2014-2015年江苏省无锡市惠山区八年级(下)期中数学试卷(解析版)

2014-2015学年江苏省无锡市惠山区八年级（下）期中数学试卷一、选择题（每题3分，共24分．）
1．（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
2．（3分）使分式有意义的x的取值范围是（）
A．x＝2B．x≠2C．x＝﹣2D．x≠﹣2 3．（3分）若中的x和y都扩大到原来的2倍，那么分式的值（）A．缩小为原来的一半B．不变
C．扩大到原来的2倍D．扩大到原来的4倍
4．（3分）顺次连接矩形的四边形中点所得的四边形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形5．（3分）矩形的长为x，宽为y，面积为9，则y与x之间的函数关系式用图象表示大致为（）
A．B．C．D．
6．（3分）等腰三角形的底和腰是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则这个三角形的周长为（）
A．8B．10C．8或10D．不能确定7．（3分）如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：
①四边形CFHE是菱形；
②EC平分∠DCH；
③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；
④当点H与点A重合时，EF＝2．
以上结论中，你认为正确的有（）个．
A．1B．2C．3D．4
8．（3分）如图，OABC是平行四边形，对角线OB在y轴正半轴上，位于第一
象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线和y＝的一支上，分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为M和N，则有以下的结论：①＝；
②阴影部分面积是（k1+k2）；③当∠AOC＝90°时，|k1|＝|k2|；④若OABC
是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．其中正确的结论是（）
A．①②③B．②④C．①③④D．①④
二、填空题（每空2分，共20分）
9．（2分）已知双曲线y＝经过点（﹣1，2），那么k的值等于．10．（2分）若关于x的方程+＝2有增根，则m的值是．11．（2分）下列命题：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②对角线互相平分的四边形是平行四边形；③在四边形ABCD中，AB ＝AD，BC＝DC，那么这个四边形ABCD是平行四边形；④一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形．其中正确的命题是（将命题的序号填上即可）．
12．（2分）若x、y满足﹣＝3，则分式的值为．13．（2分）若▱ABCD中一内角平分线和某边相交把这条边分成1cm、2cm的两
条线段，则▱ABCD的周长是cm．
14．（2分）如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D 出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s 和2cm/s，则最快s后，四边形ABPQ成为矩形．
15．（2分）在函数y＝（k为常数）的图象上有三个点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（，y3），函数值y1，y2，y3的大小为．
16．（2分）对于正数x，规定f（x）＝，例如f（3）＝＝，f（）＝＝，
计算：f（2015）+f（2014）+…+f（1）+f（）+f（）+…f（）．17．（2分）如图，平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A的坐标（3，6），AB ＝6，AD＝3，将矩形向下平移m个单位，使矩形的两个顶点恰好同时落在某个反比例函数的图象上，则m＝．
18．（2分）如图，在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC＝60°，OA＝1．先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2015次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2015的坐标为．
三、解答题（本大题共有8大题，共56分）
19．（8分）计算或化简：
（1）计算：
（2）计算：．
20．（16分）解方程：
（1）﹣＝0
（2）
（3）（2x+1）2﹣5＝0
（4）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0．
21．（5分）老师出了这样一道题：已知m＝2015，求代数式
