经典相似三角形练习题(附参考答案)
初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)
经典练习题相似三角形一.解答题(共30小题)1.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证:△ADE∽△EFC.2.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF与AB的延长线交于点G.(1)求证:△CDF∽△BGF;(2)当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD的长.3.如图,点D,E在BC上,且FD∥AB,FE∥AC.求证:△ABC∽△FDE.4.如图,已知E是矩形ABCD的边CD上一点,BF⊥AE于F,试说明:△ABF∽△EAD.5.已知:如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D在一条直线上,连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点.(1)求证:①BE=CD;②△AMN是等腰三角形;(2)在图①的基础上,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立;(3)在(2)的条件下,请你在图②中延长ED交线段BC于点P.求证:△PBD∽△AMN.6.如图,E是▱ABCD的边BA延长线上一点,连接EC,交AD于点F.在不添加辅助线的情况下,请你写出图中所有的相似三角形,并任选一对相似三角形给予证明.7.如图,在4×3的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.(1)填空:∠ABC=_________ °,BC= _________ ;(2)判断△ABC与△DEC是否相似,并证明你的结论.8.如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.某一时刻,动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s 的速度向B点匀速运动;同时,动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动,问:(1)经过多少时间,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的?(2)是否存在时刻t,使以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似?若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.9.如图,在梯形ABCD中,若AB∥DC,AD=BC,对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形.(1)列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况,并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少;(注意:全等看成相似的特例)(2)请你任选一组相似三角形,并给出证明.10.如图△ABC中,D为AC上一点,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE⊥BD于E,连接AE.(1)写出图中所有相等的线段,并加以证明;(2)图中有无相似三角形?若有,请写出一对;若没有,请说明理由;(3)求△BEC与△BEA的面积之比.11.如图,在△ABC中,AB=AC=a,M为底边BC上的任意一点,过点M分别作AB、AC的平行线交AC 于P,交AB于Q.(1)求四边形AQMP的周长;(2)写出图中的两对相似三角形(不需证明);(3)M位于BC的什么位置时,四边形AQMP为菱形并证明你的结论.12.已知:P是正方形ABCD的边BC上的点,且BP=3PC,M是CD的中点,试说明:△ADM∽△MCP.13.如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,AB=BC=8,CD=10.(1)求梯形ABCD的面积S;(2)动点P从点B出发,以1cm/s的速度,沿B⇒A⇒D⇒C方向,向点C运动;动点Q从点C出发,以1cm/s的速度,沿C⇒D⇒A方向,向点A运动,过点Q作QE⊥BC于点E.若P、Q两点同时出发,当其中一点到达目的地时整个运动随之结束,设运动时间为t秒.问:①当点P在B⇒A上运动时,是否存在这样的t,使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由;②在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由;③在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由.14.已知矩形ABCD,长BC=12cm,宽AB=8cm,P、Q分别是AB、BC上运动的两点.若P自点A出发,以1cm/s的速度沿AB方向运动,同时,Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动,问经过几秒,以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似?15.如图,在△ABC中,AB=10cm,BC=20cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动,如果P、Q分别从A、B同时出发,问经过几秒钟,△PBQ与△ABC相似.16.如图,∠ACB=∠ADC=90°,AC=,AD=2.问当AB的长为多少时,这两个直角三角形相似.17.已知,如图,在边长为a的正方形ABCD中,M是AD的中点,能否在边AB上找一点N(不含A、B),使得△CDM与△MAN相似?若能,请给出证明,若不能,请说明理由.18.如图在△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,AC=6cm,点Q从B出发,沿BC方向以2cm/s的速度移动,点P从C出发,沿CA方向以1cm/s的速度移动.若Q、P分别同时从B、C出发,试探究经过多少秒后,以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似?19.如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB上确定点P的位置,使得以P,A,D为顶点的三角形与以P,B,C为顶点的三角形相似.20.△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF的顶点E位于边BC的中点上.(1)如图1,设DE与AB交于点M,EF与AC交于点N,求证:△BEM∽△CNE;(2)如图2,将△DEF绕点E旋转,使得DE与BA的延长线交于点M,EF与AC交于点N,于是,除(1)中的一对相似三角形外,能否再找出一对相似三角形并证明你的结论.21.如图,在矩形ABCD中,AB=15cm,BC=10cm,点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(秒)表示移动的时间,那么当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似.22.如图,路灯(P点)距地面8米,身高1.6米的小明从距路灯的底部(O点)20米的A点,沿OA所在的直线行走14米到B点时,身影的长度是变长了还是变短了?变长或变短了多少米?23.阳光明媚的一天,数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度(这棵树底部可以到达,顶部不易到达),他们带了以下测量工具:皮尺,标杆,一副三角尺,小平面镜.请你在他们提供的测量工具中选出所需工具,设计一种测量方案.(1)所需的测量工具是:_________ ;(2)请在下图中画出测量示意图;(3)设树高AB的长度为x,请用所测数据(用小写字母表示)求出x.24.问题背景在某次活动课中,甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息:甲组:如图1,测得一根直立于平地,长为80cm的竹竿的影长为60cm.乙组:如图2,测得学校旗杆的影长为900cm.丙组:如图3,测得校园景灯(灯罩视为球体,灯杆为圆柱体,其粗细忽略不计)的高度为200cm,影长为156cm.任务要求:(1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度;(2)如图3,设太阳光线NH与⊙O相切于点M.请根据甲、丙两组得到的信息,求景灯灯罩的半径.(友情提示:如图3,景灯的影长等于线段NG的影长;需要时可采用等式1562+2082=2602)25.阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC.26.如图,李华晚上在路灯下散步.已知李华的身高AB=h,灯柱的高OP=O′P′=l,两灯柱之间的距离OO′=m.(1)若李华距灯柱OP的水平距离OA=a,求他影子AC的长;(2)若李华在两路灯之间行走,则他前后的两个影子的长度之和(DA+AC)是否是定值请说明理由;(3)若李华在点A朝着影子(如图箭头)的方向以v1匀速行走,试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2.27.如图①,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S1,S2,S3表示,则不难证明S1=S2+S3.(1)如图②,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S1,S2,S3表示,那么S1,S2,S3之间有什么关系;(不必证明)(2)如图③,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用S1、S2、S3表示,请你确定S1,S2,S3之间的关系并加以证明;(3)若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形,其面积分别用S1,S2,S3表示,为使S1,S2,S3之间仍具有与(2)相同的关系,所作三角形应满足什么条件证明你的结论;(4)类比(1),(2),(3)的结论,请你总结出一个更具一般意义的结论.28.已知:如图,△ABC∽△ADE,AB=15,AC=9,BD=5.求AE.29.已知:如图Rt△ABC∽Rt△BDC,若AB=3,AC=4.(1)求BD、CD的长;(2)过B作BE⊥DC于E,求BE的长.30.(1)已知,且3x+4z﹣2y=40,求x,y,z的值;(2)已知:两相似三角形对应高的比为3:10,且这两个三角形的周长差为560cm,求它们的周长.参考答案与试题解析一.解答题(共30小题)1.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证:△ADE∽△EFC.考点:相似三角形的判定;平行线的性质。
初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)
经典练习题相似三角形(附答案) .解答题(共30小题)1.如图,在△A中Q DE// BC, EF // AB,求证:△ ADE EFC .2 .如图,梯形ABCD中,AB // CD, 点F在BC上,连 DF与AB的延长线交于点 G.(1 )求证:△CDFBGF;(2)当点F是BC的中点时,过 F作EF // CD交AD于点E,若AB=6cm , EF=4cm,求CD的长.3.如图,点 D , E在 BC 上,且 FD // AB, FE // AC.求证:△ ABC s\ FDE .4.如图,已知 E是矩形 ABCD的边CD上一点,BF丄AE于F,试说明:△ ABF s\ EAD .5.已知:如图①所示,在△和念BCD中,AB=AC , AD=AE,/ BAC= / DAE ,且点3, A , D在一条直线上,连接 BE, CD, M , N分别为BE, CD的中点.(1 )求证:①BE=CD :②厶 A是等腰三角形;(2 )在图①的基础上,将△绕点DE按顺时针方向旋转180。
,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接写出(1 )中的两个结论是否仍然成立;(3)在(2 )的条件下,请你在图②中延长ED交线段BC于点P.求证:△ PBDAMN.图①6.如图,E是?ABCD的边BA延长线上一点,连接 EC,交AD于点F.在不添加辅助线的情况下,请你写出图中所有的相似三角形,并任选一对相似三角形给予证明.7.如图,在4 X3的正方形方格中,△和A B CDE的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.(1 )填空:/ ABC=(2)判断△ ABC^ DE是否相似,并证明你的结论.8.如图,已知矩形 ABCD的边长AB=3cm , BC=6cm .某一时刻,动点M从A点出发沿 AB方向以1cm/s(1)经过多少时间,△的面积等于矩形ABCD面积的十的速度向B点匀速运动;同时,动点 N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动,问:(2)是否存在时刻t,使以A,M,N为顶点的三角形与△相似D若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.9 .如图,在梯形 ABCD中,若AB // DC, AD=BC,对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形.(1 )列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况,并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少;(注意:全等看成相似的特例)(2)请你任选一组相似三角形,并给出证明.•4E10 .如图△ABC, D 为 AC 上一点,CD=2DA,/ BAC=45。
经典相似三角形练习的题目(附参考答案详解)
实用标准文案相似三角形一.解答题(共30小题)1.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证:△ADE∽△EFC.2.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF与AB的延长线交于点G.(1)求证:△CDF∽△BGF;(2)当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD的长.3.如图,点D,E在BC上,且FD∥AB,FE∥AC.求证:△ABC∽△FDE.4.如图,已知E是矩形ABCD的边CD上一点,BF⊥AE于F,试说明:△ABF∽△EAD.5.已知:如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D在一条直线上,连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点.(1)求证:①BE=CD;②△AMN是等腰三角形;(2)在图①的基础上,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立;(3)在(2)的条件下,请你在图②中延长ED交线段BC于点P.求证:△PBD∽△AMN.6.如图,E是▱ABCD的边BA延长线上一点,连接EC,交AD于点F.在不添加辅助线的情况下,请你写出图中所有的相似三角形,并任选一对相似三角形给予证明.7.如图,在4×3的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.(1)填空:∠ABC= _________ °,BC= _________ ;(2)判断△ABC与△DEC是否相似,并证明你的结论.8.如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.某一时刻,动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动;同时,动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动,问:(1)经过多少时间,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的?(2)是否存在时刻t,使以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似?若存在,求t 的值;若不存在,请说明理由.9.如图,在梯形ABCD中,若AB∥DC,AD=BC,对角线BD 、AC 把梯形分成了四个小三角形.(1)列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况,并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少;(注意:全等看成相似的特例)(2)请你任选一组相似三角形,并给出证明.10.如图△ABC中,D为AC上一点,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE⊥BD于E,连接AE.(1)写出图中所有相等的线段,并加以证明;(2)图中有无相似三角形?若有,请写出一对;若没有,请说明理由;(3)求△BEC与△BEA的面积之比.11.如图,在△ABC中,AB=AC=a,M为底边BC上的任意一点,过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P,交AB于Q.(1)求四边形AQMP的周长;(2)写出图中的两对相似三角形(不需证明);(3)M位于BC的什么位置时,四边形AQMP为菱形并证明你的结论.12.已知:P是正方形ABCD的边BC上的点,且BP=3PC,M是CD的中点,试说明:△ADM∽△MCP.13.如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,AB=BC=8,CD=10.(1)求梯形ABCD的面积S;(2)动点P从点B出发,以1cm/s的速度,沿B⇒A⇒D⇒C方向,向点C运动;动点Q从点C出发,以1cm/s的速度,沿C⇒D⇒A方向,向点A运动,过点Q 作QE⊥BC于点E.若P、Q两点同时出发,当其中一点到达目的地时整个运动随之结束,设运动时间为t秒.问:①当点P在B⇒A上运动时,是否存在这样的t,使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由;②在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由;③在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ 为一腰的等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由.14.已知矩形ABCD,长BC=12cm,宽AB=8cm,P、Q分别是AB、BC上运动的两点.若P自点A出发,以1cm/s的速度沿AB方向运动,同时,Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动,问经过几秒,以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似?15.如图,在△ABC中,AB=10cm,BC=20cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动,如果P、Q分别从A、B同时出发,问经过几秒钟,△PBQ与△ABC相似.16.如图,∠ACB=∠ADC=90°,AC=,AD=2.问当AB的长为多少时,这两个直角三角形相似.17.已知,如图,在边长为a的正方形ABCD中,M是AD的中点,能否在边AB 上找一点N(不含A、B),使得△CDM与△MAN相似?若能,请给出证明,若不能,请说明理由.18.如图在△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,AC=6cm,点Q从B出发,沿BC方向以2cm/s的速度移动,点P从C出发,沿CA方向以1cm/s的速度移动.若Q、P分别同时从B、C出发,试探究经过多少秒后,以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似?19.如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB上确定点P的位置,使得以P,A,D为顶点的三角形与以P,B,C为顶点的三角形相似.20.△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF的顶点E位于边BC的中点上.(1)如图1,设DE与AB交于点M,EF与AC交于点N,求证:△BEM∽△CNE;(2)如图2,将△DEF绕点E旋转,使得DE与BA的延长线交于点M,EF与AC 交于点N,于是,除(1)中的一对相似三角形外,能否再找出一对相似三角形并证明你的结论.21.如图,在矩形ABCD中,AB=15cm,BC=10cm,点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(秒)表示移动的时间,那么当t为何值时,以点Q、A、P 为顶点的三角形与△ABC相似.22.如图,路灯(P点)距地面8米,身高1.6米的小明从距路灯的底部(O点)20米的A点,沿OA所在的直线行走14米到B点时,身影的长度是变长了还是变短了?变长或变短了多少米?23.阳光明媚的一天,数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度(这棵树底部可以到达,顶部不易到达),他们带了以下测量工具:皮尺,标杆,一副三角尺,小平面镜.请你在他们提供的测量工具中选出所需工具,设计一种测量方案.(1)所需的测量工具是:_________ ;(2)请在下图中画出测量示意图;(3)设树高AB的长度为x,请用所测数据(用小写字母表示)求出x.24.问题背景在某次活动课中,甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息:甲组:如图1,测得一根直立于平地,长为80cm的竹竿的影长为60cm.乙组:如图2,测得学校旗杆的影长为900cm.丙组:如图3,测得校园景灯(灯罩视为球体,灯杆为圆柱体其粗细忽略不计)的高度为200cm,影长为156cm.任务要求:(1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度;(2)如图3,设太阳光线NH与⊙O相切于点M.请根据甲、丙两组得到的信息,求景灯灯罩的半径.(友情提示:如图3,景灯的影长等于线段NG的影长;需要时可采用等式1562+2082=2602)25.阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC.26.如图,李华晚上在路灯下散步.已知李华的身高AB=h,灯柱的高OP=O′P′=l,两灯柱之间的距离OO′=m.(1)若李华距灯柱OP的水平距离OA=a,求他影子AC的长;(2)若李华在两路灯之间行走,则他前后的两个影子的长度之和(DA+AC)是否是定值请说明理由;(3)若李华在点A朝着影子(如图箭头)的方向以v1匀速行走,试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2.27.如图①,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S1,S2,S3表示,则不难证明S1=S2+S3.(1)如图②,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S1,S2,S3表示,那么S1,S2,S3之间有什么关系;(不必证明)(2)如图③,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用S1、S2、S3表示,请你确定S1,S2,S3之间的关系并加以证明;(3)若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形,其面积分别用S1,S2,S3表示,为使S1,S2,S3之间仍具有与(2)相同的关系,所作三角形应满足什么条件证明你的结论;(4)类比(1),(2),(3)的结论,请你总结出一个更具一般意义的结论.28.已知:如图,△ABC∽△ADE,AB=15,AC=9,BD=5.求AE.29.已知:如图Rt△ABC∽Rt△BDC,若AB=3,AC=4.(1)求BD、CD的长;(2)过B作BE⊥DC于E,求BE的长.30.(1)已知,且3x+4z﹣2y=40,求x,y,z的值;(2)已知:两相似三角形对应高的比为3:10,且这两个三角形的周长差为560cm,求它们的周长.一.解答题(共30小题)1.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证:△ADE∽△EFC.解答:证明:∵DE∥BC,∴DE∥FC,∴∠AED=∠C.又∵EF∥AB,∴EF∥AD,∴∠A=∠FEC.∴△ADE∽△EFC.点评:本题考查的是平行线的性质及相似三角形的判定定理.2.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF与AB的延长线交于点G.(1)求证:△CDF∽△BGF;(2)当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD的长.解答:(1)证明:∵梯形ABCD,AB∥CD,∴∠CDF=∠FGB,∠DCF=∠GBF,(2分)∴△CDF∽△BGF.(3分)(2)解:由(1)△CDF∽△BGF,又F是BC的中点,BF=FC,∴△CDF≌△BGF,∴DF=GF,CD=BG,(6分)∵AB∥DC∥EF,F为BC中点,∴E为AD中点,∴EF是△DAG的中位线,∴2EF=AG=AB+BG.∴BG=2EF﹣AB=2×4﹣6=2,∴CD=BG=2cm.(8分)3.如图,点D,E在BC上,且FD∥AB,FE∥AC.求证:△ABC∽△FDE.解答:证明:∵FD∥AB,FE∥AC,∴∠B=∠FDE,∠C=∠FED,∴△ABC∽△FDE.4.如图,已知E是矩形ABCD的边CD上一点,BF⊥AE于F,试说明:△ABF∽△EAD.解答:证明:∵矩形ABCD中,AB∥CD,∠D=90°,(2分)∴∠BAF=∠AED.(4分)∵BF⊥AE,∴∠AFB=90°.∴∠AFB=∠D.(5分)∴△ABF∽△EAD.(6分)点评:考查相似三角形的判定定理,关键是找准对应的角.5.已知:如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D在一条直线上,连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点.(1)求证:①BE=CD;②△AMN是等腰三角形;(2)在图①的基础上,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立;(3)在(2)的条件下,请你在图②中延长ED交线段BC于点P.求证:△PBD∽△AMN.解答:(1)证明:①∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAE=∠CAD,∵AB=AC,AD=AE,∴△ABE≌△ACD,∴BE=CD.②由△ABE≌△ACD,得∠ABE=∠ACD,BE=CD,∵M、N分别是BE,CD的中点,∴BM=CN.又∵AB=AC,∴△ABM≌△ACN.∴AM=AN,即△AMN为等腰三角形.(2)解:(1)中的两个结论仍然成立.(3)证明:在图②中正确画出线段PD,由(1)同理可证△ABM≌△ACN,∴∠CAN=∠BAM∴∠BAC=∠MAN.又∵∠BAC=∠DAE,∴∠MAN=∠DAE=∠BAC.∴△AMN,△ADE和△ABC都是顶角相等的等腰三角形.∴△PBD和△AMN都为顶角相等的等腰三角形,∴∠PBD=∠AMN,∠PDB=∠ANM,∴△PBD∽△AMN.6.如图,E是▱ABCD的边BA延长线上一点,连接EC,交AD于点F.在不添加辅助线的情况下,请你写出图中所有的相似三角形,并任选一对相似三角形给予证明.分析:根据平行线的性质和两角对应相等的两个三角形相似这一判定定理可证明图中相似三角形有:△AEF∽△BEC;△AEF∽△DCF;△BEC∽△DCF.解答:解:相似三角形有△AEF∽△BEC;△AEF∽△DCF;△BEC∽△DCF.(3分)如:△AEF∽△BEC.在▱ABCD中,AD∥BC,∴∠1=∠B,∠2=∠3.(6分)∴△AEF∽△BEC.(7分)7.如图,在4×3的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.(1)填空:∠ABC= 135°°,BC= ;(2)判断△ABC与△DEC是否相似,并证明你的结论.解答:解:(1)∠ABC=135°,BC=;(2)相似;∵BC=,EC==;∴,;∴;又∠ABC=∠CED=135°,∴△ABC∽△DEC.8.如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.某一时刻,动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动;同时,动点N从D点出发沿DA 方向以2cm/s的速度向A点匀速运动,问:(1)经过多少时间,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的?(2)是否存在时刻t,使以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似?若存在,求t 的值;若不存在,请说明理由解:(1)设经过x秒后,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的,则有:(6﹣2x)x=×3×6,即x2﹣3x+2=0,(2分)解方程,得x1=1,x2=2,(3分)经检验,可知x1=1,x2=2符合题意,所以经过1秒或2秒后,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的.(4分)(2)假设经过t秒时,以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似,由矩形ABCD,可得∠CDA=∠MAN=90°,因此有或(5分)即①,或②(6分)解①,得t=;解②,得t=(7分)经检验,t=或t=都符合题意,所以动点M,N同时出发后,经过秒或秒时,以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似.(8分)9.如图,在梯形ABCD中,若AB∥DC,AD=BC,对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形.(1)列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况,并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少;(注意:全等看成相似的特例)(2)请你任选一组相似三角形,并给出证明.解答:解:(1)任选两个三角形的所有可能情况如下六种情况:①②,①③,①④,②③,②④,③④(2分)其中有两组(①③,②④)是相似的.∴选取到的二个三角形是相似三角形的概率是P=(4分)证明:(2)选择①、③证明.在△AOB与△COD中,∵AB∥CD,∴∠CDB=∠DBA,∠DCA=∠CAB,∴△AOB∽△COD(8分)选择②、④证明.∵四边形ABCD是等腰梯形,∴∠DAB=∠CBA,∴在△DAB与△CBA中有AD=BC,∠DAB=∠CAB,AB=AB,∴△DAB≌△CBA,(6分)∴∠ADO=∠BCO.又∠DOA=∠COB,∴△DOA∽△COB(8分).点评:此题考查概率的求法:如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=,即相似三角形的证明.还考查了相似三角形的判定.10.附加题:如图△ABC中,D为AC上一点,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE⊥BD于E,连接AE.(1)写出图中所有相等的线段,并加以证明;(2)图中有无相似三角形?若有,请写出一对;若没有,请说明理由;(3)求△BEC与△BEA的面积之比.解答:解:(1)AD=DE,AE=CE.∵CE⊥BD,∠BDC=60°,∴在Rt△CED中,∠ECD=30°.∴CD=2ED.∵CD=2DA,∴AD=DE,∴∠DAE=∠DEA=30°=∠ECD.∴AE=CE.(2)图中有三角形相似,△ADE∽△AEC;∵∠CAE=∠CAE,∠ADE=∠AEC,∴△ADE∽△AEC;(3)作AF⊥BD的延长线于F,设AD=DE=x,在Rt△CED中,可得CE=,故AE=.∠ECD=30°.在Rt△AEF中,AE=,∠AED=∠DAE=30°,∴sin∠AEF=,∴AF=AE•sin∠AEF=.∴.点评:本题主要考查了直角三角形的性质,相似三角形的判定及三角形面积的求法等,范围较广.11.如图,在△ABC中,AB=AC=a,M为底边BC上的任意一点,过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P,交AB于Q.(1)求四边形AQMP的周长;(2)写出图中的两对相似三角形(不需证明);(3)M位于BC的什么位置时,四边形AQMP为菱形并证明你的结论.解答:解:(1)∵AB∥MP,QM∥AC,∴四边形APMQ 是平行四边形,∠B=∠PMC,∠C=∠QMB.∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠PMC=∠QMB.∴BQ=QM,PM=PC.∴四边形AQMP的周长=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a.(2)∵PM∥AB,∴△PCM∽△ACB,∵QM∥AC,∴△BMQ∽△BCA;(3)当点M中BC的中点时,四边形APMQ是菱形,∵点M是BC的中点,AB∥MP,QM∥AC,∴QM,PM是三角形ABC的中位线.∵AB=AC,∴QM=PM=AB=AC.又由(1)知四边形APMQ是平行四边形,∴平行四边形APMQ是菱形.12.已知:P是正方形ABCD的边BC上的点,且BP=3PC,M是CD的中点,试说明:△ADM∽△MCP.解答:证明:∵正方形ABCD,M为CD中点,∴CM=MD=AD.∵BP=3PC,∴PC=BC=AD=CM.∴.∵∠PCM=∠ADM=90°,∴△MCP∽△ADM.13.如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,AB=BC=8,CD=10.(1)求梯形ABCD的面积S;(2)动点P从点B出发,以1cm/s的速度,沿B⇒A⇒D⇒C方向,向点C运动;动点Q从点C出发,以1cm/s的速度,沿C⇒D⇒A方向,向点A运动,过点Q 作QE⊥BC于点E.若P、Q两点同时出发,当其中一点到达目的地时整个运动随之结束,设运动时间为t秒.问:①当点P在B⇒A上运动时,是否存在这样的t,使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由;②在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由;③在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ 为一腰的等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由.解答:解:(1)过D作DH∥AB交BC于H点,∵AD∥BH,DH∥AB,∴四边形ABHD是平行四边形.∴DH=AB=8;BH=AD=2.∴CH=8﹣2=6.∵CD=10,∴DH2+CH2=CD2∴∠DHC=90°.∠B=∠DHC=90°.∴梯形ABCD是直角梯形.∴S ABCD=(AD+BC)AB=×(2+8)×8=40.(2)①∵BP=CQ=t ,∴AP=8﹣t,DQ=10﹣t,∵AP+AD+DQ=PB+BC+CQ,∴8﹣t+2+10﹣t=t+8+t.∴t=3<8.∴当t=3秒时,PQ将梯形ABCD周长平分.②第一种情况:0<t≤8若△PAD∽△QEC则∠ADP=∠C ∴tan∠ADP=tan∠C==∴=,∴t=若△PAD∽△CEQ则∠APD=∠C ∴tan∠APD=tan∠C==,∴=∴t=第二种情况:8<t≤10,P、A、D三点不能组成三角形;第三种情况:10<t≤12△ADP为钝角三角形与Rt△CQE不相似;∴t=或t=时,△PAD与△CQE相似.③第一种情况:当0≤t≤8时.过Q点作QE⊥BC,QH⊥AB,垂足为E、H.∵AP=8﹣t,AD=2,∴PD==.∵CE=t,QE=t,∴QH=BE=8﹣t,BH=QE=t.∴PH=t﹣t=t.∴PQ==,DQ=10﹣t.Ⅰ:DQ=DP,10﹣t=,解得t=8秒.Ⅱ:DQ=PQ,10﹣t=,化简得:3t2﹣52t+180=0解得:t=,t=>8(不合题意舍去)∴t=第二种情况:8≤t≤10时.DP=DQ=10﹣t.∴当8≤t<10时,以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立.第三种情况:10<t≤12时.DP=DQ=t﹣10.∴当10<t≤12时,以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立.综上所述,t=或8≤t<10或10<t≤12时,以DQ为腰的等腰△DPQ成立.14.已知矩形ABCD,长BC=12cm,宽AB=8cm,P、Q分别是AB、BC上运动的两点.若P自点A出发,以1cm/s的速度沿AB方向运动,同时,Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动,问经过几秒,以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC 相似?解答:解:设经x秒后,△PBQ∽△BCD,由于∠PBQ=∠BCD=90°,(1)当∠1=∠2时,有:,即;(2)当∠1=∠3时,有:,即,∴经过秒或2秒,△PBQ∽△BCD.15.如图,在△ABC 中,AB=10cm ,BC=20cm ,点P 从点A 开始沿AB 边向B 点以2cm/s 的速度移动,点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以4cm/s 的速度移动,如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发,问经过几秒钟,△PBQ 与△ABC 相似. 解答: 设经过秒后t 秒后,△PBQ 与△ABC 相似,则有AP=2t ,BQ=4t ,BP=10﹣2t , 当△PBQ ∽△ABC 时,有BP :AB=BQ :BC , 即(10﹣2t ):10=4t :20,解得t=2.5(s )(6分)当△QBP ∽△ABC 时,有BQ :AB=BP :BC , 即4t :10=(10﹣2t ):20,解得t=1.所以,经过2.5s 或1s 时,△PBQ 与△ABC 相似(10分).解法二:设ts 后,△PBQ 与△ABC 相似,则有,AP=2t ,BQ=4t ,BP=10﹣2t分两种情况:(1)当BP 与AB 对应时,有=,即=,解得t=2.5s (2)当BP 与BC 对应时,有=,即=,解得t=1s所以经过1s 或2.5s 时,以P 、B 、Q 三点为顶点的三角形与△ABC 相似.16.如图,∠ACB=∠ADC=90°,AC=,AD=2.问当AB 的长为多少时,这两个直角三角形相似. 解答: 解:∵AC=,AD=2,∴CD==.要使这两个直角三角形相似,有两种情况:1) 当Rt △ABC ∽Rt △ACD 时, 2) 有=,∴AB==3;3) 当Rt △ACB ∽Rt △CDA 时, 4) 有=,∴AB==3.故当AB 的长为3或3时,这两个直角三角形相似.17.已知,如图,在边长为a 的正方形ABCD 中,M 是AD 的中点,能否在边AB 上找一点N (不含A 、B ),使得△CDM 与△MAN 相似?若能,请给出证明,若不能,请说明理由.解答: 证明:分两种情况讨论:①若△CDM ∽△MAN ,则=.∵边长为a ,M 是AD 的中点, ∴AN=a .②若△CDM ∽△NAM ,则.∵边长为a,M 是AD的中点,∴AN=a,即N点与B重合,不合题意.所以,能在边AB上找一点N(不含A、B),使得△CDM与△MAN相似.当AN=a时,N点的位置满足条件.18.如图在△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,AC=6cm,点Q从B出发,沿BC方向以2cm/s的速度移动,点P从C出发,沿CA方向以1cm/s的速度移动.若Q、P分别同时从B、C出发,试探究经过多少秒后,以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似?解答:解:设经过x秒后,两三角形相似,则CQ=(8﹣2x)cm,CP=xcm,(1分)∵∠C=∠C=90°,∴当或时,两三角形相似.(3分)(1)当时,,∴x=;(4分)(2)当时,,∴x=.(5分)所以,经过秒或秒后,两三角形相似.(6分)点评:本题综合考查了路程问题,相似三角形的性质及一元一次方程的解法.19.如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB上确定点P的位置,使得以P,A,D为顶点的三角形与以P,B,C为顶点的三角形相似.解答:解:(1)若点A,P,D分别与点B,C,P对应,即△APD∽△BCP,∴=,∴=,∴AP2﹣7AP+6=0,∴AP=1或AP=6,检测:当AP=1时,由BC=3,AD=2,BP=6,∴=,又∵∠A=∠B=90°,∴△APD∽△BCP.当AP=6时,由BC=3,AD=2,BP=1,又∵∠A=∠B=90°,∴△APD∽△BCP.(2)若点A,P,D分别与点B,P,C对应,即△APD∽△BPC.∴=,∴=,∴AP=.检验:当AP=时,由BP=,AD=2,BC=3,∴=,又∵∠A=∠B=90°,∴△APD∽△BPC.