湖南省湘潭市2019-2020学年中考数学五月模拟试卷含解析

湖南省湘潭市2019-2020学年中考数学五月模拟试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．若
，则
的值为（ ）
A ．﹣6
B ．6
C ．18
D ．30 2．在实数﹣3 ，0.21，2
π
，18，0.001 ，0.20202中，无理数的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．已知a m =2，a n =3，则a 3m+2n 的值是（ ） A ．24 B ．36
C ．72
D ．6
4．实数2
1
3
-的倒数是（ ） A ．52-
B ．
52
C ．35
-
D ．
35
5．三个等边三角形的摆放位置如图，若∠3＝60°，则∠1＋∠2的度数为（ ）
A ．90°
B ．120°
C ．270°
D ．360°
6．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC=12，AC=5，分别以点A ，B 为圆心，大于线段AB 长度的一半为半径作弧，相交于点E ，F ，过点E ，F 作直线EF ，交AB 于点D ，连接CD ，则△ACD 的周长为（ ）
A ．13
B ．17
C ．18
D ．25
7．已知两组数据，2、3、4和3、4、5，那么下列说法正确的是（ ） A ．中位数不相等，方差不相等 B ．平均数相等，方差不相等 C ．中位数不相等，平均数相等 D ．平均数不相等，方差相等
8．如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧交AC于E点，若∠A=60°，∠B=100°，BC=4，则扇形BDE的面积为何？（）
A．1
3
πB．
2
3
πC．4
9
πD．
5
9
π
9．如图1是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），A为人口，F，G为出口，其中直行道为AB，CG，EF，且AB＝CG＝EF；弯道为以点O为圆心的一段弧，且»BC，»CD，»DE所对的圆心角均为90°．甲、乙两车由A口同时驶入立交桥，均以10m/s的速度行驶，从不同出口驶出，其间两车到点O的距离y（m）与时间x（s）的对应关系如图2所示．结合题目信息，下列说法错误的是（）
A．甲车在立交桥上共行驶8s B．从F口出比从G口出多行驶40m C．甲车从F口出，乙车从G口出D．立交桥总长为150m
10．31-的值是（）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
11．肥皂泡的泡壁厚度大约是0.00000071米，数字0.00000071用科学记数法表示为（）
A．7.1×107B．0.71×10﹣6C．7.1×10﹣7D．71×10﹣8
12．﹣1
8
的相反数是（）
A．8 B．﹣8 C．1
8
D．﹣
1
8
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．如图，在△ABC中，AB=AC，以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连结BD，若∠A=32°，则∠CDB的大小为_____度．
14．函数y=
1
23
x
x
+
+
中，自变量x的取值范围是_____．
15．飞机着陆后滑行的距离y （单位：m ）关于滑行时间t （单位：s ）的函数解析式是y=60t ﹣2
32
t ．在飞机着陆滑行中，最后4s 滑行的距离是_____m ．
16．如图，一根5m 长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A （羊只能在草地上活动），那么小羊A 在草地上的最大活动区域面积是_____平方米．
17．函数y=
1
3
x -+1x -的自变量x 的取值范围是_____． 18．4的算术平方根为______．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）如图1，抛物线y ＝ax 2+（a+2）x+2（a≠0），与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点P （m ，0）（0＜m ＜4），过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，交抛物线于点M ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若PN ：PM ＝1：4，求m 的值；
（3）如图2，在（2）的条件下，设动点P 对应的位置是P 1，将线段OP 1绕点O 逆时针旋转得到OP 2，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接AP 2、BP 2，求AP 2+
23
2
BP 的最小值． 20．（6分）如图，已知()()()3,3,2,1,1,2A B C ------是直角坐标平面上三点.将ABC ∆先向右平移3个单位，再向上平移3个单位，画出平移后的图形111A B C ∆；以点()0,2为位似中心，位似比为2，将111A B C ∆放大，在y 轴右侧画出放大后的图形222A B C ∆；填空：222A B C ∆面积为 .
