距离为3，然后作出最左边开口向下的抛物线，再向右平移1个单位，向上平移1个单位得到开口向下的抛物线的条数，同理可得开口向上的抛物线的条数，然后相加即可得解：如图，开口向下，经过点（0，0），（1，3），（3，3）的抛物线的解析式为y=﹣x2+4x，然后向右平移1个单位，向上平移1个单位一次得到一条抛物线，可平移6次，∵一共有7条抛物线．同理可得开口向上的抛物线也有7条．∵满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是：7+7=14．故选C．4．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．如果抛物线经过图中的三个格点，那么以这三个格点为顶点的三角形称为该抛物线的“内接格点三角形”．设对称轴平行于y轴的抛物线与网格对角线OM的两个交点为A，B，其顶点为C，如果∵ABC是该抛物线的内接格点三角形，A，B，C的横坐标x A，x B，x C满足x A＜x C＜x B，那么符合上述条件的抛物线条数是（）。
重难点02 二次函数中相似三角形问题(原卷版)
重难点02 二次函数中相似三角形问题二次函数背景下的相似三角形考点分析：1.先求函数的解析式，然后在函数的图像上探求符合几何条件的点；2.简单一点的题目，就是用待定系数法直接求函数的解析式；3.复杂一点的题目，先根据图形给定的数量关系，运用数形结合的思想，求得点的坐标，继而用待定系数法求函数解析式；4.还有一种常见题型，解析式中由待定字母，这个字母可以根据题意列出方程组求解；5.当相似时：一般说来，这类题目都由图像上的点转化到三角形中的边长的问题，再由边的数量关系转化到三角形的相似问题；6.考查利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解的方法。
一、单选题1．（2022·浙江绍兴·九年级期末）如图，已知点()16,0A ，O 为坐标原点，P 是线段OA 上任意一点（不含端点O ，A ），过P ，O 两点的二次函数1y 和过P ，A 两点的二次函数2y 的图象开口均向下，它们的顶点分别为B ，C ，射线OB 与AC 相交于点D ，当10OD AD ==时，这两个二次函数的最大值之和等于（ ）A ．10B ．8C ．6D ．4二、填空题 2．（2022·浙江宁波·九年级期末）已知过点()4,1B 的抛物线21522y x x c =-+与坐标轴交于点A ，C 如图所示，连结AC ，BC ，AB ，第一象限内有一动点M 在抛物线上运动，过点M 作AM MP ⊥交y 轴于点P ，当点P 在点A 上方，且AMP 与ABC 相似时，点M 的坐标为______．三、解答题3．（2022·浙江丽水·三模）定义：对于抛物线()2240y ax bx c b ac =++->，把它在x 轴下方的部分图形作关于x 轴的轴对称图形，所得的图形称为2y ax bx c =++的“W 型曲线”．如图为242y mx x =-+的“W 型曲线”，能力拓展技巧方法与x 轴的交点为A ，B ，与y 轴的交点为C ，与对称轴的交点为P ，有CP x ∥轴．(1)求m 的值．(2)若直线y x n =+与242y mx x =-+的“W 型曲线”有且只有三个公共点，求n 的值．(3)在242y mx x =-+的“W 型曲线”是否存在点Q ，使得1tan 2POQ ∠=，若存在，求点Q 的横坐标；若不存在，说明理由．4．（2022·浙江湖州·中考真题）如图1，已知在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是边长为3的正方形，其中顶点A ，C 分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上，抛物线2y x bx c =-++经过A ，C 两点，与x 轴交于另一个点D ．(1)①求点A ，B ，C 的坐标；②求b ，c 的值．(2)若点P 是边BC 上的一个动点，连结AP ，过点P 作PM ⊥AP ，交y 轴于点M （如图2所示）．当点P 在BC 上运动时，点M 也随之运动．设BP ＝m ，CM ＝n ，试用含m 的代数式表示n ，并求出n 的最大值．5．（2022·浙江金华·二模）如图1，已知等腰ABC ∆中，10,12,AB AC BC AD BC ===⊥，垂足为点D ，动点P 从点A 出发，以1.5个单位每秒速度，沿AB 方向运动，同时，点Q 从点B 出发，以1个单位每秒速度，沿BC 方向运动，当点P 到达点B 时，点Q 即停止运动，设运动时间为t 秒，过点P 作PR AD ⊥，垂足为R ，连结,QR PQ ，作PQR ∆关于QR 的对称MQR ∆．(1)如图2，当PQ AB ⊥时，求PQ 的长度．(2)求PBQ ∆与PQR ∆面积差的最大值．(3)当点M 落在ABC ∆的边上时，求t 的值．6．（2022·浙江宁波·九年级期末）如图1，已知二次函数()2416133y x =-++的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 是抛物线的顶点．(1)求点A ，点C 的坐标；(2)如图2，连结AC ，DC ，过点C 作CE AB ∥交抛物线于点E ．