的值．小明不小心把2015看成了2014，但计算结果却和代入2014计算得出的结果一致，聪明的你，能说明其中的原因吗？试试看！
22．（4分）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于点E．求证：四边形AECD是菱形．
23．（6分）某车队要把4000吨货物运到雅安地震灾区（方案定后，每天的运量不变）．
（1）从运输开始，每天运输的货物吨数n（单位：吨）与运输时间t（单位：天）之间有怎样的函数关系式？
（2）因地震，到灾区的道路受阻，实际每天比原计划少运20%，则推迟1天完成任务，求原计划完成任务的天数．
24．（7分）如图，点P是反比例函数（k1＞0，x＞0）图象上一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、B两点，交反比例函数
（k2＜0且|k2|＜k1）的图象于E、F两点．
（1）图1中，四边形PEOF的面积S1＝（用含k1、k2的式子表示）；（2）图2中，设P点坐标为（2，3）．
①点E的坐标是（，），点F的坐标是（，）（用
含k2的式子表示）；
②若△OEF的面积为，求反比例函数的解析式．
25．（10分）如图①，在矩形ABCD中，将矩形折叠，使B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC或者边CD（含端点）交于F，然后再展开铺平，则以B、E、F为顶点的△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF”一定是一个三角形
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，当它的“折痕△BEF”的顶点E位于AD的中点时，画出这个“折痕△BEF”，并求出点F的坐标；（3）如图③，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”？若存在，说明理由，并求出此时点E的坐标？若不存在，为什么？
2014-2015学年江苏省无锡市惠山区八年级（下）期中数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共24分．）
1．（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A正确；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D错误．
故选：A．
2．（3分）使分式有意义的x的取值范围是（）
A．x＝2B．x≠2C．x＝﹣2D．x≠﹣2
【解答】解：由题意得：2x﹣4≠0，
解得：x≠2，
故选：B．
3．（3分）若中的x和y都扩大到原来的2倍，那么分式的值（）A．缩小为原来的一半B．不变
C．扩大到原来的2倍D．扩大到原来的4倍
【解答】解：中的x和y都扩大到原来的2倍，得
＝2×，
故选：C．
4．（3分）顺次连接矩形的四边形中点所得的四边形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形
【解答】解：连接AC、BD，
在△ABD中，
∵AH＝HD，AE＝EB
∴EH＝BD，
同理FG＝BD，HG＝AC，EF＝AC，
又∵在矩形ABCD中，AC＝BD，
∴EH＝HG＝GF＝FE，
∴四边形EFGH为菱形．
故选：C．
5．（3分）矩形的长为x，宽为y，面积为9，则y与x之间的函数关系式用图象表示大致为（）
A．B．C．D．
【解答】解：矩形的长为x，宽为y，面积为9，则y与x之间的函数关系式是：y＝（x＞0）．
是反比例函数，且图象只在第一象限．
故选：C．
6．（3分）等腰三角形的底和腰是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则这个三角形的周长为（）
A．8B．10C．8或10D．不能确定
【解答】解：∵方程x2﹣6x+8＝0的解是x＝2或4，
（1）当2为腰，4为底时，2+2＝4不能构成三角形；
（2）当4为腰，2为底时，4，4，2能构成等腰三角形，周长＝4+4+2＝10．
故选：B．
7．（3分）如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在
AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：
①四边形CFHE是菱形；
②EC平分∠DCH；
③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；
④当点H与点A重合时，EF＝2．
以上结论中，你认为正确的有（）个．
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：∵FH与CG，EH与CF都是矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，∴FH∥CG，EH∥CF，
