初中数学相似三角形的经典综合题
相似三角形综合题精选
九年级数学提升练习--相似三角形的综合题1.如图,已知一次函数的图象与轴交于点,与轴交于点,二次函数经过点,且与一次函数的图象交于点.(1)求一次函数与二次函数的解析式.(2)在轴上是否存在点,使得以点,,为顶点的三角形与相似?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.2.将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点C、A 分别在x、y轴的正半轴上,一条抛物线经过点A、C及点B(﹣3,0).(1)求该抛物线的解析式;(2)若点P是线段BC上一动点,过点P作AB的平行线交AC于点E,连接AP,当△APE的面积最大时,求点P的坐标;(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点G,使△AGC的面积与(2)中△APE的最大面积相等?若存在,请求出点G的坐标;若不存在,请说明理由.3.如图(1)(感知)如图①,在四边形ABCD中,∠C=∠D=90°,点E在边CD上,∠AEB=90°,求证:=.(2)(探究)如图②,在四边形ABCD中,∠C=∠ADC=90°,点E在边CD上,点F在边AD的延长线上,∠FEG=∠AEB=90°,且=,连接BG交CD于点H.求证:BH=GH.(3)(拓展)如图③,点E在四边形ABCD内,∠AEB+∠DEC=180°,且=,过E作EF交AD于点F,若∠EFA=∠AEB,延长FE交BC于点G.求证:BG=CG.4.在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线l经过点A,过点B、C分别作l的垂线,垂足分别为点D、E.(1)特例体验:如图①,若直线l∥BC,AB=AC=,分别求出线设BD、CE和DE的长;(2)规律探究:(Ⅰ)如图②,若直线l从图①状态开始绕点A旋转α(0<α<45°),请探究线段BD、CE和DE 的数量关系并说明理由;(Ⅱ)如图③,若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α(45°<α<90°),与线段BC相交于点H,请再探线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由;.(3)尝试应用:在图③中,延长线设BD交线段AC于点F,若CE=3,DE=1,求S△BFC5.如图,在Rt ABC中,AC=BC=6,∠ACB=90°,正方形BDEF的边长为2,将正方形BDEF绕点B旋转一周,连接AE、BE、CF.(1)如图1所示,求证ABE∼CBF,并直接写出的值;(2)在正方形BDEF绕点B旋转过程中,当A、E、F三点共线时,求CF的长;(3)如图2所示,在正方形BDEF旋转过程中,设AE的中点为M,连接FM,请直接写出FM 长度的最大值.6.定义:三角形一边上的点将该边分为两条线段,且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方,则称这个点为三角形该边的“好点”.如图1,△ABC中,点D是BC边上一点,连结AD,若,则称点D是△ABC中BC边上的“好点”.(1)如图2,△ABC的顶点是网格图的格点,请仅用直尺画出AB边上的一个“好点”.(2)△ABC中,BC=9,,,点D是BC边上的“好点”,求线段BD 的长.(3)如图3,△ABC是的内接三角形,OH⊥AB于点H,连结CH并延长交于点D.①求证:点H是△BCD中CD边上的“好点”.②若的半径为9,∠ABD=90°,OH=6,请直接写出的值.7.已知:如图,在△ABC中,AB=BC=10,以AB为直径作⊙O分别交AC,BC于点D,E,连接DE和DB,过点E作EF⊥AB,垂足为F,交BD于点P.(1)求证:AD=DE;(2)若CE=2,求线段CD的长;(3)在(2)的条件下,求△DPE的面积.8.如图,已知AC为⊙O的直径,连接AB,BC,OB,过点O作OE⊥AB于点E,点F是半径OC 的中点,连接EF,BF.(1)如图1,设⊙O的半径为2,若∠BAC=30°,求线段EF的长.(2)如图2,设BO交EF于点P,延长BO交⊙O于点D,连接DF.①求证:PE=PF;②若DF=EF,求∠BAC的度数.9.如图1,矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上,折叠边AD,使点D落在x轴上点F处,折痕为AE,已知AB=8,AD=10,并设点B坐标为(m,0),其中m<0.(1)求点E、F的坐标(用含m的式子表示);(2)连接OA,若△OAF是等腰三角形,求m的值;(3)如图2,设抛物线y=a(x﹣m+6)2+h经过A、E两点,其顶点为M,连接AM,若∠OAM=90°,求a、h、m的值.10.综合与实践“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动,得出结论:对角互补的四边形四个顶点共圆.该小组继续利用上述结论进行探究.提出问题:如图1,在线段同侧有两点B,D,连接,,,,如果,那么A,B,C,D四点在同一个圆上.探究展示:如图2,作经过点A,C,D的,在劣弧上取一点E(不与A,C重合),连接,则(依据1)点A,B,C,E四点在同一个圆上(对角互补的四边形四个顶点共圆)点B,D在点A,C,E所确定的上(依据2)点A,B,C,E四点在同一个圆上(1)反思归纳:上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么?依据1:;依据2:.(2)图3,在四边形中,,,则的度数为.(3)展探究:如图4,已知是等腰三角形,,点D在上(不与的中点重合),连接.作点C关于的对称点E,连接并延长交的延长线于F,连接,.①求证:A,D,B,E四点共圆;②若,的值是否会发生变化,若不变化,求出其值;若变化,请说明理由.11.如图,和均为等腰直角三角形,.现将绕点C旋转.(1)如图1,若三点共线,,求点B到直线的距离;(2)如图2,连接,点F为线段的中点,连接,求证:;(3)如图3,若点G在线段上,且,在内部有一点O,请直接写出的最小值.12.如图,△ABC内接于⊙O,AD平分∠BAC交BC边于点E,交⊙O于点D,过点A作AF⊥BC 于点F,设⊙O的半径为R,AF=h.(1)过点D作直线MN∥BC,求证:MN是⊙O的切线;(2)求证:AB•AC=2R•h;(3)设∠BAC=2α,求的值(用含α的代数式表示).13.抛物线经过点和,与x轴交于另一点B.(1)则抛物线的解析式为;(2)点P为第四象限内抛物线上的点,连接,,,设点P的横坐标为.①如图1,当时,求的值;②如图2,过点P作x轴的垂线,垂足为点D,过点C作的垂线,与射线交于点E,与x轴交于点F.连接,当时,求m的值.14.如图1,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx-5与x轴交于A(-1,0),B(5,0)两点,与y 轴交与点C.(1)求抛物线的函数表达式;(2)若点D是y轴上的点,且以B、C、D为顶点的三角形与△ABC相似,求点D的坐标;(3)如图2,CE//x轴与抛物线相交于点E,点H是直线CE下方抛物线上的动点,过点H且与y 轴平行的直线与BC、CE分别相交于点F,G,试探求当点H运动到何处时,四边形CHEF的面积最大,求点H的坐标及最大面积.15.在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD上一动点,设DE=nEA,连接CE并延长,交AB 于点F.(1)尝试探究:如图1,当∠BAC=90°,∠B=30°,DE=EA时,BF,BA之间的数量关系是;(2)类比延伸:如图2,当△ABC为锐角三角形,DE=EA时,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;(3)拓展迁移:如图3,当△ABC为锐角三角形,DE=nEA时,请直接写出BF,BA之间的数量关系.16.定义:三角形一边上的点将该边分为两条线段,且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方,则称这个点为三角形该边的“好点”.如图1,中,点是边上一点,连接,若,则称点是中边上的“好点”.(1)如图2,的顶点是网格图的格点,请仅用直尺画出(或在图中直接描出)边上的“好点”;(2)中,,,,点是边上的“好点”,求线段的长;(3)如图3,是⊙O的内接三角形,点在上,连结并延长交⊙O于点.若点是中边上的“好点”.①求证:;②若,⊙O的半径为,且,求的值.答案解析部分1.【答案】(1)∵一次函数的图象与轴交于点,∴当x=0时,y=-2,B(0,-2),∵一次函数的图象过点,∴,∴,∴一次函数解析式为,∵经过点,点,代入得,解方程组得,∴二次函数解析式为:;(2)存在,理由如下,∵已知一次函数的图象与轴交于点,∴y=0,x=2,∴A(2,0),B(0,-2),∴OA=2,OB=2,∠AOB=90°,在Rt△AOB中,由勾股定理AB=,由勾股定理BC=,①当点M为直角顶点时,CM⊥y轴,CM∥OA,∴∠MCB=∠OAB,∠MBC=∠OBA,∴△CMB∽△AOB,∴即,∴,∴OM=MB-OB=6-2=4,∴M(0,4),②当点C为直角顶点时,∴CM⊥BC,∴∠MCB=∠AOB=90°,∠MBC=∠ABO,∴△MCB∽△AOB,∴即,∴,∴OM=MB-OB=12-2=10,∴M(0,10),∴以点,,为顶点的三角形与相似点的坐标为M(0,4)或(0,10). 