21．（6分）如图，M是平行四边形ABCD的对角线上的一点，射线AM与BC交于点F，与DC的延长线交于点H．
（1）求证：AM2＝MF.MH
（2）若BC2＝BD．DM，求证：∠AMB＝∠ADC．
22．（8分）图1所示的遮阳伞，伞柄垂直于水平地面，其示意图如图2、当伞收紧时，点P与点A重合；当伞慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到达点B时，伞张得最开、已知伞在撑开的过程中，总有PM=PN=CM=CN=6.0分米，CE=CF=18.0分米，BC=2.0分米、设AP=x分米．（1）求x的取值范围；
（2）若∠CPN=60°，求x的值；
（3）设阳光直射下，伞下的阴影（假定为圆面）面积为y，求y关于x的关系式（结果保留π）．
23．（8分）（1）计算：﹣14+12sin61°+（1
2
）﹣2﹣（π51．
（2）解不等式组
3(1)7
25
1
3
x x
x
x
--≤
⎧
⎪
⎨-
-
⎪⎩p
①
②
，并把它的解集在数轴上表示出来．
24．（10分）有一项工作，由甲、乙合作完成，合作一段时间后，乙改进了技术，提高了工作效率．图①表示甲、乙合作完成的工作量y（件）与工作时间t（时）的函数图象．图②分别表示甲完成的工作量y甲（件）、乙完成的工作量y乙（件）与工作时间t（时）的函数图象．
（1）求甲5时完成的工作量；
（2）求y甲、y乙与t的函数关系式（写出自变量t的取值范围）；
（3）求乙提高工作效率后，再工作几个小时与甲完成的工作量相等？
25．（10分）在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E是边AD上一点，EM⊥EC交AB于点M，点N 在射线MB上，且AE是AM和AN的比例中项．
如图1，求证：
∠ANE＝∠DCE；如图2，当点N在线段MB之间，联结AC，且AC与NE互相垂直，求MN的长；连接AC，如果△AEC与以点E、M、N为顶点所组成的三角形相似，求DE的长．
26．（12分）动画片《小猪佩奇》分靡全球，受到孩子们的喜爱.现有4张《小猪佩奇》角色卡片，分别是A佩奇，B乔治，C佩奇妈妈，D佩奇爸爸（四张卡片除字母和内容外，其余完全相同）.姐弟两人做游戏，他们将这四张卡片混在一起，背面朝上放好.
（1）姐姐从中随机抽取一张卡片，恰好抽到A佩奇的概率为；
（2）若两人分别随机抽取一张卡片（不放回），请用列表或画树状图的分方法求出恰好姐姐抽到A佩奇弟弟抽到B乔治的概率.
27．（12分）如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，弦CD与AB相交于E．
若∠AOD＝45°，求证：CE2ED；（2）若AE＝EO，求tan∠AOD的值．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．B 【解析】 试题分析：∵，即，∴原式
==
=
=
=﹣12+18=1．故选B ．
考点：整式的混合运算—化简求值；整体思想；条件求值． 2．C 【解析】
3，0.21，2
π
，18 0.001 ，0.20202中，
32
π
0.001，共三个．
故选C ． 3．C 【解析】
试题解析：∵a m =2，a n =3， ∴a 3m+2n =a 3m •a 2n =（a m ）3•（a n ）2 =23×32 =8×9 =1． 故选C. 4．D 【解析】 因为21
3-＝5
3
，
所以
2
1
3
的倒数是
3
5
.
故选D.
5．B
【解析】
【分析】
先根据图中是三个等边三角形可知三角形各内角等于60°，用∠1，∠2，∠3表示出△ABC各角的度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】
∵图中是三个等边三角形，∠3=60°，
∴∠ABC=180°-60°-60°=60°，∠ACB=180°-60°-∠2=120°-∠2，
∠BAC=180°-60°-∠1=120°-∠1，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴60°+（120°-∠2）+（120°-∠1）=180°，
∴∠1+∠2=120°．
故选B.