因此,点P的位置有三处,即在线段AB距离点A的1、、6处.20.△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF的顶点E位于边BC的中点上.(1)如图1,设DE与AB交于点M,EF与AC交于点N,求证:△BEM∽△CNE;(2)如图2,将△DEF绕点E旋转,使得DE与BA的延长线交于点M,EF与AC 交于点N,于是,除(1)中的一对相似三角形外,能否再找出一对相似三角形并证明你的结论.解答:证明:(1)∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠MBE=45°,∴∠BME+∠MEB=135°又∵△DEF是等腰直角三角形,∴∠DEF=45°∴∠NEC+∠MEB=135°∴∠BEM=∠NEC,(4分)而∠MBE=∠ECN=45°,∴△BEM∽△CNE.(6分)(2)与(1)同理△BEM∽△CNE,∴.(8分)又∵BE=EC,∴,(10分)则△ECN与△MEN中有,又∠ECN=∠MEN=45°,∴△ECN∽△MEN.(12分)21.如图,在矩形ABCD中,AB=15cm,BC=10cm,点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(秒)表示移动的时间,那么当t为何值时,以点Q、A、P 为顶点的三角形与△ABC相似.解答:解:以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似,所以△ABC∽△PAQ或△ABC∽△QAP,①当△ABC∽△PAQ 时,,所以,解得:t=6;②当△ABC∽△QAP时,,所以,解得:t=;③当△AQP∽△BAC时,=,即=,所以t=;④当△AQP∽△BCA时,=,即=,所以t=30(舍去).故当t=6或t=时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似.22.如图,路灯(P点)距地面8米,身高1.6米的小明从距路灯的底部(O点)20米的A点,沿OA所在的直线行走14米到B点时,身影的长度是变长了还是变短了?变长或变短了多少米?解答:解:∵∠MAC=∠MOP=90°,∠AMC=∠OMP,∴△MAC∽△MOP.∴,即,解得,MA=5米;同理,由△NBD∽△NOP,可求得NB=1.5米,∴小明的身影变短了5﹣1.5=3.5米.23.阳光明媚的一天,数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度(这棵树底部可以到达,顶部不易到达),他们带了以下测量工具:皮尺,标杆,一副三角尺,小平面镜.请你在他们提供的测量工具中选出所需工具,设计一种测量方案.(1)所需的测量工具是:;(2)请在下图中画出测量示意图;(3)设树高AB的长度为x,请用所测数据(用小写字母表示)求出x.解答:解:(1)皮尺,标杆;(2)测量示意图如图所示;(3)如图,测得标杆DE=a,树和标杆的影长分别为AC=b,EF=c,∵△DEF∽△BAC,∴,∴,∴.(7分)24.问题背景在某次活动课中,甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息:甲组:如图1,测得一根直立于平地,长为80cm的竹竿的影长为60cm.乙组:如图2,测得学校旗杆的影长为900cm.丙组:如图3,测得校园景灯(灯罩视为球体,灯杆为圆柱体,其粗细忽略不计)的高度为200cm,影长为156cm.任务要求:(1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度;(2)如图3,设太阳光线NH与⊙O相切于点M.请根据甲、丙两组得到的信息,求景灯灯罩的半径.(友情提示:如图3,景灯的影长等于线段NG的影长;需要时可采用等式1562+2082=2602)解答:解:(1)由题意可知:∠BAC=∠EDF=90°,∠BCA=∠EFD.∴△ABC ∽△DEF.∴,即,(2分)∴DE=1200(cm).所以,学校旗杆的高度是12m.(3分)(2)解法一:与①类似得:,即,∴GN=208.(4分)在Rt△NGH中,根据勾股定理得:NH2=1562+2082=2602,∴NH=260.(5分)设⊙O的半径为rcm,连接OM,∵NH切⊙O于M,∴OM⊥NH.(6分)则∠OMN=∠HGN=90°,又∵∠ONM=∠HNG,∴△OMN∽△HGN,∴(7分),又ON=OK+KN=OK+(GN﹣GK)=r+8,∴,解得:r=12.∴景灯灯罩的半径是12cm.(8分)解法二:与①类似得:,即,∴GN=208.(4分)设⊙O的半径为rcm,连接OM,∵NH切⊙O于M,∴OM⊥NH.(5分)则∠OMN=∠HGN=90°,又∵∠ONM=∠HNG,∴△OMN∽△HGN.∴,即,(6分)∴MN=r,又∵ON=OK+KN=OK+(GN﹣GK)=r+8.(7分)在Rt△OMN中,根据勾股定理得:r2+(r)2=(r+8)2即r2﹣9r﹣36=0,解得:r1=12,r2=﹣3(不合题意,舍去),∴景灯灯罩的半径是12cm.(8分)25.(2007•白银)阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC.解答:解:∵AE∥BD,∴△ECA∽△DCB,∴.∵EC=8.7m,ED=2.7m,∴CD=6m.∵AB=1.8m,∴AC=BC+1.8m,∴,∴BC=4,即窗口底边离地面的高为4m.点评:此题基本上难度不大,利用相似比即可求出窗口底边离地面的高.26.如图,李华晚上在路灯下散步.已知李华的身高AB=h,灯柱的高OP=O′P′=l,两灯柱之间的距离OO′=m.(1)若李华距灯柱OP的水平距离OA=a,求他影子AC的长;(2)若李华在两路灯之间行走,则他前后的两个影子的长度之和(DA+AC)是否是定值请说明理由;(3)若李华在点A朝着影子(如图箭头)的方向以v1匀速行走,试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2.解答:解:(1)由已知:AB∥OP,∴△ABC∽△OPC.∵,∵OP=l,AB=h,OA=a,∴,∴解得:.(2)∵AB∥OP,∴△ABC∽△OPC,∴,即,即.∴.同理可得:,∴=是定值.(3)根据题意设李华由A到A',身高为A'B',A'C'代表其影长(如图).由(1)可知,即,∴,同理可得:,∴,由等比性质得:,当李华从A走到A'的时候,他的影子也从C移到C',因此速度与路程成正比∴,所以人影顶端在地面上移动的速度为.27.如图①,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S1,S2,S3表示,则不难证明S1=S2+S3.(1)如图②,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S1,S2,S3表示,那么S1,S2,S3之间有什么关系;(不必证明)(2)如图③,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用S1、S2、S3表示,请你确定S1,S2,S3之间的关系并加以证明;(3)若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形,其面积分别用S1,S2,S3表示,为使S1,S2,S3之间仍具有与(2)相同的关系,所作三角形应满足什么条件证明你的结论;(4)类比(1),(2),(3)的结论,请你总结出一个更具一般意义的结论.解:设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c,则c2=a2+b2(1)S1=S2+S3;(2)S1=S2+S3.证明如下:显然,S1=,S2=,S3=∴S2+S3==S1;(3)当所作的三个三角形相似时,S1=S2+S3.证明如下:∵所作三个三角形相似∴∴=1 ∴S1=S2+S3;(4)分别以直角三角形ABC三边为一边向外作相似图形,其面积分别用S1、S2、S3表示,则S1=S2+S3.28.已知:如图,△ABC∽△ADE,AB=15,AC=9,BD=5.求AE.解答:解:∵△ABC ∽△ADE,∴AE:AC=AD:AB.∵AE:AC=(AB+BD):AB,∴AE:9=(15+5):15.∴AE=12.29.已知:如图Rt△ABC∽Rt△BDC,若AB=3,AC=4.(1)求BD、CD的长;(2)过B作BE⊥DC于E,求BE的长.解答:解:(1)Rt△ABC中,根据勾股定理得:BC==5,∵Rt△ABC∽Rt△BDC,∴==,==,∴BD=,CD=;(2)在Rt△BDC中,S△BDC=BE•CD=BD•BC,∴BE===3.30.(1)已知,且3x+4z﹣2y=40,求x,y,z的值;(2)已知:两相似三角形对应高的比为3:10,且这两个三角形的周长差为560cm,求它们的周长.解:(1)设=k,那么x=2k,y=3k,z=5k,由于3x+4z﹣2y=40,∴6k+20k﹣6k=40,∴k=2,∴x=4,y=6,z=10.(2)设一个三角形周长为Ccm,则另一个三角形周长为(C+560)cm,则,∴C=240,C+560=800,即它们的周长分别为240cm,800cm。
相似三角形经典题(含答案)
相似三角形经典习题例1 从下面这些三角形中,选出相似的三角形.例2 已知:如图,ABCD 中,2:1:=EB AE ,求AEF ∆与CDF ∆的周长的比,如果2cm 6=∆AEF S ,求CDF S ∆.例3 如图,已知ABD ∆∽ACE ∆,求证:ABC ∆∽ADE ∆.例4 下列命题中哪些是正确的,哪些是错误的?(1)所有的直角三角形都相似. (2)所有的等腰三角形都相似. (3)所有的等腰直角三角形都相似. (4)所有的等边三角形都相似.例5 如图,D 点是ABC ∆的边AC 上的一点,过D 点画线段DE ,使点E 在ABC ∆的边上,并且点D 、点E 和ABC ∆的一个顶点组成的小三角形与ABC ∆相似.尽可能多地画出满足条件的图形,并说明线段DE 的画法.例6 如图,一人拿着一支刻有厘米分画的小尺,站在距电线杆约30米的地方,把手臂向前伸直,小尺竖直,看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆,已知手臂长约60厘米,求电线杆的高.例7 如图,小明为了测量一高楼MN 的高,在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜,小明沿NA 后退到C 点,正好从镜中看到楼顶M 点,若5.1=AC m ,小明的眼睛离地面的高度为1.6m ,请你帮助小明计算一下楼房的高度(精确到0.1m ).例8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形,说明理由.例9 根据下列各组条件,判定ABC ∆和C B A '''∆是否相似,并说明理由:(1),cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A . (2)︒='∠︒='∠︒=∠︒=∠35,44,104,35A C B A .(3)︒='∠=''=''︒=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB .例10 如图,下列每个图形中,存不存在相似的三角形,如果存在,把它们用字母表示出来,并简要说明识别的根据.例11 已知:如图,在ABC ∆中,BD A AC AB ,36,︒=∠=是角平分线,试利用三角形相似的关系说明AC DC AD ⋅=2.例12 已知ABC ∆的三边长分别为5、12、13,与其相似的C B A '''∆的最大边长为26,求C B A '''∆的面积S .例13 在一次数学活动课上,老师让同学们到操场上测量旗杆的高度,然后回来交流各自的测量方法.小芳的测量方法是:拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C 处(如图),然后沿BC 方向走到D 处,这时目测旗杆顶部A 与竹竿顶部E 恰好在同一直线上,又测得C 、D 两点的距离为3米,小芳的目高为1.5米,这样便可知道旗杆的高.你认为这种测量方法是否可行?请说明理由.例14.如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标作为点A ,再在河的这一边选点B 和C ,使BC AB ⊥,然后再选点E ,使BC EC ⊥,确定BC 与AE 的交点为D ,测得120=BD 米,60=DC 米,50=EC 米,你能求出两岸之间AB 的大致距离吗?例15.如图,为了求出海岛上的山峰AB 的高度,在D 和F 处树立标杆DC 和FE ,标杆的高都是3丈,相隔1000步(1步等于5尺),并且AB 、CD 和EF 在同一平面内,从标杆DC 退后123步的G 处,可看到山峰A 和标杆顶端C 在一直线上,从标杆FE 退后127步的H 处,可看到山峰A 和标杆顶端E 在一直线上.求山峰的高度AB 及它和标杆CD 的水平距离BD 各是多少?(古代问题)例16 如图,已知△ABC 的边AB =32,AC =2,BC 边上的高AD =3.(1)求BC 的长;(2)如果有一个正方形的边在AB 上,另外两个顶点分别在AC ,BC 上,求这个正方形的面积.相似三角形经典习题答案例1. 解 ①、⑤、⑥相似,②、⑦相似,③、④、⑧相似例2. 解 ABCD 是平行四边形,∴CD AB CD AB =,//,∴AEF ∆∽CDF ∆,又2:1:=EB AE ,∴3:1:=CD AE ,∴AEF ∆与CDF ∆的周长的比是1:3. 又)cm (6,)31(22==∆∆∆AEF CDF AEF S S S ,∴)cm (542=∆CDF S . 例3 分析 由于ABD ∆∽ACE ∆,则CAE BAD ∠=∠,因此DAE BAC ∠=∠,如果再进一步证明AECAAD BA =,则问题得证.证明 ∵ABD ∆∽ACE ∆,∴CAE BAD ∠=∠.又DAC BAD BAC ∠+∠=∠ ,∴CAE DAC DAE ∠+∠=∠, ∴DAE BAC ∠=∠. ∵ABD ∆∽ACE ∆,∴AEACAD AB =. 在ABC ∆和ADE ∆中,∵AEACAD AB ADE BAC =∠=∠,,∴ABC ∆∽ADE ∆ 例4.分析 (1)不正确,因为在直角三角形中,两个锐角的大小不确定,因此直角三角形的形状不同.(2)也不正确,等腰三角形的顶角大小不确定,因此等腰三角形的形状也不同. (3)正确.设有等腰直角三角形ABC 和C B A ''',其中︒='∠=∠90C C ,则︒='∠=∠︒='∠=∠45,45B B A A ,设ABC ∆的三边为a 、b 、c ,C B A '''∆的边为c b a '''、、, 则a c b a a c b a '=''='==2,,2,,∴a ac c b b a a '=''=',,∴ABC ∆∽C B A '''∆. (4)也正确,如ABC ∆与C B A '''∆都是等边三角形,对应角相等,对应边都成比例,因此ABC ∆∽C B A '''∆.答:(1)、(2)不正确.(3)、(4)正确. 例5.解:画法略.例6.分析 本题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形,即60=DF 厘米6.0=米,12=GF 厘米12.0=米,30=CE 米,求BC .由于ADF ∆∽ACAF EC DF AEC =∆,,又ACF ∆∽ABC ∆,∴BC GFEC DF =,从而可以求出BC 的长. 解 EC DF EC AE //,⊥ ,∴EAC DAF AEC ADF ∠=∠∠=∠,,∴ADF ∆∽AEC ∆.∴ACAFEC DF =. 又EC BC EC GF ⊥⊥,,∴ABC AGF ACB AFG BC GF ∠=∠∠=∠,,//, ∴AGF ∆∽ABC ∆,∴BC GF AC AF =,∴BCGFEC DF =.又60=DF 厘米6.0=米,12=GF 厘米12.0=米,30=EC 米,∴6=BC 米.即电线杆的高为6米. 例7.分析 根据物理学定律:光线的入射角等于反射角,这样,BCA ∆与MNA ∆的相似关系就明确了.解 因为MAN BAC AN MN CA BC ∠=∠⊥⊥,,,所以BCA ∆∽MNA ∆.所以AC AN BC MN ::=,即5.1:206.1:=MN .所以3.215.1206.1≈÷⨯=MN (m ). 说明 这是一个实际应用问题,方法看似简单,其实很巧妙,省却了使用仪器测量的麻烦.例8.分析 这两个图如果不是画在格点中,那是无法判断的.实际上格点无形中给图形增添了条件——长度和角度.解 在格点中BC AB EF DE ⊥⊥,,所以︒=∠=∠90B E , 又4,2,2,1====AB BC DE EF .所以21==BC EF AB DE .所以DEF ∆∽ABC ∆. 说明 遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件,勿使遗漏.例9.解 (1)因为7128cm 4cm ,7117.5cm 2.5cm ,7124.5cm 3.5cm ==''==''==''A C CA C B BC B A AB ,所以ABC ∆∽C B A '''∆; (2)因为︒=∠-∠-︒=∠41180B A C ,两个三角形中只有A A '∠=∠,另外两个角都不相等,所以ABC ∆与C B A '''∆不相似;(3)因为12,=''='''∠=∠C B BC B A AB B B ,所以ABC ∆相似于C B A '''∆.例10.解 (1)ADE ∆∽ABC ∆ 两角相等; (2)ADE ∆∽ACB ∆ 两角相等;(3)CDE ∆∽CAB ∆ 两角相等; (4)EAB ∆∽ECD ∆ 两边成比例夹角相等; (5)ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等; (6)ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等.例11.分析 有一个角是65°的等腰三角形,它的底角是72°,而BD 是底角的平分线,∴︒=∠36CBD ,则可推出ABC ∆∽BCD ∆,进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系.证明 AC AB A =︒=∠,36 ,∴︒=∠=∠72C ABC . 又BD 平分ABC ∠,∴︒=∠=∠36CBD ABD .∴BC BD AD ==,且ABC ∆∽BCD ∆,∴BC CD AB BC ::=,∴CD AB BC ⋅=2,∴CD AC AD ⋅=2. 说明 (1)有两个角对应相等,那么这两个三角形相似,这是判断两个三角形相似最常用的方法,并且根据相等的角的位置,可以确定哪些边是对应边.(2)要说明线段的乘积式cd ab =,或平方式bc a =2,一般都是证明比例式,b dc a =,或caa b =,再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式.例12分析 由ABC ∆的三边长可以判断出ABC ∆为直角三角形,又因为ABC ∆∽C B A '''∆,所以C B A '''∆也是直角三角形,那么由C B A '''∆的最大边长为26,可以求出相似比,从而求出C B A '''∆的两条直角边长,再求得C B A '''∆的面积.解 设ABC ∆的三边依次为,13,12,5===AB AC BC ,则222AC BC AB += ,∴︒=∠90C .又∵ABC ∆∽C B A '''∆,∴︒=∠='∠90C C .212613==''=''=''B A AB C A AC C B BC , 又12,5==AC BC ,∴24,10=''=''C A C B . ∴12010242121=⨯⨯=''⨯''=C B C A S .例13.分析 判断方法是否可行,应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高.按这种测量方法,过F作AB FG ⊥于G ,交CE 于H ,可知AGF ∆∽EHF ∆,且GF 、HF 、EH 可求,这样可求得AG ,故旗杆AB 可求.解 这种测量方法可行.理由如下:设旗杆高x AB =.过F 作AB FG ⊥于G ,交CE 于H (如图).所以AGF ∆∽EHF ∆.因为3,30327,5.1==+==HF GF FD ,所以5.1,25.15.3-==-=x AG EH .由AGF ∆∽EHF ∆,得HF GF EH AG =,即33025.1=-x ,所以205.1=-x ,解得5.21=x (米) 所以旗杆的高为21.5米.说明 在具体测量时,方法要现实、切实可行. 例14. 解:︒=∠=∠∠=∠90,ECD ABC EDC ADB ,∴ABD ∆∽ECD ∆,1006050120,=⨯=⨯==CD EC BD AB CD BD EC AB (米),答:两岸间AB 大致相距100米. 例15. 答案:1506=AB 米,30750=BD 步,(注意:AK FEFHKE AK CD DG KC ⋅=⋅=,.) 例16. 分析:要求BC 的长,需画图来解,因AB 、AC 都大于高AD ,那么有两种情况存在,即点D 在BC 上或点D 在BC 的延长线上,所以求BC 的长时要分两种情况讨论.求正方形的面积,关键是求正方形的边长. 解:(1)如上图,由AD ⊥BC ,由勾股定理得BD =3,DC =1,所以BC =BD +DC =3+1=4. 如下图,同理可求BD =3,DC =1,所以BC =BD -CD =3-1=2.(2)如下图,由题目中的图知BC =4,且162)32(2222=+=+AC AB ,162=BC ,∴222BC AC AB =+.所以△ABC 是直角三角形.由AE G F 是正方形,设G F =x ,则FC =2-x , ∵G F ∥AB ,∴AC FCAB GF =,即2232x x -=. ∴33-=x ,∴3612)33(2-=-=AEGF S 正方形. 如下图,当BC =2,AC =2,△ABC 是等腰三角形,作CP ⊥AB 于P ,∴AP =321=AB ,在Rt △APC 中,由勾股定理得CP =1, ∵GH ∥AB ,∴△C GH ∽△CBA ,∵x x x -=132,32132+=x ∴121348156)32132(2-=+=GFEH S 正方形 因此,正方形的面积为3612-或121348156-.。
初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)
经典练习题相似三角形一.解答题(共30小题)1.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证:△ADE∽△EFC.2.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF与AB的延长线交于点G.(1)求证:△CDF∽△BGF;(2)当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD的长.3.如图,点D,E在BC上,且FD∥AB,FE∥AC.求证:△ABC∽△FDE.4.如图,已知E是矩形ABCD的边CD上一点,BF⊥AE于F,试说明:△ABF∽△EAD.5.已知:如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D在一条直线上,连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点.(1)求证:①BE=CD;②△AMN是等腰三角形;(2)在图①的基础上,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立;(3)在(2)的条件下,请你在图②中延长ED交线段BC于点P.求证:△PBD∽△AMN.6.如图,E是▱ABCD的边BA延长线上一点,连接EC,交AD于点F.在不添加辅助线的情况下,请你写出图中所有的相似三角形,并任选一对相似三角形给予证明.7.如图,在4×3的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.(1)填空:∠ABC=_________ °,BC= _________ ;(2)判断△ABC与△DEC是否相似,并证明你的结论.8.如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.某一时刻,动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动;同时,动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动,问:(1)经过多少时间,△AMN的面积等于矩形ABCD 面积的?(2)是否存在时刻t,使以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似?若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.9.如图,在梯形ABCD中,若AB∥DC,AD=BC,对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形.(1)列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况,并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少;(注意:全等看成相似的特例)(2)请你任选一组相似三角形,并给出证明.10.如图△ABC中,D为AC上一点,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE⊥BD于E,连接AE.(1)写出图中所有相等的线段,并加以证明;(2)图中有无相似三角形?若有,请写出一对;若没有,请说明理由;(3)求△BEC与△BEA的面积之比.11.如图,在△ABC中,AB=AC=a,M为底边BC上的任意一点,过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P,交AB于Q.(1)求四边形AQMP的周长;(2)写出图中的两对相似三角形(不需证明);(3)M位于BC的什么位置时,四边形AQMP为菱形并证明你的结论.12.已知:P是正方形ABCD的边BC上的点,且BP=3PC,M是CD的中点,试说明:△ADM∽△MCP.13.如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,AB=BC=8,CD=10.(1)求梯形ABCD的面积S;(2)动点P从点B出发,以1cm/s的速度,沿B⇒A⇒D⇒C方向,向点C运动;动点Q从点C出发,以1cm/s 的速度,沿C⇒D⇒A方向,向点A运动,过点Q作QE⊥BC于点E.若P、Q两点同时出发,当其中一点到达目的地时整个运动随之结束,设运动时间为t秒.问:①当点P在B⇒A上运动时,是否存在这样的t,使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由;②在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由;③在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由.14.已知矩形ABCD,长BC=12cm,宽AB=8cm,P、Q分别是AB、BC上运动的两点.若P自点A出发,以1cm/s 的速度沿AB方向运动,同时,Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动,问经过几秒,以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似?15.如图,在△ABC中,AB=10cm,BC=20cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动,如果P、Q分别从A、B同时出发,问经过几秒钟,△PBQ与△ABC 相似.16.如图,∠ACB=∠ADC=90°,AC=,AD=2.问当AB的长为多少时,这两个直角三角形相似.17.已知,如图,在边长为a的正方形ABCD中,M是AD的中点,能否在边AB上找一点N(不含A、B),使得△CDM与△MAN相似?若能,请给出证明,若不能,请说明理由.18.如图在△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,AC=6cm,点Q从B出发,沿BC方向以2cm/s的速度移动,点P从C出发,沿CA方向以1cm/s的速度移动.若Q、P分别同时从B、C出发,试探究经过多少秒后,以点C、P、Q 为顶点的三角形与△CBA相似?19.如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB上确定点P的位置,使得以P,A,D为顶点的三角形与以P,B,C为顶点的三角形相似.20.△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF的顶点E位于边BC的中点上.(1)如图1,设DE与AB交于点M,EF与AC交于点N,求证:△BEM∽△CNE;(2)如图2,将△DEF绕点E旋转,使得DE与BA的延长线交于点M,EF与AC交于点N,于是,除(1)中的一对相似三角形外,能否再找出一对相似三角形并证明你的结论.21.如图,在矩形ABCD中,AB=15cm,BC=10cm,点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动;点Q 沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(秒)表示移动的时间,那么当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似.22.如图,路灯(P点)距地面8米,身高1.6米的小明从距路灯的底部(O点)20米的A点,沿OA所在的直线行走14米到B点时,身影的长度是变长了还是变短了?变长或变短了多少米?23.阳光明媚的一天,数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度(这棵树底部可以到达,顶部不易到达),他们带了以下测量工具:皮尺,标杆,一副三角尺,小平面镜.请你在他们提供的测量工具中选出所需工具,设计一种测量方案.(1)所需的测量工具是:_________ ;(2)请在下图中画出测量示意图;(3)设树高AB的长度为x,请用所测数据(用小写字母表示)求出x.24.问题背景在某次活动课中,甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息:甲组:如图1,测得一根直立于平地,长为80cm的竹竿的影长为60cm.乙组:如图2,测得学校旗杆的影长为900cm.丙组:如图3,测得校园景灯(灯罩视为球体,灯杆为圆柱体,其粗细忽略不计)的高度为200cm,影长为156cm.任务要求:(1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度;(2)如图3,设太阳光线NH 与⊙O 相切于点M .请根据甲、丙两组得到的信息,求景灯灯罩的半径.(友情提示:如图3,景灯的影长等于线段NG 的影长;需要时可采用等式1562+2082=2602)25.阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m 宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m ,窗口高AB=1.8m ,求窗口底边离地面的高BC .26.如图,李华晚上在路灯下散步.已知李华的身高AB=h ,灯柱的高OP=O′P′=l,两灯柱之间的距离OO′=m. (1)若李华距灯柱OP 的水平距离OA=a ,求他影子AC 的长;(2)若李华在两路灯之间行走,则他前后的两个影子的长度之和(DA+AC )是否是定值请说明理由; (3)若李华在点A 朝着影子(如图箭头)的方向以v 1匀速行走,试求他影子的顶端在地面上移动的速度v 2.27.如图①,分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S 1,S 2,S 3表示,则不难证明S 1=S 2+S 3.(1)如图②,分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S 1,S 2,S 3表示,那么S 1,S 2,S 3之间有什么关系;(不必证明)(2)如图③,分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用S 1、S 2、S 3表示,请你确定S 1,S 2,S 3之间的关系并加以证明;(3)若分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个一般三角形,其面积分别用S 1,S 2,S 3表示,为使S 1,S 2,S 3之间仍具有与(2)相同的关系,所作三角形应满足什么条件证明你的结论; (4)类比(1),(2),(3)的结论,请你总结出一个更具一般意义的结论.28.已知:如图,△ABC∽△ADE,AB=15,AC=9,BD=5.求AE .29.已知:如图Rt△ABC∽Rt△BDC,若AB=3,AC=4.(1)求BD、CD的长;(2)过B作BE⊥DC于E,求BE的长.30.(1)已知,且3x+4z﹣2y=40,求x,y,z的值;(2)已知:两相似三角形对应高的比为3:10,且这两个三角形的周长差为560cm,求它们的周长.参考答案与试题解析一.解答题(共30小题)1.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证:△ADE∽△EFC.2.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF与AB的延长线交于点G.(1)求证:△CDF∽△BGF;(2)当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD的长.3.如图,点D,E在BC上,且FD∥AB,FE∥AC.求证:△ABC∽△FDE.4.如图,已知E是矩形ABCD的边CD上一点,BF⊥AE于F,试说明:△ABF∽△EAD.5.已知:如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D在一条直线上,连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点.(1)求证:①BE=CD;②△AMN是等腰三角形;(2)在图①的基础上,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立;(3)在(2)的条件下,请你在图②中延长ED交线段BC于点P.求证:△PBD∽△AMN.6.如图,E 是▱ABCD 的边BA 延长线上一点,连接EC ,交AD 于点F .在不添加辅助线的情况下,请你写出图中所有的相似三角形,并任选一对相似三角形给予证明.7.如图,在4×3的正方形方格中,△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上. (1)填空:∠ABC= 135° °,BC=;(2)判断△ABC 与△DEC 是否相似,并证明你的结论.BC==22、,可得BC=∵BC==;∴;∴8.如图,已知矩形ABCD 的边长AB=3cm ,BC=6cm .某一时刻,动点M 从A 点出发沿AB 方向以1cm/s 的速度向B 点匀速运动;同时,动点N 从D 点出发沿DA 方向以2cm/s 的速度向A 点匀速运动,问: (1)经过多少时间,△AMN 的面积等于矩形ABCD 面积的?(2)是否存在时刻t ,使以A ,M ,N 为顶点的三角形与△ACD 相似?若存在,求t 的值;若不存在,请说明理由.面积的面积的则有:×3×6,即面积的因此有①,或②(t=t=(或t=都符合题意,同时出发后,经过秒或秒时,以9.如图,在梯形ABCD 中,若AB∥DC,AD=BC ,对角线BD 、AC 把梯形分成了四个小三角形.(1)列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况,并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少;(注意:全等看成相似的特例)(2)请你任选一组相似三角形,并给出证明.(,即相似三角形的证明.还考查了相似三角形的判定.10.附加题:如图△ABC中,D为AC上一点,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE⊥BD于E,连接AE.(1)写出图中所有相等的线段,并加以证明;(2)图中有无相似三角形?若有,请写出一对;若没有,请说明理由;(3)求△BEC与△BEA的面积之比.CE=.AE=∴sin∠AEF=,∴AF=AE•sin∠AEF=∴.11.如图,在△ABC中,AB=AC=a,M为底边BC上的任意一点,过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P,交AB于Q.(1)求四边形AQMP的周长;(2)写出图中的两对相似三角形(不需证明);(3)M位于BC的什么位置时,四边形AQMP为菱形并证明你的结论.AB=12.已知:P是正方形ABCD的边BC上的点,且BP=3PC,M是CD的中点,试说明:△ADM∽△MCP.AD∴PC=BC=AD=∴.13.如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,AB=BC=8,CD=10.(1)求梯形ABCD的面积S;(2)动点P从点B出发,以1cm/s的速度,沿B⇒A⇒D⇒C方向,向点C运动;动点Q从点C出发,以1cm/s 的速度,沿C⇒D⇒A方向,向点A运动,过点Q作QE⊥BC于点E.若P、Q两点同时出发,当其中一点到达目的地时整个运动随之结束,设运动时间为t秒.问:①当点P在B⇒A上运动时,是否存在这样的t,使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由;②在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由;③在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由.(×(∴tan∠ADP=tan∠C==∴=,∴t=∴tan∠APD=tan∠C==,∴=t=或t=时,△PAD∴PD=∵CE=t QE=t∴QH=BE=8﹣t t∴PH=t﹣t=t∴PQ=,t=t=,,>14.已知矩形ABCD ,长BC=12cm ,宽AB=8cm ,P 、Q 分别是AB 、BC 上运动的两点.若P 自点A 出发,以1cm/s的速度沿AB 方向运动,同时,Q 自点B 出发以2cm/s 的速度沿BC 方向运动,问经过几秒,以P 、B 、Q 为顶点的三角形与△BDC 相似?时,有:,;时,有:,∴经过15.如图,在△ABC 中,AB=10cm ,BC=20cm ,点P 从点A 开始沿AB 边向B 点以2cm/s 的速度移动,点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以4cm/s 的速度移动,如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发,问经过几秒钟,△PBQ 与△ABC 相似.=,即=,解得=,即=16.如图,∠ACB=∠ADC=90°,AC=,AD=2.问当AB的长为多少时,这两个直角三角形相似.解:∵AC=∴CD==.要使这两个直角三角形相似,有两种情况:时,有=,∴AB==3时,有=,∴AB==3.时,这两个直角三角形相似.17.已知,如图,在边长为a的正方形ABCD中,M是AD的中点,能否在边AB上找一点N(不含A、B),使得△CDM与△MAN相似?若能,请给出证明,若不能,请说明理由.AN=a=aAN=18.如图在△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,AC=6cm,点Q从B出发,沿BC方向以2cm/s的速度移动,点P从C出发,沿CA方向以1cm/s的速度移动.若Q、P分别同时从B、C出发,试探究经过多少秒后,以点C、P、Q 为顶点的三角形与△CBA相似?或)当,∴x=;)当,∴x=.所以,经过秒或秒后,两三角形相似.19.如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB上确定点P的位置,使得以P,A,D为顶点的三角形与以P,B,C为顶点的三角形相似.∴=,∴=,∴=,∴=,∴=,∴AP=.AP=BP=∴=,、20.△ABC 和△DEF 是两个等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF 的顶点E 位于边BC 的中点上. (1)如图1,设DE 与AB 交于点M ,EF 与AC 交于点N ,求证:△BEM∽△CNE;(2)如图2,将△DEF 绕点E 旋转,使得DE 与BA 的延长线交于点M ,EF 与AC 交于点N ,于是,除(1)中的一对相似三角形外,能否再找出一对相似三角形并证明你的结论.∴∴中有21.如图,在矩形ABCD 中,AB=15cm ,BC=10cm ,点P 沿AB 边从点A 开始向B 以2cm/s 的速度移动;点Q沿DA 边从点D 开始向点A 以1cm/s 的速度移动.如果P 、Q 同时出发,用t (秒)表示移动的时间,那么当t 为何值时,以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似.所以所以;=,即=,;=,即=,t=22.如图,路灯(P 点)距地面8米,身高1.6米的小明从距路灯的底部(O 点)20米的A 点,沿OA 所在的直线行走14米到B 点时,身影的长度是变长了还是变短了?变长或变短了多少米?∴23.阳光明媚的一天,数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度(这棵树底部可以到达,顶部不易到达),他们带了以下测量工具:皮尺,标杆,一副三角尺,小平面镜.请你在他们提供的测量工具中选出所需工具,设计一种测量方案.(1)所需的测量工具是: ;(2)请在下图中画出测量示意图;(3)设树高AB 的长度为x ,请用所测数据(用小写字母表示)求出x .∴∴∴24.问题背景在某次活动课中,甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息:甲组:如图1,测得一根直立于平地,长为80cm 的竹竿的影长为60cm .乙组:如图2,测得学校旗杆的影长为900cm .丙组:如图3,测得校园景灯(灯罩视为球体,灯杆为圆柱体,其粗细忽略不计)的高度为200cm,影长为156cm.任务要求:(1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度;(2)如图3,设太阳光线NH与⊙O相切于点M.请根据甲、丙两组得到的信息,求景灯灯罩的半径.(友情提示:如图3,景灯的影长等于线段NG的影长;需要时可采用等式1562+2082=2602)∴,即与①类似得:∴∴与①类似得:∴∴MN=r(25.(2007•白银)阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m 宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m ,窗口高AB=1.8m ,求窗口底边离地面的高BC .,从而算出∴∴26.如图,李华晚上在路灯下散步.已知李华的身高AB=h ,灯柱的高OP=O′P′=l,两灯柱之间的距离OO′=m. (1)若李华距灯柱OP 的水平距离OA=a ,求他影子AC 的长;(2)若李华在两路灯之间行走,则他前后的两个影子的长度之和(DA+AC )是否是定值请说明理由; (3)若李华在点A 朝着影子(如图箭头)的方向以v 1匀速行走,试求他影子的顶端在地面上移动的速度v 2.∵∴∴解得:∴,,即∴同理可得:,∴=)可知,即,同理可得:∴由等比性质得:∴所以人影顶端在地面上移动的速度为27.如图①,分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S 1,S 2,S 3表示,则不难证明S 1=S 2+S 3.(1)如图②,分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S 1,S 2,S 3表示,那么S 1,S 2,S 3之间有什么关系;(不必证明)(2)如图③,分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用S 1、S 2、S 3表示,请你确定S 1,S 2,S 3之间的关系并加以证明;(3)若分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个一般三角形,其面积分别用S 1,S 2,S 3表示,为使S 1,S 2,S 3之间仍具有与(2)相同的关系,所作三角形应满足什么条件证明你的结论; (4)类比(1),(2),(3)的结论,请你总结出一个更具一般意义的结论.==∴∴28.已知:如图,△ABC∽△ADE,AB=15,AC=9,BD=5.求AE .29.已知:如图Rt△ABC∽Rt△BDC,若AB=3,AC=4. (1)求BD 、CD 的长;(2)过B 作BE⊥DC 于E ,求BE 的长.∴==,==,CD=;BE•CD=BD•BC,∴BE==30.(1)已知,且3x+4z﹣2y=40,求x,y,z的值;(2)已知:两相似三角形对应高的比为3:10,且这两个三角形的周长差为560cm,求它们的周长.)设=k。