2.【答案】(1)解:如图,∵抛物线y=ax 2+bx+c (a≠0)的图象经过点A (0,6),∴c=6.∵抛物线的图象又经过点(﹣3,0)和(6,0),∴,解之得,故此抛物线的解析式为:y=﹣x 2+x+6.(2)解:设点P 的坐标为(m ,0),则PC=6﹣m ,S △ABC =BC•AO=×9×6=27;∵PE ∥AB ,∴△CEP ∽△CAB ;∴,即=()2,∴S △CEP =(6﹣m )2,∵S △APC =PC•AO=(6﹣m )×6=3(6﹣m ),∴S △APE =S △APC ﹣S △CEP =3(6﹣m )﹣(6﹣m )2=﹣(m ﹣)2+;当m=时,S △APE 有最大面积为;此时,点P 的坐标为(,0).(3)解:如图,过G 作GH ⊥BC 于点H ,设点G 的坐标为G (a ,b ),连接AG 、GC ,∵S 梯形AOHG =a (b+6),S △CHG =(6﹣a )b ,∴S 四边形AOCG =a (b+6)+(6﹣a )b=3(a+b ).∵S △AGC =S四边形AOCG ﹣S △AOC ,∴=3(a+b )﹣18,∵点G (a ,b )在抛物线y=﹣x 2+x+6的图象上,∴b=﹣a 2+a+6,∴=3(a ﹣a 2+a+6)﹣18,化简,得4a 2﹣24a+27=0,解之得a 1=,a 2=;故点G 的坐标为(,)或(,).3.【答案】(1)证明:∵∠C=∠D=∠AEB=90°,∴∠BEC+∠AED=∠AED+∠EAD=90°,∴∠BEC=∠EAD ,∴Rt △AED ∽Rt △EBC ,∴;(2)证明:如图1,过点G作GM⊥CD于点M,同(1)的理由可知:,∵,,∴,∴CB=GM,在△BCH和△GMH中,,∴△BCH≌△GMH(AAS),∴BH=GH;(3)证明:如图2,在EG上取点M,使∠BME=∠AFE,过点C作CN∥BM,交EG的延长线于点N,则∠N=∠BMG,∵∠EAF+∠AFE+∠AEF=∠AEF+∠AEB+∠BEM=180°,∠EFA=∠AEB,∴∠EAF=∠BEM,∴△AEF∽△EBM,∴,∵∠AEB+∠DEC=180°,∠EFA+∠DFE=180°,而∠EFA=∠AEB,∴∠CED=∠EFD,∵∠BMG+∠BME=180°,∴∠N=∠EFD,∵∠EFD+∠EDF+∠FED=∠FED+∠DEC+∠CEN=180°,∴∠EDF=∠CEN,∴△DEF∽△ECN,∴,又∵,∴,∴BM=CN,在△BGM和△CGN中,,∴△BGM≌△CGN(AAS),∴BG=CG.4.【答案】(1)解:∠BAC=90°,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB==45°,∵l∥BC,∴∠DAB=∠ABC=45°,∠EAC=∠ACE=45°,∴BD⊥AE,CE⊥DE,即∠BDA=∠CEA=90°,∴∠ABD=90°-45°=45°,∠ACE=90°-45°=45°,∴∠DAB=∠ABD=∠EAC=∠ACE=45°,∴AD=BD=ABsin∠DAB==1,∴AE=CE=ACsin∠EAC==1,∴DE=AD+AE=2;(2)解:(Ⅰ)DE=CE+BD;理由如下:∵BD⊥AE,CE⊥DE,∴∠BDA=∠CEA=90°,∴∠DAB+∠DBA=90°,∴∠BAC=90°,∴∠DAB+∠CAE=90°,∴∠DBA=∠CAE,∴AB=AC,∴△ABD≌△CAE,∴AD=CE,BD=AE,∴DE=AD+AE=CE+BD,即DE=CE+BD;(Ⅱ)BD=CE+DE,理由如下:∵BD⊥AE,CE⊥DE,∴∠BDA=∠CEA=90°,∴∠DAB+∠DBA=90°,∵∠BAC=90°,∴∠DAB+∠CAE=90°,∴∠DBA=∠CAE,∵AB=AC,∴△ABD≌△CAE(AAS),∴AD=CE,BD=AE,∴BD=AE=AD+DE=CE+DE,即BD=CE+DE.(3)解:由(2)可知,AD=CE=3,∴AE=AD+DE=3+1=4,在Rt△AEC中,AC==5,∵BD⊥AE,CE⊥AE,∴DF∥CE,∴,即,解得:AF=,∴CF=AC-AF=5-=,∵AB=AC=5,=CF×AB=××5=.∴S△BFC5.【答案】(1)解:=,Rt△ABC中,AC=BC,∴AB=CB,∠ABC=45°,∵四边形BDEF是正方形,∴BE=BF,∠EBF=45°,∴=,∠ABC=∠EBF=45°,∴∠ABE=∠CBF,∴△ABE∽△CBF,∴=;(2)解:①如图2-1,当点F在A、E之间时,∵AC=BC=6,∠ACB=90°,∴AB=6,又∵∠AFB=90°,∴AF==8,∴AE=8+2,由(1)知,AE=CF,∴CF=4+2;②如图2-2,当点E在A、F之间时,同理可得AF=8,AE=8−2,∴CF=4−2;综上所述:CF=4+2或4-2;(3)3+26.【答案】(1)解:如图所示:D点及为AB边上的“好点”(2)解:作AE⊥BC于点E,由,可设AE=4x,则BE=3x,CE=6x,∴BC=9x=9,∴,∴BE=3,CE=6,AE=4,设DE=a,①若点D在点E左侧,由点D是BC边上的“好点”知,,∴,即,解得,(舍去),∴.②若点D在点E右侧,由点D是BC边上的“好点”知,,∴,即,解得,(舍去)∴.∴或5.(3)解:①∵∠CHA=∠BHD,∠ACH=∠DBH∴△AHC∽△DHB∴,即∵OH⊥AB∴AH=BH∴∴点H是△BCD中CD边上的“好点”.②连接AD.∵∠ABD=90°∴AD为直径,∵OH⊥AB,OH=6∴,BD=2OH=12∴BH=AH=∴由①得:即∴CH=∴.7.【答案】(1)解:∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,即BD⊥AC∵AB=BC,∴△ABD≌△CBD∴∠ABD=∠CBD在⊙O中,AD与DE分别是∠ABD与∠CBD所对的弦∴AD=DE;(2)解:∵四边形ABED内接于⊙O,∴∠CED=∠CAB,∵∠C=∠C,∴△CED∽△CAB,∴,∵AB=BC=10,CE=2,D是AC的中点,∴CD=;(3)解:延长EF交⊙O于M,在Rt △ABD 中,AD=,AB=10,∴BD=3,∵EM ⊥AB ,AB 是⊙O 的直径,∴,∴∠BEP=∠EDB ,∴△BPE ∽△BED ,∴,∴BP=,∴DP=BD-BP=,∴S △DPE :S △BPE =DP :BP=13:32,∵S △BCD =××3=15,S △BDE :S △BCD =BE :BC=4:5,∴S △BDE =12,∴S △DPE =.8.【答案】(1)解:∵OE ⊥AB ,∠BAC =30°,OA =2,∴∠AOE =60°,OE =OA =1,AE =EB =OE =,∵AC 是直径,∴∠ABC =90°,∴∠C =60°,∵OC =OB ,∴△OCB 是等边三角形,∵OF =FC ,∴BF⊥AC,∴∠AFB=90°,∵AE=EB,∴EF=AB=.(2)解:①证明:如图2中,过点F作FG⊥AB于G,交OB于H,连接EH.∵∠FGA=∠ABC=90°,∴FG∥BC,∴△OFH∽△OCB,∴=,同理=,∴FH=OE,∵OE⊥AB.FH⊥AB,∴OE∥FH,∴四边形OEHF是平行四边形,∴PE=PF.②解:∵OE∥FG∥BC,∴=1,∴EG=GB,∴EF=FB,∵DF=EF,∴DF=BF,∵DO=OB,∴FO⊥BD,∴∠AOB=90°,∵OA=OB,∴△AOB是等腰直角三角形,∴∠BAC=45°.解法二:可以过E点作EG∥OB交AC于点G,连接DG.∵EG∥OB,AE=EB,∴AG=OG∵OF=FC,∴OG=OF,∴OD﹣FG,∵AE⊥OE,AG=OG,∴EG=AO=OG,∵∠DOG=∠FGE,∴DOG≌△FGE(SAS),∴DG=EF,∵DF=EF,∴DG=DF,∴DO⊥FG,∴EG⊥AO,∴EA=EO,∴∠BAC=45°9.【答案】(1)解:∵四边形ABCD是矩形,AB=8,AD=10,∴AD=BC=10,AB=CD=8,∠D=∠DCB=∠ABC=90°,由折叠对称性:AF=AD=10,FE=DE,在Rt△ABF中,BF==6,∴FC=4,设DE=x,则CE=8﹣x,在Rt△ECF中,42+(8﹣x)2=x2,得x=5,∴CE=8﹣x=3,∵点B的坐标为(m,0),∴点E的坐标为(m﹣10,3),点F的坐标为(m﹣6,0)(2)解:分三种情形讨论:若AO=AF,∵AB⊥OF,BF=6,∴OB=BF=6,∴m=﹣6;若OF=AF,则m﹣6=﹣10,得m=﹣4;若AO=OF,在Rt△AOB中,AO2=OB2+AB2=m2+64,∴(m﹣6)2=m2+64,得m=﹣;由上可得,m=﹣6或﹣4或﹣(3)解:由(1)知A(m,8),E(m﹣10,3),∵抛物线y=a(x﹣m+6)2+h经过A、E两点,∴,解得,,∴该抛物线的解析式为y=(x﹣m+6)2﹣1,∴点M的坐标为(m﹣6,﹣1),设对称轴交AD于G,∴G(m﹣6,8),∴AG=6,GM=8﹣(﹣1)=9,∵∠OAB+∠BAM=90°,∠BAM+∠MAG=90°,∴∠OAB=∠MAG,又∵∠ABO=∠MGA=90°,∴△AOB∽△AMG,∴,即,解得,m=﹣12,由上可得,a=,h=﹣1,m=﹣12.10.