【点睛】
考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形各内角均等于60°是解答此题的关键．
6．C
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=5，根据勾股定理求得AB=13.根据题意可知，EF为线段AB
的垂直平分线，在Rt△ABC中，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得CD=AD=1
2
AB，所以
△ACD的周长为AC+CD+AD=AC+AB=5+13=18.故选C.
7．D
【解析】
【分析】
分别利用平均数以及方差和中位数的定义分析，进而求出答案．【详解】
2、3、4的平均数为：1
3
（2+3+4）=3，中位数是3，方差为：
1
3
[（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣4）2]=
2
3
；
3、4、5的平均数为：1
3
（3+4+5）=4，中位数是4，方差为：
1
3
[（3﹣4）2+（4﹣4）2+（5﹣4）2]=
2
3
；
故中位数不相等，方差相等．故选：D．
本题考查了平均数、中位数、方差的意义，解答本题的关键是熟练掌握这三种数的计算方法. 8．C 【解析】
分析：求出扇形的圆心角以及半径即可解决问题； 详解：∵∠A=60°，∠B=100°， ∴∠C=180°﹣60°﹣100°=20°， ∵DE=DC ， ∴∠C=∠DEC=20°， ∴∠BDE=∠C+∠DEC=40°，
∴S 扇形DBE =24024=3609
ππ⋅⋅．
故选C ．
点睛：本题考查扇形的面积公式、三角形内角和定理等知识，解题的关键是记住扇形的面积公式：
S=2
360
n r π⋅⋅．
9．C 【解析】
分析：结合2个图象分析即可.
详解：A.根据图2甲的图象可知甲车在立交桥上共行驶时间为：538s +=，故正确. B.3段弧的长度都是：()105320,m ⨯-=从F 口出比从G 口出多行驶40m ，正确. C.分析图2可知甲车从G 口出，乙车从F 口出，故错误. D.立交桥总长为：1033203150.m ⨯⨯+⨯=故正确. 故选C.
点睛：考查图象问题，观察图象，读懂图象是解题的关键. 10．B 【解析】 【分析】
直接利用立方根的定义化简得出答案． 【详解】 因为（-1）3=-1，
﹣1．
故选：B ．
此题主要考查了立方根，正确把握立方根的定义是解题关键．,
11．C
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
【详解】
0.00000071的小数点向或移动7位得到7.1，
所以0.00000071用科学记数法表示为7.1×10﹣7，
故选C.
【点睛】
本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．C
【解析】
互为相反数的两个数是指只有符号不同的两个数，所以
1
8
的相反数是
1
8
，
故选C．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．1
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理在△ABC中可求得∠ACB=∠ABC=74°，根据等腰三角形的
性质以及三角形外角的性质在△BCD中可求得∠CDB=∠CBD=1
2
∠ACB=1°．
【详解】
∵AB=AC，∠A=32°，∴∠ABC=∠ACB=74°，又∵BC=DC，
∴∠CDB=∠CBD=1
2
∠ACB=1°，
故答案为1．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和
定理的应用． 14．x≠﹣32
． 【解析】 【分析】
该函数是分式，分式有意义的条件是分母不等于1，故分母x ﹣1≠1，解得x 的范围． 【详解】
解：根据分式有意义的条件得：2x+3≠1 解得：32
x ≠-． 故答案为32
x ≠-． 【点睛】
本题考查了函数自变量取值范围的求法．要使得本题函数式子有意义，必须满足分母不等于1． 15．24 【解析】 【分析】
先利用二次函数的性质求出飞机滑行20s 停止，此时滑行距离为600m ，然后再将t=20-4=16代入求得16s 时滑行的距离，即可求出最后4s 滑行的距离. 【详解】 y=60t ﹣
2
3t 2
=32-(t-20)2+600，即飞机着陆后滑行20s 时停止，滑行距离为600m ，
当t=20-4=16时，y=576， 600-576=24，
即最后4s 滑行的距离是24m ， 故答案为24. 【点睛】
本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，熟练应用二次函数的性质解决问题. 16．
【解析】
试题分析：根据题意可知小羊的最大活动区域为：半径为5，圆心角度数为90°的扇形和半径为1，圆心角为60°的扇形，则902560177
S 36036012
πππ⨯⨯⨯⨯=
+=．
点睛：本题主要考查的就是扇形的面积计算公式，属于简单题型．本题要特别注意的就是在拐角的位置时所构成的扇形的圆心角度数和半径，能够画出图形是解决这个问题的关键．在求扇形的面积时，我们一定要将圆心角代入进行计算，如果题目中出现的是圆周角，则我们需要求出圆心角的度数，然后再进行计算．
17．x≥1且x≠3
【解析】
【分析】
根据二次根式的有意义和分式有意义的条件，列出不等式求解即可．
【详解】
根据二次根式和分式有意义的条件可得：
1030,x x -≥⎧⎨-≠⎩
解得：1x ≥且 3.x ≠
故答案为：1x ≥且 3.x ≠
【点睛】
考查自变量的取值范围，掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键.