求证：∠DCE ＝∠CAO ；(3)如图3，在（2）的条件下，连结BC ，在射线EC 上有点P ，使以点D ，E ，P 为顶点的三角形与△ABC 相似，求EP 的长．7．（2022·浙江湖州·九年级期中）抛物线23y ax bx =++过点A （－1，0），点B （3，0），顶点为C ．(1)求抛物线的表达式及点C 的坐标；(2)如图1，点P在抛物线上，连接CP并延长交x轴于点D，连接AC，若△DAC是以AC为底的等腰三角形，求点P的坐标；(3)如图2，在（2）的条件下，点E是线段AC上（与点A，C不重合）的动点，连接PE，作PEF CAB∠=∠，边EF交x轴于点F，当AF的长度最大时，求点E的坐标．8．（2021·浙江金华·一模）如图1，抛物线y＝ax2﹣6ax+6（a≠0）与x轴交于点A（8，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0<m<8），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P 作PM⊥AB于点M．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当△PMN的周长是△AOB周长的35时，求m的值；(3)如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为30°，连接E′A、E′B，在平面直角坐标系内找一点Q，使△AOE′∽△BOQ，并求出点Q的坐标．9．（2021·浙江温州·九年级期末）如图，y=ax2-2ax+a-4与x轴负半轴交于A，交y轴于B，过抛物线顶点C 轴，垂足为D，四边形AOCD是平行四边形．作CD y(1)求抛物线的对称轴以及二次函数的解析式；(2)作BE x∥轴交抛物线于另一点E，交OC于F，求EF的长；(3)该二次函数图象上有一点G（m，n）若点G到y轴的距离小于2，则n的取值范围为___．10．（2022·浙江·嘉兴一中一模）如图，抛物线y＝1-2x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（8，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．(1)求抛物线的表达式；(2)点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBC＝720S△ABC时，求点P的坐标；(3)点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．11．（2022·浙江金华·一模）如图，把两个全等的Rt AOB 和Rt COD 分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB 、OD 在x 轴上．已知点()2,4A ，过A 、C 两点的直线分别交x 轴、y 轴于点E 、F ，抛物线2y ax bx c =++经过O 、A 、C 三点．(1)求该抛物线的函数解析式；(2)点G 为抛物线上位于线段OC 所在直线上方部分的一动点，求G 到直线OC 的最大距离和此时点G 的坐标；(3)点P 为线段OC 上一个动点，过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点M ，交x 轴于点N ，问是否存在这样的点P ，使得四边形ABPM 的边AM 与边BP 相等？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2022·浙江绍兴·九年级期末）在平面直角坐标系xOy 中，如果抛物线()20y ax bx c a =++≠上存在一对点P 和P '，且它们关于坐标原点O 对称，那么我们把点P 和P '叫做这条抛物线的成对点．(1)已知点()2,P m -与P '是抛物线224y x x =--的成对点，求P '的坐标．(2)如图，已知点A 与C 为抛物线22y x x c =--+的成对点，且A 为该抛物线的顶点．①求c 的值．②若这条抛物线的对称轴与x 轴交于点B ，连结AC ，BC ，点D 是射线AB 上一点．如果∠ADC ＝∠ACB ，求点D 的坐标．13．（2021·浙江·天台县赤城中学一模）如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 交x 轴于点A ，B ，其中点A （﹣1，0），交y轴于点C（0，2），对称轴交x轴于点M（32，0）．(1)求抛物线的解析式；(2)作点C关于点M的对称点D，顺次连接A，C，B，D，判断四边形ACBD的形状，并说明理由；(3)在该抛物线的对称轴上是否存在点P，使△BMP与△BAD相似？若存在，求出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．14．（2022·浙江金华·九年级期末）已知抛物线：y＝ax2﹣6ax﹣16a（a＞0）与x轴交点为A，B（A在B的左侧），与y轴交于点C，点G是AC的中点．(1)求点A，B的坐标及抛物线的对称轴．(2)直线y＝﹣32x与抛物线交于点M、N，且MO＝NO，求抛物线解析式.