相似三角形经典练习题(4套)附带答案
练习(一)一、填空题:1. 已知a ba b+-=2295,则a b:=__________2. 若三角形三边之比为3:5:7,与它相似的三角形的最长边是21cm,则其余两边之和是__________cm3. 如图,△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,BC=6,则DE=__________;△ADE与△ABC的面积之比为:__________。
题3 题7 题84. 已知线段a=4cm,b=9cm,则线段a、b的比例中项c为__________cm。
5. 在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,DE∥BC,如果AD=8,DB=6,EC=9,那么AE=__________6. 已知三个数1,2,3,请你添上一个数,使它能构成一个比例式,则这个数是__________7. 如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,EF∥BC,若AD=12cm,BC=18cm,AE:EB=2:3,则EF=__________8. 如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,BD⊥CD,AD=6,BC=10,则梯形的面积为:__________二、选择题:1. 如果两个相似三角形对应边的比是3:4,那么它们的对应高的比是__________A. 9:16B. 3:2C. 3:4D. 3:72. 在比例尺为1:m的某市地图上,规划出长a厘米,宽b厘米的矩形工业园区,该园区的实际面积是__________米2A. 104mabB.1042mabC.abm104D.abm24103. 已知,如图,DE∥BC,EF∥AB,则下列结论:题3 题4 题5①AEECBEFC=②ADBFABBC=③EFABDEBC=④CECFEABF=其中正确的比例式的个数是__________A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个4. 如图,在△ABC中,AB=24,AC=18,D是AC上一点,AD=12,在AB上取一点E,使A、D、E三点为顶点组成的三角形与△ABC相似,则AE的长是__________A. 16B. 14C. 16或14D. 16或95. 如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D是BC的中点,AE⊥AD,交CB的延长线于点E,则下列结论正确的是__________A. △AED∽△ACBB. △AEB∽△ACDC. △BAE∽△ACED. △AEC∽△DAC三、解答题:1. 如图,AD∥EG∥BC,AD=6,BC=9,AE:AB=2:3,求GF的长。
相似三角形经典题(含答案)
相似三角形经典题(含答案)相似三角形经典习题例1 从下面这些三角形中,选出相似的三角形.例2 已知:如图,ABCD 中,2:1:=EB AE ,求AEF ∆与CDF ∆的周长的比,如果2cm 6=∆AEFS,求CDFS∆.例3 如图,已知ABD ∆∽ACE ∆,求证:ABC ∆∽ADE ∆.例4 下列命题中哪些是正确的,哪些是错误的?(1)所有的直角三角形都相似.(2)所有的等腰三角形都相似.(3)所有的等腰直角三角形都相似.(4)所有的等边三角形都相似.例5 如图,D点是ABC∆的边AC上的一点,过D点画线段DE,使点E在ABC∆的一个顶点组成∆的边上,并且点D、点E和ABC的小三角形与ABC∆相似.尽可能多地画出满足条件的图形,并说明线段DE的画法.例6 如图,一人拿着一支刻有厘米分画的小尺,站在距电线杆约30米的地方,把手臂向前伸直,小尺竖直,看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆,已知手臂长约60厘米,求电线杆的高.例7 如图,小明为了测量一高楼MN 的高,在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜,小明沿NA 后退到C 点,正好从镜中看到楼顶M 点,若5.1=AC m ,小明的眼睛离地面的高度为1.6m ,请你帮助小明计算一下楼房的高度(精确到0.1m ).例8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形,说明理由.例9 根据下列各组条件,判定ABC ∆和C B A '''∆是否相似,并说明理由:(1),cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A .(2)︒='∠︒='∠︒=∠︒=∠35,44,104,35A C B A .(3)︒='∠=''=''︒=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB .例10 如图,下列每个图形中,存不存在相似的三角形,如果存在,把它们用字母表示出来,并简要说明识别的根据.例11 已知:如图,在ABC ∆中,BD A AC AB ,36,︒=∠=是角平分线,试利用三角形相似的关系说明ACDC AD ⋅=2.例12 已知ABC ∆的三边长分别为5、12、13,与其相似的C B A '''∆的最大边长为26,求C B A '''∆的面积S .例13 在一次数学活动课上,老师让同学们到操场上测量旗杆的高度,然后回来交流各自的测量方法.小芳的测量方法是:拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处(如图),然后沿BC方向走到D处,这时目测旗杆顶部A与竹竿顶部E 恰好在同一直线上,又测得C、D两点的距离为3米,小芳的目高为1.5米,这样便可知道旗杆的高.你认为这种测量方法是否可行?请说明理由.例14.如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标作为点A,再在河的这一边选点B和C,使BCAB⊥,然后再选点E,使BCBD米,=EC⊥,确定BC与AE的交点为D,测得120 EC米,你能求出两岸之间AB的大致距离吗?=60DC米,50=例15.如图,为了求出海岛上的山峰AB的高度,在D和F 处树立标杆DC和FE,标杆的高都是3丈,相隔1000步(1步等于5尺),并且AB、CD和EF在同一平面内,从标杆DC 退后123步的G处,可看到山峰A和标杆顶端C在一直线上,从标杆FE退后127步的H处,可看到山峰A和标杆顶端E 在一直线上.求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD 各是多少?(古代问题)例16 如图,已知△ABC的边AB=32,AC=2,BC边上的高AD=3.(1)求BC的长;(2)如果有一个正方形的边在AB上,另外两个顶点分别在AC,BC上,求这个正方形的面积.相似三角形经典习题答案例1. 解 ①、⑤、⑥相似,②、⑦相似,③、④、⑧相似 例2. 解 ABCD Θ是平行四边形,∴CD AB CD AB =,//,∴AEF ∆∽CDF ∆,又2:1:=EB AE ,∴3:1:=CD AE ,∴AEF ∆与CDF ∆的周长的比是1:3.又)cm (6,)31(22==∆∆∆AEF CDFAEF S SS,∴)cm (542=∆CDFS.例3 分析 由于ABD ∆∽ACE ∆,则CAE BAD ∠=∠,因此DAE BAC ∠=∠,如果再进一步证明AECAAD BA =,则问题得证. 证明 ∵ABD ∆∽ACE ∆,∴CAE BAD ∠=∠. 又DAC BAD BAC ∠+∠=∠Θ,∴CAE DAC DAE ∠+∠=∠, ∴DAE BAC ∠=∠.∵ABD ∆∽ACE ∆,∴AEACAD AB =. 在ABC ∆和ADE ∆中,∵AEACAD AB ADE BAC =∠=∠,,∴ABC ∆∽ADE ∆ 例4.分析 (1)不正确,因为在直角三角形中,两个锐角的大小不确定,因此直角三角形的形状不同.(2)也不正确,等腰三角形的顶角大小不确定,因此等腰三角形的形状也不同.(3)正确.设有等腰直角三角形ABC 和C B A ''',其中︒='∠=∠90C C , 则︒='∠=∠︒='∠=∠45,45B B A A ,设ABC ∆的三边为a 、b 、c ,C B A '''∆的边为c b a '''、、, 则a c b a a c b a '=''='==2,,2,,∴a ac c b b aa '=''=',,∴ABC ∆∽C B A '''∆.(4)也正确,如ABC ∆与C B A '''∆都是等边三角形,对应角相等,对应边都成比例,因此ABC ∆∽C B A '''∆. 答:(1)、(2)不正确.(3)、(4)正确. 例5.解:画法略.例6.分析 本题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形,即60=DF 厘米6.0=米,12=GF 厘米12.0=米,30=CE 米,求BC .由于ADF ∆∽ACAF EC DF AEC =∆,,又ACF ∆∽ABC ∆,∴BC GF EC DF =,从而可以求出BC 的长. 解ECDF EC AE //,⊥Θ,∴EAC DAF AEC ADF ∠=∠∠=∠,,∴ADF ∆∽AEC ∆.∴ACAFEC DF =.又EC BC EC GF ⊥⊥,,∴ABC AGF ACB AFG BC GF ∠=∠∠=∠,,//,∴AGF ∆∽ABC ∆,∴BC GF AC AF =,∴BCGFEC DF =. 又60=DF 厘米6.0=米,12=GF 厘米12.0=米,30=EC 米,∴6=BC 米.即电线杆的高为6米.例7.分析 根据物理学定律:光线的入射角等于反射角,这样,BCA ∆与MNA ∆的相似关系就明确了.解 因为MAN BAC AN MN CA BC ∠=∠⊥⊥,,,所以BCA ∆∽MNA ∆. 所以AC AN BC MN ::=,即5.1:206.1:=MN .所以3.215.1206.1≈÷⨯=MN (m ).说明 这是一个实际应用问题,方法看似简单,其实很巧妙,省却了使用仪器测量的麻烦.例8.分析 这两个图如果不是画在格点中,那是无法判断的.实际上格点无形中给图形增添了条件——长度和角度. 解 在格点中BC AB EF DE ⊥⊥,,所以︒=∠=∠90B E ,又4,2,2,1====AB BC DE EF .所以21==BC EF AB DE .所以DEF ∆∽ABC ∆. 说明 遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件,勿使遗漏.例9.解 (1)因为7128cm 4cm ,7117.5cm 2.5cm ,7124.5cm 3.5cm ==''==''==''A C CA C B BC B A AB ,所以ABC ∆∽C B A '''∆;(2)因为︒=∠-∠-︒=∠41180B A C ,两个三角形中只有A A '∠=∠,另外两个角都不相等,所以ABC ∆与C B A '''∆不相似;(3)因为12,=''='''∠=∠C B BC B A AB B B ,所以ABC ∆相似于C B A '''∆. 例10.解 (1)ADE ∆∽ABC ∆ 两角相等; (2)ADE ∆∽ACB∆ 两角相等;(3)CDE ∆∽CAB ∆ 两角相等; (4)EAB ∆∽ECD ∆ 两边成比例夹角相等;(5)ABD ∆∽ACB ∆两边成比例夹角相等; (6)ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等.例11.分析 有一个角是65°的等腰三角形,它的底角是72°,而BD 是底角的平分线,∴︒=∠36CBD ,则可推出ABC ∆∽BCD ∆,进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系.证明 AC AB A =︒=∠,36Θ,∴︒=∠=∠72C ABC . 又BD Θ平分ABC ∠,∴︒=∠=∠36CBD ABD .∴BC BD AD ==,且ABC ∆∽BCD ∆,∴BC CD AB BC ::=,∴CDAB BC⋅=2,∴CDAC AD⋅=2.说明 (1)有两个角对应相等,那么这两个三角形相似,这是判断两个三角形相似最常用的方法,并且根据相等的角的位置,可以确定哪些边是对应边.(2)要说明线段的乘积式cd ab =,或平方式bca=2,一般都是证明比例式,b d c a =,或caa b =,再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式.例12分析 由ABC ∆的三边长可以判断出ABC ∆为直角三角形,又因为ABC ∆∽C B A '''∆,所以C B A '''∆也是直角三角形,那么由C B A '''∆的最大边长为26,可以求出相似比,从而求出C B A '''∆的两条直角边长,再求得C B A '''∆的面积.解 设ABC ∆的三边依次为,13,12,5===AB AC BC ,则222AC BC AB +=Θ,∴︒=∠90C .又∵ABC ∆∽C B A '''∆,∴︒=∠='∠90C C .212613==''=''=''B A AB C A AC C B BC ,又12,5==AC BC ,∴24,10=''=''C A C B . ∴12010242121=⨯⨯=''⨯''=C B C A S . 例13.分析 判断方法是否可行,应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高.按这种测量方法,过F 作ABFG ⊥于G ,交CE 于H ,可知AGF ∆∽EHF ∆,且GF 、HF 、EH可求,这样可求得AG ,故旗杆AB 可求. 解 这种测量方法可行.理由如下:设旗杆高x AB =.过F 作AB FG ⊥于G ,交CE 于H (如图).所以AGF ∆∽EHF ∆.因为3,30327,5.1==+==HF GF FD ,所以5.1,25.15.3-==-=x AG EH .由AGF ∆∽EHF ∆,得HF GF EH AG =,即33025.1=-x ,所以205.1=-x ,解得5.21=x (米)所以旗杆的高为21.5米.说明 在具体测量时,方法要现实、切实可行. 例14. 解:︒=∠=∠∠=∠90,ECD ABC EDC ADB Θ,∴ABD ∆∽ECD ∆,1006050120,=⨯=⨯==CD EC BD AB CD BD EC AB (米),答:两岸间AB 大致相距100米.例15. 答案:1506=AB 米,30750=BD 步,(注意:AK FEFHKE AK CD DG KC ⋅=⋅=,.) 例16. 分析:要求BC 的长,需画图来解,因AB 、AC 都大于高AD ,那么有两种情况存在,即点D 在BC 上或点D 在BC 的延长线上,所以求BC 的长时要分两种情况讨论.求正方形的面积,关键是求正方形的边长. 解:(1)如上图,由AD ⊥BC ,由勾股定理得BD =3,DC =1,所以BC =BD +DC =3+1=4.如下图,同理可求BD =3,DC =1,所以BC =BD -CD =3-1=2.(2)如下图,由题目中的图知BC =4,且162)32(2222=+=+AC AB,162=BC ,∴222BC AC AB=+.所以△ABC 是直角三角形.由AE G F 是正方形,设G F =x ,则FC =2-x , ∵G F ∥AB ,∴ACFCAB GF =,即2232x x -=. ∴33-=x ,∴3612)33(2-=-=AEGF S 正方形.如下图,当BC =2,AC =2,△ABC 是等腰三角形,作CP ⊥AB 于P ,∴AP =321=AB ,在Rt △APC 中,由勾股定理得CP =1,∵GH ∥AB ,∴△C GH ∽△CBA ,∵xxx -=132,32132+=x ∴121348156)32132(2-=+=GFEH S 正方形因此,正方形的面积为3612-或121348156-.。
初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)
5.已知:如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D在一条直线上,连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点.(1)求证:①BE=CD;②△AMN是等腰三角形;(2)在图①的基础上,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立;(3)在(2)的条件下,请你在图②中延长ED交线段BC于点P.求证:△PBD∽△AMN.8.如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.某一时刻,动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s 的速度向B点匀速运动;同时,动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动,问:(1)经过多少时间,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的?(2)是否存在时刻t,使以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似?若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.9.如图,在梯形ABCD中,若AB∥DC,AD=BC,对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形.(1)列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况,并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少;(注意:全等看成相似的特例)(2)请你任选一组相似三角形,并给出证明.10.如图△ABC中,D为AC上一点,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE⊥BD于E,连接AE.(1)写出图中所有相等的线段,并加以证明;(2)图中有无相似三角形?若有,请写出一对;若没有,请说明理由;(3)求△BEC与△BEA的面积之比.13.如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,AB=BC=8,CD=10.(1)求梯形ABCD的面积S;(2)动点P从点B出发,以1cm/s的速度,沿B⇒A⇒D⇒C方向,向点C运动;动点Q从点C出发,以1cm/s 的速度,沿C⇒D⇒A方向,向点A运动,过点Q作QE⊥BC于点E.若P、Q两点同时出发,当其中一点到达目的地时整个运动随之结束,设运动时间为t秒.问:①当点P在B⇒A上运动时,是否存在这样的t,使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分?若存在,请求出t 的值;若不存在,请说明理由;②在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由;③在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由.20.△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF的顶点E位于边BC的中点上.(1)如图1,设DE与AB交于点M,EF与AC交于点N,求证:△BEM∽△CNE;(2)如图2,将△DEF绕点E旋转,使得DE与BA的延长线交于点M,EF与AC交于点N,于是,除(1)中的一对相似三角形外,能否再找出一对相似三角形并证明你的结论.21.如图,在矩形ABCD中,AB=15cm,BC=10cm,点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(秒)表示移动的时间,那么当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似.50、(2013年广东省)有一副直角三角板,在三角板ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=6,在三角板DEF中,4.将这副直角三角板按如题25图(1)所示位置摆放,点B与点F重合,直角边BA ∠FDE=90°,DF=4,DE=3与FD在同一条直线上.现固定三角板ABC,将三角板DEF沿射线BA方向平行移动,当点F运动到点A时停止运动.(1)如题25图(2),当三角板DEF运动到点D与点A重合时,设EF与BC交于点M,则∠EMC=______度;(2)如题25图(3),在三角板DEF运动过程中,当EF经过点C时,求FC的长;(3)在三角板DEF运动过程中,设BF=x,两块三角板重叠部分面积为y,求y与x的函数解析式,并求出对应的x取值范围.51、(2013•遵义)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm.动点M,N从点C同时出发,均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A,B移动,同时动点P从点B出发,以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动,连接PM,PN,设移动时间为t(单位:秒,0<t<2.5).(1)当t为何值时,以A,P,M为顶点的三角形与△ABC相似?(2)是否存在某一时刻t,使四边形APNC的面积S有最小值?若存在,求S的最小值;若不存在,请说明理由.。
初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)
经典练习题相似三角形(附答案)一.解答题(共30 小题)1..如图,在△A中B,C DE∥BC,EF∥AB,求证:△ADE∽△EFC .2..如图,梯形A BCD 中,AB∥CD,点F 在BC 上,连DF 与AB 的延长线交于点G.(1 )求证:△CDF∽△BGF;(2 )当点 F 是BC 的中点时,过 F 作EF∥C D交AD 于点E,若AB=6cm ,EF=4cm ,求CD 的长.3..如图,点 D ,E 在BC 上,且FD∥ AB,FE∥AC.求证:△ABC∽△FDE .4..如图,已知E是矩形ABCD 的边CD 上一点,BF⊥A于E F,试说明:△ABF ∽△EAD.5..已知:如图①所示,在△和△ABA C DE中,AB=AC ,AD=AE ,∠BAC= ∠DAE,且点B,A ,D 在一条直线上,连接BE,CD ,M ,N 分别为BE,CD 的中点.(1 )求证:①BE=CD ;②△A是MN等腰三角形;(2 )在图①的基础上,将△绕点AD A E 按顺时针方向旋转180 °,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立;(3 )在(2 )的条件下,请你在图②中延长ED 交线段BC 于点P.求证:△PBD∽△AMN.6..如图,E 是? ABCD 的边BA 延长线上一点,连接EC,交AD 于点F.在不添加辅助线的情况下,请你写出图中所有的相似三角形,并任选一对相似三角形给予证明.和A△BC DE的F顶点都在边长为 1 的小正方形的顶点上.7..如图,在 4 ×3的正方形方格中,△(1 )填空:∠A BC= °,BC= ;(2 )判断△AB与C△DEC是否相似,并证明你的结论.8..如图,已知矩形ABCD 的边长AB=3cm ,BC=6cm .某一时刻,动点M 从A 点出发沿AB 方向以1cm/s的速度向 B 点匀速运动;同时,动点N 从D 点出发沿DA 方向以2cm/s 的速度向 A 点匀速运动,问:(1 )经过多少时间,△的A M面N积等于矩形ABCD 面积的?(2 )是否存在时刻t ,使以 A ,M ,N 为顶点的三角形与△相A似CD?若存在,求t 的值;若不存在,请说明理由.9..如图,在梯形ABCD 中,若AB∥DC,AD=BC ,对角线BD 、AC 把梯形分成了四个小三角形.(1 )列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况,并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少;(注意:全等看成相似的特例)(2 )请你任选一组相似三角形,并给出证明.10 .如图△AB中C,D 为AC 上一点,CD=2DA ,∠BAC=45 °,∠BDC=60 °,CE于⊥EB,D连接AE .(1 )写出图中所有相等的线段,并加以证明;(2 )图中有无相似三角形?若有,请写出一对;若没有,请说明理由;(3 )求△BE与C△BEA的面积之比.11 .如图,在△A中B,C AB=AC=a ,M 为底边BC 上的任意一点,过点M 分别作AB 、AC 的平行线交AC于P,交AB 于Q .(1 )求四边形AQMP 的周长;(2 )写出图中的两对相似三角形(不需证明);(3 )M 位于BC 的什么位置时,四边形AQMP 为菱形并证明你的结论.12 .已知:P 是正方形ABCD 的边BC 上的点,且BP=3PC ,M 是CD 的中点,试说明:△ADM∽△MCP.13 .如图,已知梯形ABCD 中,AD∥BC,AD=2 ,AB=BC=8 ,CD=10 .(1 )求梯形ABCD 的面积S;(2 )动点P 从点 B 出发,以1cm/s 的速度,沿B? A ? D ? C 方向,向点 C 运动;动点Q 从点 C 出发,以1cm/s 的速度,沿C? D? A 方向,向点 A 运动,过点Q 作QE⊥BC 于点E.若P、Q 两点同时出发,当其中一点到达目的地时整个运动随之结束,设运动时间为t 秒.问:①当点P 在B? A 上运动时,是否存在这样的t ,使得直线PQ 将梯形ABCD 的周长平分?若存在,请求出t 的值;若不存在,请说明理由;②在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、A、D 为顶点的三角形与△相C似Q?E 若存在,请求出所有符合条件的t 的值;若不存在,请说明理由;③在运动过程中,是否存在这样的t ,使得以P、D、Q 为顶点的三角形恰好是以DQ 为一腰的等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的t 的值;若不存在,请说明理由.14 .已知矩形ABCD ,长BC=12cm ,宽AB=8cm ,P、Q 分别是AB 、BC 上运动的两点.若P 自点 A 出发,以1cm/s 的速度沿AB 方向运动,同时,Q 自点 B 出发以2cm/s 的速度沿BC 方向运动,问经过几秒,以P、B、Q 为顶点的三角形与△相B似DC?15 .如图,在△A中B,C AB=10cm ,BC=20cm ,点P 从点 A 开始沿AB 边向 B 点以2cm/s 的速度移动,点Q 从点B 开始沿BC 边向点 C 以4cm/s 的速度移动,如果P、Q 分别从 A 、B 同时出发,问经过几秒钟,△PBQ与△ABC相似.16 .如图,∠ACB= ∠ADC=90 A°C,= ,AD=2 .问当AB 的长为多少时,这两个直角三角形相似.17 .已知,如图,在边长为 a 的正方形ABCD 中,M 是AD 的中点,能否在边AB 上找一点N(不含 A 、B),使得△CDM与△MAN相似?若能,请给出证明,若不能,请说明理由.18 .如图在△A中BC,∠C=90 °B,C=8cm ,AC=6cm ,点Q 从B 出发,沿BC 方向以2cm/s 的速度移动,点P 从C 出发,沿CA 方向以1cm/s 的速度移动.若Q 、P 分别同时从B、C 出发,试探究经过多少秒后,以点C、P、Q 为顶点的三角形与△相C似B?A19 .如图所示,梯形ABCD 中,AD∥BC,∠A=90 °A B,=7 ,AD=2 ,BC=3 ,试在腰AB 上确定点P 的位置,使得以P,A ,D 为顶点的三角形与以P,B,C 为顶点的三角形相似.20 .△ABC和△DE是F两个等腰直角三角形,∠A= ∠D=90 °的,顶△点E D E位F于边BC 的中点上.(1 )如图 1 ,设DE 与AB 交于点M ,EF与AC 交于点N ,求证:△BEM∽△CNE;(2 )如图 2 ,将△D E绕F点E 旋转,使得DE 与BA 的延长线交于点M ,EF 与AC 交于点N ,于是,除(1)中的一对相似三角形外,能否再找出一对相似三角形并证明你的结论.21 .如图,在矩形ABCD 中,AB=15cm ,BC=10cm ,点P 沿AB 边从点 A 开始向 B 以2cm/s 的速度移动;点Q 沿DA 边从点 D 开始向点 A 以1cm/s 的速度移动.如果P、Q 同时出发,用t(秒)表示移动的时间,C那么当t 为何值时,以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与△相A似B.22 .如图,路灯(P 点)距地面8 米,身高 1.6 米的小明从距路灯的底部(O 点)20 米的 A 点,沿OA 所在的直线行走14 米到B 点时,身影的长度是变长了还是变短了?变长或变短了多少米?23 .阳光明媚的一天,数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度(这棵树底部可以到达,顶部不易到达),他们带了以下测量工具:皮尺,标杆,一副三角尺,小平面镜.请你在他们提供的测量工具中选出所需工具,设计一种测量方案.(1 )所需的测量工具是:;(2 )请在下图中画出测量示意图;(3 )设树高AB 的长度为x,请用所测数据(用小写字母表示)求出x.24 .问题背景在某次活动课中,甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息:甲组:如图 1 ,测得一根直立于平地,长为80cm 的竹竿的影长为60cm .乙组:如图 2 ,测得学校旗杆的影长为900cm .丙组:如图 3 ,测得校园景灯(灯罩视为球体,灯杆为圆柱体,其粗细忽略不计)的高度为200cm ,影长为156cm .任务要求:(1 )请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度;(2 )如图 3 ,设太阳光线NH 与⊙O相切于点M .请根据甲、丙两组得到的信息,求景灯灯罩的半径.(友情提示:如图 3 ,景灯的影长等于线段NG 的影长;需要时可采用等式156 2+208 2 =260 2)25 .阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下 2.7m 宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m ,窗口高AB=1.8m ,求窗口底边离地面的高BC.26 .如图,李华晚上在路灯下散步.已知李华的身高AB=h ,灯柱的高OP=O′P′=两l 灯,柱之间的距离OO′=m.(1 )若李华距灯柱OP 的水平距离OA=a ,求他影子AC 的长;(2 )若李华在两路灯之间行走,则他前后的两个影子的长度之和(DA+AC )是否是定值请说明理由;(3 )若李华在点 A 朝着影子(如图箭头)的方向以v 1匀速行走,试求他影子的顶端在地面上移动的速度v 2.27 .如图①,分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S1,S2 ,S3 表示,则不难证明S1 =S 2 +S 3 .(1 )如图②,分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S1 ,S2,S3 表示,那么S1,S2 ,S3 之间有什么关系;(不必证明)(2 )如图③,分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用S1、S2、S3 表示,请你确定S1 ,S2,S3 之间的关系并加以证明;(3 )若分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个一般三角形,其面积分别用S1 ,S2 ,S3 表示,为使S1,S2,S3 之间仍具有与(2)相同的关系,所作三角形应满足什么条件证明你的结论;(4 )类比(1 ),(2 ),(3 )的结论,请你总结出一个更具一般意义的结论.28 .已知:如图,△ABC∽△AB A=D1E5,,AC=9 ,BD=5 .求AE .29 .已知:如图Rt △ABC∽Rt △BDC,AB若=3 ,AC=4 .(1 )求BD 、CD 的长;(2 )过 B 作BE⊥ DC 于E,求BE 的长.﹣2y=40 ,求x,y,z 的值;30 .(1 )已知,且3x+4z(2 )已知:两相似三角形对应高的比为 3 :10 ,且这两个三角形的周长差为560cm ,求它们的周长.参考答案与试题解析一.解答题(共 30 小题)1..如图,在△ A 中B ,C DE ∥ BC , EF ∥ AB ,求证:△ ADE ∽△ EFC .ADE ∽2. .如图,梯形 A BCD 中, AB ∥ CD ,点F 在 BC 上,连 DF 与 AB 的延长线交于点 G .考点: 相似三角形的判定;平行线的性质。
初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)
经典练习题相似三角形(附答案)一.解答题(共30小题)1.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证:△ADE∽△EFC.2.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF与AB的延长线交于点G.(1)求证:△CDF∽△BGF;(2)当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD的长.3.如图,点D,E在BC上,且FD∥AB,FE∥AC.求证:△ABC∽△FDE.4.如图,已知E是矩形ABCD的边CD上一点,BF⊥AE于F,试说明:△ABF∽△EAD.5.已知:如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D在一条直线上,连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点.(1)求证:①BE=CD;②△AMN是等腰三角形;(2)在图①的基础上,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立;(3)在(2)的条件下,请你在图②中延长ED交线段BC于点P.求证:△PBD∽△AMN.6.如图,E是▱ABCD的边BA延长线上一点,连接EC,交AD于点F.在不添加辅助线的情况下,请你写出图中所有的相似三角形,并任选一对相似三角形给予证明.7.如图,在4×3的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.(1)填空:∠ABC=_________°,BC=_________;(2)判断△ABC与△DEC是否相似,并证明你的结论.8.如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.某一时刻,动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动;同时,动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动,问:(1)经过多少时间,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的(2)是否存在时刻t,使以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.9.如图,在梯形ABCD中,若AB∥DC,AD=BC,对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形.(1)列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况,并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少;(注意:全等看成相似的特例)(2)请你任选一组相似三角形,并给出证明.10.如图△ABC中,D为AC上一点,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE⊥BD于E,连接AE.(1)写出图中所有相等的线段,并加以证明;(2)图中有无相似三角形若有,请写出一对;若没有,请说明理由;(3)求△BEC与△BEA的面积之比.11.如图,在△ABC中,AB=AC=a,M为底边BC上的任意一点,过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P,交AB于Q.(1)求四边形AQMP的周长;(2)写出图中的两对相似三角形(不需证明);(3)M位于BC的什么位置时,四边形AQMP为菱形并证明你的结论.12.已知:P是正方形ABCD的边BC上的点,且BP=3PC,M是CD的中点,试说明:△ADM∽△MCP.13.如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,AB=BC=8,CD=10.(1)求梯形ABCD的面积S;(2)动点P从点B出发,以1cm/s的速度,沿B⇒A⇒D⇒C方向,向点C运动;动点Q从点C出发,以1cm/s的速度,沿C⇒D⇒A方向,向点A运动,过点Q作QE⊥BC于点E.若P、Q两点同时出发,当其中一点到达目的地时整个运动随之结束,设运动时间为t秒.问:①当点P在B⇒A上运动时,是否存在这样的t,使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由;②在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由;③在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由.14.已知矩形ABCD,长BC=12cm,宽AB=8cm,P、Q分别是AB、BC上运动的两点.若P自点A出发,以1cm/s 的速度沿AB方向运动,同时,Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动,问经过几秒,以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似15.如图,在△ABC中,AB=10cm,BC=20cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动,点Q从点B 开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动,如果P、Q分别从A、B同时出发,问经过几秒钟,△PBQ与△ABC相似.16.如图,∠ACB=∠ADC=90°,AC=,AD=2.问当AB的长为多少时,这两个直角三角形相似.17.已知,如图,在边长为a的正方形ABCD中,M是AD的中点,能否在边AB上找一点N(不含A、B),使得△CDM与△MAN相似若能,请给出证明,若不能,请说明理由.18.如图在△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,AC=6cm,点Q从B出发,沿BC方向以2cm/s的速度移动,点P从C 出发,沿CA方向以1cm/s的速度移动.若Q、P分别同时从B、C出发,试探究经过多少秒后,以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似19.如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB上确定点P的位置,使得以P,A,D为顶点的三角形与以P,B,C为顶点的三角形相似.20.△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF的顶点E位于边BC的中点上.(1)如图1,设DE与AB交于点M,EF与AC交于点N,求证:△BEM∽△CNE;(2)如图2,将△DEF绕点E旋转,使得DE与BA的延长线交于点M,EF与AC交于点N,于是,除(1)中的一对相似三角形外,能否再找出一对相似三角形并证明你的结论.21.如图,在矩形ABCD中,AB=15cm,BC=10cm,点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(秒)表示移动的时间,那么当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似.22.如图,路灯(P点)距地面8米,身高米的小明从距路灯的底部(O点)20米的A点,沿OA所在的直线行走14米到B点时,身影的长度是变长了还是变短了变长或变短了多少米23.阳光明媚的一天,数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度(这棵树底部可以到达,顶部不易到达),他们带了以下测量工具:皮尺,标杆,一副三角尺,小平面镜.请你在他们提供的测量工具中选出所需工具,设计一种测量方案.(1)所需的测量工具是:_________;(2)请在下图中画出测量示意图;(3)设树高AB的长度为x,请用所测数据(用小写字母表示)求出x.24.问题背景在某次活动课中,甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息:甲组:如图1,测得一根直立于平地,长为80cm的竹竿的影长为60cm.乙组:如图2,测得学校旗杆的影长为900cm.丙组:如图3,测得校园景灯(灯罩视为球体,灯杆为圆柱体,其粗细忽略不计)的高度为200cm,影长为156cm.任务要求:(1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度;(2)如图3,设太阳光线NH与⊙O相切于点M.请根据甲、丙两组得到的信息,求景灯灯罩的半径.(友情提示:如图3,景灯的影长等于线段NG的影长;需要时可采用等式1562+2082=2602)25.阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=,窗口高AB=,求窗口底边离地面的高BC.26.如图,李华晚上在路灯下散步.已知李华的身高AB=h,灯柱的高OP=O′P′=l,两灯柱之间的距离OO′=m.(1)若李华距灯柱OP的水平距离OA=a,求他影子AC的长;(2)若李华在两路灯之间行走,则他前后的两个影子的长度之和(DA+AC)是否是定值请说明理由;(3)若李华在点A朝着影子(如图箭头)的方向以v1匀速行走,试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2.27.如图①,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S1,S2,S3表示,则不难证明S1=S2+S3.(1)如图②,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S1,S2,S3表示,那么S1,S2,S3之间有什么关系;(不必证明)(2)如图③,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用S1、S2、S3表示,请你确定S1,S2,S3之间的关系并加以证明;(3)若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形,其面积分别用S1,S2,S3表示,为使S1,S2,S3之间仍具有与(2)相同的关系,所作三角形应满足什么条件证明你的结论;(4)类比(1),(2),(3)的结论,请你总结出一个更具一般意义的结论.28.已知:如图,△ABC∽△ADE,AB=15,AC=9,BD=5.求AE.29.已知:如图Rt△ABC∽Rt△BDC,若AB=3,AC=4.(1)求BD、CD的长;(2)过B作BE⊥DC于E,求BE的长.30.(1)已知,且3x+4z﹣2y=40,求x,y,z的值;(2)已知:两相似三角形对应高的比为3:10,且这两个三角形的周长差为560cm,求它们的周长.参考答案与试题解析一.解答题(共30小题)1.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证:△ADE∽△EFC.考点:相似三角形的判定;平行线的性质。