18
【解析】
【分析】
=2，再求2的算术平方根即可．
【详解】
=2，
【点睛】
本题考查了算术平方根,属于简单题,熟悉算数平方根的概念是解题关键.
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（1）213222x x -
++；（2）m ＝3；（3
【解析】
【分析】
（1）本题需先根据图象过A 点，代入即可求出解析式；（2）由△OAB ∽△PAN 可用m 表示出PN ，且可表示出PM ，由条件可得到关于m 的方程，则可求得m 的值；（3）在y 轴上取一点Q ，使2O 3O 2
Q P =，可证的△P 2OB ∽△QOP 2，则可求得Q 点坐标，则可把AP 2+32
BP 2转换为AP 2+QP 2，利用三角形三边关系可知当A 、P 2、Q 三点在一条线上时，有最小值，则可求出答案.
【详解】
解：（1）∵A （4，0）在抛物线上，
∴0＝16a+4（a+2）+2，解得a ＝﹣12， ∴抛物线的解析式为y ＝213222x
x -
++； （2）∵21
3222
y x x =++－ ∴令x ＝0可得y ＝2，
∴OB ＝2，
∵OP ＝m ，
∴AP ＝4﹣m ，
∵PM ⊥x 轴，
∴△OAB ∽△PAN ，
∴
OB PN OA PA
=， ∴244m
PN =-， ∴1PN (4m)2=-， ∵M 在抛物线上，
∴PM ＝21
322
m m +－+2， ∵PN ：MN ＝1：3，
∴PN ：PM ＝1：4，
∴2131m m 24(4m)222
-++=⨯⨯-， 解得m ＝3或m ＝4（舍去）；
（3）在y 轴上取一点Q ，使2O 3O 2
Q P =，如图，
由（2）可知P 1（3，0），且OB ＝2，
∴22O 32OP Q OP OB ==，且∠P
2OB ＝∠QOP 2， ∴△P 2OB ∽△QOP 2，
∴22OP 3BP 2
=， ∴当Q （0，92
）时，QP 2＝232BP ， ∴AP 2+32
BP 2＝AP 2+QP 2≥AQ ， ∴当A 、P 2、Q 三点在一条线上时，AP 2+QP 2有最小值，
∵A （4，0），Q （0，
92）， ∴AQ ＝22
942⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝1452， 即AP 2+32BP 2的最小值为1452
【点睛】
本题考查了抛物线解析式的求法，抛物线与相似三角形的问题，坐标系里表示三角形的面积及线段和最小值问题，要求会用字母代替长度，坐标，会对代数式进行合理变形，难度相对较大.
20．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）6.
【解析】
【分析】
（1）分别画出A 、B 、C 三点的对应点即可解决问题；
（2）由（1）得111A B C ∆各顶点的坐标，然后利用位似图形的性质，即可求得222A B C ∆各点的坐标，然后在图中作出位似三角形即可．
（3）求得222A B C ∆所在矩形的面积减去三个三角形的面积即可.