【答案】(1)圆内接四边形对角互补;同圆中,同弧所对的圆周角相等(2)45°(3)解:①,,点与点关于对称,,,四点共圆;②,理由如下,如图,四点共圆,,关于对称,,,,,,,,又,,,,,.11.【答案】(1)解:∵,,∴,∴,又∵,,∴(SAS),∴,,∵,,∴,∵若三点共线,∴,如图,过B点作BH⊥CE交CE延长线于点H,∴,∴,即:点B到直线的距离为;(2)解:延长CF到N,使FN=CF,连接BN,∵FD=FB,,∴(SAS)∴,∵,∴,又∵,∴,∴,又∵,,∴(SAS ),∴,又∵,∴,∴,即,(3)解:的最小值为;过程如下:如解图3,过点G 作,且,过点G 作,且,连接OC 、、,∴,,∴,∵,∴,∴,即,∵,∴,∵,仅当C 、O 、、在同一条直线上等号成立;如解图4,过点作,垂足为H,过点作,垂足为P,∵,∴,,∵,∴,∴,∵,∴,∴,,∴,,∴,∴,∴的最小值为:,∴的最小值为. 12.【答案】(1)解:证明:如图1,连接OD,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,∴=,又∵OD是半径,∴OD⊥BC,∵MN∥BC,∴OD⊥MN,∴MN是⊙O的切线;(2)证明:如图2,连接AO并延长交⊙O于H,∵AH是直径,∴∠ABH=90°=∠AFC,又∵∠AHB=∠ACF,∴△ACF∽△AHB,∴,∴AB•AC=AF•AH=2R•h;(3)解:如图3,过点D作DQ⊥AB于Q,DP⊥AC,交AC延长线于P,连接CD,∵∠BAC=2α,AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD=α,∴=,∴BD=CD,∵∠BAD=∠CAD,DQ⊥AB,DP⊥AC,∴DQ=DP,∴Rt△DQB≌Rt△DPC(HL),∴BQ=CP,∵DQ=DP,AD=AD,∴Rt△DQA≌Rt△DPA(HL),∴AQ=AP,∴AB+AC=AQ+BQ+AC=2AQ,∵cos∠BAD=,∴AD=,∴==2cosα.13.【答案】(1)(2)解:①∵,,,∴,,,∵,∴,∴,化简得:,解得或,∵,∴,∴,作轴于点如图1,在中,;②∵,∴,∴.∴,轴,∴,又∵,∴,∴,∴,∴,∴,∵,,设直线为,解得直线的解析式为,,∴,∴,解得,12,,经检验知,,12,都是原方程的解,∵,∴,.14.【答案】(1)解:把A(-1,0),B(5,0)代入y=ax2+bx-5可得,解得二次函数的解析式为y=x2-4x-5.(2)解:如图1,令x=0,则y=−5,∴C(0,−5),∴OC=OB,∴∠OBC=∠OCB=45°,∴AB=6,BC=5,要使以B,C,D为顶点的三角形与△ABC相似,则有或,当时,CD=AB=6,∴D(0,1),当时,∴,∴CD=,∴D(0,),即:D的坐标为(0,1)或(0,);(3)解:设H(t,t2-4t-5)∥x轴,,又因为点E在抛物线上,即,解得(舍去)∴BC所在直线解析式为y=x-5,∴则,而CE是定值,∴当HF的值最大时,四边形CHEF有最大面积。
初三数学相似三角形经典题(含答案)
相似三角形经典习题例1 从下面这些三角形中,选出相似的三角形.例2 已知:如图,ABCD 中,2:1:=EB AE ,求AEF ∆与CDF ∆的周长的比,若是2cm 6=∆AEF S ,求CDF S ∆.例3 如图,已知ABD ∆∽ACE ∆,求证:ABC ∆∽ADE ∆.例4 以下命题中哪些是正确的,哪些是错误的?(1)所有的直角三角形都相似. (2)所有的等腰三角形都相似.(3)所有的等腰直角三角形都相似. (4)所有的等边三角形都相似.例5 如图,D 点是ABC ∆的边AC 上的一点,过D 点画线段DE ,使点E 在ABC ∆的边上,而且点D 、点E 和ABC ∆的一个极点组成的小三角形与ABC ∆相似.尽可能多地画出知足条件的图形,并说明线段DE 的画法.例6 如图,一人拿着一支刻有厘米分画的小尺,站在距电线杆约30米的地址,把手臂向前伸直,小尺竖直,看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆,已知手臂长约60厘米,求电线杆的高.例7 如图,小明为了测量一高楼MN 的高,在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜,小明沿NA 后退到C 点,正好从镜中看到楼顶M 点,假设5.1=AC m ,小明的眼睛离地面的高度为,请你帮忙小明计算一下楼房的高度(精准到).例8 格点图中的两个三角形是不是是相似三角形,说明理由.例9 依照以下各组条件,判定ABC ∆和C B A '''∆是不是相似,并说明理由:(1),cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A .(2)︒='∠︒='∠︒=∠︒=∠35,44,104,35A C B A .(3)︒='∠=''=''︒=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB .例10 如图,以下每一个图形中,存不存在相似的三角形,若是存在,把它们用字母表示出来,并简要说明识别的依照.例11 已知:如图,在ABC ∆中,BD A AC AB ,36,︒=∠=是角平分线,试利用三角形相似的关系说明AC DC AD ⋅=2.例12 已知ABC ∆的三边长别离为五、1二、13,与其相似的C B A '''∆的最大边长为26,求C B A '''∆的面积S .例13 在一次数学活动课上,教师让同窗们到操场上测量旗杆的高度,然后回来交流各自的测量方式.小芳的测量方式是:拿一根高米的竹竿直立在离旗杆27米的C 处(如图),然后沿BC 方向走到D 处,这时目测旗杆顶部A 与竹竿顶部E 恰好在同一直线上,又测得C 、D 两点的距离为3米,小芳的目高为米,如此即可明白旗杆的高.你以为这种测量方式是不是可行?请说明理由.例14.如图,为了估算河的宽度,咱们能够在河对岸选定一个目标作为点A ,再在河的这一边选点B 和C ,使BC AB ⊥,然后再选点E ,使BC EC ⊥,确信BC 与AE 的交点为D ,测得120=BD 米,60=DC 米,50=EC 米,你能求出两岸之间AB 的大致距离吗?例15.如图,为了求出海岛上的山峰AB 的高度,在D 和F 处树立标杆DC 和FE ,标杆的高都是3丈,相隔1000步(1步等于5尺),而且AB 、CD 和EF 在同一平面内,从标杆DC 退后123步的G 处,可看到山峰A 和标杆顶端C 在一直线上,从标杆FE 退后127步的H 处,可看到山峰A 和标杆顶端E 在一直线上.求山峰的高度AB 及它和标杆CD 的水平距离BD 各是多少?(古代问题)例16 如图,已知△ABC 的边AB =32,AC =2,BC 边上的高AD =3.(1)求BC 的长;(2)若是有一个正方形的边在AB 上,另外两个极点别离在AC ,BC 上,求那个正方形的面积.。
初中数学相似三角形的经典综合题
初中数学相似三角形的性质与应用经典试题一、知识体系:1.相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等; ②相似三角形的对应边成比例;③相似三角形对应边上的高之比,对应边上的中线之比,对应角的角平分线之比都等于相似比; ④相似三角形的周长之比等于相似比。
⑤相似三角形的面积之比等于相似比的平方(2k )。
二、典型例题:例1:若△ABC∽△A′B′C′,且,,34AB A B ,△ABC 的周长为15cm ,则△A′B′C′的周长为( ) A .18 B .20 C .154 D .803针对练习:1.已知△ABC∽△DEF,且△ABC 的三边长为3、4、5,若△DEF 的周长为6,那么下列不可能是△DEF 一边长的是( ) A .1.5 B .2 C .2.5 D .32.一直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x ,那么x 的值为( ) A .7 B .5 C .7或5 D .无数个例2:(2014江苏南京,3)若△ABC ∽△A′B′C′,相似比为1:2,则△ABC 与△A′B′C′的面积的比为( ) A .1:2 B .2:1 C .1:4 D .4:1 针对练习:1.两相似三角形的最短边分别是5cm 和3cm ,它们的面积之差为322cm ,那么小三角形的面积为( ) A .102cm B .142cm C .162cm D .182cm2.如图,DE ∥BC ,若AD =1,BD =2,则△ADE 与四边形DBCE 面积之比是 ▲ 。
3.如图,平行四边形ABCD 中,E 是CD 的延长线上一点,BE 与AD 交于点F ,CD =2DE ,若△DEF 的面积为a ,则平行四边形ABCD 的面积为 ▲ (用a 的代数式表示)。
4.如图,在四边形ABCD 中,E 是AD 上的一点,EC ∥AB ,EB ∥DC ,若△ABE 的面积为3,△ECD 的面积为1,则△BCE5.如图,在平行四边形ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O 。
相似三角形经典题型
相似三角形经典题型一、相似三角形的判定定理相关题型1. 题目已知在△ABC和△A'B'C'中,∠A = 50°,AB = 3cm,AC = 4cm,∠A'= 50°,A'B'= 6cm,A'C' = 8cm。
判断这两个三角形是否相似。
