兰山区三中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

兰山区三中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 如图所示，已知四边形ABCD 的直观图是一个边长为的正方形，则原图形的周长
为（
）
A ．
B ． C.
D
．2． 点A 是椭圆
上一点，F 1
、F 2分别是椭圆的左、右焦点，I 是△AF 1F 2的内心．若，则该椭圆的离心率为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
3． 若f （x
）=﹣x 2+2ax 与g （x ）=在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是（
）
A ．（﹣∞，1]
B ．[0，1]
C ．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，1]
D ．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，1]
4． 若()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数，[)()1212,0,x x x x ∀∈+∞≠，有()()
2121
0f x f x x x -<-，则
（
）
A ．()()()213f f f -<<
B ．()()()123f f f <-<
C ．()()()312f f f <<
D ．()()()
321f f f <-<5． 已知
，则方程的根的个数是（ ）
22(0)()|log |(0)
x x f x x x ⎧≤=⎨
>⎩[()]2f f x = A ．3个B ．4个
C ．5个
D ．6个
6． 下列各组表示同一函数的是（
）
A ．y=
与y=（
）2
B ．y=lgx 2与y=2lgx
C ．y=1+与y=1+
D ．y=x 2﹣1（x ∈R ）与y=x 2﹣1（x ∈N ）
7．如图，△ABC所在平面上的点P n（n∈N*）均满足△P n AB与△P n AC的面积比为3；1，=﹣（2x n+1）（其中，{x n}是首项为1的正项数列），则x5等于
（）
A．65B．63C．33D．31
8．在高校自主招生中，某学校获得5个推荐名额，其中清华大学2名，北京大学2名，复旦大学1名．并且北京大学和清华大学都要求必须有男生参加．学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有（）
A．20种B．22种C．24种D．36种
9．已知高为5的四棱锥的俯视图是如图所示的矩形，则该四棱锥的体积为（）
248064240
A．B．C．D．
10．圆心在直线2x＋y＝0上，且经过点（－1，－1）与（2，2）的圆，与x轴交于M，N两点，则|MN|＝（）
A．4B．4
25
C．2D．2
25
11．如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则P﹣DCE三棱锥的外接球的体积为（）
A．B．C．D．
12．设奇函数f （x ）在（0，+∞）上为增函数，且f （1）=0，则不等式＜0的解集为
（ ）
A ．（﹣1，0）∪（1，+∞）
B ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
C ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
D ．（﹣1，0）∪（0，
1）　
二、填空题
13．已知函数f （x ）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如下表，f （x ）的导函数y=f ′（x ）的图象如图示． x ﹣1045f （x ）
1
2
2
1
下列关于f （x ）的命题：
①函数f （x ）的极大值点为0，4；②函数f （x ）在[0，2]上是减函数；
③如果当x ∈[﹣1，t]时，f （x ）的最大值是2，那么t 的最大值为4；④当1＜a ＜2时，函数y=f （x ）﹣a 有4个零点；
⑤函数y=f （x ）﹣a 的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是 ．
14．已知函数的一条对称轴方程为，则函数的最大值为2
1()sin cos sin 2f x a x x x =-+6
x π
=()f x （
）
A ．1
B ．±1
C
D ．【命题意图】本题考查三角变换、三角函数的对称性与最值，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想与方程思想．
15．命题“若1x ≥，则2421x x -+≥-”的否命题为
．
16．若曲线f （x ）=ae x +bsinx （a ，b ∈R ）在x=0处与直线y=﹣1相切，则b ﹣a= ．
17．某高中共有学生1000名，其中高一年级共有学生380人，高二年级男生有180人.如果在全校学生中抽取1名学生，抽到高二年级女生的概率为，先采用分层抽样（按年级分层）在全校抽取
19.0
100人，则应在高三年级中抽取的人数等于 .
18．集合A={x|﹣1＜x ＜3}，B={x|x ＜1}，则A ∩B= ．
三、解答题
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面为菱形，分别是棱的中点，且ABCD S -ABCD Q P E 、、AB SC AD 、、⊥SE 平面.
ABCD
（1）求证：平面；//PQ SAD （2）求证：平面平面.