相似三角形练习题(超经典含答案)
1.如果△ABC∽△A′B′C′,相似比为k(k≠1),则k的值是A.∠A︰∠A′B.A′B′︰ABC.∠B︰∠B′D.BC︰B′C′2.如图,在△ABC中,D、E分别在AB、AC上,且DE∥BC,下列比例式不成立的是A.AD AEDB EC=BAD DEDB BC=.CAD AEAB AC=.DAB ACDB CE=.3.如图,已知直线a∥b∥c,直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E,B、D、F,AC=4,CE=6,BD=3,则BF=A.7 B.7.5 C.8 D.8.54.如图,已知在△ABC中,点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点,DE∥BC,EF∥AB,且AD︰DB=3︰5,那么CF︰CB等于A.5︰8 B.3︰8 C.3︰5 D.2︰55.如图,已知在等腰△ABC中,顶角∠A=36°,BD为∠ABC的平分线,则一定相似的三角形是A.△ABC和△BAD B.△ABD和△BDCC.△BDC和△ABC D.△ABD和△BDC和△ABC6.在相同时刻的物高与影长成正比例,如果高为1.6米的竹竿的影长为2.0米,那么影长为30米的旗杆的高是A.25米B.24米C.20米D.18米7.△ABC和△A′B′C′相似,记作__________,相似三角形__________的比叫__________,当相似比为1时,两个三角形__________.8.如图,在△ABC和△A′B′C′中,∠A=60°,∠B=40°,∠A′=60°,当∠C′=__________时,则△ABC∽△A′B′C′.9.若△ABC与△A′B′C′相似,一组对应边的长为AB=6cm,A′B′=8cm,那么△ABC与△A′B′C′的相似比为__________.10.如图,矩形ABCD中,点E是边AD的中点,BE交对角线AC于点F,则AFE△与BCF△的面积比等于__________.11.如图,在正方形ABCD中,E是CD的中点,点F在BC上,且14FC BC.图中相似三角形共有__________对.12.如图,要使△ABC 与△DBA 相似,则只需添加一个适当的条件是________.(填一个即可)13.如图,要测量池塘两端A 、B 的距离,可先取一个可以直接到达A 和B 的点C ,连接AC并延长到D ,使12CD CA =,连接BC 并延长到E ,使12CE CB =,连接ED ,如果量出DE 的长为25米,那么池塘宽AB 为________米.14.如图,在ABC △中,90C ∠=︒,在AB 边上取一点D ,使BD BC =,过D 作DE AB ⊥交AC 于E ,86AC BC ==,.求DE 的长.15.如图,在△ABC中,已知DE∥BC,AD=4,DB=8,DE=3.(1)求ADAB的值;(2)求BC的长.16.如图,△ABC∽△DEC,CA=CB,且点E在AB的延长线上.(1)求证:AE=BD;(2)求证:△BOE∽△COD;(3)已知CD=10,BE=5,OD=6,求OC的长.17.如图,甲、乙两人分别从A(1)、B(6,0)两点同时出发,点O为坐标原点,甲沿AO方向,乙沿BO方向均以4的速度行走.t h后,甲到达M点,乙到达N点.(1)请说明甲、乙两人到达O点前,MN与AB不可能平行;(2)当t为何值时,△OMN∽△OBA?18.如图,点F是ABCD的边AD上的三等分点(靠近A点),BF交AC于点E,如果△AEF的面积为2,那么四边形CDFE的面积等于A.18 B.22C.24 D.4619.在矩形ABCD中,点E、F分别在AD、CD上,且∠BEF=90°,则三角形Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ一定相似的是A.Ⅰ和ⅡB.Ⅰ和ⅢC.Ⅰ和ⅣD.Ⅲ和Ⅳ20.如图,∠A=∠B=90°,AB=7,AD=2,BC=3,如果边AB上的点P使得以P,A,D为顶点的三角形和以P,B,C为顶点的三角形相似,则这样的P点共有A.1个B.2个C.3个D.4个21.如图,在平行四边形ABCD中,点E在边DC上,△DEF的面积与△BAF的面积之比为9:16,则DE:EC=__________.22.如图1,正方形ABCD的边长为4,把三角板的直角顶点放置在在BC中点E处,三角板绕点E旋转,三角板的两边分别交边AB、CD于点G、F.(1)求证:△GBE∽△GEF.(2)设AG=x,GF=y,求y关于x的函数表达式,并写出自变量取值范围.(3)如图2,连接AC交GF于点Q,交EF于点P.当△AGQ与△CEP相似,求线段AG的长.23.(2018•绥化)两个相似三角形的最短边分别为5cm 和3cm ,它们的周长之差为12cm ,那么大三角形的周长为 A .14cm B .16cm C .18cmD .30cm24.(2018•毕节市)如图,在平行四边形ABCD 中,E 是DC 上的点,DE :EC =3:2,连接AE 交BD 于点F ,则△DEF 与△BAF 的面积之比为A .2:5B .3:5C .9:25D .4:2525.(2018•巴中)如图,在△ABC 中,点D ,E 分别是边AC ,AB 的中点,BD 与CE 交于点O ,连接DE .下列结论:①OE OB =OD OC ;②DE BC =12;③DOE BOC S S △△=12;④DOE DBES S △△=13.其中正确的个数有A .1个B .2个C .3个D .4个26.(2018•阜新)如图,在矩形ABCD 中,点E 为AD 中点,BD 和CE 相交于点F ,如果DF =2,那么线段BF 的长度为__________.27.(2018•吉林)如图是测量河宽的示意图,AE与BC相交于点D,∠B=∠C=90°,测得BD=120m,DC=60m,EC=50m,求得河宽AB=___________m.28.(2018•陕西)如图,已知:在正方形ABCD中,M是BC边上一定点,连接AM.请用尺规作图法,在AM上作一点P,使△DPA∽△ABM.(不写作法,保留作图痕迹)29.(2018•上海)已知:如图,正方形ABCD中,P是边BC上一点,BE⊥AP,DF⊥AP,垂足分别是点E、F.(1)求证:EF=AE–BE;(2)连接BF,如果AFBF=DFAD.求证:EF=EP.1.【答案】D【解析】对应边的比是相似比,且有顺序性,故△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比k 的值为BC ︰B ′C ′. 2.【答案】B【解析】∵DE ∥BC ,,,AD AE AD AE AB ACDB EC AB AC DB CE∴===,∴选项A ,C ,D 均正确;故选B . 3.【答案】B【解析】∵a ∥b ∥c ,∴AC BD CE DF =,即436DF =.∴364.54DF ⨯==.∴BF =BD +DF =3+4.5=7.5.4.【答案】A【解析】∵DE ∥BC ,∴AE ︰EC =AD ︰DB =3︰5, ∵EF ∥AB ,∴BF ︰FC =AE ︰EC =3︰5, 故CF ︰CB =5︰8.故选A . 5.【答案】C6.【答案】B【解析】设旗杆的高是x 米,则1.6230x=,解得x =24. 7.【答案】△ABC ∽△A ′B ′C ′;对应边;相似比;全等【解析】ABC △和'''A B C △相似,记作ABC A'B'C'△∽△,相似三角形对应边的比叫相似比,当相似比为1时,两个三角形全等.故答案为:ABC A'B'C'△∽△,对应边,相似比,全等. 8.【答案】80°【解析】60,40A B ∠=︒∠=︒,180604080C ∴∠=︒-︒-︒=︒,,ABC A'B'C'△∽△80C C'∴∠=∠=︒,∴当80C'∠=︒时 ,△ABC ∽△A ′B ′C ′.故答案为:80.︒ 9.【答案】34【解析】相似三角形的对应边的比叫做相似比,即相似比为6384AB A B ==''.故答案为:34. 10.【答案】14【解析】相似三角形的面积比等于相似比的平方,∵E 为AD 的中点,四边形ABCD 为矩形,∴12AE BC =,∴21124AEF BCFS S⎛⎫== ⎪⎝⎭.故答案为:1:4.11.【答案】312.【答案】∠ADB =∠BAC (或∠BAD =∠C 或BD BABA BC=) 【解析】∵∠B 是△ABC 与△DBA 的公共角,∴添加∠ADB =∠BAC 或∠BAD =∠C 都可根据“两角对应相等的两个三角形相似”得证;也可添加BD BABA BC=,根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”得证. 13.【答案】50【解析】∵12CD CA =,12CE CB =,∴12CD CE AC CB ==.∵∠ACB =∠DCE ,∴△ACB ∽△DCE .∴12DE CD AB AC ==. ∵DE =25米,∴AB =50米.故答案为:50. 14.【答案】3【解析】在ABC △中,9086C AC BC ∠===,,,10AB ∴==.又6BD BC ==,4AD AB BD ∴=-=.DE AB ⊥,90ADE C ∴∠=∠=︒.又A A ∠=∠,AED ABC ∴△∽△.DE ADBC AC∴=. ∴4638AD DE BC AC =⋅=⨯=. 15.【解析】(1)48,AD DB ==,4812.AB AD DB ∴=+=+=41.123AD AB ∴== (2)DE ∥BC ,,ADE ABC ∴△∽△1,3DE AD BC AB ∴==3,DE =31,3BC ∴=9.BC ∴=16.【解析】(1)∵△ABC ∽△DEC ,CA =CB ,17.【解析】(1)因为A点坐标为(1),所以OA=2,由题意知OM=2-4t,ON=6-4t,若246426t t--=,解得t=0.即在甲、乙两人到达O点前,只有当t=0时,△OMN∽△OAB,所以MN与AB不可能平行.(2)因为甲到达O点的时间为21h42t==,乙到达O点的时间为63h42t==,所以12t=或32时,O、M、N三点不能连接成三角形.①当12t<时,如果△OMN∽△OBA,则有246462t t--=,解得122t=>(舍去);②当1322t<<时,∠MON>∠OAB,显然△OMN不可能相似于△OBA;③当32t>时,424662t t--=,解得322t=>.所以当t=2时,△OMN∽△OBA.18.【答案】B【解析】∵AD∥BC,∴∠EAF=∠ACB,∠AFE=∠FBC;∵∠AEF=∠BEC,∴△AEF∽△BEC,∴AFBC=AEEC=13,∵△AEF与△EFC高相等,∴S△EFC=3S△AEF,∵点F是ABCD的边AD上的三等分点,∴S△FCD=2S△AFC,∵△AEF的面积为2,∴四边形CDFE的面积=S△FCD+S△EFC=16+6=22.故选B.19.【答案】B20.【答案】C【解析】若点A,P,D分别与点B,C,P对应,即△APD∽△BCP,∴AD APBP BC=,∴273APAP=-,∴AP2−7AP+6=0,∴AP=1或AP=6,当AP=1时,由BC=3,AD=2,BP=6,∴AP AD BC BP=,又∵∠A=∠B=90°,∴△APD∽△BCP.当AP=6时,由BC=3,AD=2,BP=1,又∵∠A=∠B=90°,∴△APD∽△BCP.若点A,P,D分别与点B,P,C对应,即△APD∽△BPC.∴AP ADBP BC=,∴273APAP=-,∴AP=145.检验:当AP=145时,BP=215,AD=2,BC=3,∴AP ADBP BC=,又∵∠A=∠B=90°,∴△APD∽△BPC.因此,点P的位置有三处,故选C.21.【答案】3【解析】∵四边形ABCD为平行四边形,∴DE∥AB,DC=AB,∴△DEF∽△BAF.∵△DEF的面积与△BAF的面积之比为9:16,∴3=4 DEBA,∵3=343DE DEEC CD DE==--.故答案为:3:1.22.【解析】(1)如图1,延长FE交AB的延长线于F',∵AG=x,∴BG=4–x,∴242xCF-=,∴CF=44x-,由(1)知,BF'=CF=44x-,由(1)知,GF'=GF=y,∴y=GF'=BG+BF'=4–x+44x-,当CF=4时,即:44x-=4,∴x=3,(0≤x≤3),即:y关于x的函数表达式为y=4–x+44x-(0≤x≤3);。
初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)
经典练习题相似三角形一.解答题(共30小题)1.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证:△ADE∽△EFC.2.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF与AB的延长线交于点G.(1)求证:△CDF∽△BGF;(2)当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD的长.3.如图,点D,E在BC上,且FD∥AB,FE∥AC.求证:△ABC∽△FDE.4.如图,已知E是矩形ABCD的边CD上一点,BF⊥AE于F,试说明:△ABF∽△EAD.5.已知:如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D在一条直线上,连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点.(1)求证:①BE=CD;②△AMN是等腰三角形;(2)在图①的基础上,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立;(3)在(2)的条件下,请你在图②中延长ED交线段BC于点P.求证:△PBD∽△AMN.6.如图,E是▱ABCD的边BA延长线上一点,连接EC,交AD于点F.在不添加辅助线的情况下,请你写出图中所有的相似三角形,并任选一对相似三角形给予证明.7.如图,在4×3的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.(1)填空:∠ABC=_________ °,BC= _________ ;(2)判断△ABC与△DEC是否相似,并证明你的结论.8.如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.某一时刻,动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动;同时,动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动,问:(1)经过多少时间,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的(2)是否存在时刻t,使以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.9.如图,在梯形ABCD中,若AB∥DC,AD=BC,对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形.(1)列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况,并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少;(注意:全等看成相似的特例)(2)请你任选一组相似三角形,并给出证明.10.如图△ABC中,D为AC上一点,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE⊥BD于E,连接AE.(1)写出图中所有相等的线段,并加以证明;(2)图中有无相似三角形若有,请写出一对;若没有,请说明理由;(3)求△BEC与△BEA的面积之比.11.如图,在△ABC中,AB=AC=a,M为底边BC上的任意一点,过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P,交AB于Q.(1)求四边形AQMP的周长;(2)写出图中的两对相似三角形(不需证明);(3)M位于BC的什么位置时,四边形AQMP为菱形并证明你的结论.12.已知:P是正方形ABCD的边BC上的点,且BP=3PC,M是CD的中点,试说明:△ADM∽△MCP.13.如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,AB=BC=8,CD=10.(1)求梯形ABCD的面积S;(2)动点P从点B出发,以1cm/s的速度,沿B⇒A⇒D⇒C方向,向点C运动;动点Q从点C出发,以1cm/s 的速度,沿C⇒D⇒A方向,向点A运动,过点Q作QE⊥BC于点E.若P、Q两点同时出发,当其中一点到达目的地时整个运动随之结束,设运动时间为t秒.问:①当点P在B⇒A上运动时,是否存在这样的t,使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由;②在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由;③在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由.14.已知矩形ABCD,长BC=12cm,宽AB=8cm,P、Q分别是AB、BC上运动的两点.若P自点A出发,以1cm/s 的速度沿AB方向运动,同时,Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动,问经过几秒,以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似15.如图,在△ABC中,AB=10cm,BC=20cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动,如果P、Q分别从A、B同时出发,问经过几秒钟,△PBQ与△ABC 相似.16.如图,∠ACB=∠ADC=90°,AC=,AD=2.问当AB的长为多少时,这两个直角三角形相似.17.已知,如图,在边长为a的正方形ABCD中,M是AD的中点,能否在边AB上找一点N(不含A、B),使得△CDM与△MAN相似若能,请给出证明,若不能,请说明理由.18.如图在△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,AC=6cm,点Q从B出发,沿BC方向以2cm/s的速度移动,点P从C出发,沿CA方向以1cm/s的速度移动.若Q、P分别同时从B、C出发,试探究经过多少秒后,以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似19.如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB上确定点P的位置,使得以P,A,D为顶点的三角形与以P,B,C为顶点的三角形相似.20.△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF的顶点E位于边BC的中点上.(1)如图1,设DE与AB交于点M,EF与AC交于点N,求证:△BEM∽△CNE;(2)如图2,将△DEF绕点E旋转,使得DE与BA的延长线交于点M,EF与AC交于点N,于是,除(1)中的一对相似三角形外,能否再找出一对相似三角形并证明你的结论.21.如图,在矩形ABCD中,AB=15cm,BC=10cm,点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(秒)表示移动的时间,那么当t 为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似.22.如图,路灯(P点)距地面8米,身高米的小明从距路灯的底部(O点)20米的A点,沿OA所在的直线行走14米到B点时,身影的长度是变长了还是变短了变长或变短了多少米23.阳光明媚的一天,数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度(这棵树底部可以到达,顶部不易到达),他们带了以下测量工具:皮尺,标杆,一副三角尺,小平面镜.请你在他们提供的测量工具中选出所需工具,设计一种测量方案.(1)所需的测量工具是:_________ ;(2)请在下图中画出测量示意图;(3)设树高AB的长度为x,请用所测数据(用小写字母表示)求出x.24.问题背景在某次活动课中,甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息:甲组:如图1,测得一根直立于平地,长为80cm的竹竿的影长为60cm.乙组:如图2,测得学校旗杆的影长为900cm.丙组:如图3,测得校园景灯(灯罩视为球体,灯杆为圆柱体,其粗细忽略不计)的高度为200cm,影长为156cm.任务要求:(1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度;(2)如图3,设太阳光线NH与⊙O相切于点M.请根据甲、丙两组得到的信息,求景灯灯罩的半径.(友情提示:如图3,景灯的影长等于线段NG的影长;需要时可采用等式1562+2082=2602)25.阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=,窗口高AB=,求窗口底边离地面的高BC.26.如图,李华晚上在路灯下散步.已知李华的身高AB=h,灯柱的高OP=O′P′=l,两灯柱之间的距离OO′=m.(1)若李华距灯柱OP的水平距离OA=a,求他影子AC的长;(2)若李华在两路灯之间行走,则他前后的两个影子的长度之和(DA+AC)是否是定值请说明理由;(3)若李华在点A朝着影子(如图箭头)的方向以v1匀速行走,试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2.27.如图①,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S1,S2,S3表示,则不难证明S1=S2+S3.(1)如图②,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S1,S2,S3表示,那么S1,S2,S3之间有什么关系;(不必证明)(2)如图③,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用S1、S2、S3表示,请你确定S1,S2,S3之间的关系并加以证明;(3)若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形,其面积分别用S1,S2,S3表示,为使S1,S2,S3之间仍具有与(2)相同的关系,所作三角形应满足什么条件证明你的结论;(4)类比(1),(2),(3)的结论,请你总结出一个更具一般意义的结论.28.已知:如图,△ABC∽△ADE,AB=15,AC=9,BD=5.求AE.29.已知:如图Rt△ABC∽Rt△BDC,若AB=3,AC=4.(1)求BD、CD的长;(2)过B作BE⊥DC于E,求BE的长.30.(1)已知,且3x+4z﹣2y=40,求x,y,z的值;(2)已知:两相似三角形对应高的比为3:10,且这两个三角形的周长差为560cm,求它们的周长.参考答案与试题解析一.解答题(共30小题)1.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证:△ADE∽△EFC.考点:相似三角形的判定;平行线的性质。
最新经典相似三角形练习题(附参考答案)
相似三角形一.解答题(共30小题)1.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证:△ADE∽△EFC.2.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF与AB的延长线交于点G.(1)求证:△CDF∽△BGF;(2)当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD的长.3.如图,点D,E 在BC上,且FD ∥AB,FE∥AC.求证:△ABC∽△FDE.4.如图,已知E是矩形ABCD的边CD上一点,BF⊥AE于F,试说明:△ABF∽△EAD.5.已知:如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D在一条直线上,连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点.(1)求证:①BE=CD;②△AMN是等腰三角形;(2)在图①的基础上,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立;(3)在(2)的条件下,请你在图②中延长ED交线段BC于点P.求证:△PBD∽△AMN.6.如图,E是▱ABCD的边BA延长线上一点,连接EC,交AD于点F.在不添加辅助线的情况下,请你写出图中所有的相似三角形,并任选一对相似三角形给予证明.7.如图,在4×3的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.(1)填空:∠ABC= _________ °,BC= _________ ;(2)判断△ABC与△DEC是否相似,并证明你的结论.8.如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.某一时刻,动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动;同时,动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动,问:(1)经过多少时间,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的?(2)是否存在时刻t,使以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似?若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.9.如图,在梯形ABCD中,若AB∥DC,AD=BC,对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形.(1)列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况,并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少;(注意:全等看成相似的特例)(2)请你任选一组相似三角形,并给出证明.10.如图△ABC中,D为AC上一点,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE⊥BD于E,连接AE.(1)写出图中所有相等的线段,并加以证明;(2)图中有无相似三角形?若有,请写出一对;若没有,请说明理由;(3)求△BEC与△BEA的面积之比.11.如图,在△ABC中,AB=AC=a,M为底边BC上的任意一点,过点M分别作AB、AC 的平行线交AC于P,交AB于Q.(1)求四边形AQMP的周长;(2)写出图中的两对相似三角形(不需证明);(3)M位于BC的什么位置时,四边形AQMP为菱形并证明你的结论.12.已知:P是正方形ABCD的边BC上的点,且BP=3PC,M是CD的中点,试说明:△ADM∽△MCP.13.如图,已知梯形ABCD中,AD ∥BC ,AD=2,AB=BC=8,CD=10.(1)求梯形ABCD的面积S;(2)动点P从点B出发,以1cm/s的速度,沿B⇒A⇒D⇒C方向,向点C运动;动点Q从点C出发,以1cm/s的速度,沿C⇒D⇒A方向,向点A运动,过点Q作QE⊥BC 于点E.若P、Q两点同时出发,当其中一点到达目的地时整个运动随之结束,设运动时间为t秒.问:①当点P在B⇒A上运动时,是否存在这样的t,使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由;②在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由;③在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ 为一腰的等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由.14.已知矩形ABCD,长BC=12cm,宽AB=8cm,P、Q分别是AB、BC上运动的两点.若P自点A出发,以1cm/s的速度沿AB方向运动,同时,Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动,问经过几秒,以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似?15.如图,在△ABC中,AB=10cm,BC=20cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s 的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动,如果P、Q分别从A、B同时出发,问经过几秒钟,△PBQ与△ABC相似.16.如图,∠ACB=∠ADC=90°,AC=,AD=2.问当AB的长为多少时,这两个直角三角形相似.17.已知,如图,在边长为a的正方形ABCD中,M是AD的中点,能否在边AB上找一点N(不含A、B),使得△CDM与△MAN相似?若能,请给出证明,若不能,请说明理由.18.如图在△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,AC=6cm,点Q从B出发,沿BC方向以2cm/s 的速度移动,点P从C出发,沿CA方向以1cm/s的速度移动.若Q、P分别同时从B、C出发,试探究经过多少秒后,以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似?19.如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB 上确定点P的位置,使得以P,A,D为顶点的三角形与以P,B,C为顶点的三角形相似.20.△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF的顶点E位于边BC的中点上.(1)如图1,设DE与AB交于点M ,EF 与AC交于点N,求证:△BEM∽△CNE;(2)如图2,将△DEF绕点E旋转,使得DE与BA的延长线交于点M,EF与AC交于点N,于是,除(1)中的一对相似三角形外,能否再找出一对相似三角形并证明你的结论.21.如图,在矩形ABCD中,AB=15cm,BC=10cm,点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s 的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(秒)表示移动的时间,那么当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似.22.如图,路灯(P点)距地面8米,身高1.6米的小明从距路灯的底部(O点)20米的A点,沿OA所在的直线行走14米到B点时,身影的长度是变长了还是变短了?变长或变短了多少米?23.阳光明媚的一天,数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度(这棵树底部可以到达,顶部不易到达),他们带了以下测量工具:皮尺,标杆,一副三角尺,小平面镜.请你在他们提供的测量工具中选出所需工具,设计一种测量方案.(1)所需的测量工具是:_________ ;(2)请在下图中画出测量示意图;(3)设树高AB的长度为x,请用所测数据(用小写字母表示)求出x.24.问题背景在某次活动课中,甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息:甲组:如图1,测得一根直立于平地,长为80cm的竹竿的影长为60cm.乙组:如图2,测得学校旗杆的影长为900cm.丙组:如图3,测得校园景灯(灯罩视为球体,灯杆为圆柱体其粗细忽略不计)的高度为200cm,影长为156cm.任务要求:(1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度;(2)如图3,设太阳光线NH与⊙O相切于点M.请根据甲、丙两组得到的信息,求景灯灯罩的半径.(友情提示:如图3,景灯的影长等于线段NG的影长;需要时可采用等式1562+2082=2602)25.阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC.26.如图,李华晚上在路灯下散步.已知李华的身高AB=h,灯柱的高OP=O′P′=l,两灯柱之间的距离OO′=m.(1)若李华距灯柱OP的水平距离OA=a,求他影子AC的长;(2)若李华在两路灯之间行走,则他前后的两个影子的长度之和(DA+AC)是否是定值请说明理由;(3)若李华在点A朝着影子(如图箭头)的方向以v1匀速行走,试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2.27.如图①,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S1,S2,S3表示,则不难证明S1=S2+S3.(1)如图②,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S1,S2,S3表示,那么S1,S2,S3之间有什么关系;(不必证明)(2)如图③,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用S1、S2、S3表示,请你确定S1,S2,S3之间的关系并加以证明;(3)若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形,其面积分别用S1,S2,S3表示,为使S1,S2,S3之间仍具有与(2)相同的关系,所作三角形应满足什么条件证明你的结论;(4)类比(1),(2),(3)的结论,请你总结出一个更具一般意义的结论.28.已知:如图,△ABC∽△ADE,AB=15,AC=9,BD=5.求AE.29.已知:如图Rt△ABC∽Rt△BDC,若AB=3,AC=4.(1)求BD、CD的长;(2)过B作BE⊥DC于E,求BE的长.30.(1)已知,且3x+4z﹣2y=40,求x,y,z的值;(2)已知:两相似三角形对应高的比为3:10,且这两个三角形的周长差为560cm,求它们的周长.一.解答题(共30小题)解答:证明:∵DE∥BC,∴DE∥FC,∴∠AED=∠C.又∵EF∥AB,∴EF∥AD,∴∠A=∠FEC.∴△ADE∽△EFC.点评:本题考查的是平行线的性质及相似三角形的判定定理.2.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF与AB的延长线交于点G.(1)求证:△CDF∽△BGF;(2)当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD的长.解答:(1)证明:∵梯形ABCD,AB∥CD,∴∠CDF=∠FGB,∠DCF=∠GBF,(2分)∴△CDF∽△BGF.(3分)(2)解:由(1)△CDF∽△BGF,又F是BC的中点,BF=FC,∴△CDF≌△BGF,∴DF=GF,CD=BG,(6分)∵AB∥DC∥EF,F为BC中点,∴E为AD中点,∴EF是△DAG的中位线,∴2EF=AG=AB+BG.∴BG=2EF﹣AB=2×4﹣6=2,∴CD=BG=2cm.(8分)3.如图,点D,E在BC上,且FD∥AB,FE∥AC.求证:△ABC∽△FDE.解答:证明:∵FD∥AB,FE∥AC,∴∠B=∠FDE,∠C=∠FED,∴△ABC∽△FDE.ABF∽△EAD.解答:证明:∵矩形ABCD中,AB∥CD,∠D=90°,(2分)∴∠BAF=∠AED.(4分)∵BF⊥AE,∴∠AFB=90°.∴∠AFB=∠D.(5分)∴△ABF∽△EAD.(6分)点评:考查相似三角形的判定定理,关键是找准对应的角.5.已知:如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D在一条直线上,连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点.(1)求证:①BE=CD;②△AMN是等腰三角形;(2)在图①的基础上,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立;(3)在(2)的条件下,请你在图②中延长ED交线段BC于点P.求证:△PBD∽△AMN.解答:(1)证明:①∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAE=∠CAD,∵AB=AC,AD=AE,∴△ABE≌△ACD,∴BE=CD.②由△ABE≌△ACD,得∠ABE=∠ACD,BE=CD,∵M、N分别是BE,CD的中点,∴BM=CN.又∵AB=AC,∴△ABM≌△ACN.∴AM=AN,即△AMN为等腰三角形.(2)解:(1)中的两个结论仍然成立.(3)证明:在图②中正确画出线段PD,由(1)同理可证△ABM≌△ACN,∴∠CAN=∠BAM∴∠BAC=∠MAN.又∵∠BAC=∠DAE,∴∠MAN=∠DAE=∠BAC.∴△AMN,△ADE和△ABC都是顶角相等的等腰三角形.∴△PBD和△AMN都为顶角相等的等腰三角形,∴∠PBD=∠AMN,∠PDB=∠ANM,∴△PBD∽△AMN.6.如图,E是▱ABCD的边BA延长线上一点,连接EC,交AD于点F.在不添加辅助线的情况下,请你写出图中所有的相似三角形,并任选一对相似三角形给予证明.分析:根据平行线的性质和两角对应相等的两个三角形相似这一判定定理可证明图中相似三角形有:△AEF∽△BEC;△AEF∽△DCF;△BEC∽△DCF.解答:解:相似三角形有△AEF∽△BEC;△AEF∽△DCF;△BEC∽△DCF.(3分)如:△AEF∽△BEC.在▱ABCD中,AD∥BC,∴∠1=∠B,∠2=∠3.(6分)∴△AEF∽△BEC.(7分)7.