解析根据相似三角形的判定定理:如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似。
在△ABC和△A'B'C'中,(AB)/(A'B')=(3)/(6)=(1)/(2),(AC)/(A'C')=(4)/(8)=(1)/(2),且∠A = ∠A' = 50°。
所以△ABC∽△A'B'C'。
2. 题目如图,在四边形ABCD中,∠B = ∠ACD,AB = 6,BC = 4,AC = 5,CD=(7)/(2),求AD的长。
解析因为∠B = ∠ACD,且(AB)/(AC)=(6)/(5),(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7),(AC)/(AD)未知。
又因为(AB)/(AC)=(6)/(5),(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7),不满足三边对应成比例。
但是由∠B = ∠ACD,(AB)/(AC)=(6)/(5),(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7),可以尝试证明△ABC和△ACD相似。
因为∠B = ∠ACD,(AB)/(AC)=(6)/(5),(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7),这里我们重新计算(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)是错误的,应该是(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7),(AB)/(AC)=(6)/(5),(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)(AB)/(AC)=(6)/(5),(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)(AB)/(AC)=(BC)/(CD)所以△ABC∽△DCA。
初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)
初中数学经典相似三⾓形练习题(附参考答案)经典练习题相似三⾓形(附答案)⼀.解答题(共30 ⼩题)1..如图,在△A中B,C DE∥BC,EF∥AB,求证:△ADE∽△EFC .2..如图,梯形A BCD 中,AB∥CD,点F 在BC 上,连DF 与AB 的延长线交于点G.(1 )求证:△CDF∽△BGF;(2 )当点 F 是BC 的中点时,过 F 作EF∥C D交AD 于点E,若AB=6cm ,EF=4cm ,求CD 的长.3..如图,点 D ,E 在BC 上,且FD∥ AB,FE∥AC.求证:△ABC∽△FDE .4..如图,已知E是矩形ABCD 的边CD 上⼀点,BF⊥A于E F,试说明:△ABF ∽△EAD.5..已知:如图①所⽰,在△和△ABA C DE中,AB=AC ,AD=AE ,∠BAC= ∠DAE,且点B,A ,D 在⼀条直线上,连接BE,CD ,M ,N 分别为BE,CD 的中点.(1 )求证:①BE=CD ;②△A是MN等腰三⾓形;(2 )在图①的基础上,将△绕点AD A E 按顺时针⽅向旋转180 °,其他条件不变,得到图②所⽰的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成⽴;(3 )在(2 )的条件下,请你在图②中延长ED 交线段BC 于点P.求证:△PBD∽△AMN.6..如图,E 是? ABCD 的边BA 延长线上⼀点,连接EC,交AD 于点F.在不添加辅助线的情况下,请你写出图中所有的相似三⾓形,并任选⼀对相似三⾓形给予证明.和A△BC DE的F顶点都在边长为 1 的⼩正⽅形的顶点上.7..如图,在 4 ×3的正⽅形⽅格中,△(1 )填空:∠A BC= °,BC= ;(2 )判断△AB与C△DEC是否相似,并证明你的结论.8..如图,已知矩形ABCD 的边长AB=3cm ,BC=6cm .某⼀时刻,动点M 从A 点出发沿AB ⽅向以1cm/s的速度向 B 点匀速运动;同时,动点N 从D 点出发沿DA ⽅向以2cm/s 的速度向 A 点匀速运动,问:(1 )经过多少时间,△的A M⾯N积等于矩形ABCD ⾯积的?(2 )是否存在时刻t ,使以 A ,M ,N 为顶点的三⾓形与△相A似CD?若存在,求t 的值;若不存在,请说明理由.9..如图,在梯形ABCD 中,若AB∥DC,AD=BC ,对⾓线BD 、AC 把梯形分成了四个⼩三⾓形.(1 )列出从这四个⼩三⾓形中任选两个三⾓形的所有可能情况,并求出选取到的两个三⾓形是相似三⾓形的概率是多少;(注意:全等看成相似的特例)(2 )请你任选⼀组相似三⾓形,并给出证明.10 .如图△AB中C,D 为AC 上⼀点,CD=2DA ,∠BAC=45 °,∠BDC=60 °,CE于⊥EB,D连接AE .(1 )写出图中所有相等的线段,并加以证明;(2 )图中有⽆相似三⾓形?若有,请写出⼀对;若没有,请说明理由;(3 )求△BE与C△BEA的⾯积之⽐.11 .如图,在△A中B,C AB=AC=a ,M 为底边BC 上的任意⼀点,过点M 分别作AB 、AC 的平⾏线交AC于P,交AB 于Q .(1 )求四边形AQMP 的周长;(2 )写出图中的两对相似三⾓形(不需证明);(3 )M 位于BC 的什么位置时,四边形AQMP 为菱形并证明你的结论.12 .已知:P 是正⽅形ABCD 的边BC 上的点,且BP=3PC ,M 是CD 的中点,试说明:△ADM∽△MCP.13 .如图,已知梯形ABCD 中,AD∥BC,AD=2 ,AB=BC=8 ,CD=10 .(1 )求梯形ABCD 的⾯积S;(2 )动点P 从点 B 出发,以1cm/s 的速度,沿B? A ? D ? C ⽅向,向点 C 运动;动点Q 从点 C 出发,以1cm/s 的速度,沿C? D? A ⽅向,向点 A 运动,过点Q 作QE⊥BC 于点E.若P、Q 两点同时出发,当其中⼀点到达⽬的地时整个运动随之结束,设运动时间为t 秒.问:①当点P 在B? A 上运动时,是否存在这样的t ,使得直线PQ 将梯形ABCD 的周长平分?若存在,请求出t 的值;若不存在,请说明理由;②在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、A、D 为顶点的三⾓形与△相C似Q?E 若存在,请求出所有符合条件的t 的值;若不存在,请说明理由;③在运动过程中,是否存在这样的t ,使得以P、D、Q 为顶点的三⾓形恰好是以DQ 为⼀腰的等腰三⾓形?若存在,请求出所有符合条件的t 的值;若不存在,请说明理由.14 .已知矩形ABCD ,长BC=12cm ,宽AB=8cm ,P、Q 分别是AB 、BC 上运动的两点.若P ⾃点 A 出发,以1cm/s 的速度沿AB ⽅向运动,同时,Q ⾃点 B 出发以2cm/s 的速度沿BC ⽅向运动,问经过⼏秒,以P、B、Q 为顶点的三⾓形与△相B似DC?15 .如图,在△A中B,C AB=10cm ,BC=20cm ,点P 从点 A 开始沿AB 边向 B 点以2cm/s 的速度移动,点Q 从点B 开始沿BC 边向点 C 以4cm/s 的速度移动,如果P、Q 分别从 A 、B 同时出发,问经过⼏秒钟,△PBQ与△ABC相似.16 .如图,∠ACB= ∠ADC=90 A°C,= ,AD=2 .问当AB 的长为多少时,这两个直⾓三⾓形相似.17 .已知,如图,在边长为 a 的正⽅形ABCD 中,M 是AD 的中点,能否在边AB 上找⼀点N(不含 A 、B),使得△CDM与△MAN相似?若能,请给出证明,若不能,请说明理由.18 .如图在△A中BC,∠C=90 °B,C=8cm ,AC=6cm ,点Q 从B 出发,沿BC ⽅向以2cm/s 的速度移动,点P 从C 出发,沿CA ⽅向以1cm/s 的速度移动.若Q 、P 分别同时从B、C 出发,试探究经过多少秒后,以点C、P、Q 为顶点的三⾓形与△相C似B?A19 .如图所⽰,梯形ABCD 中,AD∥BC,∠A=90 °A B,=7 ,AD=2 ,BC=3 ,试在腰AB 上确定点P 的位置,使得以P,A ,D 为顶点的三⾓形与以P,B,C 为顶点的三⾓形相似.20 .△ABC和△DE是F两个等腰直⾓三⾓形,∠A= ∠D=90 °的,顶△点E D E位F于边BC 的中点上.(1 )如图 1 ,设DE 与AB 交于点M ,EF与AC 交于点N ,求证:△BEM∽△CNE;(2 )如图 2 ,将△D E绕F点E 旋转,使得DE 与BA 的延长线交于点M ,EF 与AC 交于点N ,于是,除(1)中的⼀对相似三⾓形外,能否再找出⼀对相似三⾓形并证明你的结论.21 .如图,在矩形ABCD 中,AB=15cm ,BC=10cm ,点P 沿AB 边从点 A 开始向 B 以2cm/s 的速度移动;点Q 沿DA 边从点 D 开始向点 A 以1cm/s 的速度移动.如果P、Q 同时出发,⽤t(秒)表⽰移动的时间,C那么当t 为何值时,以点Q 、A 、P 为顶点的三⾓形与△相A似B.22 .如图,路灯(P 点)距地⾯8 ⽶,⾝⾼ 1.6 ⽶的⼩明从距路灯的底部(O 点)20 ⽶的 A 点,沿OA 所在的直线⾏⾛14 ⽶到B 点时,⾝影的长度是变长了还是变短了?