(3)已知点P是（2）中抛物线上第四象限内的动点，过点P作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F．若以点C ，P ，E 为顶点的三角形与△AOG 相似，求点P 的坐标．15．（2022·浙江宁波·九年级期末）如图，抛物线213222y x x =--与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ．点P 是线段BC 上的动点（点P 不与点B ，C 重合），连结AP 并延长AP 交抛物线于另一点Q ，连结CQ ，BQ ，设点Q 的横坐标为x x ．(1)①写出A ，B ，C 的坐标：A （ ），B （ ），C （ ）；②求证：ABC 是直角三角形；(2)记BCQ △的面积为S ，求S 关于x 的函数表达式；(3)在点P 的运动过程中，PQ AP是否存在最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由．16．（2021·浙江金华·九年级期末）已知抛物线()()12y x x m m=+-与x 轴负半轴交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，点P 为抛物线上一动点（点P 不与点C 重合）．(1)当ABC 为直角三角形时，求ABC 的面积(2)如图，当AP BC ∥时，过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ，求BQ 的长．(3)当以点A ，B ，P 为顶点的三角形和ABC 相似时（不包括两个三角形全等），求m 的值．。
二次函数和相似三角形
若△BOP 与△AOB 相似,必须有∠POB＝∠BOA＝∠BPO
设 OP 交抛物线的对称轴于 A′点,显然 A′(2,－1) ∴直线 OP 的解析式为 y 1 x
2 由 1 x 1 x2 x ,
24 得 x1 0, x 2 6
.∴P(6,－3)
y A
O
A'
B
E
x
图2
P
过 P 作 PE⊥x 轴,在 Rt△BEP 中,BE＝2,PE＝3,
出 N 点的坐标；若不存在，说明理由．
y
A
O
B
x
参考答案
例题、解:⑴由题意可设抛物线的解析式为 y a(x 2)2 1
∵抛物线过原点，
∴ 0 a(0 2)2 1
∴a1 . 4
抛物线的解析式为 y 1 (x 2)2 1 ,即 y 1 x 2 x
O
B
x
y A
O
B x
图1
例 1 题图
图2
教学过程
分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两．个．顶．点．的．连．线．为四边形的边和对角线来考虑问题以 O、C、D、 B 四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按 OB 为边和对角线两种情况 二、解题方法及切入点
函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 ① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．的特点，进而得出已知三角形
行四边形，求 D 点的坐标；
(3)连接 OA、AB，如图②，在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 P，使得△OBP 与△OAB 相似？若
y
存在，求出 P 点的坐标；若不存在，说明理由。 A
O
B
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O
二次函数与相似三角形综合题
教学目标：
1、会求二次函数解析式；
2、根据条件寻找或构造相似三角形，在二次函数的综合题中利用其性质求出线段的长度，从而得出点的坐标。
教学重点：
1、求二次函数解析式；
2、相似三角形的判定与性质在二次函数综合题中的运用。
教学难点：
根据条件构造相似三角形解决问题。
情感与态度：
1、培养学生积极参与教学学习活动的兴趣，增强数学学习的好奇心和求知欲。
2、使学生感受在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼学生克服困难的意志，建立自信心。
3、培养学生科学探索的精神。
教学过程： 一、复习巩固
如图，抛物线y=ax 2+b x －2与x 轴交于点A （－1，0），B （m ，0）两点，与y 轴交于C 点，且∠ACB=90°，求抛物线的解析式. 分析：OC 2=OA·OB ∴4=1×m ，m=4 ∴B （4，0）
设抛物线解析式为y=a(x+1)(x －4) 代入C 点（0，－2）
∴抛物线解析式为213
222
y x x =
--.
二、新授
例题、如图，直线y =－x+3与x 轴、y 轴分别相交于B 、C ，经过B 、C 两点的抛物线y=ax 2
+bx+c 与x 轴另一交点为A ，顶点为P ，且对称轴是直线x=2，
（1）求抛物线解析式；
（2）连结AC ，请问在x 轴上是否存在点Q ，使得以点P 、B 、Q 为顶点的三角形与△ACB 相似，若存在，请求出Q 点坐标；若不存在，说明理由.