如图,在4×3的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.(1)填空:∠ABC= 135°°,BC= ;(2)判断△ABC与△DEC是否相似,并证明你的结论.解答:解:(1)∠ABC=135°,BC=;(2)相似;∵BC=,EC==;∴,;∴;又∠ABC=∠CED=135°,∴△ABC∽△DEC.8.如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.某一时刻,动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动;同时,动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s 的速度向A点匀速运动,问:(1)经过多少时间,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的?(2)是否存在时刻t,使以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似?若存在,求t 的值;若不存在,请说明理由解:(1)设经过x秒后,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的,则有:(6﹣2x)x=×3×6,即x2﹣3x+2=0,(2分)解方程,得x1=1,x2=2,(3分)经检验,可知x1=1,x2=2符合题意,所以经过1秒或2秒后,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的.(4分)(2)假设经过t秒时,以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似,由矩形ABCD,可得∠CDA=∠MAN=90°,因此有或(5分)即①,或②(6分)解①,得t=;解②,得t=(7分)经检验,t=或t=都符合题意,所以动点M,N同时出发后,经过秒或秒时,以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似.(8分)9.如图,在梯形ABCD中,若AB∥DC,AD=BC,对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形.(1)列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况,并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少;(注意:全等看成相似的特例)(2)请你任选一组相似三角形,并给出证明.解答:解:(1)任选两个三角形的所有可能情况如下六种情况:①②,①③,①④,②③,②④,③④(2分)其中有两组(①③,②④)是相似的.∴选取到的二个三角形是相似三角形的概率是P=(4分)证明:(2)选择①、③证明.在△AOB与△COD中,∵AB∥CD,∴∠CDB=∠DBA,∠DCA=∠CAB,∴△AOB∽△COD(8分)选择②、④证明.∵四边形ABCD是等腰梯形,∴∠DAB=∠CBA,∴在△DAB与△CBA中有AD=BC,∠DAB=∠CAB,AB=AB,∴△DAB≌△CBA,(6分)∴∠ADO=∠BCO.又∠DOA=∠COB,∴△DOA∽△COB(8分).点评:此题考查概率的求法:如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=,即相似三角形的证明.还考查了相似三角形的判定.10.附加题:如图△ABC中,D为AC上一点,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE ⊥BD于E,连接AE.(1)写出图中所有相等的线段,并加以证明;(2)图中有无相似三角形?若有,请写出一对;若没有,请说明理由;(3)求△BEC与△BEA的面积之比.解答:解:(1)AD=DE,AE=CE.∵CE⊥BD,∠BDC=60°,∴在Rt△CED中,∠ECD=30°.∴CD=2ED.∵CD=2DA,∴AD=DE,∴∠DAE=∠DEA=30°=∠ECD.∴AE=CE.(2)图中有三角形相似,△ADE∽△AEC;∵∠CAE=∠CAE,∠ADE=∠AEC,∴△ADE∽△AEC;(3)作AF⊥BD的延长线于F,设AD=DE=x,在Rt△CED中,可得CE=,故AE=.∠ECD=30°.在Rt△AEF中,AE=,∠AED=∠DAE=30°,∴sin∠AEF=,∴AF=AE•sin∠AEF=.∴.点评:本题主要考查了直角三角形的性质,相似三角形的判定及三角形面积的求法等,范围较广.11.如图,在△ABC中,AB=AC=a,M为底边BC上的任意一点,过点M分别作AB、AC 的平行线交AC于P,交AB于Q.(1)求四边形AQMP的周长;(2)写出图中的两对相似三角形(不需证明);(3)M位于BC的什么位置时,四边形AQMP为菱形并证明你的结论.解答:解:(1)∵AB∥MP,QM∥AC,∴四边形APMQ是平行四边形,∠B=∠PMC,∠C=∠QMB.∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠PMC=∠QMB.∴BQ=QM,PM=PC.∴四边形AQMP的周长=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a.(2)∵PM∥AB,∴△PCM∽△ACB,∵QM∥AC,∴△BMQ∽△BCA;(3)当点M中BC的中点时,四边形APMQ是菱形,∵点M是BC的中点,AB∥MP,QM∥AC,∴QM,PM是三角形ABC的中位线.∵AB=AC,∴QM=PM=AB=AC.又由(1)知四边形APMQ是平行四边形,∴平行四边形APMQ是菱形.12.已知:P是正方形ABCD的边BC上的点,且BP=3PC,M是CD的中点,试说明:△ADM∽△MCP.解答:证明:∵正方形ABCD,M为CD中点,∴CM=MD=AD.∵BP=3PC,∴PC=BC=AD=CM.∴.∵∠PCM=∠ADM=90°,∴△MCP∽△ADM.13.如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,AB=BC=8,CD=10.(1)求梯形ABCD的面积S;(2)动点P从点B出发,以1cm/s的速度,沿B⇒A⇒D⇒C方向,向点C运动;动点Q从点C出发,以1cm/s的速度,沿C⇒D⇒A方向,向点A运动,过点Q作QE⊥BC 于点E.若P、Q两点同时出发,当其中一点到达目的地时整个运动随之结束,设运动时间为t秒.问:①当点P在B⇒A上运动时,是否存在这样的t,使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由;②在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由;③在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ 为一腰的等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由.解答:解:(1)过D作DH∥AB交BC于H点,∵AD∥BH,DH∥AB,∴四边形ABHD是平行四边形.∴DH=AB=8;BH=AD=2.∴CH=8﹣2=6.∵CD=10,∴DH2+CH2=CD2∴∠DHC=90°.∠B=∠DHC=90°.∴梯形ABCD是直角梯形.∴S ABCD=(AD+BC)AB=×(2+8)×8=40.(2)①∵BP=CQ=t,∴AP=8﹣t,DQ=10﹣t,∵AP+AD+DQ=PB+BC+CQ,∴8﹣t+2+10﹣t=t+8+t.∴t=3<8.∴当t=3秒时,PQ将梯形ABCD周长平分.②第一种情况:0<t≤8若△PAD∽△QEC则∠ADP=∠C∴tan∠ADP=tan∠C==∴=,∴t=若△PAD∽△CEQ则∠APD=∠C ∴tan∠APD=tan∠C==,∴=∴t=第二种情况:8<t≤10,P、A、D三点不能组成三角形;第三种情况:10<t≤12△ADP为钝角三角形与Rt△CQE不相似;∴t=或t=时,△PAD与△CQE相似.③第一种情况:当0≤t≤8时.过Q点作QE⊥BC,QH⊥AB,垂足为E、H.∵AP=8﹣t,AD=2,∴PD==.∵CE=t,QE=t,∴QH=BE=8﹣t,BH=QE=t.∴PH=t﹣t=t.∴PQ==,DQ=10﹣t.Ⅰ:DQ=DP,10﹣t=,解得t=8秒.Ⅱ:DQ=PQ,10﹣t=,化简得:3t2﹣52t+180=0解得:t=,t=>8(不合题意舍去)∴t=第二种情况:8≤t≤10时.DP=DQ=10﹣t.∴当8≤t<10时,以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立.第三种情况:10<t≤12时.DP=DQ=t﹣10.∴当10<t≤12时,以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立.综上所述,t=或8≤t<10或10<t≤12时,以DQ为腰的等腰△DPQ成立.14.已知矩形ABCD,长BC=12cm,宽AB=8cm,P、Q分别是AB、BC上运动的两点.若P自点A出发,以1cm/s的速度沿AB方向运动,同时,Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动,问经过几秒,以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似?解答:解:设经x秒后,△PBQ∽△BCD,由于∠PBQ=∠BCD=90°,(1)当∠1=∠2时,有:,即;(2)当∠1=∠3时,有:,即,∴经过秒或2秒,△PBQ ∽△BCD .15.如图,在△ABC 中,AB=10cm ,BC=20cm ,点P 从点A 开始沿AB 边向B 点以2cm/s的速度移动,点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以4cm/s 的速度移动,如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发,问经过几秒钟,△PBQ 与△ABC 相似.解答: 设经过秒后t 秒后,△PBQ 与△ABC 相似,则有AP=2t ,BQ=4t ,BP=10﹣2t , 当△PBQ ∽△ABC 时,有BP :AB=BQ :BC , 即(10﹣2t ):10=4t :20,解得t=2.5(s )(6分)当△QBP ∽△ABC 时,有BQ :AB=BP :BC , 即4t :10=(10﹣2t ):20,解得t=1.所以,经过2.5s 或1s 时,△PBQ 与△ABC 相似(10分).解法二:设ts 后,△PBQ 与△ABC 相似,则有,AP=2t ,BQ=4t ,BP=10﹣2t 分两种情况:(1)当BP 与AB 对应时,有=,即=,解得t=2.5s (2)当BP 与BC 对应时,有=,即=,解得t=1s所以经过1s 或2.5s 时,以P 、B 、Q 三点为顶点的三角形与△ABC 相似. 16.如图,∠ACB=∠ADC=90°,AC=,AD=2.问当AB 的长为多少时,这两个直角三角形相似. 解答: 解:∵AC=,AD=2,∴CD==.要使这两个直角三角形相似,有两种情况:1) 当Rt △ABC ∽Rt △ACD 时, 2) 有=,∴AB==3;3) 当Rt △ACB ∽Rt △CDA 时,4) 有=,∴AB==3.故当AB 的长为3或3时,这两个直角三角形相似.17.已知,如图,在边长为a 的正方形ABCD 中,M 是AD 的中点,能否在边AB 上找一点N (不含A 、B ),使得△CDM 与△MAN 相似?若能,请给出证明,若不能,请说明理由.解答: 证明:分两种情况讨论:①若△CDM ∽△MAN ,则=.∵边长为a ,M 是AD 的中点, ∴AN=a .②若△CDM ∽△NAM ,则.∵边长为a ,M 是AD 的中点,∴AN=a ,即N 点与B 重合,不合题意.所以,能在边AB 上找一点N (不含A 、B ),使得△CDM 与△MAN 相似.当AN=a 时,N 点的位置满足条件.18.如图在△ABC 中,∠C=90°,BC=8cm ,AC=6cm ,点Q 从B 出发,沿BC 方向以2cm/s 的速度移动,点P 从C 出发,沿CA 方向以1cm/s 的速度移动.若Q 、P 分别同时从B 、C 出发,试探究经过多少秒后,以点C 、P 、Q 为顶点的三角形与△CBA 相似?解答: 解:设经过x 秒后,两三角形相似,则CQ=(8﹣2x )cm ,CP=xcm ,(1分)∵∠C=∠C=90°,∴当或时,两三角形相似.(3分)(1)当时,,∴x=;(4分) (2)当时,,∴x=.(5分)所以,经过秒或秒后,两三角形相似.(6分)点评:本题综合考查了路程问题,相似三角形的性质及一元一次方程的解法.19.如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB 上确定点P的位置,使得以P,A,D为顶点的三角形与以P,B,C为顶点的三角形相似.解答:解:(1)若点A,P,D分别与点B,C,P对应,即△APD∽△BCP,∴=,∴=,∴AP2﹣7AP+6=0,∴AP=1或AP=6,检测:当AP=1时,由BC=3,AD=2,BP=6,∴=,又∵∠A=∠B=90°,∴△APD∽△BCP.当AP=6时,由BC=3,AD=2,BP=1,又∵∠A=∠B=90°,∴△APD∽△BCP.(2)若点A,P,D分别与点B,P,C对应,即△APD∽△BPC.∴=,∴=,∴AP=.检验:当AP=时,由BP=,AD=2,BC=3,∴=,又∵∠A=∠B=90°,∴△APD∽△BPC.因此,点P的位置有三处,即在线段AB距离点A的1、、6处.20.△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF的顶点E位于边BC的中点上.(1)如图1,设DE与AB交于点M,EF与AC交于点N,求证:△BEM∽△CNE;(2)如图2,将△DEF绕点E旋转,使得DE与BA的延长线交于点M,EF与AC交于点N,于是,除(1)中的一对相似三角形外,能否再找出一对相似三角形并证明你的结论.解答:证明:(1)∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠MBE=45°,∴∠BME+∠MEB=135°又∵△DEF是等腰直角三角形,∴∠DEF=45°∴∠NEC+∠MEB=135°∴∠BEM=∠NEC,(4分)而∠MBE=∠ECN=45°,∴△BEM∽△CNE.(6分)(2)与(1)同理△BEM∽△CNE,∴.(8分)又∵BE=EC,∴,(10分)则△ECN与△MEN中有,又∠ECN=∠MEN=45°,∴△ECN∽△MEN.(12分)21.如图,在矩形ABCD中,AB=15cm,BC=10cm,点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s 的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(秒)表示移动的时间,那么当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似.解答:解:以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似,所以△ABC∽△PAQ或△ABC∽△QAP,①当△ABC∽△PAQ时,,所以,解得:t=6;②当△ABC∽△QAP时,,所以,解得:t=;③当△AQP∽△BAC时,=,即=,所以t=;④当△AQP ∽△BCA时,=,即=,所以t=30(舍去).故当t=6或t=时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似.22.如图,路灯(P点)距地面8米,身高1.6米的小明从距路灯的底部(O点)20米的A点,沿OA所在的直线行走14米到B点时,身影的长度是变长了还是变短了?变长或变短了多少米?解答:解:∵∠MAC=∠MOP=90°,∠AMC=∠OMP,∴△MAC∽△MOP.∴,即,解得,MA=5米;同理,由△NBD∽△NOP,可求得NB=1.5米,∴小明的身影变短了5﹣1.5=3.5米.23.阳光明媚的一天,数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度(这棵树底部可以到达,顶部不易到达),他们带了以下测量工具:皮尺,标杆,一副三角尺,小平面镜.请你在他们提供的测量工具中选出所需工具,设计一种测量方案.(1)所需的测量工具是:;(2)请在下图中画出测量示意图;(3)设树高AB的长度为x,请用所测数据(用小写字母表示)求出x.解答:解:(1)皮尺,标杆;(2)测量示意图如图所示;(3)如图,测得标杆DE=a,树和标杆的影长分别为AC=b,EF=c,∵△DEF∽△BAC,∴,∴,∴.(7分)24.问题背景在某次活动课中,甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息:甲组:如图1,测得一根直立于平地,长为80cm的竹竿的影长为60cm.乙组:如图2,测得学校旗杆的影长为900cm.丙组:如图3,测得校园景灯(灯罩视为球体,灯杆为圆柱体,其粗细忽略不计)的高度为200cm,影长为156cm.任务要求:(1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度;(2)如图3,设太阳光线NH与⊙O相切于点M.请根据甲、丙两组得到的信息,求景灯灯罩的半径.(友情提示:如图3,景灯的影长等于线段NG的影长;需要时可采用等式1562+2082=2602)解答:解:(1)由题意可知:∠BAC=∠EDF=90°,∠BCA=∠EFD.∴△ABC∽△DEF.∴,即,(2分)∴DE=1200(cm).所以,学校旗杆的高度是12m.(3分)(2)解法一:与①类似得:,即,∴GN=208.(4分)在Rt△NGH中,根据勾股定理得:NH2=1562+2082=2602,∴NH=260.(5分)设⊙O的半径为rcm,连接OM,∵NH切⊙O于M,∴OM⊥NH.(6分)则∠OMN=∠HGN=90°,又∵∠ONM=∠HNG,∴△OMN∽△HGN,∴(7分),又ON=OK+KN=OK+(GN﹣GK)=r+8,∴,解得:r=12.∴景灯灯罩的半径是12cm.(8分)解法二:与①类似得:,即,∴GN=208.(4分)设⊙O的半径为rcm,连接OM,∵NH切⊙O于M,∴OM⊥NH.(5分)则∠OMN=∠HGN=90°,又∵∠ONM=∠HNG,∴△OMN∽△HGN.∴,即,(6分)∴MN=r,又∵ON=OK+KN=OK+(GN﹣GK)=r+8.(7分)在Rt△OMN中,根据勾股定理得:r2+(r)2=(r+8)2即r2﹣9r﹣36=0,解得:r1=12,r2=﹣3(不合题意,舍去),∴景灯灯罩的半径是12cm.(8分)25.(2007•白银)阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC.解答:解:∵AE∥BD,∴△ECA∽△DCB,∴.∵EC=8.7m,ED=2.7m,∴CD=6m.∵AB=1.8m,∴AC=BC+1.8m,∴,∴BC=4,即窗口底边离地面的高为4m.点评:此题基本上难度不大,利用相似比即可求出窗口底边离地面的高.26.如图,李华晚上在路灯下散步.已知李华的身高AB=h,灯柱的高OP=O′P′=l,两灯柱之间的距离OO′=m.(1)若李华距灯柱OP的水平距离OA=a,求他影子AC的长;(2)若李华在两路灯之间行走,则他前后的两个影子的长度之和(DA+AC)是否是定值请说明理由;(3)若李华在点A朝着影子(如图箭头)的方向以v1匀速行走,试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2.解答:解:(1)由已知:AB∥OP,∴△ABC∽△OPC.∵,∵OP=l,AB=h,OA=a,∴,∴解得:.(2)∵AB∥OP,∴△ABC∽△OPC,∴,即,即.∴.同理可得:,∴=是定值.(3)根据题意设李华由A到A',身高为A'B',A'C'代表其影长(如图).由(1)可知,即,∴,同理可得:,∴,由等比性质得:,当李华从A走到A'的时候,他的影子也从C移到C',因此速度与路程成正比∴,所以人影顶端在地面上移动的速度为.27.如图①,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S1,S2,S3表示,则不难证明S1=S2+S3.(1)如图②,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S1,S2,S3表示,那么S1,S2,S3之间有什么关系;(不必证明)(2)如图③,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用S1、S2、S3表示,请你确定S1,S2,S3之间的关系并加以证明;(3)若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形,其面积分别用S1,S2,S3表示,为使S1,S2,S3之间仍具有与(2)相同的关系,所作三角形应满足什么条件证明你的结论;(4)类比(1),(2),(3)的结论,请你总结出一个更具一般意义的结论.解:设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c,则c2=a2+b2(1)S1=S2+S3;(2)S1=S2+S3.证明如下:显然,S1=,S2=,S3=∴S2+S3==S1;(3)当所作的三个三角形相似时,S1=S2+S3.证明如下:∵所作三个三角形相似∴∴=1 ∴S1=S2+S3;(4)分别以直角三角形ABC三边为一边向外作相似图形,其面积分别用S1、S2、S3表示,则S1=S2+S3.28.已知:如图,△ABC∽△ADE,AB=15,AC=9,BD=5.求AE.解答:解:∵△ABC∽△ADE,∴AE:AC=AD:AB.∵AE:AC=(AB+BD):AB,∴AE:9=(15+5):15.∴AE=12.29.已知:如图Rt△ABC∽Rt△BDC,若AB=3,AC=4.(1)求BD、CD的长;(2)过B作BE⊥DC于E,求BE的长.解答:解:(1)Rt△ABC中,根据勾股定理得:BC==5,∵Rt△ABC∽Rt△BDC,∴==,==,∴BD=,CD=;(2)在Rt△BDC中,S△BDC=BE•CD=BD•BC,∴BE===3.30.(1)已知,且3x+4z﹣2y=40,求x,y,z的值;(2)已知:两相似三角形对应高的比为3:10,且这两个三角形的周长差为560cm,求它们的周长.解:(1)设=k,那么x=2k,y=3k,z=5k,由于3x+4z﹣2y=40,∴6k+20k﹣6k=40,∴k=2,∴x=4,y=6,z=10.(2)设一个三角形周长为Ccm,则另一个三角形周长为(C+560)cm,则,∴C=240,C+560=800,即它们的周长分别为240cm,800cm一年级下学期月考测试题一、我比电脑算得快。
初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)
经典练习题相似三角形(附答案)一.解答题(共30小题)1.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证:△ADE∽△EFC.2.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF与AB的延长线交于点G.(1)求证:△CDF∽△BGF;(2)当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD的长.3.如图,点D,E在BC上,且FD∥AB,FE∥AC.求证:△ABC∽△FDE.4.如图,已知E是矩形ABCD的边CD上一点,BF⊥AE于F,试说明:△ABF∽△EAD.5.已知:如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D在一条直线上,连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点.(1)求证:①BE=CD;②△AMN是等腰三角形;(2)在图①的基础上,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立;(3)在(2)的条件下,请你在图②中延长ED交线段BC于点P.求证:△PBD∽△AMN.6.如图,E是▱ABCD的边BA延长线上一点,连接EC,交AD于点F.在不添加辅助线的情况下,请你写出图中所有的相似三角形,并任选一对相似三角形给予证明.7.如图,在4×3的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.(1)填空:∠A BC= _________ °,BC= _________ ;(2)判断△ABC与△DEC是否相似,并证明你的结论.8.如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.某一时刻,动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s 的速度向B点匀速运动;同时,动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动,问:(1)经过多少时间,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的?(2)是否存在时刻t,使以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似?若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.9.如图,在梯形ABCD中,若AB∥DC,AD=BC,对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形.(1)列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况,并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少;(注意:全等看成相似的特例)(2)请你任选一组相似三角形,并给出证明.10.如图△ABC中,D为AC上一点,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE⊥BD于E,连接AE.(1)写出图中所有相等的线段,并加以证明;(2)图中有无相似三角形?若有,请写出一对;若没有,请说明理由;(3)求△BEC与△BEA的面积之比.11.如图,在△ABC中,AB=AC=a,M为底边BC上的任意一点,过点M分别作AB、AC的平行线交AC 于P,交AB于Q.(1)求四边形AQMP的周长;(2)写出图中的两对相似三角形(不需证明);(3)M位于BC的什么位置时,四边形AQMP为菱形并证明你的结论.12.已知:P是正方形ABCD的边BC上的点,且BP=3PC,M是CD的中点,试说明:△ADM∽△MCP.13.如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,AB=BC=8,CD=10.(1)求梯形ABCD的面积S;(2)动点P从点B出发,以1cm/s的速度,沿B⇒A⇒D⇒C方向,向点C运动;动点Q从点C出发,以1cm/s的速度,沿C⇒D⇒A方向,向点A运动,过点Q作QE⊥BC于点E.若P、Q两点同时出发,当其中一点到达目的地时整个运动随之结束,设运动时间为t秒.问:①当点P在B⇒A上运动时,是否存在这样的t,使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由;②在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由;③在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由.14.已知矩形ABCD,长BC=12cm,宽AB=8cm,P、Q分别是AB、BC上运动的两点.若P自点A出发,以1cm/s的速度沿AB方向运动,同时,Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动,问经过几秒,以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似?15.如图,在△ABC中,AB=10cm,BC=20cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动,如果P、Q分别从A、B同时出发,问经过几秒钟,△PBQ与△ABC相似.16.如图,∠ACB=∠ADC=90°,AC=,AD=2.问当AB的长为多少时,这两个直角三角形相似.17.已知,如图,在边长为a的正方形ABCD中,M是AD的中点,能否在边AB上找一点N(不含A、B),使得△CDM与△MAN相似?若能,请给出证明,若不能,请说明理由.18.如图在△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,AC=6cm,点Q从B出发,沿BC方向以2cm/s的速度移动,点P从C出发,沿CA方向以1cm/s的速度移动.若Q、P分别同时从B、C出发,试探究经过多少秒后,以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似?19.如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB上确定点P的位置,使得以P,A,D为顶点的三角形与以P,B,C为顶点的三角形相似.20.△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF的顶点E位于边BC的中点上.(1)如图1,设DE与AB交于点M,EF与AC交于点N,求证:△BEM∽△CNE;(2)如图2,将△DEF绕点E旋转,使得DE与BA的延长线交于点M,EF与AC交于点N,于是,除(1)中的一对相似三角形外,能否再找出一对相似三角形并证明你的结论.21.如图,在矩形ABCD中,AB=15cm,BC=10cm,点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(秒)表示移动的时间,那么当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似.22.如图,路灯(P点)距地面8米,身高1.6米的小明从距路灯的底部(O点)20米的A点,沿OA所在的直线行走14米到B点时,身影的长度是变长了还是变短了?变长或变短了多少米?23.阳光明媚的一天,数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度(这棵树底部可以到达,顶部不易到达),他们带了以下测量工具:皮尺,标杆,一副三角尺,小平面镜.请你在他们提供的测量工具中选出所需工具,设计一种测量方案.(1)所需的测量工具是:_________ ;(2)请在下图中画出测量示意图;(3)设树高AB的长度为x,请用所测数据(用小写字母表示)求出x.24.问题背景在某次活动课中,甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息:甲组:如图1,测得一根直立于平地,长为80cm的竹竿的影长为60cm.乙组:如图2,测得学校旗杆的影长为900cm.丙组:如图3,测得校园景灯(灯罩视为球体,灯杆为圆柱体,其粗细忽略不计)的高度为200cm,影长为156cm.任务要求:(1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度;(2)如图3,设太阳光线NH与⊙O相切于点M.请根据甲、丙两组得到的信息,求景灯灯罩的半径.(友情提示:如图3,景灯的影长等于线段NG的影长;需要时可采用等式1562+2082=2602)25.阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC.26.如图,李华晚上在路灯下散步.已知李华的身高AB=h,灯柱的高OP=O′P′=l,两灯柱之间的距离OO′=m.(1)若李华距灯柱OP的水平距离OA=a,求他影子AC的长;(2)若李华在两路灯之间行走,则他前后的两个影子的长度之和(DA+AC)是否是定值请说明理由;(3)若李华在点A朝着影子(如图箭头)的方向以v1匀速行走,试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2.27.如图①,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S1,S2,S3表示,则不难证明S1=S2+S3.(1)如图②,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S1,S2,S3表示,那么S1,S2,S3之间有什么关系;(不必证明)(2)如图③,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用S1、S2、S3表示,请你确定S1,S2,S3之间的关系并加以证明;(3)若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形,其面积分别用S1,S2,S3表示,为使S1,S2,S3之间仍具有与(2)相同的关系,所作三角形应满足什么条件证明你的结论;(4)类比(1),(2),(3)的结论,请你总结出一个更具一般意义的结论.28.已知:如图,△ABC∽△ADE,AB=15,AC=9,BD=5.求AE.29.已知:如图Rt△ABC∽Rt△BDC,若AB=3,AC=4.(1)求BD、CD的长;(2)过B作BE⊥DC于E,求BE的长.30.(1)已知,且3x+4z﹣2y=40,求x,y,z的值;(2)已知:两相似三角形对应高的比为3:10,且这两个三角形的周长差为560cm,求它们的周长.参考答案与试题解析一.解答题(共30小题)1.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证:△ADE∽△EFC.2.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF与AB的延长线交于点G.(1)求证:△CDF∽△BGF;(2)当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD的长.3.如图,点D,E在BC上,且FD∥AB,FE∥AC.求证:△ABC∽△FDE.4.如图,已知E是矩形ABCD的边CD上一点,BF⊥AE于F,试说明:△ABF∽△EAD.5.已知:如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D在一条直线上,连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点.(1)求证:①BE=CD;②△AMN是等腰三角形;(2)在图①的基础上,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立;(3)在(2)的条件下,请你在图②中延长ED交线段BC于点P.求证:△PBD∽△AMN.6.如图,E是▱ABCD的边BA延长线上一点,连接EC,交AD于点F.在不添加辅助线的情况下,请你写出图中所有的相似三角形,并任选一对相似三角形给予证明.7.如图,在4×3的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.(1)填空:∠ABC=135°°,BC= ;(2)判断△ABC与△DEC是否相似,并证明你的结论.BC==22、,可得BC=∵BC=EC=;∴,∴8.如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.某一时刻,动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s 的速度向B点匀速运动;同时,动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动,问:(1)经过多少时间,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的?(2)是否存在时刻t,使以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似?若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.面积的面积的则有:(×3×6,即面积的因此有①,或t=(t=t=都符合题意,同时出发后,经过秒或9.如图,在梯形ABCD中,若AB∥DC,AD=BC,对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形.(1)列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况,并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少;(注意:全等看成相似的特例)(2)请你任选一组相似三角形,并给出证明.P=,即相似三角形的证明.还考查了相似三角形的判定.10.附加题:如图△ABC中,D为AC上一点,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE⊥BD于E,连接AE.(1)写出图中所有相等的线段,并加以证明;(2)图中有无相似三角形?若有,请写出一对;若没有,请说明理由;(3)求△BEC与△BEA的面积之比.CE=.AE=∴sin∠AEF=,∴AF=AE•sin∠AEF=∴.11.如图,在△ABC中,AB=AC=a,M为底边BC上的任意一点,过点M分别作AB、AC的平行线交AC 于P,交AB于Q.(1)求四边形AQMP的周长;(2)写出图中的两对相似三角形(不需证明);(3)M位于BC的什么位置时,四边形AQMP为菱形并证明你的结论.∴QM=PM=AB=12.已知:P是正方形ABCD的边BC上的点,且BP=3PC,M是CD的中点,试说明:△ADM∽△MCP.∴CM=MD=∴PC=BC=AD=∴.13.如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,AB=BC=8,CD=10.(1)求梯形ABCD的面积S;(2)动点P从点B出发,以1cm/s的速度,沿B⇒A⇒D⇒C方向,向点C运动;动点Q从点C出发,以1cm/s的速度,沿C⇒D⇒A方向,向点A运动,过点Q作QE⊥BC于点E.若P、Q两点同时出发,当其中一点到达目的地时整个运动随之结束,设运动时间为t秒.问:①当点P在B⇒A上运动时,是否存在这样的t,使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由;②在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由;③在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由.(AB=∴tan∠ADP=tan∠C==∴=,∴t=∴tan∠APD=tan∠C==,∴=∴t=∴t=t=时,△PAD∴PD=∵CE=t QE=t∴QH=BE=8﹣t t∴PH=t﹣t=t∴PQ=,,,>∴t=t=14.已知矩形ABCD,长BC=12cm,宽AB=8cm,P、Q分别是AB、BC上运动的两点.若P自点A出发,以1cm/s的速度沿AB方向运动,同时,Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动,问经过几秒,以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似?时,有:;时,有:∴经过15.如图,在△ABC中,AB=10cm,BC=20cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动,如果P、Q分别从A、B同时出发,问经过几秒钟,△PBQ与△ABC相似.=,即=,解得对应时,有=,即=16.如图,∠ACB=∠ADC=90°,AC=,AD=2.问当AB的长为多少时,这两个直角三角形相似.解:∵AC=∴CD==.要使这两个直角三角形相似,有两种情况:时,有=,∴AB==3时,有=,∴AB=.317.已知,如图,在边长为a的正方形ABCD中,M是AD的中点,能否在边AB上找一点N(不含A、B),使得△CDM与△MAN相似?若能,请给出证明,若不能,请说明理由.a①若△CDM∽△MAN,则=∴AN=②若△CDM∽△NAM,则AN=18.如图在△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,AC=6cm,点Q从B出发,沿BC方向以2cm/s的速度移动,点P从C出发,沿CA方向以1cm/s的速度移动.若Q、P分别同时从B、C出发,试探究经过多少秒后,以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似?或)当,∴x=;)当,∴x=.所以,经过秒或19.如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB上确定点P的位置,使得以P,A,D为顶点的三角形与以P,B,C为顶点的三角形相似.∴=,∴=,∴=,∴=,∴=,∴AP=.AP=时,由BP=,∴=,、20.△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF的顶点E位于边BC的中点上.(1)如图1,设DE与AB交于点M,EF与AC交于点N,求证:△BEM∽△CNE;(2)如图2,将△DEF绕点E旋转,使得DE与BA的延长线交于点M,EF与AC交于点N,于是,除(1)中的一对相似三角形外,能否再找出一对相似三角形并证明你的结论.∴∴中有21.如图,在矩形ABCD中,AB=15cm,BC=10cm,点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(秒)表示移动的时间,那么当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似.所以所以;=,即=,;=,即=,t=时,以点22.如图,路灯(P点)距地面8米,身高1.6米的小明从距路灯的底部(O点)20米的A点,沿OA所在的直线行走14米到B点时,身影的长度是变长了还是变短了?变长或变短了多少米?∴,23.阳光明媚的一天,数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度(这棵树底部可以到达,顶部不易到达),他们带了以下测量工具:皮尺,标杆,一副三角尺,小平面镜.请你在他们提供的测量工具中选出所需工具,设计一种测量方案.(1)所需的测量工具是:;(2)请在下图中画出测量示意图;(3)设树高AB的长度为x,请用所测数据(用小写字母表示)求出x.∴∴,∴.24.问题背景在某次活动课中,甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息:甲组:如图1,测得一根直立于平地,长为80cm的竹竿的影长为60cm.乙组:如图2,测得学校旗杆的影长为900cm.丙组:如图3,测得校园景灯(灯罩视为球体,灯杆为圆柱体,其粗细忽略不计)的高度为200cm,影长为156cm.任务要求:(1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度;(2)如图3,设太阳光线NH与⊙O相切于点M.请根据甲、丙两组得到的信息,求景灯灯罩的半径.(友情提示:如图3,景灯的影长等于线段NG的影长;需要时可采用等式1562+2082=2602)∴,即与①类似得:∴∴,与①类似得:,∴,∴MN=r(25.(2007•白银)阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC.AE∥BD,所以△ECA∽△DCB,则有∴∴26.如图,李华晚上在路灯下散步.已知李华的身高AB=h,灯柱的高OP=O′P′=l,两灯柱之间的距离OO′=m.(1)若李华距灯柱OP的水平距离OA=a,求他影子AC的长;(2)若李华在两路灯之间行走,则他前后的两个影子的长度之和(DA+AC)是否是定值请说明理由;(3)若李华在点A朝着影子(如图箭头)的方向以v1匀速行走,试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2.∵∴∴解得:.∴,,即.∴同理可得:,∴=)可知,即,同理可得:∴,由等比性质得:∴,所以人影顶端在地面上移动的速度为27.如图①,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S1,S2,S3表示,则不难证明S1=S2+S3.(1)如图②,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S1,S2,S3表示,那么S1,S2,S3之间有什么关系;(不必证明)(2)如图③,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用S1、S2、S3表示,请你确定S1,S2,S3之间的关系并加以证明;(3)若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形,其面积分别用S1,S2,S3表示,为使S1,S2,S3之间仍具有与(2)相同的关系,所作三角形应满足什么条件证明你的结论;。