变长或变短了多少⽶?23 .阳光明媚的⼀天,数学兴趣⼩组的同学们去测量⼀棵树的⾼度(这棵树底部可以到达,顶部不易到达),他们带了以下测量⼯具:⽪尺,标杆,⼀副三⾓尺,⼩平⾯镜.请你在他们提供的测量⼯具中选出所需⼯具,设计⼀种测量⽅案.(1 )所需的测量⼯具是:;(2 )请在下图中画出测量⽰意图;(3 )设树⾼AB 的长度为x,请⽤所测数据(⽤⼩写字母表⽰)求出x.24 .问题背景在某次活动课中,甲、⼄、丙三个学习⼩组于同⼀时刻在阳光下对校园中⼀些物体进⾏了测量.下⾯是他们通过测量得到的⼀些信息:甲组:如图 1 ,测得⼀根直⽴于平地,长为80cm 的⽵竿的影长为60cm .⼄组:如图 2 ,测得学校旗杆的影长为900cm .丙组:如图 3 ,测得校园景灯(灯罩视为球体,灯杆为圆柱体,其粗细忽略不计)的⾼度为200cm ,影长为156cm .任务要求:(1 )请根据甲、⼄两组得到的信息计算出学校旗杆的⾼度;(2 )如图 3 ,设太阳光线NH 与⊙O相切于点M .请根据甲、丙两组得到的信息,求景灯灯罩的半径.(友情提⽰:如图 3 ,景灯的影长等于线段NG 的影长;需要时可采⽤等式156 2+208 2 =260 2)25 .阳光通过窗⼝照射到室内,在地⾯上留下 2.7m 宽的亮区(如图所⽰),已知亮区到窗⼝下的墙脚距离EC=8.7m ,窗⼝⾼AB=1.8m ,求窗⼝底边离地⾯的⾼BC.26 .如图,李华晚上在路灯下散步.已知李华的⾝⾼AB=h ,灯柱的⾼OP=O′P′=两l 灯,柱之间的距离OO′=m.(1 )若李华距灯柱OP 的⽔平距离OA=a ,求他影⼦AC 的长;(2 )若李华在两路灯之间⾏⾛,则他前后的两个影⼦的长度之和(DA+AC )是否是定值请说明理由;(3 )若李华在点 A 朝着影⼦(如图箭头)的⽅向以v 1匀速⾏⾛,试求他影⼦的顶端在地⾯上移动的速度v 2.27 .如图①,分别以直⾓三⾓形ABC 三边为直径向外作三个半圆,其⾯积分别⽤S1,S2 ,S3 表⽰,则不难证明S1 =S 2 +S 3 .(1 )如图②,分别以直⾓三⾓形ABC 三边为边向外作三个正⽅形,其⾯积分别⽤S1 ,S2,S3 表⽰,那么S1,S2 ,S3 之间有什么关系;(不必证明)(2 )如图③,分别以直⾓三⾓形ABC 三边为边向外作三个正三⾓形,其⾯积分别⽤S1、S2、S3 表⽰,请你确定S1 ,S2,S3 之间的关系并加以证明;(3 )若分别以直⾓三⾓形ABC 三边为边向外作三个⼀般三⾓形,其⾯积分别⽤S1 ,S2 ,S3 表⽰,为使S1,S2,S3 之间仍具有与(2)相同的关系,所作三⾓形应满⾜什么条件证明你的结论;(4 )类⽐(1 ),(2 ),(3 )的结论,请你总结出⼀个更具⼀般意义的结论.28 .已知:如图,△ABC∽△AB A=D1E5,,AC=9 ,BD=5 .求AE .29 .已知:如图Rt △ABC∽Rt △BDC,AB若=3 ,AC=4 .(1 )求BD 、CD 的长;(2 )过 B 作BE⊥ DC 于E,求BE 的长.﹣2y=40 ,求x,y,z 的值;30 .(1 )已知,且3x+4z(2 )已知:两相似三⾓形对应⾼的⽐为 3 :10 ,且这两个三⾓形的周长差为560cm ,求它们的周长.参考答案与试题解析⼀.解答题(共 30 ⼩题)1..如图,在△ A 中B ,C DE ∥ BC , EF ∥ AB ,求证:△ ADE ∽△ EFC .ADE ∽2. .如图,梯形 A BCD 中, AB ∥ CD ,点F 在 BC 上,连 DF 与 AB 的延长线交于点 G .考点:相似三⾓形的判定;平⾏线的性质。
相似三角形典型例题30道
相似三角形典型例题30道1: 在△ABC中,DE是平行于BC的线段,且AD/DB = 2/3。
求DE/BC的比值。
2: 已知△PQR与△XYZ相似,PQ = 6,XY = 9,求QR 与YZ的比值。
3: 在△ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,且DE平行于BC,已知AD = 3,DB = 6,求AE与EC的比值。
4: 已知两个相似三角形的面积比为4:9,求它们对应边的比。
5: 在△XYZ中,MN是平行于XY的线段,且XM = 4,MY = 6,求MN/XY的比值。
6: 在△ABC中,AD是BC的中线,且AE是AB的延长线,若AE与BC相交于点F,求AF与FB的比值。
7: 在△DEF中,GH平行于EF,已知DE = 8,DF = 10,求GH/EF的比值。
8: 在一个相似三角形中,若大三角形的周长是36,小三角形的周长是24,求它们的面积比。
9: 在△JKL中,MN平行于JK,若JM = 3,MK = 5,求MN/JK的比值。
10: 如果两个相似三角形的对应边长分别为5和15,求它们的面积比。
11: 在△ABC中,AD是BC的中线,且DE平行于BC,已知AD = 4,BC = 8,求DE的长度。
12: 已知相似三角形的对应边长比为1:4,求它们的周长比。
13: 在△PQR中,S是PQ的中点,若ST平行于QR,求PS与PQ的比值。
14: 在相似三角形中,若小三角形的每条边长为5,大三角形的对应边长为15,求它们的面积比。
15: 在一个三角形中,若一条边的延长线与另一边的平行线相交,则形成的两小三角形与原三角形相似,求相似比。
16: 在△XYZ中,若XY = 10,XZ = 15,YZ = 12,求△XYZ的周长。
17: 已知△ABC与△DEF相似,若AB = 4,DE = 8,求AC与DF的比值。
18: 在△GHI中,JK平行于GH,若GJ = 5,GH = 20,求JK的长度。
19: 在相似三角形中,若一个三角形的面积是36,另一个三角形的面积是144,求其对应边的比。
相似三角形综合题锦(含答案)
一、相似三角形中的动点问题1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,过点B作射线BB1∥AC.动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动,同时动点E从点C沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动.过点D作DH⊥AB于H,过点E作EF⊥AC交射线BB1于F,G是EF中点,连接DG.设点D运动的时间为t秒.(1)当t为何值时,AD=AB,并求出此时DE的长度;(2)当△DEG与△ACB相似时,求t的值.2.如图,在△ABC 中,ABC=90°,AB=6m,BC=8m,动点P以2m/s的速度从A点出发,沿AC向点C移动.同时,动点Q以1m/s的速度从C点出发,沿CB向点B移动.当其中有一点到达终点时,它们都停止移动.设移动的时间为t秒.(1)①当t=2.5s时,求△CPQ的面积;②求△CPQ的面积S(平方米)关于时间t(秒)的函数解析式;(2)在P,Q移动的过程中,当△CPQ为等腰三角形时,求出t的值.3.如图1,在Rt△ABC 中,ACB=90°,AC=6,BC=8,点D在边AB上运动,DE 平分CDB交边BC于点E,EM⊥BD,垂足为M,EN⊥CD,垂足为N.(1)当AD=CD时,求证:DE∥AC;(2)探究:AD为何值时,△BME与△CNE相似?4.如图所示,在△ABC中,BA=BC=20cm,AC=30cm,点P从A点出发,沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动;同时点Q从C点出发,沿CA以每秒3cm的速度向A点运动,当P点到达B点时,Q点随之停止运动.设运动的时间为x.(1)当x为何值时,PQ∥BC?(2)△APQ与△CQB能否相似?若能,求出AP的长;若不能说明理由.5.如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P 沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动;点Q 沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(s)表示移动的时间(0<t <6)。
初三数学相似三角形经典题型
初三数学相似三角形经典题型
以下是关于初三数学相似三角形的经典题型:
1. 题目:在△ABC中,∠BAC=60°,AB=2,AC=1,D是BC上一点,向量AD=x倍的向量AB加上y倍的向量AC,且x+y=1,则AD的长度的最小值为 _______.
2. 题目:在△ABC中,AB = 3,AC = 4,∠BAC = 60°,若 P 是 BC 边上的一个动点,且ΔABP 与∆ABC 相似,则 AP 的最小值为 _______.
3. 题目:在△ABC中,AB = AC,D是BC上一点,∠BAC = 120°,则
AD/AB 的值为 _______.
4. 题目:已知:$A,H,B,C,D,E,F$七点中的每三个点都不在一条直线上,从这七点中选三个点连成三角形.一共可以画出$42$个三角形(当这七点排成一条直线时,可以构成$3$个三角形),其中有几条与线段BC构成等腰三角形?
5. 题目:在△ABC中,∠BAC = 60°,AB = 2,AC = 1,D是BC上一点,向量AD = x倍的向量AB + y倍的向量AC (x + y = 1),则向量AD模的最小值为 _______.