⊥SAC SEQ 20．2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策．为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度，某市选取70后和80后作为调查对象，随机调查了100位，得到数据如表：生二胎
不生二胎
合计70后3015
4580后451055合计
75
25
100
（Ⅰ）以这100个人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率估计概率，若从该市70后公民中随机抽取3位，记其中生二胎的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望；
（Ⅱ）根据调查数据，是否有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”，并说明理由．参考数据：P （K 2＞k ）
0.150.100.050.0250.0100.005k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
（参考公式：，其中n=a+b+c+d ）
21．一艘客轮在航海中遇险，发出求救信号.在遇险地点南偏西方向10海里的处有一艘海A 45
B 难搜救艇收到求救信号后立即侦查，发现遇险客轮的航行方向为南偏东，正以每小时9海里的速度向
75
一小岛靠近.已知海难搜救艇的最大速度为每小时21海里.
（1）为了在最短的时间内追上客轮，求海难搜救艇追上客轮所需的时间；（2）若最短时间内两船在处相遇，如图，在中，求角的正弦值.
C ABC B
22．已知抛物线C ：x 2=2y 的焦点为F ．
（Ⅰ）设抛物线上任一点P （m ，n ）．求证：以P 为切点与抛物线相切的方程是mx=y+n ；
（Ⅱ）若过动点M （x 0，0）（x 0≠0）的直线l 与抛物线C 相切，试判断直线MF 与直线l 的位置关系，并予以证明．　
23．在直角坐标系中，已知圆C的圆心坐标为（2，0），半径为，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．，直线l的参数方程为：（t为参数）．
（1）求圆C和直线l的极坐标方程；
（2）点P的极坐标为（1，），直线l与圆C相交于A，B，求|PA|+|PB|的值．
24．已知数列{a n}是等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，且a3=3，S3=9
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=log2，且{b n}为递增数列，若c n=，求证：c1+c2+c3+…+c n＜1．
兰山区三中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）
一、选择题
1．【答案】C
【解析】
考点：平面图形的直观图.
2．【答案】B
【解析】解：设△AF1F2的内切圆半径为r，则
S△IAF1=|AF1|r，S△IAF2=|AF2|r，S△IF1F2=|F1F2|r，
∵，
∴|AF1|r=2×|F1F2|r﹣|AF2|r，
整理，得|AF1|+|AF2|=2|F1F2|．∴a=2，
∴椭圆的离心率e===．
故选：B．
3．【答案】D
【解析】解：∵函数f（x）=﹣x2+2ax的对称轴为x=a，开口向下，
∴单调间区间为[a，+∞）
又∵f（x）在区间[1，2]上是减函数，
∴a≤1
∵函数g（x）=在区间（﹣∞，﹣a）和（﹣a，+∞）上均为减函数，
∵g（x）=在区间[1，2]上是减函数，
∴﹣a＞2，或﹣a＜1，
即a＜﹣2，或a＞﹣1，
综上得a∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，1]，
故选：D
【点评】本题主要考查二次函数与反比例函数的单调性的判断，以及根据所给函数单调区间，求参数的范围．　
4． 【答案】D 5． 【答案】C
【解析】由，设f （A ）=2,则f （x ）=A,则，则A=4或A=，作出f （x ）的图像，由[()]2f f x =2log 2x =1
4
数型结合，当A=时3个根，A=4时有两个交点，所以的根的个数是5个。

1
4
[()]2f f x =6． 【答案】C 【解析】解：A ．y =|x|，定义域为R ，y=（
）2=x ，定义域为{x|x ≥0}，定义域不同，不能表示同一函数
．
B ．y=lgx 2，的定义域为{x|x ≠0}，y=2lgx 的定义域为{x|x ＞0}，所以两个函数的定义域不同，所以不能表示同一函数．
C ．两个函数的定义域都为{x|x ≠0}，对应法则相同，能表示同一函数．
D ．两个函数的定义域不同，不能表示同一函数．故选：C ．
【点评】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准就是判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数．　
7． 【答案】 D 【解析】解：由=﹣（2x n +1），
得+（2x n +1）
=，
设
，
以线段P n A 、P n D 作出图形如图，
则，
∴，∴，
∵，∴，
则，
即x n+1=2x n +1，∴x n+1+1=2（x n +1），
则{x n +1}构成以2为首项，以2为公比的等比数列，∴x 5+1=2•24=32，则x 5=31．故选：D ．
【点评】本题考查了平面向量的三角形法则，考查了数学转化思想方法，训练了利用构造法构造等比数列，考查了计算能力，属难题．　
8． 【答案】C
【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：
①、第一类三个男生每个大学各推荐一人，两名女生分别推荐北京大学和清华大学，共有=12种推荐方法；②、将三个男生分成两组分别推荐北京大学和清华大学，其余2个女生从剩下的2个大学中选，共有
=12种推荐方法；
故共有12+12=24种推荐方法；故选：C ．　
9． 【答案】B 【解析】试题分析：,故选B.805863
1
=⨯⨯⨯=
V 考点：1.三视图；2.几何体的体积.10．【答案】
【解析】选D.设圆的方程为（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2（r ＞0）．
由题意得，
{
2a ＋b ＝0
（－1－a ）2＋（－1－b ）2＝r 2（2－a ）2＋（2－b ）2＝r 2
)
解之得a ＝－1，b ＝2，r ＝3，
∴圆的方程为（x＋1）2＋（y－2）2＝9，
令y＝0得，x＝－1±，
5
555
∴|MN|＝|（－1＋）－（－1－）|＝2，选D.