经典相似三角形练习的题目(附参考答案详解)
实用标准文案相似三角形一.解答题(共30小题)1.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证:△ADE∽△EFC.2.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF与AB的延长线交于点G.(1)求证:△CDF∽△BGF;(2)当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD的长.3.如图,点D,E在BC上,且FD∥AB,FE∥AC.求证:△ABC∽△FDE.4.如图,已知E是矩形ABCD的边CD上一点,BF⊥AE于F,试说明:△ABF∽△EAD.5.已知:如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D在一条直线上,连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点.(1)求证:①BE=CD;②△AMN是等腰三角形;(2)在图①的基础上,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立;(3)在(2)的条件下,请你在图②中延长ED交线段BC于点P.求证:△PBD∽△AMN.6.如图,E是▱ABCD的边BA延长线上一点,连接EC,交AD于点F.在不添加辅助线的情况下,请你写出图中所有的相似三角形,并任选一对相似三角形给予证明.7.如图,在4×3的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.(1)填空:∠ABC= _________ °,BC= _________ ;(2)判断△ABC与△DEC是否相似,并证明你的结论.8.如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.某一时刻,动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动;同时,动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动,问:(1)经过多少时间,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的?(2)是否存在时刻t,使以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似?若存在,求t 的值;若不存在,请说明理由.9.如图,在梯形ABCD中,若AB∥DC,AD=BC,对角线BD 、AC 把梯形分成了四个小三角形.(1)列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况,并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少;(注意:全等看成相似的特例)(2)请你任选一组相似三角形,并给出证明.10.如图△ABC中,D为AC上一点,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE⊥BD于E,连接AE.(1)写出图中所有相等的线段,并加以证明;(2)图中有无相似三角形?若有,请写出一对;若没有,请说明理由;(3)求△BEC与△BEA的面积之比.11.如图,在△ABC中,AB=AC=a,M为底边BC上的任意一点,过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P,交AB于Q.(1)求四边形AQMP的周长;(2)写出图中的两对相似三角形(不需证明);(3)M位于BC的什么位置时,四边形AQMP为菱形并证明你的结论.12.已知:P是正方形ABCD的边BC上的点,且BP=3PC,M是CD的中点,试说明:△ADM∽△MCP.13.如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,AB=BC=8,CD=10.(1)求梯形ABCD的面积S;(2)动点P从点B出发,以1cm/s的速度,沿B⇒A⇒D⇒C方向,向点C运动;动点Q从点C出发,以1cm/s的速度,沿C⇒D⇒A方向,向点A运动,过点Q 作QE⊥BC于点E.若P、Q两点同时出发,当其中一点到达目的地时整个运动随之结束,设运动时间为t秒.问:①当点P在B⇒A上运动时,是否存在这样的t,使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由;②在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由;③在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ 为一腰的等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由.14.已知矩形ABCD,长BC=12cm,宽AB=8cm,P、Q分别是AB、BC上运动的两点.若P自点A出发,以1cm/s的速度沿AB方向运动,同时,Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动,问经过几秒,以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似?15.如图,在△ABC中,AB=10cm,BC=20cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动,如果P、Q分别从A、B同时出发,问经过几秒钟,△PBQ与△ABC相似.16.如图,∠ACB=∠ADC=90°,AC=,AD=2.问当AB的长为多少时,这两个直角三角形相似.17.已知,如图,在边长为a的正方形ABCD中,M是AD的中点,能否在边AB 上找一点N(不含A、B),使得△CDM与△MAN相似?若能,请给出证明,若不能,请说明理由.18.如图在△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,AC=6cm,点Q从B出发,沿BC方向以2cm/s的速度移动,点P从C出发,沿CA方向以1cm/s的速度移动.若Q、P分别同时从B、C出发,试探究经过多少秒后,以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似?19.如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB上确定点P的位置,使得以P,A,D为顶点的三角形与以P,B,C为顶点的三角形相似.20.△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF的顶点E位于边BC的中点上.(1)如图1,设DE与AB交于点M,EF与AC交于点N,求证:△BEM∽△CNE;(2)如图2,将△DEF绕点E旋转,使得DE与BA的延长线交于点M,EF与AC 交于点N,于是,除(1)中的一对相似三角形外,能否再找出一对相似三角形并证明你的结论.21.如图,在矩形ABCD中,AB=15cm,BC=10cm,点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(秒)表示移动的时间,那么当t为何值时,以点Q、A、P 为顶点的三角形与△ABC相似.22.如图,路灯(P点)距地面8米,身高1.6米的小明从距路灯的底部(O点)20米的A点,沿OA所在的直线行走14米到B点时,身影的长度是变长了还是变短了?变长或变短了多少米?23.阳光明媚的一天,数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度(这棵树底部可以到达,顶部不易到达),他们带了以下测量工具:皮尺,标杆,一副三角尺,小平面镜.请你在他们提供的测量工具中选出所需工具,设计一种测量方案.(1)所需的测量工具是:_________ ;(2)请在下图中画出测量示意图;(3)设树高AB的长度为x,请用所测数据(用小写字母表示)求出x.24.问题背景在某次活动课中,甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息:甲组:如图1,测得一根直立于平地,长为80cm的竹竿的影长为60cm.乙组:如图2,测得学校旗杆的影长为900cm.丙组:如图3,测得校园景灯(灯罩视为球体,灯杆为圆柱体其粗细忽略不计)的高度为200cm,影长为156cm.任务要求:(1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度;(2)如图3,设太阳光线NH与⊙O相切于点M.请根据甲、丙两组得到的信息,求景灯灯罩的半径.(友情提示:如图3,景灯的影长等于线段NG的影长;需要时可采用等式1562+2082=2602)25.阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC.26.如图,李华晚上在路灯下散步.已知李华的身高AB=h,灯柱的高OP=O′P′=l,两灯柱之间的距离OO′=m.(1)若李华距灯柱OP的水平距离OA=a,求他影子AC的长;(2)若李华在两路灯之间行走,则他前后的两个影子的长度之和(DA+AC)是否是定值请说明理由;(3)若李华在点A朝着影子(如图箭头)的方向以v1匀速行走,试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2.27.如图①,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S1,S2,S3表示,则不难证明S1=S2+S3.(1)如图②,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S1,S2,S3表示,那么S1,S2,S3之间有什么关系;(不必证明)(2)如图③,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用S1、S2、S3表示,请你确定S1,S2,S3之间的关系并加以证明;(3)若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形,其面积分别用S1,S2,S3表示,为使S1,S2,S3之间仍具有与(2)相同的关系,所作三角形应满足什么条件证明你的结论;(4)类比(1),(2),(3)的结论,请你总结出一个更具一般意义的结论.28.已知:如图,△ABC∽△ADE,AB=15,AC=9,BD=5.求AE.29.已知:如图Rt△ABC∽Rt△BDC,若AB=3,AC=4.(1)求BD、CD的长;(2)过B作BE⊥DC于E,求BE的长.30.(1)已知,且3x+4z﹣2y=40,求x,y,z的值;(2)已知:两相似三角形对应高的比为3:10,且这两个三角形的周长差为560cm,求它们的周长.一.解答题(共30小题)1.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证:△ADE∽△EFC.解答:证明:∵DE∥BC,∴DE∥FC,∴∠AED=∠C.又∵EF∥AB,∴EF∥AD,∴∠A=∠FEC.∴△ADE∽△EFC.点评:本题考查的是平行线的性质及相似三角形的判定定理.2.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF与AB的延长线交于点G.(1)求证:△CDF∽△BGF;(2)当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD的长.解答:(1)证明:∵梯形ABCD,AB∥CD,∴∠CDF=∠FGB,∠DCF=∠GBF,(2分)∴△CDF∽△BGF.(3分)(2)解:由(1)△CDF∽△BGF,又F是BC的中点,BF=FC,∴△CDF≌△BGF,∴DF=GF,CD=BG,(6分)∵AB∥DC∥EF,F为BC中点,∴E为AD中点,∴EF是△DAG的中位线,∴2EF=AG=AB+BG.∴BG=2EF﹣AB=2×4﹣6=2,∴CD=BG=2cm.(8分)3.如图,点D,E在BC上,且FD∥AB,FE∥AC.求证:△ABC∽△FDE.解答:证明:∵FD∥AB,FE∥AC,∴∠B=∠FDE,∠C=∠FED,∴△ABC∽△FDE.4.如图,已知E是矩形ABCD的边CD上一点,BF⊥AE于F,试说明:△ABF∽△EAD.解答:证明:∵矩形ABCD中,AB∥CD,∠D=90°,(2分)∴∠BAF=∠AED.(4分)∵BF⊥AE,∴∠AFB=90°.∴∠AFB=∠D.(5分)∴△ABF∽△EAD.(6分)点评:考查相似三角形的判定定理,关键是找准对应的角.5.已知:如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D在一条直线上,连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点.(1)求证:①BE=CD;②△AMN是等腰三角形;(2)在图①的基础上,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立;(3)在(2)的条件下,请你在图②中延长ED交线段BC于点P.求证:△PBD∽△AMN.解答:(1)证明:①∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAE=∠CAD,∵AB=AC,AD=AE,∴△ABE≌△ACD,∴BE=CD.②由△ABE≌△ACD,得∠ABE=∠ACD,BE=CD,∵M、N分别是BE,CD的中点,∴BM=CN.又∵AB=AC,∴△ABM≌△ACN.∴AM=AN,即△AMN为等腰三角形.(2)解:(1)中的两个结论仍然成立.(3)证明:在图②中正确画出线段PD,由(1)同理可证△ABM≌△ACN,∴∠CAN=∠BAM∴∠BAC=∠MAN.又∵∠BAC=∠DAE,∴∠MAN=∠DAE=∠BAC.∴△AMN,△ADE和△ABC都是顶角相等的等腰三角形.∴△PBD和△AMN都为顶角相等的等腰三角形,∴∠PBD=∠AMN,∠PDB=∠ANM,∴△PBD∽△AMN.6.如图,E是▱ABCD的边BA延长线上一点,连接EC,交AD于点F.在不添加辅助线的情况下,请你写出图中所有的相似三角形,并任选一对相似三角形给予证明.分析:根据平行线的性质和两角对应相等的两个三角形相似这一判定定理可证明图中相似三角形有:△AEF∽△BEC;△AEF∽△DCF;△BEC∽△DCF.解答:解:相似三角形有△AEF∽△BEC;△AEF∽△DCF;△BEC∽△DCF.(3分)如:△AEF∽△BEC.在▱ABCD中,AD∥BC,∴∠1=∠B,∠2=∠3.(6分)∴△AEF∽△BEC.(7分)7.如图,在4×3的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.(1)填空:∠ABC= 135°°,BC= ;(2)判断△ABC与△DEC是否相似,并证明你的结论.解答:解:(1)∠ABC=135°,BC=;(2)相似;∵BC=,EC==;∴,;∴;又∠ABC=∠CED=135°,∴△ABC∽△DEC.8.如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.某一时刻,动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动;同时,动点N从D点出发沿DA 方向以2cm/s的速度向A点匀速运动,问:(1)经过多少时间,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的?(2)是否存在时刻t,使以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似?若存在,求t 的值;若不存在,请说明理由解:(1)设经过x秒后,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的,则有:(6﹣2x)x=×3×6,即x2﹣3x+2=0,(2分)解方程,得x1=1,x2=2,(3分)经检验,可知x1=1,x2=2符合题意,所以经过1秒或2秒后,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的.(4分)(2)假设经过t秒时,以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似,由矩形ABCD,可得∠CDA=∠MAN=90°,因此有或(5分)即①,或②(6分)解①,得t=;解②,得t=(7分)经检验,t=或t=都符合题意,所以动点M,N同时出发后,经过秒或秒时,以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似.(8分)9.如图,在梯形ABCD中,若AB∥DC,AD=BC,对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形.(1)列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况,并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少;(注意:全等看成相似的特例)(2)请你任选一组相似三角形,并给出证明.解答:解:(1)任选两个三角形的所有可能情况如下六种情况:①②,①③,①④,②③,②④,③④(2分)其中有两组(①③,②④)是相似的.∴选取到的二个三角形是相似三角形的概率是P=(4分)证明:(2)选择①、③证明.在△AOB与△COD中,∵AB∥CD,∴∠CDB=∠DBA,∠DCA=∠CAB,∴△AOB∽△COD(8分)选择②、④证明.∵四边形ABCD是等腰梯形,∴∠DAB=∠CBA,∴在△DAB与△CBA中有AD=BC,∠DAB=∠CAB,AB=AB,∴△DAB≌△CBA,(6分)∴∠ADO=∠BCO.又∠DOA=∠COB,∴△DOA∽△COB(8分).点评:此题考查概率的求法:如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=,即相似三角形的证明.还考查了相似三角形的判定.10.附加题:如图△ABC中,D为AC上一点,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE⊥BD于E,连接AE.(1)写出图中所有相等的线段,并加以证明;(2)图中有无相似三角形?若有,请写出一对;若没有,请说明理由;(3)求△BEC与△BEA的面积之比.解答:解:(1)AD=DE,AE=CE.∵CE⊥BD,∠BDC=60°,∴在Rt△CED中,∠ECD=30°.∴CD=2ED.∵CD=2DA,∴AD=DE,∴∠DAE=∠DEA=30°=∠ECD.∴AE=CE.(2)图中有三角形相似,△ADE∽△AEC;∵∠CAE=∠CAE,∠ADE=∠AEC,∴△ADE∽△AEC;(3)作AF⊥BD的延长线于F,设AD=DE=x,在Rt△CED中,可得CE=,故AE=.∠ECD=30°.在Rt△AEF中,AE=,∠AED=∠DAE=30°,∴sin∠AEF=,∴AF=AE•sin∠AEF=.∴.点评:本题主要考查了直角三角形的性质,相似三角形的判定及三角形面积的求法等,范围较广.11.如图,在△ABC中,AB=AC=a,M为底边BC上的任意一点,过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P,交AB于Q.(1)求四边形AQMP的周长;(2)写出图中的两对相似三角形(不需证明);(3)M位于BC的什么位置时,四边形AQMP为菱形并证明你的结论.解答:解:(1)∵AB∥MP,QM∥AC,∴四边形APMQ 是平行四边形,∠B=∠PMC,∠C=∠QMB.∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠PMC=∠QMB.∴BQ=QM,PM=PC.∴四边形AQMP的周长=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a.(2)∵PM∥AB,∴△PCM∽△ACB,∵QM∥AC,∴△BMQ∽△BCA;(3)当点M中BC的中点时,四边形APMQ是菱形,∵点M是BC的中点,AB∥MP,QM∥AC,∴QM,PM是三角形ABC的中位线.∵AB=AC,∴QM=PM=AB=AC.又由(1)知四边形APMQ是平行四边形,∴平行四边形APMQ是菱形.12.已知:P是正方形ABCD的边BC上的点,且BP=3PC,M是CD的中点,试说明:△ADM∽△MCP.解答:证明:∵正方形ABCD,M为CD中点,∴CM=MD=AD.∵BP=3PC,∴PC=BC=AD=CM.∴.∵∠PCM=∠ADM=90°,∴△MCP∽△ADM.13.如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,AB=BC=8,CD=10.(1)求梯形ABCD的面积S;(2)动点P从点B出发,以1cm/s的速度,沿B⇒A⇒D⇒C方向,向点C运动;动点Q从点C出发,以1cm/s的速度,沿C⇒D⇒A方向,向点A运动,过点Q 作QE⊥BC于点E.若P、Q两点同时出发,当其中一点到达目的地时整个运动随之结束,设运动时间为t秒.问:①当点P在B⇒A上运动时,是否存在这样的t,使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由;②在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由;③在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ 为一腰的等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由.解答:解:(1)过D作DH∥AB交BC于H点,∵AD∥BH,DH∥AB,∴四边形ABHD是平行四边形.∴DH=AB=8;BH=AD=2.∴CH=8﹣2=6.∵CD=10,∴DH2+CH2=CD2∴∠DHC=90°.∠B=∠DHC=90°.∴梯形ABCD是直角梯形.∴S ABCD=(AD+BC)AB=×(2+8)×8=40.(2)①∵BP=CQ=t ,∴AP=8﹣t,DQ=10﹣t,∵AP+AD+DQ=PB+BC+CQ,∴8﹣t+2+10﹣t=t+8+t.∴t=3<8.∴当t=3秒时,PQ将梯形ABCD周长平分.②第一种情况:0<t≤8若△PAD∽△QEC则∠ADP=∠C ∴tan∠ADP=tan∠C==∴=,∴t=若△PAD∽△CEQ则∠APD=∠C ∴tan∠APD=tan∠C==,∴=∴t=第二种情况:8<t≤10,P、A、D三点不能组成三角形;第三种情况:10<t≤12△ADP为钝角三角形与Rt△CQE不相似;∴t=或t=时,△PAD与△CQE相似.③第一种情况:当0≤t≤8时.过Q点作QE⊥BC,QH⊥AB,垂足为E、H.∵AP=8﹣t,AD=2,∴PD==.∵CE=t,QE=t,∴QH=BE=8﹣t,BH=QE=t.∴PH=t﹣t=t.∴PQ==,DQ=10﹣t.Ⅰ:DQ=DP,10﹣t=,解得t=8秒.Ⅱ:DQ=PQ,10﹣t=,化简得:3t2﹣52t+180=0解得:t=,t=>8(不合题意舍去)∴t=第二种情况:8≤t≤10时.DP=DQ=10﹣t.∴当8≤t<10时,以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立.第三种情况:10<t≤12时.DP=DQ=t﹣10.∴当10<t≤12时,以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立.综上所述,t=或8≤t<10或10<t≤12时,以DQ为腰的等腰△DPQ成立.14.已知矩形ABCD,长BC=12cm,宽AB=8cm,P、Q分别是AB、BC上运动的两点.若P自点A出发,以1cm/s的速度沿AB方向运动,同时,Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动,问经过几秒,以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC 相似?解答:解:设经x秒后,△PBQ∽△BCD,由于∠PBQ=∠BCD=90°,(1)当∠1=∠2时,有:,即;(2)当∠1=∠3时,有:,即,∴经过秒或2秒,△PBQ∽△BCD.15.如图,在△ABC 中,AB=10cm ,BC=20cm ,点P 从点A 开始沿AB 边向B 点以2cm/s 的速度移动,点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以4cm/s 的速度移动,如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发,问经过几秒钟,△PBQ 与△ABC 相似. 解答: 设经过秒后t 秒后,△PBQ 与△ABC 相似,则有AP=2t ,BQ=4t ,BP=10﹣2t , 当△PBQ ∽△ABC 时,有BP :AB=BQ :BC , 即(10﹣2t ):10=4t :20,解得t=2.5(s )(6分)当△QBP ∽△ABC 时,有BQ :AB=BP :BC , 即4t :10=(10﹣2t ):20,解得t=1.所以,经过2.5s 或1s 时,△PBQ 与△ABC 相似(10分).解法二:设ts 后,△PBQ 与△ABC 相似,则有,AP=2t ,BQ=4t ,BP=10﹣2t分两种情况:(1)当BP 与AB 对应时,有=,即=,解得t=2.5s (2)当BP 与BC 对应时,有=,即=,解得t=1s所以经过1s 或2.5s 时,以P 、B 、Q 三点为顶点的三角形与△ABC 相似.16.如图,∠ACB=∠ADC=90°,AC=,AD=2.问当AB 的长为多少时,这两个直角三角形相似. 解答: 解:∵AC=,AD=2,∴CD==.要使这两个直角三角形相似,有两种情况:1) 当Rt △ABC ∽Rt △ACD 时, 2) 有=,∴AB==3;3) 当Rt △ACB ∽Rt △CDA 时, 4) 有=,∴AB==3.故当AB 的长为3或3时,这两个直角三角形相似.17.已知,如图,在边长为a 的正方形ABCD 中,M 是AD 的中点,能否在边AB 上找一点N (不含A 、B ),使得△CDM 与△MAN 相似?若能,请给出证明,若不能,请说明理由.解答: 证明:分两种情况讨论:①若△CDM ∽△MAN ,则=.∵边长为a ,M 是AD 的中点, ∴AN=a .②若△CDM ∽△NAM ,则.∵边长为a,M 是AD的中点,∴AN=a,即N点与B重合,不合题意.所以,能在边AB上找一点N(不含A、B),使得△CDM与△MAN相似.当AN=a时,N点的位置满足条件.18.如图在△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,AC=6cm,点Q从B出发,沿BC方向以2cm/s的速度移动,点P从C出发,沿CA方向以1cm/s的速度移动.若Q、P分别同时从B、C出发,试探究经过多少秒后,以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似?解答:解:设经过x秒后,两三角形相似,则CQ=(8﹣2x)cm,CP=xcm,(1分)∵∠C=∠C=90°,∴当或时,两三角形相似.(3分)(1)当时,,∴x=;(4分)(2)当时,,∴x=.(5分)所以,经过秒或秒后,两三角形相似.(6分)点评:本题综合考查了路程问题,相似三角形的性质及一元一次方程的解法.19.如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB上确定点P的位置,使得以P,A,D为顶点的三角形与以P,B,C为顶点的三角形相似.解答:解:(1)若点A,P,D分别与点B,C,P对应,即△APD∽△BCP,∴=,∴=,∴AP2﹣7AP+6=0,∴AP=1或AP=6,检测:当AP=1时,由BC=3,AD=2,BP=6,∴=,又∵∠A=∠B=90°,∴△APD∽△BCP.当AP=6时,由BC=3,AD=2,BP=1,又∵∠A=∠B=90°,∴△APD∽△BCP.(2)若点A,P,D分别与点B,P,C对应,即△APD∽△BPC.∴=,∴=,∴AP=.检验:当AP=时,由BP=,AD=2,BC=3,∴=,又∵∠A=∠B=90°,∴△APD∽△BPC.因此,点P的位置有三处,即在线段AB距离点A的1、、6处.20.△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF的顶点E位于边BC的中点上.(1)如图1,设DE与AB交于点M,EF与AC交于点N,求证:△BEM∽△CNE;(2)如图2,将△DEF绕点E旋转,使得DE与BA的延长线交于点M,EF与AC 交于点N,于是,除(1)中的一对相似三角形外,能否再找出一对相似三角形并证明你的结论.解答:证明:(1)∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠MBE=45°,∴∠BME+∠MEB=135°又∵△DEF是等腰直角三角形,∴∠DEF=45°∴∠NEC+∠MEB=135°∴∠BEM=∠NEC,(4分)而∠MBE=∠ECN=45°,∴△BEM∽△CNE.(6分)(2)与(1)同理△BEM∽△CNE,∴.(8分)又∵BE=EC,∴,(10分)则△ECN与△MEN中有,又∠ECN=∠MEN=45°,∴△ECN∽△MEN.(12分)21.如图,在矩形ABCD中,AB=15cm,BC=10cm,点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(秒)表示移动的时间,那么当t为何值时,以点Q、A、P 为顶点的三角形与△ABC相似.解答:解:以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似,所以△ABC∽△PAQ或△ABC∽△QAP,①当△ABC∽△PAQ 时,,所以,解得:t=6;②当△ABC∽△QAP时,,所以,解得:t=;③当△AQP∽△BAC时,=,即=,所以t=;④当△AQP∽△BCA时,=,即=,所以t=30(舍去).故当t=6或t=时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似.22.如图,路灯(P点)距地面8米,身高1.6米的小明从距路灯的底部(O点)20米的A点,沿OA所在的直线行走14米到B点时,身影的长度是变长了还是变短了?变长或变短了多少米?解答:解:∵∠MAC=∠MOP=90°,∠AMC=∠OMP,∴△MAC∽△MOP.∴,即,解得,MA=5米;同理,由△NBD∽△NOP,可求得NB=1.5米,∴小明的身影变短了5﹣1.5=3.5米.23.阳光明媚的一天,数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度(这棵树底部可以到达,顶部不易到达),他们带了以下测量工具:皮尺,标杆,一副三角尺,小平面镜.请你在他们提供的测量工具中选出所需工具,设计一种测量方案.(1)所需的测量工具是:;(2)请在下图中画出测量示意图;(3)设树高AB的长度为x,请用所测数据(用小写字母表示)求出x.解答:解:(1)皮尺,标杆;(2)测量示意图如图所示;(3)如图,测得标杆DE=a,树和标杆的影长分别为AC=b,EF=c,∵△DEF∽△BAC,∴,∴,∴.(7分)24.问题背景在某次活动课中,甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息:甲组:如图1,测得一根直立于平地,长为80cm的竹竿的影长为60cm.乙组:如图2,测得学校旗杆的影长为900cm.丙组:如图3,测得校园景灯(灯罩视为球体,灯杆为圆柱体,其粗细忽略不计)的高度为200cm,影长为156cm.任务要求:(1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度;(2)如图3,设太阳光线NH与⊙O相切于点M.请根据甲、丙两组得到的信息,求景灯灯罩的半径.(友情提示:如图3,景灯的影长等于线段NG的影长;需要时可采用等式1562+2082=2602)解答:解:(1)由题意可知:∠BAC=∠EDF=90°,∠BCA=∠EFD.∴△ABC ∽△DEF.∴,即,(2分)∴DE=1200(cm).所以,学校旗杆的高度是12m.(3分)(2)解法一:与①类似得:,即,∴GN=208.(4分)在Rt△NGH中,根据勾股定理得:NH2=1562+2082=2602,∴NH=260.(5分)设⊙O的半径为rcm,连接OM,∵NH切⊙O于M,∴OM⊥NH.(6分)则∠OMN=∠HGN=90°,又∵∠ONM=∠HNG,∴△OMN∽△HGN,∴(7分),又ON=OK+KN=OK+(GN﹣GK)=r+8,∴,解得:r=12.∴景灯灯罩的半径是12cm.(8分)解法二:与①类似得:,即,∴GN=208.(4分)设⊙O的半径为rcm,连接OM,∵NH切⊙O于M,∴OM⊥NH.(5分)则∠OMN=∠HGN=90°,又∵∠ONM=∠HNG,∴△OMN∽△HGN.∴,即,(6分)∴MN=r,又∵ON=OK+KN=OK+(GN﹣GK)=r+8.(7分)在Rt△OMN中,根据勾股定理得:r2+(r)2=(r+8)2即r2﹣9r﹣36=0,解得:r1=12,r2=﹣3(不合题意,舍去),∴景灯灯罩的半径是12cm.(8分)25.(2007•白银)阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC.解答:解:∵AE∥BD,∴△ECA∽△DCB,∴.∵EC=8.7m,ED=2.7m,∴CD=6m.∵AB=1.8m,∴AC=BC+1.8m,∴,∴BC=4,即窗口底边离地面的高为4m.点评:此题基本上难度不大,利用相似比即可求出窗口底边离地面的高.26.如图,李华晚上在路灯下散步.已知李华的身高AB=h,灯柱的高OP=O′P′=l,两灯柱之间的距离OO′=m.(1)若李华距灯柱OP的水平距离OA=a,求他影子AC的长;(2)若李华在两路灯之间行走,则他前后的两个影子的长度之和(DA+AC)是否是定值请说明理由;(3)若李华在点A朝着影子(如图箭头)的方向以v1匀速行走,试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2.解答:解:(1)由已知:AB∥OP,∴△ABC∽△OPC.∵,∵OP=l,AB=h,OA=a,∴,∴解得:.(2)∵AB∥OP,∴△ABC∽△OPC,∴,即,即.∴.同理可得:,∴=是定值.(3)根据题意设李华由A到A',身高为A'B',A'C'代表其影长(如图).由(1)可知,即,∴,同理可得:,∴,由等比性质得:,当李华从A走到A'的时候,他的影子也从C移到C',因此速度与路程成正比∴,所以人影顶端在地面上移动的速度为.27.如图①,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S1,S2,S3表示,则不难证明S1=S2+S3.(1)如图②,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S1,S2,S3表示,那么S1,S2,S3之间有什么关系;(不必证明)(2)如图③,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用S1、S2、S3表示,请你确定S1,S2,S3之间的关系并加以证明;(3)若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形,其面积分别用S1,S2,S3表示,为使S1,S2,S3之间仍具有与(2)相同的关系,所作三角形应满足什么条件证明你的结论;(4)类比(1),(2),(3)的结论,请你总结出一个更具一般意义的结论.解:设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c,则c2=a2+b2(1)S1=S2+S3;(2)S1=S2+S3.证明如下:显然,S1=,S2=,S3=∴S2+S3==S1;(3)当所作的三个三角形相似时,S1=S2+S3.证明如下:∵所作三个三角形相似∴∴=1 ∴S1=S2+S3;(4)分别以直角三角形ABC三边为一边向外作相似图形,其面积分别用S1、S2、S3表示,则S1=S2+S3.28.已知:如图,△ABC∽△ADE,AB=15,AC=9,BD=5.求AE.解答:解:∵△ABC ∽△ADE,∴AE:AC=AD:AB.∵AE:AC=(AB+BD):AB,∴AE:9=(15+5):15.∴AE=12.29.已知:如图Rt△ABC∽Rt△BDC,若AB=3,AC=4.(1)求BD、CD的长;(2)过B作BE⊥DC于E,求BE的长.解答:解:(1)Rt△ABC中,根据勾股定理得:BC==5,∵Rt△ABC∽Rt△BDC,∴==,==,∴BD=,CD=;(2)在Rt△BDC中,S△BDC=BE•CD=BD•BC,∴BE===3.30.(1)已知,且3x+4z﹣2y=40,求x,y,z的值;(2)已知:两相似三角形对应高的比为3:10,且这两个三角形的周长差为560cm,求它们的周长.解:(1)设=k,那么x=2k,y=3k,z=5k,由于3x+4z﹣2y=40,∴6k+20k﹣6k=40,∴k=2,∴x=4,y=6,z=10.(2)设一个三角形周长为Ccm,则另一个三角形周长为(C+560)cm,则,∴C=240,C+560=800,即它们的周长分别为240cm,800cm。
相似三角形经典练习题及答案
相似三角形经典练习题及答案一、选择题1、若两个相似三角形的面积之比为 1∶4,则它们的周长之比为()A 1∶2B 1∶4C 1∶5D 1∶16答案:A解析:相似三角形面积的比等于相似比的平方,相似三角形周长的比等于相似比。
因为两个相似三角形的面积之比为 1∶4,所以相似比为 1∶2,那么它们的周长之比为 1∶2。
2、如图,在△ABC 中,点 D、E 分别在边 AB、AC 上,DE∥BC,若 AD∶DB = 1∶2,则下列结论中正确的是()A AE∶EC = 1∶2B AE∶EC = 1∶3 C DE∶BC = 1∶2 DDE∶BC = 1∶3答案:B解析:因为 DE∥BC,所以△ADE∽△ABC。
因为 AD∶DB =1∶2,所以 AD∶AB = 1∶3。
因为相似三角形对应边成比例,所以AE∶AC = AD∶AB = 1∶3,所以 AE∶EC = 1∶2。
3、已知△ABC∽△A'B'C',相似比为 3∶4,△ABC 的周长为 6,则△A'B'C'的周长为()A 8B 7C 9D 10答案:A解析:因为相似三角形周长的比等于相似比,所以△ABC 与△A'B'C'的周长之比为3∶4。
设△A'B'C'的周长为x,则6∶x =3∶4,解得 x = 8。
4、如图,在△ABC 中,D、E 分别是 AB、AC 上的点,且DE∥BC,如果 AD = 2cm,DB = 1cm,AE = 15cm,则 EC =()A 05cmB 1cmC 15cmD 3cm答案:B解析:因为 DE∥BC,所以△ADE∽△ABC,所以 AD∶AB =AE∶AC。
因为 AD = 2cm,DB = 1cm,所以 AB = 3cm。
所以 2∶3= 15∶(15 + EC),解得 EC = 1cm。
5、下列各组图形一定相似的是()A 两个直角三角形B 两个等边三角形C 两个菱形D 两个矩形答案:B解析:等边三角形的三个角都相等,都是 60°,所以两个等边三角形一定相似。
相似三角形经典题(含答案)