以上题目均考察了相似三角形的性质和判定方法。
解决这类问题时,需要灵活运用相似三角形的性质和判定定理。
中考相似三角形经典综合题
中考相似三角形经典综合题1、如图,在平面直角坐标系中,点0为坐标原点,A点的坐标为(3,0),以0A为边作等边三角形OAB,点B在第一象限,过点B作AB的垂线交x轴于点C.动点P从0点出发沿0C 向C点运动,动点Q从B点出发沿BA向A点运动,P,Q两点同时出发,速度均为1个单位/秒。
设运动时间为t秒.(1)求线段BC的长;(2)连接PQ交线段OB于点E,过点E作x轴的平行线交线段BC于点F。
设线段EF的长为m,求m与t之间的函数关系式,并直接写出自变量t的取值范围:(3)在(2)的条件下,将4BEF绕点B逆时针旋转得到△BER,使点E的对应点E i落在线2、在平面直角坐标系中,已知点A (-2 Z0BA. (I)如图①,求点E的坐标;0),点B (0, 4),点E 在OB 上,且N OAE=(II)如图②,将4AEO沿x轴向右平移得到△A‘E'O',连接A‘B、BE’.①设AA'二m,其中0V m<2,试用含m的式子表示A,B2+BE,2,并求出使A,B2+BE,2取得最小值时点E'的坐标;②当A'B+BE’取得最小值时图①3、如图,在4ABC中,N C=90°, BC=3, AB=5.^ P从点B出发,以每秒1个单位长度沿B f C-A-B的方向运动;点Q从点C出发,以每秒2个单位沿C f A f B方向的运动,到达点B后立即原速返回,若P、Q两点同时运动,相遇后同时停止,设运动时间为i秒.(1)当1= 7时,点P与点Q相遇;(2)在点P从点B到点C的运动过程中,当i为何值时,4PCQ为等腰三角形?(3)在点Q从点B返回点A的运动过程中,设4PCQ的面积为s平方单位.①求s与i之间的函数关系式;②当s最大时,过点P作直线交AB于点D,将4ABC中沿直线PD折叠,使点A落在直线PC上,求折叠后的4APD与4PCQ重叠部分的面积.4、如图,点A是4ABC和^ADE的公共顶点,Z BAC + Z DAE =180°, AB=k- AE, AC=k- AD,点M是DE的中点,直线AM交直线BC于点N.(1)探究/ANB与Z BAE的关系,并加以证明.(2)若^ADE绕点A旋转,其他条件不变,则在旋转的过程中(1)的结论是否发生变化?如果没有发生变化,请写出一个可以推广的命题;如果有变化,请画出变化后的一个图形,5.如图,已知一个三角形纸片ABC, BC边的长为8, BC边上的高为6 , /B和NC都为锐角,M为AB一动点(点M与点A、B不重合),过点M作MN〃BC,交AC于点N , 在^AMN中,设MN的长为x , MN上的高为h .(1)请你用含x的代数式表示h .(2)将^AMN沿MN折叠,使△ AMN落在四边形BCNM所在平面,设点A落在平面并证明变化后Z ANB与Z BAE的关系.的点为A1, △ 41 MN与四边形BCNM重叠部分的面积为y,当x为何值时,y最大,最大值为多少?A6.已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EFLBD交BC于F,连接DF, G为DF中点,连接EG, CG.(1)求证:EG=CG;(2)将图①中4BEF绕B点逆时针旋转45°,如图②所示,取DF中点G,连接EG, CG.问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.(3)将图①中4BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1) 中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论?图③7.如图,抛物线经过4(4,0), B(1,0), C(0,-2)三点.(1)求出抛物线的解析式;(2) P是抛物线上一动点,过P作PM 1 x轴,垂足为M,是否存在P点,使得以4, P, M 为顶点的三角形与404。
相似三角形测试题及答案
相似三角形测试题及答案一、选择题1. 若三角形ABC与三角形DEF相似,且AB:DE = 2:3,则BC:EF的比值为:A. 2:3B. 3:2C. 4:6D. 3:4答案:B2. 在相似三角形中,对应角相等,对应边成比例。
以下哪项不是相似三角形的性质?A. 对应角相等B. 对应边成比例C. 周长比等于相似比D. 面积比等于相似比的平方答案:D二、填空题3. 若三角形ABC与三角形DEF相似,相似比为2:3,则三角形ABC的周长是三角形DEF周长的____。
答案:2/34. 若三角形ABC与三角形DEF相似,且AB = 6cm,DE = 9cm,则BC 与EF的比值为______。
答案:2:3三、解答题5. 已知三角形ABC与三角形DEF相似,且AB = 8cm,DE = 12cm,求三角形ABC的周长,已知三角形DEF的周长为36cm。
答案:三角形ABC的周长 = (8/12) * 36cm = 24cm6. 已知三角形ABC与三角形DEF相似,且∠A = ∠D = 50°,∠B =∠E = 60°,求∠C和∠F的度数。
答案:∠C = ∠F = 70°四、证明题7. 已知三角形ABC与三角形DEF相似,且AB = 4cm,DE = 6cm,BC = 5cm,EF = 7.5cm,证明AC = 6.25cm。
答案:由于三角形ABC与三角形DEF相似,根据相似三角形的性质,对应边成比例,所以AC/DF = AB/DE = 4/6 = 2/3。
已知EF = 7.5cm,所以AC = (2/3) * EF = (2/3) * 7.5cm = 5cm。
因此,AC = 6.25cm。
8. 已知三角形ABC与三角形DEF相似,且∠A = ∠D,∠B = ∠E,求证:∠C = ∠F。
答案:由于三角形ABC与三角形DEF相似,根据相似三角形的性质,对应角相等。
已知∠A = ∠D,∠B = ∠E,所以∠C = 180° - (∠A+ ∠B) = 180° - (∠D + ∠E) = ∠F。
中考相似三角形经典题集锦
中考相似三角形经典题集锦1、如图,Rt三角形ABC中,∠BAC=90度,AB=AC=2,点D在BC上运动(不能经过B、C),过D作∠ADE=45度,DE交AC于E。
1)三角形ABD与三角形ABC一定相似,因为∠BAC=∠BAD=90度,∠ABD=∠ACB,且AB=AC;2)设BD=x,则AD=2-x,DE=x/2,由三角形ADE的余弦定理可得y=(2-x)²/2-x/2;定义域为0<x<2;3)当三角形ADE为等腰三角形时,有x=2/√3,代入公式得AE=2-√3.2、已知:∠A=90°,矩形DGFE的D、E分别在AB、AC上,G、F在BC上1)由勾股定理可得DG²+GF²=DF²,代入BG=22,FC=2可得DG=4,GF=5,因此DGFE为3×4的正方形,边长为12;2)由矩形面积公式可得y=xy/2,即y=x²/2;当y=10时,代入公式得AD=4/√5.3、如图,矩形EFGD的边EF在三角形ABC的BC边上,顶点D、G分别在边AB、AC上.已知AB=AC=5,BC=6,设BE=x,矩形EFGD的面积为y。
1)由相似三角形可得EF=5x/6,DG=5-5x/6,因此y=x(5x/6-5)/2;定义域为0<x<6/5;2)当三角形GEC为等腰三角形时,有x=3/5,代入公式得y=9/4.4、在Rt三角形ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,E、F分别是AC、BC边上一点,且CE=AC,BF=BC。
1)由相似三角形可得CD=AB×BC/AC,BD=AB×AC/BC,因此XXX;2)由角平分线定理可得∠EDF=∠ADB=45°。
5、已知:在四边形ABCD中,∠B=90°,AD//BC,AB=2,AD=4,M是边CD中点,设BC=x,△ABM的面积为y。
相似三角形经典练习题及答案
相似三角形经典练习题及答案一、选择题1、若两个相似三角形的面积之比为 1∶4,则它们的周长之比为()A 1∶2B 1∶4C 1∶5D 1∶16答案:A解析:相似三角形面积的比等于相似比的平方,相似三角形周长的比等于相似比。
因为两个相似三角形的面积之比为 1∶4,所以相似比为 1∶2,那么它们的周长之比为 1∶2。
2、如图,在△ABC 中,点 D、E 分别在边 AB、AC 上,DE∥BC,若 AD∶DB = 1∶2,则下列结论中正确的是()A AE∶EC = 1∶2B AE∶EC = 1∶3 C DE∶BC = 1∶2 DDE∶BC = 1∶3答案:B解析:因为 DE∥BC,所以△ADE∽△ABC。
因为 AD∶DB =1∶2,所以 AD∶AB = 1∶3。
因为相似三角形对应边成比例,所以AE∶AC = AD∶AB = 1∶3,所以 AE∶EC = 1∶2。
3、已知△ABC∽△A'B'C',相似比为 3∶4,△ABC 的周长为 6,则△A'B'C'的周长为()A 8B 7C 9D 10答案:A解析:因为相似三角形周长的比等于相似比,所以△ABC 与△A'B'C'的周长之比为3∶4。
设△A'B'C'的周长为x,则6∶x =3∶4,解得 x = 8。
4、如图,在△ABC 中,D、E 分别是 AB、AC 上的点,且DE∥BC,如果 AD = 2cm,DB = 1cm,AE = 15cm,则 EC =()A 05cmB 1cmC 15cmD 3cm答案:B解析:因为 DE∥BC,所以△ADE∽△ABC,所以 AD∶AB =AE∶AC。
因为 AD = 2cm,DB = 1cm,所以 AB = 3cm。
所以 2∶3= 15∶(15 + EC),解得 EC = 1cm。
5、下列各组图形一定相似的是()A 两个直角三角形B 两个等边三角形C 两个菱形D 两个矩形答案:B解析:等边三角形的三个角都相等,都是 60°,所以两个等边三角形一定相似。
相似三角形经典练习题(4套)附带答案
练习(一)一、填空题:1. 已知a ba b+-=2295,则a b:=__________2. 若三角形三边之比为3:5:7,与它相似的三角形的最长边是21cm,则其余两边之和是__________cm3. 如图,△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,BC=6,则DE=__________;△ADE与△ABC的面积之比为:__________。
题3 题7 题84. 已知线段a=4cm,b=9cm,则线段a、b的比例中项c为__________cm。