（3）D 点为第四象限的抛物线上一点，过点D 作DE ⊥x 轴，交CB 于E ，垂足于H ，过D 作DF ⊥CB ，垂足为F ，交x 轴于G ，试问是否存在这样的点D ，使得△DEF 的周长恰好被x 轴平分？若能，请求出D 点坐标；若不能，请说明理由.
[解] （1） 直线3y x =-+与x 轴相交于点B ，
∴当0y =时，3x =，
∴点B 的坐标为(30)，
． 又 抛物线过x 轴上的A B ，两点，且对称轴为2x =， 根据抛物线的对称性，
∴点A 的坐标为(1
0)，． 3y x =-+ 过点C ，易知(03)C ，， 3c ∴=．
又 抛物线2y ax bx c =++过点(1
0)(30)A B ，，，， ∴(1)(3)y a x x =--，经过C 点(0,3)
243y x x ∴=-+．
（2）连结PB ，由2243(2)1y x x x =-+=--，得(21)P -，， 设抛物线的对称轴交x 轴于点M ，在Rt PBM △中，1PM MB ==，
45PBM PB ∴== ，∠
由点(30)(03)B C ，，，易得3OB OC ==，在等腰直角三角形OBC 中， 45ABC = ∠，
由勾股定理，得BC =
假设在x 轴上存在点Q ，使得以点P B Q ，，为顶点的三角形与ABC △相似． ①当
BQ PB BC AB
=，45PBQ ABC ==
∠∠时，PBQ ABC △∽△．
2=，3BQ ∴=， 又3BO = ，∴点Q 与点O 重合，1Q ∴的坐标是(00)，
． ②当
QB PB AB BC
=，45QBP ABC == ∠∠时，QBP ABC △∽△．
即
2QB =
，23QB ∴=．
x
2
1P 27
3333
OB OQ OB QB =∴=-=-
= ，， 2Q ∴的坐标是703⎛⎫
⎪⎝⎭
，． 180********PBx BAC PBx BAC =-=<∴≠ ，，∠∠∠∠．
∴点Q 不可能在B 点右侧的x 轴上．
综上所述，在x 轴上存在两点127(00)03Q Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，，，，能使得以点P B Q ，，为顶点的三角形与ABC △相似．
（3）设D （a ，a 2
－4a+3），则E （a ，－a+3）
△DFE ∽△BOC
∴DE ：BC=L △DEF ：L △BOC
2
∴L △DEF
1)×(－a 2
+3a)
∴DH+DG=1
2
DFE L ∆
= 1)DH
= 21)(43)a a -+- =
12
1)×(－a 2
+3a) ∴2
43a a -+-=21(3)2
a a -+
∴a 1=2，a 2=3(舍)
∴D （2，－1）
应用变式：
1、在此抛物线上是否存在P 点？使得∠1+∠2=45°，若存在，请求出P 点坐标；若不存在，请说明理由.
分析：
（1）延长CP 与x 轴交于E 点，∠1+∠2=45°=∠ABC=∠E+∠2
∴∠1=∠E ，
x
x 又∵∠COA公共
∴△OCA∽△OEC
∴OC2=O A·OE
OC2=9=1×OE
∴OE=9
∴E（9，0）
∴直线解析式
1
3
3
y x
=-+
联立直线与抛物线
∴ P的坐标为（
11
3
，
16
9
）
（2）P点与A点重合，P（1，0），
∴综上所述，P的坐标为（
1116
,
39
），（1，0）.
2、在上题抛物线中，P为抛物线上一点，PE⊥BC于E，且CE=3PE，求P点坐标.
分析：连AC、PC，证△PEC∽△OAC，∠OCA=∠PCE，∴∠PCA=45°.
延长CP交x轴于N，△ACB∽△ANC，
AC2=A B·AN，∴N（6，0），
1
:3
2
CN y x
=-+，联立抛物线，得P（
75
,
24
）.
三、小结
点的坐标是综合题的立足点（求解析式），又是综合题的制高点（求满足条件的点的坐标或存在性探求），求点的坐标一般历经下面两个关键步骤：
（1）定位
（2）计算
四、作业练习
1、如图，抛物线22
y x x x
=--交轴于A、B两点（A点在B点左侧），交y轴于C （0,－2），过A、C画直线，点M在y轴右侧的抛物线上，从M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H，且ΔCHM∽ΔAOC,求M点坐标.。