11．【答案】C
【解析】解：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1，
故外接球半径为，外接球的体积为，
故选C．
【点评】本题考查球的内接多面体，球的体积等知识，考查逻辑思维能力，是中档题．
12．【答案】D
【解析】解：由奇函数f（x）可知，即x与f（x）异号，
而f（1）=0，则f（﹣1）=﹣f（1）=0，
又f（x）在（0，+∞）上为增函数，则奇函数f（x）在（﹣∞，0）上也为增函数，
当0＜x＜1时，f（x）＜f（1）=0，得＜0，满足；
当x＞1时，f（x）＞f（1）=0，得＞0，不满足，舍去；
当﹣1＜x＜0时，f（x）＞f（﹣1）=0，得＜0，满足；
当x＜﹣1时，f（x）＜f（﹣1）=0，得＞0，不满足，舍去；
所以x的取值范围是﹣1＜x＜0或0＜x＜1．
故选D．
二、填空题
13．【答案】　①②⑤　．
【解析】解：由导数图象可知，当﹣1＜x＜0或2＜x＜4时，f'（x）＞0，函数单调递增，当0＜x＜2或4＜x＜5，f'（x）＜0，函数单调递减，当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，当x=2时，函数取得极小值f（2），所以①正确；②正确；
因为在当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，要使当x∈[﹣1，t]函数f（x）的最大值是4，当2≤t≤5，所以t的最大值为5，所以③不正确；
由f（x）=a知，因为极小值f（2）未知，所以无法判断函数y=f（x）﹣a有几个零点，所以④不正确，
根据函数的单调性和极值，做出函数的图象如图，（线段只代表单调性），根据题意函数的极小值不确定，分f（2）＜1或1≤f（2）＜2两种情况，由图象知，函数y=f（x）和y=a的交点个数有0，1，2，3，4等不同情形，所以⑤正确，
综上正确的命题序号为①②⑤．
故答案为：①②⑤．
【点评】本题考查导数知识的运用，考查导函数与原函数图象之间的关系，正确运用导函数图象是关键．
14．【答案】A
【解析】
x x
-+<-
x<，则2421
15．【答案】若1
【解析】
x<，则2421
试题分析：若1
-+<-，否命题要求条件和结论都否定．
x x
考点：否命题.
16．【答案】　2　．
【解析】解：f（x）=ae x+bsinx的导数为f′（x）=ae x+bcosx，
可得曲线y=f（x）在x=0处的切线的斜率为k=ae0+bcos0=a+b，
由x=0处与直线y=﹣1相切，可得a+b=0，且ae0+bsin0=a=﹣1，
解得a=﹣1，b=1，
则b﹣a=2．
故答案为：2．
17．【答案】25
【解析】
考
点：分层抽样方法．
18．【答案】　{x|﹣1＜x ＜1}　．
【解析】解：∵A={x|﹣1＜x ＜3}，B={x|x ＜1}，
∴A ∩B={x|﹣1＜x ＜1}，
故答案为：{x|﹣1＜x ＜1}
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
三、解答题
19．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
试题分析：（1）根据线面平行的判定定理，可先证明PQ 与平面内的直线平行，则线面平行，所以取中SD 点，连结，可证明，那就满足了线面平行的判定定理了；（2）要证明面面垂直，可先F PF AF ,AF PQ //证明线面垂直，根据所给的条件证明平面，即平面平面.