5. 在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,DE∥BC,如果AD=8,DB=6,EC=9,那么AE=__________6. 已知三个数1,2,3,请你添上一个数,使它能构成一个比例式,则这个数是__________7. 如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,EF∥BC,若AD=12cm,BC=18cm,AE:EB=2:3,则EF=__________8. 如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,BD⊥CD,AD=6,BC=10,则梯形的面积为:__________二、选择题:1. 如果两个相似三角形对应边的比是3:4,那么它们的对应高的比是__________A. 9:16B. 3:2C. 3:4D. 3:72. 在比例尺为1:m的某市地图上,规划出长a厘米,宽b厘米的矩形工业园区,该园区的实际面积是__________米2A. 104mabB.1042mabC.abm104D.abm24103. 已知,如图,DE∥BC,EF∥AB,则下列结论:题3 题4 题5①AEECBEFC=②ADBFABBC=③EFABDEBC=④CECFEABF=其中正确的比例式的个数是__________A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个4. 如图,在△ABC中,AB=24,AC=18,D是AC上一点,AD=12,在AB上取一点E,使A、D、E三点为顶点组成的三角形与△ABC相似,则AE的长是__________A. 16B. 14C. 16或14D. 16或95. 如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D是BC的中点,AE⊥AD,交CB的延长线于点E,则下列结论正确的是__________A. △AED∽△ACBB. △AEB∽△ACDC. △BAE∽△ACED. △AEC∽△DAC三、解答题:1. 如图,AD∥EG∥BC,AD=6,BC=9,AE:AB=2:3,求GF的长。
相似三角形综合测试卷
相似三角形综合测试卷一、选择题(10题共30分)1.用放大镜将图形放大,应该属于( ) A 、相似变换 B 、平移变换 C 、对称变换D 、旋转变换2 一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm ,30cm ,36cm ,要做一个与它相似的铝质三角形框架,现有长为27cm ,45cm 的两根铝材,要求以其中的一根为一边,从另一根上截下两段(允许有余料)作为另外两边,截法有( ) A 、0种 B 、1种 C 、2种 D 、3种3、如图1,P 是Rt △ABC 斜边BC 上异于B 、C 的一点,过P 点作直线截△ABC ,使截得的三角形与△ABC 相似,满足这样条件的直线共有( ) A .1条 B .2条 C .3条 D .4条4、已知△ABC 与△DEF 的相似比为1︰2 ,△ABC 的周长为30cm ,△ DEF 的三边之比为 4︰5︰6,则△DEF 的最长边为( ) A 44cm B 40cm C 36cm D 24cm5、在平面直角坐标系中,已知点E (-4,2),F (-2,-2),以原点O 为位似中心,相似比为21,把△EFO 缩小,则点E 的对应点E′的坐标是( ) A .(-2,1)B .(-8,4)C .(-8,4)或(8,-4) D .(-2,1)或(2,-1) 6、如图,AB 是⊙O 的直径,C 、D 是⊙O 上的点,∠CDB=30°,过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于E ,则sin ∠E 的值为( ) A .21 B .23 C .22 D .33 7、如图,Rt △ABC 中,∠A=90°,AD ⊥BC 于点D ,若BD :CD=3:2,则tanB=( ) A 、23B .32 C .26 D .36 8、如图,边长为6的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别为S 1,S 2,则S 1+S 2的值为( ) A .16 B .17 C .18 D .19 9、某数学课外实习小组想利用树影测量树高,他们在同一时刻测得一身高为1.5米的同学的影子长为1.35米,因大树靠近一栋建筑物,大树的影子不全在地面上,他们测得地面部分的影子长BC =3.6米,墙上影子高CD =1.8米,则树高AB ( )A.2 .8B.3 .8C.4 .8D.5.810.如图,△ABC 中,CD ⊥AB 于D ,一定能确定△ABC 为直角三角形的条件的个数是( )①∠1=∠A ;②;③∠B+∠2=90°;④BC :AC :AB=3:4:5;⑤AC•BD=AD•CD .A.2B.3C.4D.5二、填空题(6题共18分) 11、如图,在4×4的正方形方格中,△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上. (1)填空:∠ABC =_____°,BC =_____;(2)△ABC 与△DEF 是否相似?__________(填相似或不相似)12、如图,把矩形ABCD 对折,折痕为MN ,矩形DMNC 与矩形ABCD 相似,已知AB =4. (1)AD 的长为_______;(2)矩形DMNC 与矩形ABCD 的相似比为_________。
中考数学专题训练:相似三角形(附参考答案)
中考数学专题训练:相似三角形(附参考答案)1.若a3=b2,则a+bb的值为( )A.32B.53C.52D.232.如图,在△ABC中,DE∥BC,AD=2,BD=3,AC=10,则AE的长为( )A.3 B.4C.5 D.63.如图,AD∥BE∥FC,直线l1,l2分别与三条平行线交于点A,B,C和点D,E,F.若AB=3,BC=5,DF=12,则EF的长为( )A.4.5 B.6C.7.5 D.84.如图,小雅同学在利用标杆BE测量建筑物的高度时,测得标杆BE高1.2 m,又知AB∶BC=1∶8,则建筑物CD的高是( )A.9.6 m B.10.8 mC.12 m D.14 m5.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点分别为A(1,2),B(2,1),C(3,2).现以原点O为位似中心,在第一象限内作与△ABC的相似比为2的位似图形△A′B′C′,则顶点C′的坐标是( )A.(2,4) B.(4,2)C.(6,4) D.(5,4)6.如图(单位:mm),小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容:当测试距离为5 m时,标准视力表中最大的“E”字高度为72.7 mm,当测试距离为3 m时,最大的“E”字高度为( )A.121.17 mm B.43.62 mmC.29.08 mm D.4.36 mm7.如图,AC是□ABCD的对角线,点E在CD的延长线上,连接BE分别交AC,AD 于点F,G,则下列式子一定正确的是( )A.AFCF =AGDGB.ABCE=CFAFC.BFFG =EFBFD.ADDG=ABDE8.如图,在△ABC中,D,E分别为边AB,AC上的点,试添加一个条件:________________________,使得△ADE与△ABC相似.(任意写出一个满足的条件即可)9.如图,已知在梯形ABCD中,AD∥BC,S△ABDS△BCD =12,则S△BOCS△BCD=______.10.如图,在矩形ABCD中,若AB=3,AC=5,AFFC =14,则AE的长为_____.11.如图,为了测量山坡的护坡石坝高,把一根长为4.5 m 的竹竿AC斜靠在石坝旁,量出竿上AD长为1 m时,它离地面的高度DE为0.6 m,则坝高CF为________m.12.已知在平面直12角坐标系中,△AOB的顶点分别为A(2,1),B(2,0),O(0,0).若以原点O为位似中心,相似比为2,将△AOB放大,则点A的对应点的坐标为__________________________.13.如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点.若S△ADE=2,则S△ABC=_____.14.如图,在平面直角坐标系中,△ABC与△ODE是位似图形,则它们位似中心的坐标是____________.15.如图,在△ABC和△DEC中,∠A=∠D,∠BCE=∠ACD.(1)求证:△ABC∽△DEC;(2)若S△ABC∶S△DEC=4∶9,BC=6,求EC的长.16.如图,在△ABC中,AB=4,BC=5,点D,E分别在BC,AC上,CD=2BD,CE =2AE,BE交AD于点F,则△AFE面积的最大值是______.17.小孔成像的示意图如图所示,光线经过小孔O,物体AB在幕布前形成倒立的实像CD(点A,B的对应点分别是C,D).若物体AB的高为6 cm,小孔O到物体和实像的水平距离BE,CE分别为8 cm,6 cm,则实像CD的高度为________cm.18.如图,在正方形ABCD中,点E是边CD上一点,连接BE,以BE为对角线作正方形BGEF,边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H,连接AF,有以下五个结论:①∠ABF=∠DBE;②△ABF∽△DBE;③AF⊥BD;④2BG2=BH·BD;⑤若CE∶DE=1∶3,则BH∶DH=17∶16.你认为其中正确的是____________.(填写序号)19.已知,如图1,若AD是△ABC中∠BAC的内角平分线,通过证明可得ABAC =BDCD,同理,若AE是△ABC中∠BAC的外角平分线,通过探究也有类似的性质.请你根据上述信息,求解如下问题:如图2,在△ABC中,BD=2,CD=3,AD是△ABC的内角平分线,则△ABC的BC边上的中线长l的取值范围是_____________.20.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,点E,F在线段BC上,点Q在线段AB 上,且CF=BE,AE2=AQ·AB.求证:(1)∠CAE=∠BAF;(2)CF·FQ=AF·BQ.21.在等腰三角形ABC中,AB=AC,点D是边BC上一点(不与点B,C重合),连接AD.(1)如图1,若∠C=60°,点D关于直线AB的对称点为点E,连接AE,DE,则∠BDE=________.(2)若∠C=60°,将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE,连接BE.①在图2中补全图形;②探究CD与BE的数量关系,并证明.(3)如图3,若ABBC =ADDE=k,且∠ADE=∠C,试探究BE,BD,AC之间满足的数量关系,并证明.参考答案1.C 2.B 3.C 4.B 5.C 6.B 7.C8.ADAB =AEAC(答案不唯一) 9.2310.1 11.2.712.(4,2)或(-4,-2)13.8 14.(4,2) 15.(1)证明略(2)EC=916.43 17.4.5 18.①②③④ 19.12<l<25220.(1)证明略(2)证明略21.(1)30°(2)①图略②CD与BE的数量关系为CD=BE,证明略(3)AC=k(BD+BE),证明略。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
初中数学相似三角形的性质与应用经典试题一、知识体系:1.相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等; ②相似三角形的对应边成比例;③相似三角形对应边上的高之比,对应边上的中线之比,对应角的角平分线之比都等于相似比; ④相似三角形的周长之比等于相似比。
⑤相似三角形的面积之比等于相似比的平方(2k )。