∴四边形CFHE是平行四边形，
由翻折的性质得，CF＝FH，
∴四边形CFHE是菱形，（故①正确）；
∴∠BCH＝∠ECH，
∴只有∠DCE＝30°时EC平分∠DCH，（故②错误）；
点H与点A重合时，设BF＝x，则AF＝FC＝8﹣x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，
即42+x2＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
点G与点D重合时，CF＝CD＝4，
∴BF＝4，
∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，（故③正确）；
过点F作FM⊥AD于M，
则ME＝（8﹣3）﹣3＝2，
由勾股定理得，
EF＝＝＝2，（故④正确）；
综上所述，结论正确的有①③④共3个．
故选：C．
8．（3分）如图，OABC是平行四边形，对角线OB在y轴正半轴上，位于第一
象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线和y＝的一支上，分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为M和N，则有以下的结论：①＝；
②阴影部分面积是（k1+k2）；③当∠AOC＝90°时，|k1|＝|k2|；④若OABC
是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．其中正确的结论是（）
A．①②③B．②④C．①③④D．①④
【解答】解：作AE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F，如图，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴S
△AOB ＝S
△COB
，
∴AE＝CF，∴OM＝ON，
∵S
△AOM
＝|k1|＝OM•AM，S△CON＝|k2|＝ON•CN，∴＝，故①正确；
∵S
△AOM
＝|k1|，S△CON＝|k2|，
∴S
阴影部分＝S
△AOM
+S△CON＝（|k1|+|k2|），
而k1＞0，k2＜0，
∴S
阴影部分
＝（k1﹣k2），故②错误；
当∠AOC＝90°，
∴四边形OABC是矩形，
∴不能确定OA与OC相等，
而OM＝ON，
∴不能判断△AOM≌△CNO，
∴不能判断AM＝CN，
∴不能确定|k1|＝|k2|，故③错误；
若OABC是菱形，则OA＝OC，
而OM＝ON，
∴Rt△AOM≌Rt△CNO，
∴AM＝CN，
∴|k1|＝|k2|，
∴k1＝﹣k2，
∴两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称，故④正确．故选：D．
二、填空题（每空2分，共20分）
9．（2分）已知双曲线y＝经过点（﹣1，2），那么k的值等于﹣3．【解答】解：∵双曲线y＝经过点（﹣1，2），
∴2＝，解得k＝﹣3．
故答案为：﹣3．
10．（2分）若关于x的方程+＝2有增根，则m的值是0．
【解答】解：方程两边都乘以（x﹣2）得，
2﹣x﹣m＝2（x﹣2），
∵分式方程有增根，
∴x﹣2＝0，
解得x＝2，
∴2﹣2﹣m＝2（2﹣2），
解得m＝0．
故答案为：0．
11．（2分）下列命题：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②对角线互相平分的四边形是平行四边形；③在四边形ABCD中，AB ＝AD，BC＝DC，那么这个四边形ABCD是平行四边形；④一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形．其中正确的命题是②（将命题的序号填上即可）．
【解答】解：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，等腰梯形也满足该条件．故①错误；
②对角线互相平分的四边形是平行四边形．故②正确；
③在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，那么这个四边形ABCD不一定是平
行四边形，筝形也满足该条件．故③错误；
④一组对边相等，一组对角相等的四边形不能证明另一组对边也相等或平行．故
④错误；
故填：②．
12．（2分）若x、y满足﹣＝3，则分式的值为．
【解答】解：∵﹣＝＝3，
∴x﹣y＝﹣3xy，
则原式＝＝＝．
故答案为：．
13．（2分）若▱ABCD中一内角平分线和某边相交把这条边分成1cm、2cm的两条线段，则▱ABCD的周长是8或10cm．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE为角平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠AEB＝∠BAE，
∴AB＝BE．