【详解】
（1）如图，111A B C ∆即为所求作；
（2）如图，222A B C ∆即为所求作；
（3）222A B C ∆面积=4×4-12×2×4-12×2×2-12×2×4=6. 【点睛】
本题主要考查了利用平移变换作图、位似作图以及求三角形的面积，作图时要先找到图形的关键点，把这几个关键点按平移的方向和距离确定对应点后，再顺序连接对应点即可得到平移后的图形.
21．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由于AD ∥BC ，AB ∥CD ，通过三角形相似，找到分别于
AM MF ，MH AM 都相等的比DM MB ，把比例式变形为等积式，问题得证．
（2）推出ADM ∆∽BDA ∆，再结合//AB CD ，可证得答案.
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴//AD BC ，//AB CD ， ∴
AM DM MF MB =， DM MH MB AM
=， ∴AM MH MF AM =即2AM MF MH =⋅． （2）∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD BC =，又∵2BC BD DM =⋅，
∴2AD BD DM =⋅即AD DM DB AD
=， 又∵ADM BDA ∠=∠,
∴ADM ∆∽BDA ∆，
∴AMD BAD ∠=∠，
∵//AB CD ，
∴180BAD ADC ∠+∠=o ，
∵180AMB AMD o ∠+∠=，
∴AMB ADC ∠=∠.
【点睛】
本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质.
22．（1）0≤x≤10；（1）x=6；（3）y=﹣9
4
πx1+54πx．
【解析】
【分析】
（1）根据题意，得AC=CN+PN，进一步求得AB的长，即可求得x的取值范围；
（1）根据等边三角形的判定和性质即可求解；
（3）连接MN、EF，分别交AC于B、H．此题根据菱形CMPN的性质求得MB的长，再根据相似三角形的对应边的比相等，求得圆的半径即可．
【详解】
（1）∵BC=1分米，AC=CN+PN=11分米，
∴AB=AC﹣BC=10分米，
∴x的取值范围是：0≤x≤10；
（1）∵CN=PN，∠CPN=60°，
∴△PCN是等边三角形，
∴CP=6分米，
∴AP=AC﹣PC=6分米，
即当∠CPN=60°时，x=6；
（3）连接MN、EF，分别交AC于B、H，
∵PM=PN=CM=CN，
∴四边形PNCM是菱形，
∴MN与PC互相垂直平分，AC是∠ECF的平分线，
PB=PC12x
22
-
==6-
1
x
2
，
在Rt△MBP中，PM=6分米，
∴MB1=PM1﹣PB1=61﹣（6﹣1
2
x）1=6x﹣
1
4
x1．
∵CE=CF，AC是∠ECF的平分线，
∴EH=HF，EF⊥AC，
∵∠ECH=∠MCB，∠EHC=∠MBC=90°，∴△CMB∽△CEH，
∴MB
EH
=
CM
CE
，
∴
2
2
2
6
()
18 MB
EH
=，
∴EH1=9•MB1=9•（6x﹣1
4
x1），
∴y=π•EH1=9π（6x﹣1
4
x1），
即y=﹣9
4
πx1+54πx．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的应用以及菱形的性质和二次函数的应用，难点是第（3）问，熟练运用菱形的性质、相似三角形的性质和二次函数的实际应用．
23．（1）5；（2）﹣2≤x＜﹣1
2
．
【解析】
【分析】
（1）原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用特殊角的三角函数值以及二次根式的乘法计算，第三项利用负整数指数幂法则计算，最后一项利用零指数幂法则计算，然后根据实数的运算法则计算即可得到结果；
（2）先求出两个不等式的解集，再找出解集的公共部分即可．
【详解】
（1）原式
3
12341, =-+⨯+-