二、典型例题:例1:若△ABC∽△A′B′C′,且,,34AB A B ,△ABC 的周长为15cm ,则△A′B′C′的周长为( ) A .18 B .20 C .154 D .803针对练习:1.已知△ABC∽△DEF,且△ABC 的三边长为3、4、5,若△DEF 的周长为6,那么下列不可能是△DEF 一边长的是( ) A .1.5 B .2 C .2.5 D .32.一直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x ,那么x 的值为( ) A .7 B .5 C .7或5 D .无数个例2:(2014江苏南京,3)若△ABC ∽△A′B′C′,相似比为1:2,则△ABC 与△A′B′C′的面积的比为( ) A .1:2 B .2:1 C .1:4 D .4:1 针对练习:1.两相似三角形的最短边分别是5cm 和3cm ,它们的面积之差为322cm ,那么小三角形的面积为( ) A .102cm B .142cm C .162cm D .182cm2.如图,DE ∥BC ,若AD =1,BD =2,则△ADE 与四边形DBCE 面积之比是 ▲ 。
3.如图,平行四边形ABCD 中,E 是CD 的延长线上一点,BE 与AD 交于点F ,CD =2DE ,若△DEF 的面积为a ,则平行四边形ABCD 的面积为 ▲ (用a 的代数式表示)。
4.如图,在四边形ABCD 中,E 是AD 上的一点,EC ∥AB ,EB ∥DC ,若△ABE 的面积为3,△ECD 的面积为1,则△BCE5.如图,在平行四边形ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O 。
M 为AD 中点,连接CM 交BD 于点N ,且ON =1。
①求BD 的长;②若△DCN 的面积为2,求四边形ABNM 的面积。
6.(2012湖北鄂州,10) 在平面坐标系中,正方形ABCD 的位置如图所示,点A 的坐标为(1,0),点D 的坐标为(0,2),延长CB 交x 轴于点1A ,作正方形111A B C C ,延长11C B 交x 轴于点2A ,作正方形2221A B C C ,…按这样的规律进行下去,第2012个正方形的面积为( )A .2010352⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭ B .2010954⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭C .2012954⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭D .4022352⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭例3:(2014浙江绍兴,20改编)有一块三角形余料ABC ,它的边BC =120mm ,高AD =80mm 。
①如果把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC 上,其余两个顶点分别在AB ,AC 上。
问加工成的正方形零件的边长是多少mm ?②如果把它加工成矩形零件,且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成,此时,这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm ?请你计算。
针对练习:1.)如图,△ABC 中,AB =AC =18,BC =12,正方形DEFG 的顶点E ,F 在△ABC 内,顶点D ,G 分别在AB ,AC 上,AD =AG ,DG =6,则点F 到BC 的距离为( )A .1B .2C .1226-D .626-2.如图,已知△ABC的面积是12,BC=6,点E、I分别在边AB、AC上,在BC边上依次做了n个全等的小正方形DEFG,GFMN,…,KHIJ,则每个小正方形的边长为()A.1211B.1223n-C.125D.1223n+3.一块直角三角形木版的一条直角边AB为3m,面积为62m,要把它加工成一个面积最大的正方形桌面,小明打算按图①进行加工,小华准备按图②进行裁料,他们谁的加工方案符合要求?例4:如图,为了测量大树的高度,小华在B处垂直竖立起一根长为2.5m的木杆,当他站在点F处时,他的眼睛E、木杆的顶端A、树端C恰好在同一条直线上,量得BF=3m,BD=9m,小华的眼睛E与地面的距离EF为1.5m,求大树的高度。
针对练习:1.如图,已知:某同学想测量旗杆的高度,他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米,在同时刻测量旗杆影长时,因旗杆靠近一幢房子,影子不全落在地面上,有一部分落在墙上,他测得落在地面上的影长为9米,留在墙上的影长CD为2米,求旗杆的高度。
2.如示意图,小华家(点A 处)和公路(l )之间竖立着一块30米长且平行于公路的巨型广告牌(DE ),广告牌挡住了小华的视线,请在图中画出视点A 的盲区,并将盲区的那段公路记BC ,一辆以60公里/小时匀速行驶的汽车经过公路BC 段的时间为6秒,已知广告牌和公路的距离为35米,求小华家到公路的距离.3.如图,王华同学在晚上由路灯AC 走向路灯BD ,当他走到点P 时,发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC 的底部,当他向前再步行12m 到达Q 点时,发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD 的底部.已知王华同学的身高是1.6m ,两个路灯的高度都是9.6m 。
①求两个路灯之间的距离;②当王华同学走到路灯BD 处时,他在路灯AC 下的影子长是多少?4.如图,为测量学校围墙外直立电线杆AB 的高度,小亮在操场上点C 处直立高3m 的竹竿CD ,然后退到点E 处,此时恰好看到竹竿顶端D 与电线杆顶端B 重合;小亮又在点1C 处直立高3m 的竹竿11C D ,然后退到点1E 处,此时恰好看到竹竿顶端1D 与电线杆顶端B 重合。
小亮的眼睛离地面高度EF =1.5m ,量得CE =2m ,1EC =6m ,11C E =3m 。
①△FDM ∽△ ▲ ,△11F D N ∽△ ▲ ; ②求电线杆AB 的高度。
相似三角形的判定一、知识体系:1.相似三角形的概念:三边对应成比例,三个角对应相等的两个三角形叫做相似三角形。
相似三角形对应边的比叫做相似比,一般用k 表示。
2.相似三角形的判定:①平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似(平行法); ②两角对应相等,两个三角形相似(“AA ”);③两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似(“SAS ”); ④三边对应成比例,两个三角形相似(“SSS ”)。
3.相似三角形的基本图形ABCDEABCDEDABCE平行型(A 字型) 平行型(X 字型) 旋转型DA B CABC D EABCDAB CDE交错型 母子型二、典型例题:例1:如图,在△ABC 和△ADE 中,已知∠B=∠D,∠BAD=∠CAE,求证:△ABC∽△ADE。
针对练习:1.已知:如图,AB =AC ,∠DAE=∠B。
求证:△ABE∽△DCA。
2.已知:如图,△PQR 是等边三角形,∠APB=120°,求证:△PAQ∽△BPR。
3.如图,在△ABC 中,∠1=∠2=∠3,求证:△ABC ∽△DEF 。
4.已知:如图,在△ABC 中,点D 在边BC 上,且∠BAC=∠DAG,∠CDG=∠BAD。
①求证:AD AGAB AC=; ②当GC⊥BC 时,求证:∠BAC=90°。
例2:(2014福建南平,21)如图,已知△ABC 中,点D 在AC 上且∠ABD=∠C,求证:2AB AD AC =⋅。
针对练习:1.如图,M 为线段AB 的中点,AE 与BD 交于点C ,∠DME =∠A =∠B ,且DM 交AC 于F ,ME 交BC 于G 。
写出图中三对相似三角形,并证明其中的一对。
例3:(2013四川巴中,29)如图,在平行四边形ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点,且∠AFE=∠B。
①求证:△ADF∽△DEC;②若AB=8,AD=63,AF=43,求AE的长。
针对练习:1.(2014辽宁本溪,9)如图,已知△ABC和△ADE均为等边三角形,D在BC上,DE与AC相交于点F,AB=9,BD=3,则CF等于()A.1 B.2 C.3 D.42.如图①,P为△ABC内一点,连接PA、PB、PC,在△PAB、△PBC和△PAC中,如果存在一个三角形与△ABC相似,那么就称P为△ABC的自相似点。
(1)如图②,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC>∠A,CD是AB上的中线,过点B作BE丄CD,垂足为E。
试说明E是△ABC的自相似点;(2)在△ABC中,∠A<∠B<∠C.①如图③,利用尺规作出△ABC的自相似点P(写出作法并保留作图痕迹);②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点,求该三角形三个内角的度数。
3.(2013江苏苏州,26)如图,点P 是菱形ABCD 对角线AC 上的一点,连接DP 并延长DP 交边AB 于点E ,连接BP 并延长交边AD 于点F ,交CD 的延长线于点G 。
(1)求证:△APB≌△APD;(2)已知DF:FA =1:2,设线段DP 的长为x ,线段PF 的长为y 。
①求y 与x 的函数关系式; ②当6x =时,求线段FG 的长。
例4:已知:如图,在△ABC 中,AB =AC ,D 为CB 延长线上一点,E 为BC 延长线上一点,且满足2AB DB CE =⋅。
求证:△ADB∽△EAC。
针对练习:1.如图,D 为△ABC 内一点,E 为△ABC 外一点,且∠1=∠2,∠3=∠4。
求证:△ABC∽△DBE。
2.已知:如图,在△ABC 中,点D 、E 分别在边AB 、AC 上,且∠ABE=∠ACD,BE 、CD 交于点G 。
①求证:△AED∽△ABC;②如果BE 平分∠ABC,求证:DE =CE 。
3.如图,在Rt △ABC 中,∠B =900,AB =BE =EF =FC 。
找出图中相似的三角形,并说明理由。
4.(2014山东淄博,23)如图,四边形ABCD 中,AC ⊥BD 交BD 于点E ,点F ,M 分别是AB ,BC 的中点,BN 平分∠ABE 交AM 于点N ,AB =AC =BD 。
连接MF ,NF 。
①判断△BMN 的形状,并证明你的结论; ②判断△MFN 与△BDC 之间的关系,并说明理由。
5.(2014江苏徐州,27)如图,将透明三角形纸片PAB 的直角顶点P 落在第四象限,顶点A 、B 分别落在反比例函数ky x=图象的两支上,且PB ⊥x 于点C ,PA ⊥y 于点D ,AB 分别与x 轴,y 轴相交于点E 、F 。
已知(1,3)B 。
①k = ▲ ; ②试说明AE =BF ; ③当四边形ABCD 的面积为214时,求点P 的坐标。