①当BE＝1cm时，CE＝2cm，AB＝1cm，则周长为2×（1+2+1）＝8cm；
②当BE＝2cm时，CE＝1cm，AB＝2cm，则周长为2×（2+1+2）＝10cm．
综上所述，▱ABCD的周长是8或10cm．
故答案是：8或10．
14．（2分）如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D 出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s 和2cm/s，则最快4s后，四边形ABPQ成为矩形．
【解答】解；设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，由BP＝AQ得
3x＝20﹣2x．
解得x＝4，
故答案为：4．
15．（2分）在函数y＝（k为常数）的图象上有三个点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（，y3），函数值y1，y2，y3的大小为y3＜y1＜y2．
【解答】解：∵﹣k2﹣2＜0，∴函数应在二四象限，若x1＜0，x2＞0，说明横坐
标为﹣2，﹣1的点在第二象限，横坐标为的在第四象限，∵第二象限的y 值总比第四象限的点的y值大，∴那么y3最小，在第二象限内，y随x的增大而增大，∴y1＜y2．
即y3＜y1＜y2．
16．（2分）对于正数x，规定f（x）＝，例如f（3）＝＝，f（）＝＝，
计算：f（2015）+f（2014）+…+f（1）+f（）+f（）+…f（）2015．【解答】解：∵f（x）＝，f（）＝＝，
∴f（x）+f（）＝+＝＝1，
则原式＝[f（2015）+f（）]+…+[f（2）+f（）]+2f（1）＝2014+1＝2015，故答案为：2015
17．（2分）如图，平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A的坐标（3，6），AB ＝6，AD＝3，将矩形向下平移m个单位，使矩形的两个顶点恰好同时落在某
个反比例函数的图象上，则m＝或．
【解答】解：分两种情况：①矩形的两个顶点A、C落在反比例函数的图象上，设矩形平移后A的坐标是（3，6﹣m），C的坐标是（9，3﹣m），
∵A、C落在反比例函数的图象上，
∴3（6﹣m）＝9（3﹣m），
解得m＝；
②矩形的两个顶点B、D落在反比例函数的图象上，
设矩形平移后B的坐标是（9，6﹣m），D的坐标是（3，3﹣m），
∵B、D落在反比例函数的图象上，
∴9（6﹣m）＝3（3﹣m），
解得m＝．
故答案为或
18．（2分）如图，在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC＝60°，OA＝1．先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2015次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2015的坐标为（1342.5，）．
【解答】解：连接AC，如图所示．
∵四边形OABC是菱形，
∴OA＝AB＝BC＝OC．
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
∴AC＝AB．
∴AC＝OA．
∵OA＝1，
∴AC＝1．
画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，如图所示．
由图可知：每翻转6次，图形向右平移4．
∵2015＝335×6+5，
∴点B5向右平移1340（即335×4）到点B2014．
∵B5的坐标为（2.5，），
∴B2014的坐标为（2.5+1340，），
∴B2015的坐标为（1342.5，）．
故答案为：（1342.5，）．
三、解答题（本大题共有8大题，共56分）
19．（8分）计算或化简：
（1）计算：
（2）计算：．
【解答】解：（1）原式＝﹣＝＝＝；（2）原式＝2﹣x﹣＝﹣＝＝﹣．
20．（16分）解方程：
（1）﹣＝0
（2）
（3）（2x+1）2﹣5＝0
（4）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0．
【解答】解：（1）去分母得：2x﹣x+2＝0，
解得：x＝﹣2，
经检验x＝﹣2是分式方程的解；
（2）去分母得：x2﹣4x+4﹣16＝x2﹣4，
解得：x＝﹣2，
经检验x＝﹣2是增根，分式方程无解；
（3）方程整理得：（2x+1）2＝5，
开方得：2x+1＝±，
解得：x1＝，x2＝；
（4）．分解因式得：（x﹣3）（3x﹣3）＝0，
解得：x1＝3，x2＝1．
21．（5分）老师出了这样一道题：已知m＝2015，求代数式
的值．小明不小心把2015看成了2014，但计算结果却和代入2014计算得出的结果一致，聪明的你，能说明其中的原因吗？试试看！
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝，