1341,
=-++-
=5；
（2）解不等式①得，x≥﹣2，
解不等式②得，
1
2
x<-，
所以不等式组的解集是
1
2
2
x
-≤<-．
用数轴表示为：
【点睛】
本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂，不等式组的解法，是综合题，但难度不大，计算时要注意运算符号的处理以及解集公共部分的确定．
24．（1）1件；（2）y甲=30t（0≤t≤5）；y乙=
()
2002
6080(25)
t t
t t
⎧≤≤
⎨
-<≤
⎩
；（3）
2
3
小时；
【解析】
【分析】
（1）根据图①可得出总工作量为370件，根据图②可得出乙完成了220件，从而可得出甲5小时完成的工作量；（2）设y甲的函数解析式为y=kx+b，将点（0，0），（5，1）代入即可得出y甲与t的函数关系式；设y乙的函数解析式为y=mx（0≤t≤2），y=cx+d（2＜t≤5），将点的坐标代入即可得出函数解析式;（3）联立y甲与改进后y乙的函数解析式即可得出答案．
【详解】
（1）由图①得，总工作量为370件，由图②可得出乙完成了220件，
故甲5时完成的工作量是1．
（2）设y甲的函数解析式为y=kt（k≠0），把点（5，1）代入可得：k=30
故y甲=30t（0≤t≤5）；
乙改进前，甲乙每小时完成50件，所以乙每小时完成20件，
当0≤t≤2时，可得y乙=20t；
当2＜t≤5时，设y=ct+d，将点（2，40），（5，220）代入可得：
240 5220
c d
c d
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得：
60
80 c
d
=
⎧
⎨
=-
⎩
，
故y乙=60t﹣80（2＜t≤5）．
综上可得：y甲=30t（0≤t≤5）；y乙=
()
2002 6080(25)
t t
t t
⎧≤≤
⎨
-<≤
⎩
．
（3）由题意得：
30
6080
y t
y t
=
⎧
⎨
=-
⎩
，
解得：t=8
3
，
故改进后8
3
﹣2=
2
3
小时后乙与甲完成的工作量相等．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用,解题的关键是能读懂函数图象所表示的信息,另外要熟练掌握待定系数法求函数解析式的知识.
25．（1）见解析；（2）49
24
；（1）DE的长分别为
9
2
或1．
【解析】【分析】
（1）由比例中项知AM AE
AE AN
＝，据此可证△AME∽△AEN得∠AEM＝∠ANE，再证∠AEM＝∠DCE
可得答案；
（2）先证∠ANE＝∠EAC，结合∠ANE＝∠DCE得∠DCE＝∠EAC，从而知DE DC
DC AD
＝，据此求得AE
＝8﹣9
2
＝
7
2
，由（1）得∠AEM＝∠DCE，据此知
AM DE
AE DC
＝，求得AM＝
21
8
，由求得
AM AE
AE AN
＝MN
＝49 24
；
（1）分∠ENM＝∠EAC和∠ENM＝∠ECA两种情况分别求解可得．【详解】
解：（1）∵AE是AM和AN的比例中项
∴AM AE AE AN
＝，
∵∠A＝∠A，
∴△AME∽△AEN，
∴∠AEM＝∠ANE，
∵∠D＝90°，
∴∠DCE＋∠DEC＝90°，
∵EM⊥BC，
∴∠AEM＋∠DEC＝90°，
∴∠AEM＝∠DCE，
∴∠ANE＝∠DCE；
（2）∵AC与NE互相垂直，∴∠EAC＋∠AEN＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ANE＋∠AEN＝90°，
∴∠ANE＝∠EAC，
由（1）得∠ANE＝∠DCE，∴∠DCE＝∠EAC，
∴tan∠DCE＝tan∠DAC，
∴DE DC DC AD
＝，
∵DC＝AB＝6，AD＝8，
∴DE＝9
2
，
∴AE＝8﹣9
2
＝
7
2
，
由（1）得∠AEM＝∠DCE，∴tan∠AEM＝tan∠DCE，
∴AM DE AE DC
＝，
∴AM＝21
8
，
∵AM AE AE AN
＝，
∴AN＝14
3
，