相似三角形经典习题例1 从下面这些三角形中,选出相似的三角形.例2 已知:如图,ABCD 中,2:1:=EB AE ,求AEF ∆与CDF ∆的周长的比,如果2cm 6=∆AEF S ,求CDF S ∆.例3 如图,已知ABD ∆∽ACE ∆,求证:ABC ∆∽ADE ∆.例4 下列命题中哪些是正确的,哪些是错误的?(1)所有的直角三角形都相似. (2)所有的等腰三角形都相似. (3)所有的等腰直角三角形都相似. (4)所有的等边三角形都相似.例6 如图,一人拿着一支刻有厘米分画的小尺,站在距电线杆约30米的地方,把手臂向前伸直,小尺竖直,看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆,已知手臂长约60厘米,求电线杆的高.例7 如图,小明为了测量一高楼MN 的高,在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜,小明沿NA 后退到C 点,正好从镜中看到楼顶M 点,若5.1=AC m ,小明的眼睛离地面的高度为1.6m ,请你帮助小明计算一下楼房的高度(精确到0.1m ).例9 根据下列各组条件,判定ABC ∆和C B A '''∆是否相似,并说明理由:(1),cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A . (2)︒='∠︒='∠︒=∠︒=∠35,44,104,35A C B A .(3)︒='∠=''=''︒=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB .例11 已知:如图,在ABC ∆中,BD A AC AB ,36,︒=∠=是角平分线,试利用三角形相似的关系说明AC DC AD ⋅=2.例12 已知ABC ∆的三边长分别为5、12、13,与其相似的C B A '''∆的最大边长为26,求C B A '''∆的面积S .例13 在一次数学活动课上,老师让同学们到操场上测量旗杆的高度,然后回来交流各自的测量方法.小芳的测量方法是:拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C 处(如图),然后沿BC 方向走到D 处,这时目测旗杆顶部A 与竹竿顶部E 恰好在同一直线上,又测得C 、D 两点的距离为3米,小芳的目高为1.5米,这样便可知道旗杆的高.你认为这种测量方法是否可行?请说明理由.例14.如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标作为点A ,再在河的这一边选点B 和C ,使BC AB ⊥,然后再选点E ,使BC EC ⊥,确定BC 与AE 的交点为D ,测得120=BD 米,60=DC 米,50=EC 米,你能求出两岸之间AB 的大致距离吗?例15.如图,为了求出海岛上的山峰AB 的高度,在D 和F 处树立标杆DC 和FE ,标杆的高都是3丈,相隔1000步(1步等于5尺),并且AB 、CD 和EF 在同一平面内,从标杆DC 退后123步的G 处,可看到山峰A 和标杆顶端C 在一直线上,从标杆FE 退后127步的H 处,可看到山峰A 和标杆顶端E 在一直线上.求山峰的高度AB 及它和标杆CD 的水平距离BD 各是多少?(古代问题)例16 如图,已知△ABC 的边AB =32,AC =2,BC 边上的高AD =3.(1)求BC 的长;(2)如果有一个正方形的边在AB 上,另外两个顶点分别在AC ,BC 上,求这个正方形的面积.相似三角形经典习题答案例1. 解 ①、⑤、⑥相似,②、⑦相似,③、④、⑧相似例2. 解 ABCD 是平行四边形,∴CD AB CD AB =,//,∴AEF ∆∽CDF ∆,又2:1:=EB AE ,∴3:1:=CD AE ,∴AEF ∆与CDF ∆的周长的比是1:3. 又)cm (6,)31(22==∆∆∆AEF CDF AEF S S S ,∴)cm (542=∆CD F S . 例3 分析 由于ABD ∆∽ACE ∆,则CAE BAD ∠=∠,因此DAE BAC ∠=∠,如果再进一步证明AECAAD BA =,则问题得证.证明 ∵ABD ∆∽ACE ∆,∴CAE BAD ∠=∠.又DAC BAD BAC ∠+∠=∠ ,∴CAE DAC DAE ∠+∠=∠, ∴DAE BAC ∠=∠.∵ABD ∆∽ACE ∆,∴AEACAD AB =. 在ABC ∆和ADE ∆中,∵AEACAD AB ADE BAC =∠=∠,,∴ABC ∆∽ADE ∆ 例4.分析 (1)不正确,因为在直角三角形中,两个锐角的大小不确定,因此直角三角形的形状不同.(2)也不正确,等腰三角形的顶角大小不确定,因此等腰三角形的形状也不同. (3)正确.设有等腰直角三角形ABC 和C B A ''',其中︒='∠=∠90C C ,则︒='∠=∠︒='∠=∠45,45B B A A ,设ABC ∆的三边为a 、b 、c ,C B A '''∆的边为c b a '''、、, 则a c b a a c b a '=''='==2,,2,,∴a ac c b b a a '=''=',,∴ABC ∆∽C B A '''∆. (4)也正确,如ABC ∆与C B A '''∆都是等边三角形,对应角相等,对应边都成比例,因此ABC ∆∽C B A '''∆.答:(1)、(2)不正确.(3)、(4)正确. 例5.解:画法略.例6.分析 本题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形,即60=DF 厘米6.0=米,12=GF 厘米12.0=米,30=CE 米,求BC .由于ADF ∆∽ACAF EC DF AEC =∆,,又ACF ∆∽ABC ∆,∴BC GFEC DF =,从而可以求出BC 的长.解 EC DF EC AE //,⊥ ,∴EAC DAF AEC ADF ∠=∠∠=∠,,∴ADF ∆∽AEC ∆.∴ACAFEC DF =. 又EC BC EC GF ⊥⊥,,∴ABC AGF ACB AFG BC GF ∠=∠∠=∠,,//,∴AGF ∆∽ABC ∆,∴BC GF AC AF =,∴BCGFEC DF =. 又60=DF 厘米6.0=米,12=GF 厘米12.0=米,30=EC 米,∴6=BC 米.即电线杆的高为6米. 例7.分析 根据物理学定律:光线的入射角等于反射角,这样,BCA ∆与MNA ∆的相似关系就明确了.解 因为MAN BAC AN MN CA BC ∠=∠⊥⊥,,,所以BCA ∆∽MNA ∆.所以AC AN BC MN ::=,即5.1:206.1:=MN .所以3.215.1206.1≈÷⨯=MN (m ). 说明 这是一个实际应用问题,方法看似简单,其实很巧妙,省却了使用仪器测量的麻烦.例8.分析 这两个图如果不是画在格点中,那是无法判断的.实际上格点无形中给图形增添了条件——长度和角度.解 在格点中BC AB EF DE ⊥⊥,,所以︒=∠=∠90B E , 又4,2,2,1====AB BC DE EF .所以21==BC EF AB DE .所以DEF ∆∽ABC ∆. 说明 遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件,勿使遗漏.例9.解 (1)因为7128cm 4cm ,7117.5cm 2.5cm ,7124.5cm 3.5cm ==''==''==''A C CA C B BC B A AB ,所以ABC ∆∽C B A '''∆; (2)因为︒=∠-∠-︒=∠41180B A C ,两个三角形中只有A A '∠=∠,另外两个角都不相等,所以ABC ∆与C B A '''∆不相似;(3)因为12,=''='''∠=∠C B BC B A AB B B ,所以ABC ∆相似于C B A '''∆. 例10.解 (1)ADE ∆∽ABC ∆ 两角相等; (2)ADE ∆∽ACB ∆ 两角相等;(3)CDE ∆∽CAB ∆ 两角相等; (4)EAB ∆∽ECD ∆ 两边成比例夹角相等; (5)ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等; (6)ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等.例11.分析 有一个角是65°的等腰三角形,它的底角是72°,而BD 是底角的平分线,∴︒=∠36CBD ,则可推出ABC ∆∽BCD ∆,进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系.证明 AC AB A =︒=∠,36 ,∴︒=∠=∠72C ABC . 又BD 平分ABC ∠,∴︒=∠=∠36CBD ABD .∴BC BD AD ==,且ABC ∆∽BCD ∆,∴BC CD AB BC ::=,∴CD AB BC ⋅=2,∴CD AC AD ⋅=2.说明 (1)有两个角对应相等,那么这两个三角形相似,这是判断两个三角形相似最常用的方法,并且根据相等的角的位置,可以确定哪些边是对应边.(2)要说明线段的乘积式cd ab =,或平方式bc a =2,一般都是证明比例式,b dc a =,或caa b =,再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式.例12分析 由ABC ∆的三边长可以判断出ABC ∆为直角三角形,又因为ABC ∆∽C B A '''∆,所以C B A '''∆也是直角三角形,那么由C B A '''∆的最大边长为26,可以求出相似比,从而求出C B A '''∆的两条直角边长,再求得C B A '''∆的面积.解 设ABC ∆的三边依次为,13,12,5===AB AC BC ,则222AC BC AB += ,∴︒=∠90C .又∵ABC ∆∽C B A '''∆,∴︒=∠='∠90C C .212613==''=''=''B A AB C A AC C B BC , 又12,5==AC BC ,∴24,10=''=''C A C B . ∴12010242121=⨯⨯=''⨯''=C B C A S .例13.分析 判断方法是否可行,应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高.按这种测量方法,过F作AB FG ⊥于G ,交CE 于H ,可知AGF ∆∽EHF ∆,且GF 、HF 、EH 可求,这样可求得AG ,故旗杆AB 可求.解 这种测量方法可行.理由如下:设旗杆高x AB =.过F 作AB FG ⊥于G ,交CE 于H (如图).所以AGF ∆∽EHF ∆.因为3,30327,5.1==+==HF GF FD ,所以5.1,25.15.3-==-=x AG EH . 由AGF ∆∽EHF ∆,得HF GF EH AG =,即33025.1=-x ,所以205.1=-x ,解得5.21=x (米) 所以旗杆的高为21.5米.说明 在具体测量时,方法要现实、切实可行. 例14. 解:︒=∠=∠∠=∠90,ECD ABC EDC ADB ,∴ABD ∆∽ECD ∆,1006050120,=⨯=⨯==CD EC BD AB CD BD EC AB (米),答:两岸间AB 大致相距100米. 例15. 答案:1506=AB 米,30750=BD 步,(注意:AK FEFHKE AK CD DG KC ⋅=⋅=,.) 例16. 分析:要求BC 的长,需画图来解,因AB 、AC 都大于高AD ,那么有两种情况存在,即点D 在BC 上或点D 在BC 的延长线上,所以求BC 的长时要分两种情况讨论.求正方形的面积,关键是求正方形的边长. 解:(1)如上图,由AD ⊥BC ,由勾股定理得BD =3,DC =1,所以BC =BD +DC =3+1=4. 如下图,同理可求BD =3,DC =1,所以BC =BD -CD =3-1=2.(2)如下图,由题目中的图知BC =4,且162)32(2222=+=+AC AB ,162=BC ,∴222BC AC AB =+.所以△ABC 是直角三角形.由AE G F 是正方形,设G F =x ,则FC =2-x , ∵G F ∥AB ,∴AC FC AB GF =,即2232xx -=. ∴33-=x ,∴3612)33(2-=-=AEG F S 正方形. 如下图,当BC =2,AC =2,△ABC 是等腰三角形,作CP ⊥AB 于P ,∴AP =321=AB ,在Rt △APC 中,由勾股定理得CP =1, ∵GH ∥AB ,∴△C GH ∽△CBA ,∵x x x -=132,32132+=x ∴121348156)32132(2-=+=GFEH S 正方形 因此,正方形的面积为3612-或121348156-.。
初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)
经典练习题相似三角形之公保含烟创作一.解答题(共30小题)1.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证:△ADE∽△EFC.2.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF与AB的延长线交于点G.(1)求证:△CDF∽△BGF;(2)当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD的长.3.如图,点D,E在BC上,且FD∥AB,FE∥AC.求证:△ABC∽△FDE.4.如图,已知E是矩形ABCD的边CD上一点,BF⊥AE于F,试说明:△ABF∽△EAD.5.已知:如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D在一条直线上,衔接BE,CD,M,N 辨别为BE,CD的中点.(1)求证:①BE=CD;②△AMN是等腰三角形;(2)在图①的根底上,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°,其他条件不变,失掉图②所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立;(3)在(2)的条件下,请你在图②中延长ED交线段BC于点P.求证:△PBD∽△AMN.6.如图,E是▱ABCD的边BA延长线上一点,衔接EC,交AD于点F.在不添加辅佐线的情况下,请你写出图中所有的相似三角形,并任选一对相似三角形给予证明.7.如图,在4×3的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.(1)填空:∠ABC=_________ °,BC= _________ ;(2)判断△ABC与△DEC是否相似,并证明你的结论.8.如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.某一时刻,动点M从A点动身沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动;同时,动点N从D点动身沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动,问:(1)经过多少时间,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的?(2)是否存在时刻t,使以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似?若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.9.如图,在梯形ABCD中,若AB∥DC,AD=BC,对角线BD、AC 把梯形分红了四个小三角形.(1)列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有能够情况,并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少;(注意:全等看成相似的特例)(2)请你任选一组相似三角形,并给出证明.10.如图△ABC中,D为AC上一点,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE⊥BD于E,衔接AE.(1)写出图中所有相等的线段,并加以证明;(2)图中有无相似三角形?若有,请写出一对;若没有,请说明理由;(3)求△BEC与△BEA的面积之比.11.如图,在△ABC中,AB=AC=a,M为底边BC上的任意一点,过点M辨别作AB、AC的平行线交AC于P,交AB于Q.(1)求四边形AQMP的周长;(2)写出图中的两对相似三角形(不需证明);(3)M位于BC的什么位置时,四边形AQMP为菱形并证明你的结论.12.已知:P是正方形ABCD的边BC上的点,且BP=3PC,M是CD 的中点,试说明:△ADM∽△MCP.13.如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,AB=BC=8,CD=10.(1)求梯形ABCD的面积S;(2)动点P从点B动身,以1cm/s的速度,沿B⇒A⇒D⇒C方向,向点C运动;动点Q从点C动身,以1cm/s的速度,沿C⇒D⇒A方向,向点A运动,过点Q作QE⊥BC于点E.若P、Q两点同时动身,当其中一点抵达目的地时整个运动随之完毕,设运动时间为t秒.问:①当点P在B⇒A上运动时,是否存在这样的t,使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由;②在运动进程中,是否存在这样的t,使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似?若存在,请求出所有契合条件的t的值;若不存在,请说明理由;③在运动进程中,是否存在这样的t,使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形?若存在,请求出所有契合条件的t 的值;若不存在,请说明理由.14.已知矩形ABCD,长BC=12cm,宽AB=8cm,P、Q辨别是AB、BC上运动的两点.若P自点A动身,以1cm/s的速度沿AB方向运动,同时,Q自点B动身以2cm/s的速度沿BC方向运动,问经过几秒,以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似?15.如图,在△ABC中,AB=10cm,BC=20cm,点P从点A开端沿AB边向B点以2cm/s的速度移动,点Q从点B开端沿BC边向点C 以4cm/s的速度移动,如果P、Q辨别从A、B同时动身,问经过几秒钟,△PBQ与△ABC相似.16.如图,∠ACB=∠ADC=90°,AC=,AD=2.问当AB的长为多少时,这两个直角三角形相似.17.已知,如图,在边长为a的正方形ABCD中,M是AD的中点,能否在边AB上找一点N(不含A、B),使得△CDM与△MAN相似?若能,请给出证明,若不能,请说明理由.18.如图在△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,AC=6cm,点Q从B动身,沿BC方向以2cm/s的速度移动,点P从C动身,沿CA方向以1cm/s的速度移动.若Q、P辨别同时从B、C动身,试探究经过多少秒后,以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似?19.如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB上确定点P的位置,使得以P,A,D为顶点的三角形与以P,B,C为顶点的三角形相似.20.△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF的顶点E位于边BC的中点上.(1)如图1,设DE与AB交于点M,EF与AC交于点N,求证:△BEM∽△CNE;(2)如图2,将△DEF绕点E旋转,使得DE与BA的延长线交于点M,EF与AC交于点N,于是,除(1)中的一对相似三角形外,能否再找出一对相似三角形并证明你的结论.21.如图,在矩形ABCD中,AB=15cm,BC=10cm,点P沿AB边从点A开端向B以2cm/s的速度移动;点Q沿DA边从点D开端向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时动身,用t(秒)暗示移动的时间,那么当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似.22.如图,路灯(P点)距空中8米,身高1.6米的小明从距路灯的底部(O点)20米的A点,沿OA所在的直线行走14米到B点时,身影的长度是变长了还是变短了?变长或变短了多少米?23.阳黑暗媚的一天,数学兴趣小组的同学们去丈量一棵树的高度(这棵树底部可以抵达,顶部不容易抵达),他们带了以下丈量工具:皮尺,标杆,一副三角尺,小平面镜.请你在他们提供的丈量工具中选出所需工具,设计一种丈量方案.(1)所需的丈量工具是:_________ ;(2)请在下图中画出丈量示意图;(3)设树高AB的长度为x,请用所测数据(用小写字母暗示)求出x.24.问题布景在某次活动课中,甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体停止了丈量.下面是他们通过丈量失掉的一些信息:甲组:如图1,测得一根直立于平地,长为80cm的竹竿的影长为60cm.乙组:如图2,测得学校旗杆的影长为900cm.丙组:如图3,测得校园景灯(灯罩视为球体,灯杆为圆柱体,其粗细疏忽不计)的高度为200cm,影长为156cm.任务要求:(1)请依据甲、乙两组失掉的信息计算出学校旗杆的高度;(2)如图3,设太阳光线NH与⊙O相切于点M.请依据甲、丙两组失掉的信息,求景灯灯罩的半径.(友情提示:如图3,景灯的影长等于线段NG的影长;需要时可采用等式1562+2082=2602)25.阳光通过窗口照射到室内,在空中上留下2.7m宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口下的墙脚间隔EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离空中的高BC.26.如图,李华晚上在路灯下散步.已知李华的身高AB=h,灯柱的高OP=O′P′=l,两灯柱之间的间隔OO′=m.(1)若李华距灯柱OP的水平间隔OA=a,求他影子AC的长;(2)若李华在两路灯之间行走,则他前后的两个影子的长度之和(DA+AC)是否是定值请说明理由;(3)若李华在点A朝着影子(如图箭头)的方向以v1匀速行走,试求他影子的顶端在空中上移动的速度v2.27.如图①,辨别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积辨别用S1,S2,S3暗示,则不难证明S1=S2+S3.(1)如图②,辨别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积辨别用S1,S2,S3暗示,那么S1,S2,S3之间有什么关系;(不用证明)(2)如图③,辨别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积辨别用S1、S2、S3暗示,请你确定S1,S2,S3之间的关系并加以证明;(3)若辨别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形,其面积辨别用S1,S2,S3暗示,为使S1,S2,S3之间仍具有与(2)相同的关系,所作三角形应满足什么条件证明你的结论;(4)类比(1),(2),(3)的结论,请你总结出一个更具一般意义的结论.28.已知:如图,△ABC∽△ADE,AB=15,AC=9,BD=5.求AE.29.已知:如图Rt△ABC∽Rt△BDC,若AB=3,AC=4.(1)求BD、CD的长;(2)过B作BE⊥DC于E,求BE的长.30.(1)已知,且3x+4z﹣2y=40,求x,y,z的值;(2)已知:两相似三角形对应高的比为3:10,且这两个三角形的周长差为560cm,求它们的周长.参考谜底与试题解析一.解答题(共30小题)1.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证:△ADE∽△EFC.考点:相似三角形的判定;平行线的性质.菁优网版权所有专题:证明题.剖析:依据平行线的性质可知∠AED=∠C,∠A=∠FEC,依据相似三角形的判定定理可知△ADE∽△EFC.解答:证明:∵DE∥BC,2.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF与AB的延长线交于点G.(1)求证:△CDF∽△BGF;(2)当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD的长.3.如图,点D,E在BC上,且FD∥AB,FE∥AC.求证:△ABC∽△FDE.4.如图,已知E是矩形ABCD的边CD上一点,BF⊥AE于F,试说明:△ABF∽△EAD.5.已知:如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D在一条直线上,衔接BE,CD,M,N 辨别为BE,CD的中点.(1)求证:①BE=CD;②△AMN是等腰三角形;(2)在图①的根底上,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°,其他条件不变,失掉图②所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立;(3)在(2)的条件下,请你在图②中延长ED交线段BC于点P.求证:△PBD∽△AMN.6.如图,E是▱ABCD的边BA延长线上一点,衔接EC,交AD于点F.在不添加辅佐线的情况下,请你写出图中所有的相似三角形,并任选一对相似三角形给予证明.考点:相似三角形的判定;平行四边形的性质.菁优网版权所有专题:开放型.剖析:依据平行线的性质和两角对应相等的两个三角形相似这一判定定理可证明图中相似三角形有:△AEF∽△BEC;△AEF∽△DCF;△BEC∽△DCF.解答:解:相似三角形有△AEF∽△BEC;△AEF∽△DCF;△BEC∽△DCF.(3分)如:△AEF∽△BEC.在▱ABCD中,AD∥BC,∴∠1=∠B,∠2=∠3.(6分)∴△AEF∽△BEC.(7分)点评:考察了平行线的性质及相似三角形的判定定理.7.如图,在4×3的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.(1)填空:∠ABC=135°°,BC=;(2)判断△ABC与△DEC是否相似,并证明你的结论.考点:相似三角形的判定;正方形的性质.菁优网版权所有专题:证明题;网格型.剖析:(1)察看可得:BF=FC=2,故∠FBC=45°;则∠ABC=135°,BC==2;(2)察看可得:BC、EC的长为2、,可得,再依据其夹角相等;故△ABC∽△DEC.解答:解:(1)∠ABC=135°,BC=;(2)相似;∵BC=,EC==;∴,;∴;又∠ABC=∠CED=135°,∴△ABC∽△DEC.点评:解答本题要充沛应用正方形的特殊性质.注意在正方形中的特殊三角形的应用,搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系,可有助于提高解题速度和准确率.8.如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.某一时刻,动点M从A点动身沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动;同时,动点N从D点动身沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动,问:(1)经过多少时间,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的?(2)是否存在时刻t,使以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似?若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.考点:相似三角形的判定;一元二次方程的应用;分式方程的应用;正方形的性质.菁优网版权所有专题:动点型.剖析:(1)关于动点问题,可设时间为x,依据速度暗示出所涉及到的线段的长度,找到相等关系,列方程求解即可,如本题中应用,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的作为相等关系;(2)先假定相似,应用相似中的比例线段列出方程,有解的且契合题意的t值即可说明存在,反之则不存在.解答:解:(1)设经过x秒后,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的,则有:(6﹣2x)x=×3×6,即x2﹣3x+2=0,(2分)解方程,得x1=1,x2=2,(3分)经检验,可知x1=1,x2=2契合题意,所以经过1秒或2秒后,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的.(4分)(2)假定经过t秒时,以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似,由矩形ABCD,可得∠CDA=∠MAN=90°,因此有或(5分)即①,或②(6分)解①,得t=;解②,得t=(7分)经检验,t=或t=都契合题意,所以动点M,N同时动身后,经过秒或秒时,以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似.(8分)点评:主要考察了相似三角形的判定,正方形的性质和一元二次方程的运用以及解分式方程.要掌握正方形和相似三角形的性质,才会灵敏的运用.注意:一般关于动点问题,可设时间为x,依据速度暗示出所涉及到的线段的长度,找到相等关系,列方程求解即可.9.如图,在梯形ABCD中,若AB∥DC,AD=BC,对角线BD、AC 把梯形分红了四个小三角形.(1)列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有能够情况,并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少;(注意:全等看成相似的特例)(2)请你任选一组相似三角形,并给出证明.考点:相似三角形的判定;概率公式.菁优网版权所有专题:开放型.剖析:(1)采用罗列法,罗列出所有能够呈现的情况,再找出相似三角形即可求得;①与③,②与④相似;(2)应用相似三角形的判定定理即可证得.解答:解:(1)任选两个三角形的所有能够情况如下六种情况:①②,①③,①④,②③,②④,③④(2分)其中有两组(①③,②④)是相似的.∴选取到的二个三角形是相似三角形的概率是P=(4分)证明:(2)选择①、③证明.在△AOB与△COD中,∵AB∥CD,∴∠CDB=∠DBA,∠DCA=∠CAB,∴△AOB∽△COD(8分)选择②、④证明.∵四边形ABCD是等腰梯形,∴∠DAB=∠CBA,∴在△DAB与△CBA中有AD=BC,∠DAB=∠CAB,AB=AB,∴△DAB≌△CBA,(6分)∴∠ADO=∠BCO.又∠DOA=∠COB,∴△DOA∽△COB(8分).点评:此题考察概率的求法:如果一个事件有n种能够,而且这些事件的能够性相同,其中事件A呈现m 种后果,那么事件A的概率P(A)=,即相似三角形的证明.还考察了相似三角形的判定.10.附加题:如图△ABC中,D为AC上一点,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE⊥BD于E,衔接AE.(1)写出图中所有相等的线段,并加以证明;(2)图中有无相似三角形?若有,请写出一对;若没有,请说明理由;(3)求△BEC与△BEA的面积之比.可得CE=,故AE=.∠ECD=30°.在Rt△AEF中,AE=,∠AED=∠DAE=30°,∴sin∠AEF=,∴AF=AE•sin∠AEF=.∴.点评:本题主要考察了直角三角形的性质,相似三角形的判定及三角形面积的求法等,范围较广.11.如图,在△ABC中,AB=AC=a,M为底边BC上的任意一点,过点M辨别作AB、AC的平行线交AC于P,交AB于Q.(1)求四边形AQMP的周长;(2)写出图中的两对相似三角形(不需证明);(3)M位于BC的什么位置时,四边形AQMP为菱形并证明你的结论.考点:相似三角形的判定;菱形的判定.菁优网版权所有专题:综合题.剖析:(1)依据平行四边形的性质可失掉对应角相等对应边相等,从而不难求得其周长;(2)因为∠B=∠C=∠PMC=∠QMB,所以△PMC∽△QMB∽△ABC;(3)依据中位线的性质及菱形的判定不难求得四边形AQMP为菱形.解答:解:(1)∵AB∥MP,QM∥AC,∴四边形APMQ是平行四边形,∠B=∠PMC,∠C=∠QMB.∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠PMC=∠QMB.∴BQ=QM,PM=PC.∴四边形AQMP的周长=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a.(2)∵PM∥AB,∴△PCM∽△ACB,∵QM∥AC,∴△BMQ∽△BCA;(3)当点M中BC的中点时,四边形APMQ是菱形,∵点M是BC的中点,AB∥MP,QM∥AC,∴QM,PM是三角形ABC的中位线.∵AB=AC,∴QM=PM=AB=AC.又由(1)知四边形APMQ是平行四边形,∴平行四边形APMQ是菱形.点评:此题主要考察了平行四边形的判定和性质,中位线的性质,菱形的判定等知识点的综合运用.12.已知:P是正方形ABCD的边BC上的点,且BP=3PC,M是CD 的中点,试说明:△ADM∽△MCP.考点:相似三角形的判定;正方形的性质.菁优网版权所有专题:证明题.剖析:欲证△ADM∽△MCP,通过察看发现两个三角形已经具有一组角对应相等,即∠D=∠C,此时,再求夹此对应角的两边对应成比例即可.解答:证明:∵正方形ABCD,M为CD中点,∴CM=MD=AD.∵BP=3PC,∴PC=BC=AD=CM.∴.∵∠PCM=∠ADM=90°,∴△MCP∽△ADM.点评:本题考察相似三角形的判定.识别两三角形相似,除了要掌握定义外,还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角,可应用数形结合思想依据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比.本题中把若支线段的长度用同一线段来暗示是求线段是否成比例时常常使用的办法.13.如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,AB=BC=8,CD=10.(1)求梯形ABCD的面积S;(2)动点P从点B动身,以1cm/s的速度,沿B⇒A⇒D⇒C方向,向点C运动;动点Q从点C动身,以1cm/s的速度,沿C⇒D⇒A方向,向点A运动,过点Q作QE⊥BC于点E.若P、Q两点同时动身,当其中一点抵达目的地时整个运动随之完毕,设运动时间为t秒.问:①当点P在B⇒A上运动时,是否存在这样的t,使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由;②在运动进程中,是否存在这样的t,使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似?若存在,请求出所有契合条件的t的值;若不存在,请说明理由;③在运动进程中,是否存在这样的t,使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形?若存在,请求出所有契合条件的t 的值;若不存在,请说明理由.∴CH=8﹣2=6.∵CD=10,∴DH2+CH2=CD2∴∠DHC=90°.∠B=∠DHC=90°.∴梯形ABCD是直角梯形.∴SABCD=(AD+BC)AB=×(2+8)×8=40.(2)①∵BP=CQ=t,∴AP=8﹣t,DQ=10﹣t,∵AP+AD+DQ=PB+BC+CQ,∴8﹣t+2+10﹣t=t+8+t.∴t=3<8.∴当t=3秒时,PQ将梯形ABCD周长平分.②第一种情况:0<t≤8若△PAD∽△QEC则∠ADP=∠C∴tan∠ADP=tan∠C==∴=,∴t=若△PAD∽△CEQ则∠APD=∠C∴tan∠APD=tan∠C==,∴=∴t=第二种情况:8<t≤10,P、A、D三点不能组成三角形;第三种情况:10<t≤12△ADP为钝角三角形与Rt△CQE不相似;∴t=或t=时,△PAD与△CQE相似.③第一种情况:当0≤t≤8时.过Q点作QE⊥BC,QH⊥AB,垂足为E、H.∵AP=8﹣t,AD=2,∴PD==.∵CE=t,QE=t,∴QH=BE=8﹣t,BH=QE=t.∴PH=t﹣t=t.∴PQ==,DQ=10﹣t.Ⅰ:DQ=DP,10﹣t=,解得t=8秒.Ⅱ:DQ=PQ,10﹣t=,化简得:3t2﹣52t+180=0解得:t=,t=>8(分歧题意舍去)∴t=第二种情况:8≤t≤10时.DP=DQ=10﹣t.∴当8≤t<10时,以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立.第三种情况:10<t≤12时.DP=DQ=t﹣10.∴当10<t≤12时,以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立.综上所述,t=或8≤t<10或10<t≤12时,以DQ为腰的等腰△DPQ成立.点评:本题主要考察了梯形的性质以及相似三角形的判定和性质等知识点,要注意(2)中要依据P,Q的分歧位置,停止分类讨论,不要漏解.14.已知矩形ABCD,长BC=12cm,宽AB=8cm,P、Q辨别是AB、BC上运动的两点.若P自点A动身,以1cm/s的速度沿AB方向运动,同时,Q自点B动身以2cm/s的速度沿BC方向运动,问经过几秒,以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似?考点:相似三角形的判定;矩形的性质.菁优网版权所有专题:几何动点问题;分类讨论.剖析:要使以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似,则要分两两种情况停止剖析.辨别是△PBQ∽△BDC 或△QBP∽△BDC,从而解得所需的时间.解答:解:设经x秒后,△PBQ∽△BCD,由于∠PBQ=∠BCD=90°,(1)当∠1=∠2时,有:,即;(2)当∠1=∠3时,有:,即,∴经过秒或2秒,△PBQ∽△BCD.点评:此题考察了相似三角形的判定及矩形的性质等知识点的综合运用.15.如图,在△ABC中,AB=10cm,BC=20cm,点P从点A开端沿AB边向B点以2cm/s的速度移动,点Q从点B开端沿BC边向点C以4cm/s的速度移动,如果P、Q辨别从A、B同时动身,问经过几秒钟,△PBQ与△ABC相似.考点:相似三角形的判定;一元一次方程的应用.菁优网版权所有专题:动点型.剖析:设经过t秒后,△PBQ与△ABC相似,依据路程公式可得AP=2t,BQ=4t,BP=10﹣2t,然后应用相似三角形的性质对应边的比相等列出方程求解即可.解答:解:设经过秒后t秒后,△PBQ与△ABC相似,则有AP=2t,BQ=4t,BP=10﹣2t,当△PBQ∽△ABC时,有BP:AB=BQ:BC,即(10﹣2t):10=4t:20,解得t=2.5(s)(6分)当△QBP∽△ABC时,有BQ:AB=BP:BC,即4t:10=(10﹣2t):20,解得t=1.所以,经过2.5s或1s时,△PBQ与△ABC相似(10分).解法二:设ts后,△PBQ与△ABC相似,则有,AP=2t,BQ=4t,BP=10﹣2t分两种情况:(1)当BP与AB对应时,有=,即=(2)当BP与BC对应时,有=,即=,解得t=1s所以经过1s或2.5s时,以P、B、Q三点为顶点的三角形与△ABC相似.点评:本题综合了路程问题和三角形的问题,所以学生平时学过的知识要会融合起来.16.如图,∠ACB=∠ADC=90°,AC=,AD=2.问当AB的长为多少时,这两个直角三角形相似.考点:相似三角形的判定.菁优网版权所有专题:分类讨论.剖析:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.在Rt△ABC和Rt△ACD,直角边的对应需分情况讨论.解答:解:∵AC=,AD=2,∴CD==.要使这两个直角三角形相似,有两种情况:(1)当Rt△ABC∽Rt△ACD时,有=,∴AB==3;(2)当Rt△ACB∽Rt△CDA时,有=,∴AB==3.故当AB的长为3或3时,这两个直角三角形相似.点评:本题考察相似三角形的判定.识别两三角形相似,除了要掌握定义外,还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角,可应用数形结合思想依据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比.17.已知,如图,在边长为a的正方形ABCD中,M是AD的中点,能否在边AB上找一点N(不含A、B),使得△CDM与△MAN相似?若能,请给出证明,若不能,请说明理由.考点:相似三角形的判定;正方形的性质.菁优网版权所有专题:探究型;分类讨论.剖析:两个三角形都是直角三角形,还只需满足一对角对应相等或夹直角的两边对应成比例即可说明两个三角形相似.若DM与AM对应,则△CDM与△MAN全等,N与B重合,分歧题意;若DM与AN对应,则CD:AM=DM:AN,得AN=a,从而确定N的位置.解答:证明:分两种情况讨论:①若△CDM∽△MAN,则=.∵边长为a,M是AD的中点,∴AN=a.②若△CDM∽△NAM,则.∵边长为a,M是AD的中点,∴AN=a,即N点与B重合,分歧题意.所以,能在边AB上找一点N(不含A、B),使得△CDM与△MAN相似.当AN=a时,N点的位置满足条件.点评:此题考察相似三角形的判定.因不明确对应关系,所以需分类讨论.18.如图在△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,AC=6cm,点Q从B动身,沿BC方向以2cm/s的速度移动,点P从C动身,沿CA方向以1cm/s的速度移动.若Q、P辨别同时从B、C动身,试探究经过多少秒后,以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似?考点:相似三角形的判定.菁优网版权所有专题:综合题;动点型.剖析:此题要依据相似三角形的性质设出未知数,即经过x秒后,两三角形相似,然后依据速度公式求出他们移动的长度,再依据相似三角形的性质列出分式方程求解.解答:解:设经过x秒后,两三角形相似,则CQ=(8﹣2x)cm,CP=xcm,(1分)∵∠C=∠C=90°,∴当或时,两三角形相似.(3分)(1)事先,,∴x=;(4分)(2)事先,,∴x=.(5分)所以,经过秒或秒后,两三角形相似.(6分)点评:本题综合考察了路程问题,相似三角形的性质及一元一次方程的解法.19.如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB上确定点P的位置,使得以P,A,D为顶点的三角形与以P,B,C为顶点的三角形相似.考点:相似三角形的判定;梯形.菁优网版权所有专题:分类讨论.剖析:此题考察了相似三角形的判定与性质,解题时要认真审题,选择适宜的判定办法.解题时要注意一题多解的情况,要注意别漏解.解答:解:(1)若点A,P,D辨别与点B,C,P对应,即△APD∽△BCP,∴=,∴=,∴AP2﹣7AP+6=0,∴AP=1或AP=6,检测:当AP=1时,由BC=3,AD=2,BP=6,∴=,又∵∠A=∠B=90°,∴△APD∽△BCP.当AP=6时,由BC=3,AD=2,BP=1,又∵∠A=∠B=90°,∴△APD∽△BCP.(2)若点A,P,D辨别与点B,P,C对应,即△APD∽△BPC.∴=,∴=,∴AP=.检验:当AP=时,由BP=,AD=2,BC=3,∴=,又∵∠A=∠B=90°,∴△APD∽△BPC.因此,点P的位置有三处,即在线段AB间隔点A的1、、6处.点评:此题考察了相似三角形的判定和性质;判定为:①有两个对应角相等的三角形相似;②有两个对应边的比相等,且其夹角相等,则两个三角形相似;③三组对应边的比相等,则两个三角形相似;性质为相似三角形的对应角相等,对应边的比相等.20.△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF的顶点E位于边BC的中点上.(1)如图1,设DE与AB交于点M,EF与AC交于点N,求证:△BEM∽△CNE;(2)如图2,将△DEF绕点E旋转,使得DE与BA的延长线交于点M,EF与AC交于点N,于是,除(1)中的一对相似三角形外,能否再找出一对相似三角形并证明你的结论.考点:相似三角形的判定;等腰直角三角形.菁优网版权所有专题:证明题;开放型.剖析:因为此题是特殊的三角形,所以首先要剖析等腰直角三角形的性质:可得锐角为45°,依据角之间的关系,应用如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似可判定三角形相似;再依据性质失掉比例线段,有夹角相等证得△ECN∽△MEN.解答:证明:(1)∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠MBE=45°,∴∠BME+∠MEB=135°又∵△DEF是等腰直角三角形,∴∠DEF=45°∴∠NEC+∠MEB=135°∴∠BEM=∠NEC,(4分)而∠MBE=∠ECN=45°,∴△BEM∽△CNE.(6分)(2)与(1)同理△BEM∽△CNE,∴.(8分)又∵BE=EC,∴,(10分)则△ECN与△MEN中有,又∠ECN=∠MEN=45°,∴△ECN∽△MEN.(12分)点评:此题考察了相似三角形的判定和性质:①如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似;②如果两个三角形的两条对应边的比相等,且夹角相等,那么这两个三角形相似;③如果两个三角形的两个对应角相等,那么这两个三角形相似.21.如图,在矩形ABCD中,AB=15cm,BC=10cm,点P沿AB边从点A开端向B以2cm/s的速度移动;点Q沿DA边从点D开端向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时动身,用t(秒)暗示移动的时间,那么当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似.考点:相似三角形的判定;矩形的性质.菁优网版权所有专题:几何动点问题;分类讨论.剖析:若以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似,有四种情况:①△APQ∽△BAC,此时得AQ:BC=AP:AB;②△APQ∽△BCA,此时得AQ:AB=AP:BC;③△AQP∽△BAC,此时得AQ:BA=AP:BC;④△AQP∽△BCA,此时得AQ:BC=AP:BA.可依据上述四种情况所失掉的分歧的对应成比例线段求出t的值.解答:解:以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似,所以△ABC∽△PAQ或△ABC∽△QAP,①当△ABC∽△PAQ时,,所以,解得:t=6;②当△ABC∽△QAP时,,所以,解得:t=;③当△AQP∽△BAC时,=,即=,所以t=;④当△AQP∽△BCA时,=,即=,所以t=30(舍去).故当t=6或t=时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似.点评:此题主要考察了矩形的性质及相似三角形的判定和性质;当相似三角形的对应角和对应线段不明确时,应思索到所有能够的情况,分类讨论,以免漏解.22.如图,路灯(P点)距空中8米,身高1.6米的小明从距路灯的底部(O点)20米的A点,沿OA所在的直线行走14米到B点时,身影的长度是变长了还是变短了?变长或变短了多少米?考点:相似三角形的应用.菁优网版权所有专题:应用题.。