故m＝2015和m＝2014代入计算结果都一样．
22．（4分）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于点E．求证：四边形AECD是菱形．
【解答】证明：∵AB∥CD，CE∥AD，
∴四边形AECD是平行四边形．
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
又∵AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC＝∠DAC，
∴AD＝DC，
∴四边形AECD是菱形．
23．（6分）某车队要把4000吨货物运到雅安地震灾区（方案定后，每天的运量不变）．
（1）从运输开始，每天运输的货物吨数n（单位：吨）与运输时间t（单位：天）之间有怎样的函数关系式？
（2）因地震，到灾区的道路受阻，实际每天比原计划少运20%，则推迟1天完成任务，求原计划完成任务的天数．
【解答】解：（1）∵每天运量×天数＝总运量
∴nt＝4000
∴n＝（t＞0）；
（2）设原计划x天完成，根据题意得：
解得：x＝4
经检验：x＝4是原方程的根，
答：原计划4天完成．
24．（7分）如图，点P是反比例函数（k1＞0，x＞0）图象上一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、B两点，交反比例函数
（k2＜0且|k2|＜k1）的图象于E、F两点．
（1）图1中，四边形PEOF的面积S1＝k1﹣k2（用含k1、k2的式子表示）；（2）图2中，设P点坐标为（2，3）．
①点E的坐标是（2，），点F的坐标是（，3）（用含
k2的式子表示）；
②若△OEF的面积为，求反比例函数的解析式．
【解答】解：（1）∵P是点P是反比例函数（k1＞0，x＞0）图象上一动点，
∴S
矩形PBOA
＝k1，
∵E、F分别是反比例函数（k2＜0且|k2|＜k1）的图象上两点，
∴S
△OBF ＝S
△AOE
＝|k2|，
∴四边形PEOF的面积S1＝S
矩形PBOA
+S△OBF+S△AOE＝k1+|k2|，
∵k2＜0，
∴四边形PEOF的面积S1＝S
矩形PBOA
+S△OBF+S△AOE＝k1+|k2|＝k1﹣k2．
（2）①∵PE⊥x轴，PF⊥y轴可知，P、E两点的横坐标相同，P、F两点的纵坐标相同，
∴E、F两点的坐标分别为E（2，），F（，3）；
②∵P（2，3）在函数y＝的图象上，
∴k1＝6，
∵E、F两点的坐标分别为E（2，），F（，3）；
∴PE＝3﹣，PF＝2﹣，
∴S
△PEF
＝（3﹣）（2﹣）＝，
∴S
＝（k1﹣k2）﹣
△OEF
＝（6﹣k2）﹣
＝＝，
∵k2＜0，
∴k2＝﹣2．
∴反比例函数的解析式为y＝﹣．
25．（10分）如图①，在矩形ABCD中，将矩形折叠，使B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC或者边CD（含端点）交于F，然后再展开铺平，则以B、E、F为顶点的△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF”一定是一个等腰三角形
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，当它的“折痕△BEF”的顶点E位于AD的中点时，画出这个“折痕△BEF”，并求出点F的坐标；（3）如图③，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”？若存在，说明理由，并求出此时点E的坐标？若不存在，为什么？
【解答】解：（1）等腰．
（2）如图①，连接BE，画BE的中垂线交BC与点F，连接EF，△BEF是矩形ABCD的一个折痕三角形．
∵折痕垂直平分BE，AB＝AE＝2，
∴点A在BE的中垂线上，即折痕经过点A．
∴四边形ABFE为正方形．
∴BF＝AB＝2，
∴F（2，0）．
（3）矩形ABCD存在面积最大的折痕三角形BEF，其面积为4，
理由如下：①当F在边OC上时，如图②所示．
S△BEF ≤S矩形ABCD，即当F与C重合时，面积最大为4．
②当F在边CD上时，如图③所示，
过F作FH∥BC交AB于点H，交BE于K．
∵S
△EKF ＝KF•AH ≤HF•AH ＝S
矩形AHFD
，
S△BKF ＝KF•BH ≤HF•BH ＝S矩形BCFH，
∴S
△BEF ≤S
矩形ABCD
＝4．
即当F为CD中点时，△BEF面积最大为4．
下面求面积最大时，点E的坐标．
①当F与点C重合时，如图④所示．
由折叠可知CE＝CB＝4，
在Rt△CDE中，ED ＝＝＝2．
∴AE＝4﹣2．
∴E（4﹣2，2）．
②当F在边DC的中点时，点E与点A重合，如图⑤所示．
此时E（0，2）．
综上所述，折痕△BEF的最大面积为4时，点E的坐标为E（0，2）或E（4﹣2，2）．
第21页（共22页）
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