∴MN＝49 24
；
（1）∵∠NME＝∠MAE＋∠AEM，∠AEC＝∠D＋∠DCE，又∠MAE＝∠D＝90°，由（1）得∠AEM＝∠DCE，
∴∠AEC＝∠NME，
当△AEC与以点E、M、N为顶点所组成的三角形相似时
①∠ENM＝∠EAC，如图2，
∴∠ANE＝∠EAC，
由（2）得：DE＝9
2
；
②∠ENM＝∠ECA，
如图1，
过点E作EH⊥AC，垂足为点H，
由（1）得∠ANE＝∠DCE，∴∠ECA＝∠DCE，
∴HE＝DE，
又tan∠HAE＝
6
8 EH DC
AH AD
＝＝，
设DE＝1x，则HE＝1x，AH＝4x，AE＝5x，又AE＋DE＝AD，
∴5x＋1x＝8，
解得x＝1，
∴DE＝1x＝1，
综上所述，DE的长分别为9
2
或1．
【点睛】
本题是相似三角形的综合问题，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质、三角函数的应用等知识点．
26．（1）1
4
；（2）
1
12
【解析】
【分析】
（1）直接利用求概率公式计算即可；（2）画树状图（或列表格）列出所有等可能结果，根据概率公式即可解答．
【详解】
（1）1
4
；
（2）方法1：根据题意可画树状图如下：方法2：根据题意可列表格如下：
弟弟
姐姐
A B C D
A （A,B）(A,C) (A,D)
B (B,A) (B,C) (B,D)
C (C,A) (C,B) (C,D)
D (D,A) (D,B) (D,C)
由列表（树状图）可知，总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中姐姐抽到A佩奇，弟弟抽到B乔治的结果有1种：（A，B）.
∴P（姐姐抽到A佩奇，弟弟抽到B乔治）
1 1
2 =
【点睛】
本题考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解决问题用到概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比．
27．（1）见解析；（2）tan∠AOD＝3 4 .
【解析】
【分析】
（1）作DF⊥AB于F，连接OC，则△ODF是等腰直角三角形，得出OC=OD=2DF，由垂径定理得出
∠COE=90°，证明△DEF∽△CEO得出
2
2
ED OC DF
CE DF DF
===，即可得出结论；
（2）由题意得OE=1
2
OA=
1
2
OC，同（1）得△DEF∽△CEO，得出
1
2
EF EO
DF OC
==，设⊙O的半径为
2a（a＞0），则OD=2a，EO=a，设EF=x，则DF=2x，在Rt△ODF中，由勾股定理求出x=3
5
a，得出DF=
6
5
a，
OF=EF+EO=8
5
a，由三角函数定义即可得出结果．
【详解】
（1）证明：作DF⊥AB于F，连接OC，如图所示：
则∠DFE＝90°，
∵∠AOD ＝45°，
∴△ODF 是等腰直角三角形，
∴OC ＝OD DF ，
∵C 是弧AB 的中点，
∴OC ⊥AB ，
∴∠COE ＝90°，
∵∠DEF ＝∠CEO ，
∴△DEF ∽△CEO ，
∴ED OC CE DF ===
∴CE ；
（2）如图所示：
∵AE ＝EO ，
∴OE=12OA=12
OC ， 同（1）得：，△DEF ∽△CEO ， ∴12
EF EO DF OC ==， 设⊙O 的半径为2a （a ＞0），则OD ＝2a ，EO ＝a ，
设EF ＝x ，则DF ＝2x ，
在Rt △ODF 中，由勾股定理得：（2x ）2+（x+a ）2＝（2a ）2，
解得：x ＝
35
a ，或x ＝﹣a （舍去）， ∴DF ＝65a ，OF ＝EF+EO ＝85
a ， ∴DF 3tan AOD OF 4∠==． 【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、垂径定理、三角函数等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质、勾股定理是关键．。