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相似三角形一.解答题(共30小题)1.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证:△ADE∽△EFC.2.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF与AB的延长线交于点G.(1)求证:△CDF∽△BGF;(2)当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD的长.3.如图,点D,E在BC上,且FD∥AB,FE∥AC.求证:△ABC∽△FDE.4.如图,已知E是矩形ABCD的边CD上一点,BF⊥AE于F,试说明:△ABF∽△EAD.5.已知:如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D在一条直线上,连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点.(1)求证:①BE=CD;②△AMN是等腰三角形;(2)在图①的基础上,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立;(3)在(2)的条件下,请你在图②中延长ED交线段BC于点P.求证:△PBD∽△AMN.6.如图,E是▱ABCD的边BA延长线上一点,连接EC,交AD于点F.在不添加辅助线的情况下,请你写出图中所有的相似三角形,并任选一对相似三角形给予证明.7.如图,在4×3的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.(1)填空:∠ABC= _________ °,BC= _________ ;(2)判断△ABC与△DEC是否相似,并证明你的结论.8.如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.某一时刻,动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动;同时,动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动,问:(1)经过多少时间,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的?(2)是否存在时刻t,使以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似?若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.9.如图,在梯形ABCD中,若AB∥DC,AD=BC,对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形.(1)列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况,并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少;(注意:全等看成相似的特例)(2)请你任选一组相似三角形,并给出证明.10.如图△ABC中,D为AC上一点,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE⊥BD于E,连接AE.(1)写出图中所有相等的线段,并加以证明;(2)图中有无相似三角形?若有,请写出一对;若没有,请说明理由;(3)求△BEC与△BEA的面积之比.11.如图,在△ABC中,AB=AC=a,M为底边BC上的任意一点,过点M分别作AB、AC 的平行线交AC于P,交AB于Q.(1)求四边形AQMP的周长;(2)写出图中的两对相似三角形(不需证明);(3)M位于BC的什么位置时,四边形AQMP为菱形并证明你的结论.12.已知:P是正方形ABCD的边BC上的点,且BP=3PC,M是CD的中点,试说明:△ADM∽△MCP.13.如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,AB=BC=8,CD=10.(1)求梯形ABCD的面积S;(2)动点P从点B出发,以1cm/s的速度,沿B⇒A⇒D⇒C方向,向点C运动;动点Q从点C出发,以1cm/s的速度,沿C⇒D⇒A方向,向点A运动,过点Q作QE⊥BC 于点E.若P、Q两点同时出发,当其中一点到达目的地时整个运动随之结束,设运动时间为t秒.问:①当点P在B⇒A上运动时,是否存在这样的t,使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由;②在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由;③在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ 为一腰的等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由.14.已知矩形ABCD,长BC=12cm,宽AB=8cm,P、Q分别是AB、BC上运动的两点.若P自点A出发,以1cm/s的速度沿AB方向运动,同时,Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动,问经过几秒,以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似?15.如图,在△ABC中,AB=10cm,BC=20cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s 的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动,如果P、Q分别从A、B同时出发,问经过几秒钟,△PBQ与△ABC相似.16.如图,∠ACB=∠ADC=90°,AC=,AD=2.问当AB的长为多少时,这两个直角三角形相似.17.已知,如图,在边长为a的正方形ABCD中,M是AD的中点,能否在边AB上找一点N(不含A、B),使得△CDM与△MAN相似?若能,请给出证明,若不能,请说明理由.18.如图在△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,AC=6cm,点Q从B出发,沿BC方向以2cm/s 的速度移动,点P从C出发,沿CA方向以1cm/s的速度移动.若Q、P分别同时从B、C出发,试探究经过多少秒后,以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似?19.如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB上确定点P的位置,使得以P,A,D为顶点的三角形与以P,B,C为顶点的三角形相似.20.△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF的顶点E位于边BC的中点上.(1)如图1,设DE与AB交于点M,EF与AC交于点N,求证:△BEM ∽△CNE;(2)如图2,将△DEF绕点E旋转,使得DE与BA的延长线交于点M,EF与AC交于点N,于是,除(1)中的一对相似三角形外,能否再找出一对相似三角形并证明你的结论.21.如图,在矩形ABCD中,AB=15cm,BC=10cm,点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s 的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(秒)表示移动的时间,那么当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似.22.如图,路灯(P点)距地面8米,身高1.6米的小明从距路灯的底部(O点)20米的A点,沿OA所在的直线行走14米到B点时,身影的长度是变长了还是变短了?变长或变短了多少米?23.阳光明媚的一天,数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度(这棵树底部可以到达,顶部不易到达),他们带了以下测量工具:皮尺,标杆,一副三角尺,小平面镜.请你在他们提供的测量工具中选出所需工具,设计一种测量方案.(1)所需的测量工具是:_________ ;(2)请在下图中画出测量示意图;(3)设树高AB的长度为x,请用所测数据(用小写字母表示)求出x.24.问题背景在某次活动课中,甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息:甲组:如图1,测得一根直立于平地,长为80cm的竹竿的影长为60cm.乙组:如图2,测得学校旗杆的影长为900cm.丙组:如图3,测得校园景灯(灯罩视为球体,灯杆为圆柱体其粗细忽略不计)的高度为200cm,影长为156cm.任务要求:(1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度;(2)如图3,设太阳光线NH与⊙O相切于点M.请根据甲、丙两组得到的信息,求景灯灯罩的半径.(友情提示:如图3,景灯的影长等于线段NG的影长;需要时可采用等式1562+2082=2602)25.阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m ,求窗口底边离地面的高BC.26.如图,李华晚上在路灯下散步.已知李华的身高AB=h,灯柱的高OP=O′P′=l,两灯柱之间的距离OO′=m.(1)若李华距灯柱OP的水平距离OA=a,求他影子AC的长;(2)若李华在两路灯之间行走,则他前后的两个影子的长度之和(DA+AC)是否是定值请说明理由;(3)若李华在点A朝着影子(如图箭头)的方向以v1匀速行走,试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2.27.如图①,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S1,S2,S3表示,则不难证明S1=S2+S3.(1)如图②,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S1,S2,S3表示,那么S1,S2,S3之间有什么关系;(不必证明)(2)如图③,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用S1、S2、S3表示,请你确定S1,S2,S3之间的关系并加以证明;(3)若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形,其面积分别用S1,S2,S3表示,为使S1,S2,S3之间仍具有与(2)相同的关系,所作三角形应满足什么条件证明你的结论;(4)类比(1),(2),(3)的结论,请你总结出一个更具一般意义的结论.28.已知:如图,△ABC∽△ADE,AB=15,AC=9,BD=5.求AE.29.已知:如图Rt△ABC∽Rt△BDC,若AB=3,AC=4.(1)求BD、CD的长;(2)过B作BE⊥DC于E,求BE的长.30.(1)已知,且3x+4z﹣2y=40,求x,y,z的值;(2)已知:两相似三角形对应高的比为3:10,且这两个三角形的周长差为560cm,求它们的周长.一.解答题(共30小题)1.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证:△ADE∽△EFC.解答:证明:∵DE∥BC,∴DE∥FC,∴∠AED=∠C.又∵EF∥AB,∴EF∥AD,∴∠A=∠FEC.∴△ADE∽△EFC.点评:本题考查的是平行线的性质及相似三角形的判定定理.2.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF与AB的延长线交于点G.(1)求证:△CDF∽△BGF;(2)当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD的长.解答:(1)证明:∵梯形ABCD,AB∥CD,∴∠CDF=∠FGB,∠DCF=∠GBF,(2分)∴△CDF∽△BGF.(3分)(2)解:由(1)△CDF∽△BGF,又F是BC的中点,BF=FC,∴△CDF≌△BGF,∴DF=GF,CD=BG,(6分)∵AB∥DC∥EF,F为BC中点,∴E为AD中点,∴EF是△DAG的中位线,∴2EF=AG=AB+BG.∴BG=2EF﹣AB=2×4﹣6=2,∴CD=BG=2cm.(8分)3.如图,点D,E在BC上,且FD∥AB,FE∥AC.求证:△ABC∽△FDE.解答:证明:∵FD∥AB,FE∥AC,∴∠B=∠FDE,∠C=∠FED,∴△ABC∽△FDE.4.如图,已知E是矩形ABCD的边CD上一点,BF⊥AE于F,试说明:△ABF∽△EAD.解答:证明:∵矩形ABCD中,AB∥CD,∠D=90°,(2分)∴∠BAF=∠AED.(4分)∵BF⊥AE,∴∠AFB=90°.∴∠AFB=∠D.(5分)∴△ABF∽△EAD.(6分)点评:考查相似三角形的判定定理,关键是找准对应的角.5.已知:如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D在一条直线上,连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点.(1)求证:①BE=CD;②△AMN是等腰三角形;(2)在图①的基础上,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立;(3)在(2)的条件下,请你在图②中延长ED交线段BC于点P.求证:△PBD∽△AMN.解答:(1)证明:①∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAE=∠CAD,∵AB=AC,AD=AE,∴△ABE≌△ACD,∴BE=CD.②由△ABE≌△ACD,得∠ABE=∠ACD,BE=CD,∵M、N分别是BE,CD的中点,∴BM=CN.又∵AB=AC,∴△ABM≌△ACN.∴AM=AN,即△AMN为等腰三角形.(2)解:(1)中的两个结论仍然成立.(3)证明:在图②中正确画出线段PD,由(1)同理可证△ABM≌△ACN,∴∠CAN=∠BAM∴∠BAC=∠MAN.又∵∠BAC=∠DAE,∴∠MAN=∠DAE=∠BAC.∴△AMN,△ADE和△ABC都是顶角相等的等腰三角形.∴△PBD和△AMN都为顶角相等的等腰三角形,∴∠PBD=∠AMN,∠PDB=∠ANM,∴△PBD∽△AMN.6.如图,E是▱ABCD的边BA延长线上一点,连接EC,交AD于点F.在不添加辅助线的情况下,请你写出图中所有的相似三角形,并任选一对相似三角形给予证明.分析:根据平行线的性质和两角对应相等的两个三角形相似这一判定定理可证明图中相似三角形有:△AEF∽△BEC;△AEF∽△DCF;△BEC∽△DCF.解答:解:相似三角形有△AEF∽△BEC;△AEF∽△DCF;△BEC∽△DCF.(3分)如:△AEF∽△BEC.在▱ABCD中,AD∥BC,∴∠1=∠B,∠2=∠3.(6分)∴△AEF∽△BEC.(7分)7.如图,在4×3的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.(1)填空:∠ABC= 135°°,BC= ;(2)判断△ABC与△DEC是否相似,并证明你的结论.解答:解:(1)∠ABC=135°,BC=;(2)相似;∵BC=,EC==;∴,;∴;又∠ABC=∠CED=135°,∴△ABC∽△DEC.8.如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.某一时刻,动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动;同时,动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s 的速度向A点匀速运动,问:(1)经过多少时间,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的?(2)是否存在时刻t,使以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似?若存在,求t 的值;若不存在,请说明理由解:(1)设经过x秒后,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的,则有:(6﹣2x)x=×3×6,即x2﹣3x+2=0,(2分)解方程,得x1=1,x2=2,(3分)经检验,可知x1=1,x2=2符合题意,所以经过1秒或2秒后,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的.(4分)(2)假设经过t秒时,以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似,由矩形ABCD,可得∠CDA=∠MAN=90°,因此有或(5分)即①,或②(6分)解①,得t=;解②,得t=(7分)经检验,t=或t=都符合题意,所以动点M,N同时出发后,经过秒或秒时,以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似.(8分)9.如图,在梯形ABCD中,若AB∥DC,AD=BC,对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形.(1)列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况,并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少;(注意:全等看成相似的特例)(2)请你任选一组相似三角形,并给出证明.解答:解:(1)任选两个三角形的所有可能情况如下六种情况:①②,①③,①④,②③,②④,③④(2分)其中有两组(①③,②④)是相似的.∴选取到的二个三角形是相似三角形的概率是P=(4分)证明:(2)选择①、③证明.在△AOB与△COD中,∵AB∥CD,∴∠CDB=∠DBA,∠DCA=∠CAB,∴△AOB∽△COD(8分)选择②、④证明.∵四边形ABCD是等腰梯形,∴∠DAB=∠CBA,∴在△DAB与△CBA中有AD=BC,∠DAB=∠CAB,AB=AB,∴△DAB≌△CBA,(6分)∴∠ADO=∠BCO.又∠DOA=∠COB,∴△DOA∽△COB(8分).点评:此题考查概率的求法:如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=,即相似三角形的证明.还考查了相似三角形的判定.10.附加题:如图△ABC中,D为AC上一点,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE ⊥BD于E,连接AE.(1)写出图中所有相等的线段,并加以证明;(2)图中有无相似三角形?若有,请写出一对;若没有,请说明理由;(3)求△BEC与△BEA的面积之比.解答:解:(1)AD=DE,AE=CE.∵CE⊥BD,∠BDC=60°,∴在Rt△CED中,∠ECD=30°.∴CD=2ED.∵CD=2DA,∴AD=DE,∴∠DAE=∠DEA=30°=∠ECD.∴AE=CE.(2)图中有三角形相似,△ADE∽△AEC;∵∠CAE=∠CAE,∠ADE=∠AEC,∴△ADE∽△AEC;(3)作AF⊥BD的延长线于F,设AD=DE=x,在Rt△CED中,可得CE=,故AE=.∠ECD=30°.在Rt△AEF中,AE=,∠AED=∠DAE=30°,∴sin∠AEF=,∴AF=AE•sin∠AEF=.∴.点评:本题主要考查了直角三角形的性质,相似三角形的判定及三角形面积的求法等,范围较广.11.如图,在△ABC中,AB=AC=a,M为底边BC上的任意一点,过点M分别作AB、AC 的平行线交AC于P,交AB于Q.(1)求四边形AQMP的周长;(2)写出图中的两对相似三角形(不需证明);(3)M位于BC的什么位置时,四边形AQMP为菱形并证明你的结论.解答:解:(1)∵AB∥MP,QM∥AC,∴四边形APMQ是平行四边形,∠B=∠PMC,∠C=∠QMB.∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠PMC=∠QMB.∴BQ=QM,PM=PC.∴四边形AQMP的周长=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a.(2)∵PM∥AB,∴△PCM∽△ACB,∵QM∥AC,∴△BMQ∽△BCA;(3)当点M中BC的中点时,四边形APMQ是菱形,∵点M是BC的中点,AB∥MP,QM∥AC,∴QM,PM是三角形ABC的中位线.∵AB=AC,∴QM=PM=AB=AC.又由(1)知四边形APMQ是平行四边形,∴平行四边形APMQ是菱形.12.已知:P是正方形ABCD的边BC上的点,且BP=3PC,M是CD的中点,试说明:△ADM∽△MCP.解答:证明:∵正方形ABCD,M为CD中点,∴CM=MD=AD.∵BP=3PC,∴PC=BC=AD=CM.∴.∵∠PCM=∠ADM=90°,∴△MCP∽△ADM.13.如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,AB=BC=8,CD=10.(1)求梯形ABCD的面积S;(2)动点P从点B出发,以1cm/s的速度,沿B⇒A⇒D⇒C方向,向点C运动;动点Q从点C出发,以1cm/s的速度,沿C⇒D⇒A方向,向点A运动,过点Q作QE⊥BC 于点E.若P、Q两点同时出发,当其中一点到达目的地时整个运动随之结束,设运动时间为t秒.问:①当点P在B⇒A上运动时,是否存在这样的t,使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由;②在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由;③在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ 为一腰的等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由.解答:解:(1)过D作DH∥AB交BC于H点,∵AD∥BH,DH∥AB,∴四边形ABHD是平行四边形.∴DH=AB=8;BH=AD=2.∴CH=8﹣2=6.∵CD=10,∴DH2+CH2=CD2∴∠DHC=90°.∠B=∠DHC=90°.∴梯形ABCD是直角梯形.∴S ABCD=(AD+BC)AB=×(2+8)×8=40.(2)①∵BP=CQ=t,∴AP=8﹣t,DQ=10﹣t,∵AP+AD+DQ=PB+BC+CQ,∴8﹣t+2+10﹣t=t+8+t.∴t=3<8.∴当t=3秒时,PQ将梯形ABCD周长平分.②第一种情况:0<t≤8若△PAD∽△QEC则∠ADP=∠C∴tan∠ADP=tan∠C==∴=,∴t=若△PAD∽△CEQ则∠APD=∠C ∴tan∠APD=tan∠C==,∴=∴t=第二种情况:8<t≤10,P、A、D三点不能组成三角形;第三种情况:10<t≤12△ADP为钝角三角形与Rt△CQE不相似;∴t=或t=时,△PAD与△CQE相似.③第一种情况:当0≤t≤8时.过Q点作QE⊥BC,QH⊥AB,垂足为E、H.∵AP=8﹣t,AD=2,∴PD==.∵CE=t,QE=t,∴QH=BE=8﹣t,BH=QE=t.∴PH=t﹣t=t.∴PQ==,DQ=10﹣t.Ⅰ:DQ=DP,10﹣t=,解得t=8秒.Ⅱ:DQ=PQ,10﹣t=,化简得:3t2﹣52t+180=0解得:t=,t=>8(不合题意舍去)∴t=第二种情况:8≤t≤10时.DP=DQ=10﹣t.∴当8≤t<10时,以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立.第三种情况:10<t≤12时.DP=DQ=t﹣10.∴当10<t≤12时,以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立.综上所述,t=或8≤t<10或10<t≤12时,以DQ为腰的等腰△DPQ成立.14.已知矩形ABCD,长BC=12cm,宽AB=8cm,P、Q分别是AB、BC上运动的两点.若P自点A出发,以1cm/s的速度沿AB方向运动,同时,Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动,问经过几秒,以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似?解答:解:设经x秒后,△PBQ∽△BCD,由于∠PBQ=∠BCD=90°,(1)当∠1=∠2时,有:,即;(2)当∠1=∠3时,有:,即,∴经过秒或2秒,△PBQ ∽△BCD .15.如图,在△ABC 中,AB=10cm ,BC=20cm ,点P 从点A 开始沿AB 边向B 点以2cm/s的速度移动,点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以4cm/s 的速度移动,如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发,问经过几秒钟,△PBQ 与△ABC 相似.解答: 设经过秒后t 秒后,△PBQ 与△ABC 相似,则有AP=2t ,BQ=4t ,BP=10﹣2t , 当△PBQ ∽△ABC 时,有BP :AB=BQ :BC , 即(10﹣2t ):10=4t :20,解得t=2.5(s )(6分)当△QBP ∽△ABC 时,有BQ :AB=BP :BC , 即4t :10=(10﹣2t ):20,解得t=1.所以,经过2.5s 或1s 时,△PBQ 与△ABC 相似(10分).解法二:设ts 后,△PBQ 与△ABC 相似,则有,AP=2t ,BQ=4t ,BP=10﹣2t 分两种情况:(1)当BP 与AB 对应时,有=,即=,解得t=2.5s (2)当BP 与BC 对应时,有=,即=,解得t=1s所以经过1s 或2.5s 时,以P 、B 、Q 三点为顶点的三角形与△ABC 相似. 16.如图,∠ACB=∠ADC=90°,AC=,AD=2.问当AB 的长为多少时,这两个直角三角形相似. 解答: 解:∵AC=,AD=2,∴CD==.要使这两个直角三角形相似,有两种情况:1) 当Rt △ABC ∽Rt △ACD 时, 2) 有=,∴AB==3;3) 当Rt △ACB ∽Rt △CDA 时, 4) 有=,∴AB==3.故当AB 的长为3或3时,这两个直角三角形相似.17.已知,如图,在边长为a 的正方形ABCD 中,M 是AD 的中点,能否在边AB 上找一点N (不含A 、B ),使得△CDM 与△MAN 相似?若能,请给出证明,若不能,请说明理由.解答: 证明:分两种情况讨论:①若△CDM ∽△MAN ,则=.∵边长为a ,M 是AD 的中点, ∴AN=a .②若△CDM ∽△NAM ,则.∵边长为a ,M 是AD 的中点,∴AN=a ,即N 点与B 重合,不合题意.所以,能在边AB 上找一点N (不含A 、B ),使得△CDM 与△MAN 相似.当AN=a 时,N 点的位置满足条件.18.如图在△ABC 中,∠C=90°,BC=8cm ,AC=6cm ,点Q 从B 出发,沿BC 方向以2cm/s 的速度移动,点P 从C 出发,沿CA 方向以1cm/s 的速度移动.若Q 、P 分别同时从B 、C 出发,试探究经过多少秒后,以点C 、P 、Q 为顶点的三角形与△CBA 相似?解答: 解:设经过x 秒后,两三角形相似,则CQ=(8﹣2x )cm ,CP=xcm ,(1分)∵∠C=∠C=90°,∴当或时,两三角形相似.(3分)(1)当时,,∴x=;(4分) (2)当时,,∴x=.(5分)所以,经过秒或秒后,两三角形相似.(6分)点评: 本题综合考查了路程问题,相似三角形的性质及一元一次方程的解法.19.如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB 上确定点P的位置,使得以P,A,D为顶点的三角形与以P,B,C为顶点的三角形相似.解答:解:(1)若点A,P,D分别与点B,C,P对应,即△APD∽△BCP,∴=,∴=,∴AP2﹣7AP+6=0,∴AP=1或AP=6,检测:当AP=1时,由BC=3,AD=2,BP=6,∴=,又∵∠A=∠B=90°,∴△APD∽△BCP.当AP=6时,由BC=3,AD=2,BP=1,又∵∠A=∠B=90°,∴△APD∽△BCP.(2)若点A,P,D分别与点B,P,C对应,即△APD∽△BPC.∴=,∴=,∴AP=.检验:当AP=时,由BP=,AD=2,BC=3,∴=,又∵∠A=∠B=90°,∴△APD∽△BPC.因此,点P的位置有三处,即在线段AB距离点A的1、、6处.20.△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF的顶点E位于边BC的中点上.(1)如图1,设DE与AB交于点M,EF与AC交于点N,求证:△BEM∽△CNE;(2)如图2,将△DEF绕点E旋转,使得DE与BA的延长线交于点M,EF与AC交于点N,于是,除(1)中的一对相似三角形外,能否再找出一对相似三角形并证明你的结论.解答:证明:(1)∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠MBE=45°,∴∠BME+∠MEB=135°又∵△DEF是等腰直角三角形,∴∠DEF=45°∴∠NEC+∠MEB=135°∴∠BEM=∠NEC,(4分)而∠MBE=∠ECN=45°,∴△BEM∽△CNE.(6分)(2)与(1)同理△BEM∽△CNE,∴.(8分)又∵BE=EC,∴,(10分)则△ECN与△MEN中有,又∠ECN=∠MEN=45°,∴△ECN∽△MEN.(12分)21.如图,在矩形ABCD中,AB=15cm,BC=10cm,点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s 的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(秒)表示移动的时间,那么当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似.解答:解:以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似,所以△ABC∽△PAQ或△ABC∽△QAP,①当△ABC∽△PAQ时,,所以,解得:t=6;②当△ABC∽△QAP时,,所以,解得:t=;③当△AQP∽△BAC时,=,即=,所以t=;④当△AQP∽△BCA时,=,即=,所以t=30(舍去).故当t=6或t=时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似.22.如图,路灯(P点)距地面8米,身高1.6米的小明从距路灯的底部(O点)20米的A点,沿OA所在的直线行走14米到B点时,身影的长度是变长了还是变短了?变长或变短了多少米?解答:解:∵∠MAC=∠MOP=90°,∠AMC=∠OMP,∴△MAC∽△MOP.∴,即,解得,MA=5米;同理,由△NBD∽△NOP,可求得NB=1.5米,∴小明的身影变短了5﹣1.5=3.5米.23.阳光明媚的一天,数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度(这棵树底部可以到达,顶部不易到达),他们带了以下测量工具:皮尺,标杆,一副三角尺,小平面镜.请你在他们提供的测量工具中选出所需工具,设计一种测量方案.(1)所需的测量工具是:;(2)请在下图中画出测量示意图;(3)设树高AB的长度为x,请用所测数据(用小写字母表示)求出x.解答:解:(1)皮尺,标杆;(2)测量示意图如图所示;(3)如图,测得标杆DE=a,树和标杆的影长分别为AC=b,EF=c,∵△DEF∽△BAC,∴,∴,∴.(7分)24.问题背景在某次活动课中,甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息:甲组:如图1,测得一根直立于平地,长为80cm的竹竿的影长为60cm.乙组:如图2,测得学校旗杆的影长为900cm.丙组:如图3,测得校园景灯(灯罩视为球体,灯杆为圆柱体,其粗细忽略不计)的高度为200cm,影长为156cm.任务要求:(1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度;(2)如图3,设太阳光线NH与⊙O相切于点M.请根据甲、丙两组得到的信息,求景灯灯罩的半径.(友情提示:如图3,景灯的影长等于线段NG的影长;需要时可采用等式1562+2082=2602)解答:解:(1)由题意可知:∠BAC=∠EDF=90°,∠BCA=∠EFD.∴△ABC∽△DEF.∴,即,(2分)∴DE=1200(cm).所以,学校旗杆的高度是12m.(3分)(2)解法一:与①类似得:,即,∴GN=208.(4分)在Rt△NGH中,根据勾股定理得:NH2=1562+2082=2602,∴NH=260.(5分)设⊙O的半径为rcm,连接OM,∵NH切⊙O于M,∴OM⊥NH.(6分)则∠OMN=∠HGN=90°,又∵∠ONM=∠HNG,∴△OMN∽△HGN,∴(7分),又ON=OK+KN=OK+(GN﹣GK)=r+8,∴,解得:r=12.∴景灯灯罩的半径是12cm.(8分)解法二:与①类似得:,即,∴GN=208.(4分)设⊙O的半径为rcm,连接OM,∵NH切⊙O于M,∴OM⊥NH.(5分)则∠OMN=∠HGN=90°,又∵∠ONM=∠HNG,∴△OMN∽△HGN.∴,即,(6分)∴MN=r,又∵ON=OK+KN=OK+(GN﹣GK)=r+8.(7分)在Rt△OMN中,根据勾股定理得:r2+(r)2=(r+8)2即r2﹣9r﹣36=0,解得:r1=12,r2=﹣3(不合题意,舍去),∴景灯灯罩的半径是12cm.(8分)25.(2007•白银)阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC.解答:解:∵AE∥BD,∴△ECA∽△DCB,∴.∵EC=8.7m,ED=2.7m,∴CD=6m.∵AB=1.8m,∴AC=BC+1.8m,∴,∴BC=4,即窗口底边离地面的高为4m.点评:此题基本上难度不大,利用相似比即可求出窗口底边离地面的高.26.如图,李华晚上在路灯下散步.已知李华的身高AB=h,灯柱的高OP=O′P′=l,两灯柱之间的距离OO′=m.(1)若李华距灯柱OP的水平距离OA=a,求他影子AC的长;(2)若李华在两路灯之间行走,则他前后的两个影子的长度之和(DA+AC)是否是定值请说明理由;(3)若李华在点A朝着影子(如图箭头)的方向以v1匀速行走,试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2.解答:解:(1)由已知:AB∥OP,∴△ABC∽△OPC.∵,∵OP=l,AB=h,OA=a,∴,∴解得:.(2)∵AB∥OP,∴△ABC∽△OPC,∴,即,即.∴.同理可得:,∴=是定值.(3)根据题意设李华由A到A',身高为A'B',A'C'代表其影长(如图).由(1)可知,即,∴,同理可得:,∴,由等比性质得:,当李华从A走到A'的时候,他的影子也从C移到C',因此速度与路程成正比∴,所以人影顶端在地面上移动的速度为.27.如图①,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S1,S2,S3表示,则不难证明S1=S2+S3.(1)如图②,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S1,S2,S3表示,那么S1,S2,S3之间有什么关系;(不必证明)(2)如图③,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用S1、S2、S3表示,请你确定S1,S2,S3之间的关系并加以证明;(3)若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形,其面积分别用S1,S2,S3表示,为使S1,S2,S3之间仍具有与(2)相同的关系,所作三角形应满足什么条件证明你的结论;(4)类比(1),(2),(3)的结论,请你总结出一个更具一般意义的结论.解:设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c,则c2=a2+b2(1)S1=S2+S3;(2)S1=S2+S3.证明如下:显然,S1=,S2=,S3=∴S2+S3==S1;(3)当所作的三个三角形相似时,S1=S2+S3.证明如下:∵所作三个三角形相似∴∴=1 ∴S1=S2+S3;(4)分别以直角三角形ABC三边为一边向外作相似图形,其面积分别用S1、S 2、S3表示,则S1=S2+S3.28.已知:如图,△ABC∽△ADE,AB=15,AC=9,BD=5.求AE.解答:解:∵△ABC∽△ADE,∴AE:AC=AD:AB.∵AE:AC=(AB+BD):AB,∴AE:9=(15+5):15.∴AE=12.29.已知:如图Rt△ABC∽Rt△BDC,若AB=3,AC=4.(1)求BD、CD的长;(2)过B作BE⊥DC于E,求BE的长.解答:解:(1)Rt△ABC中,根据勾股定理得:BC==5,∵Rt△ABC∽Rt△BDC,∴==,==,∴BD=,CD=;(2)在Rt△BDC中,S△BDC=BE•CD=BD•BC,∴BE===3.30.(1)已知,且3x+4z﹣2y=40,求x,y,z的值;(2)已知:两相似三角形对应高的比为3:10,且这两个三角形的周长差为560cm,求它们的周长.解:(1)设=k,那么x=2k,y=3k,z=5k,由于3x+4z﹣2y=40,∴6k+20k﹣6k=40,∴k=2,∴x=4,y=6,z=10.(2)设一个三角形周长为Ccm,则另一个三角形周长为(C+560)cm,则,∴C=240,C+560=800,即它们的周长分别为240cm,800cm。