⊥AC SEQ ⊥SAC SEQ 试题解析：证明：（1）取中点，连结.
SD F PF AF ,∵分别是棱的中点，∴，且.F P 、SD SC 、CD FP //CD FP 2
1=
∵在菱形中，是的中点，ABCD Q AB ∴，且，即且.CD AQ //CD AQ 2
1=
AQ FP //AQ FP =∴为平行四边形，则.AQPF AF PQ //∵平面，平面，∴平面.
⊄PQ SAD ⊂AF SAD //PQ SAD
考点：1.线线，线面平行关系；2.线线，线面，面面垂直关系.
【易错点睛】本题考查了立体几何中的线与面的关系，属于基础题型，重点说说垂直关系，当证明线线垂直时，一般要转化为线面垂直，证明线与面垂直时，即证明线与平面内的两条相交直线垂直，证明面面垂直时，转化为证明线面垂直，所以线与线的证明是基础，这里经常会搞错两个问题，一是，线与平面内的两条相交直线垂直，线与平面垂直，很多同学会记成一条，二是，面面垂直时，平面内的线与交线垂直，才与平面垂直，很多同学会理解为两个平面垂直，平面内的线都与另一个平面垂直，需熟练掌握判定定理以及性质定理. 20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由已知得该市70后“生二胎”的概率为=，且X～B（3，），
P（X=0）==，
P（X=1）==，
P（X=2）==，
P（X=3）==，
其分布列如下：
X0123
P
（每算对一个结果给1分）
∴E （X ）=3×=2．
（Ⅱ）假设生二胎与年龄无关，
K 2
==≈3.030＞2.706，
所以有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”．
21．【答案】（1）
小时；（2
23
【解析】试
题解析：（1）设搜救艇追上客轮所需时间为小时，两船在处相遇.
C 在中，，，，.ABC ∆4575120BAC ∠=+=
10AB =9AC t =21BC t =由余弦定理得：，2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-∠A A
所以，2221
(21)10(9)2109()2
t t t =+-⨯⨯⨯-化简得，解得或（舍去）.2
369100t t --=23t =512
t =-所以，海难搜救艇追上客轮所需时间为小时.23
（2）由，.2963AC =⨯=221143
BC =⨯=在中，由正弦定理得
.ABC ∆sin 6sin120sin 14AC BAC B BC
∠=
=== A A 所以角B 考点：三角形的实际应用．
【方法点晴】本题主要考查了解三角形的实际应用，其中解答中涉及到正弦定理、余弦定理的灵活应用，注重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，可先根据题意，画出图形，由搜救艇和渔船的速度，那么可设时间，并用时间表示，再根据正弦定理和余弦定理，即
,AC BC
可求解此类问题，其中正确画出图形是解答的关键．
22．【答案】
【解析】证明：（Ⅰ）由抛物线C：x2=2y得，y=x2，则y′=x，
∴在点P（m，n）切线的斜率k=m，
∴切线方程是y﹣n=m（x﹣m），即y﹣n=mx﹣m2，
又点P（m，n）是抛物线上一点，
∴m2=2n，
∴切线方程是mx﹣2n=y﹣n，即mx=y+n …
（Ⅱ）直线MF与直线l位置关系是垂直．
由（Ⅰ）得，设切点为P（m，n），则切线l方程为mx=y+n，
∴切线l的斜率k=m，点M（，0），
又点F（0，），
此时，k MF====…
∴k•k MF=m×（）=﹣1，
∴直线MF⊥直线l …
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，导数的几何意义，直线垂直的条件等，属于中档题．　
23．【答案】
【解析】解：（1）圆C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2=2，
代入圆C得：（ρcosθ﹣2）2+ρ2sin2θ=2
化简得圆C的极坐标方程：ρ2﹣4ρcosθ+2=0…
由得x+y=1，∴l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1…
（2）由得点P的直角坐标为P（0，1），
∴直线l的参数的标准方程可写成…
代入圆C得：
化简得：，
∴，∴t1＜0，t2＜0…
∴…
24．【答案】已知数列{a n}是等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，且a3=3，S3=9
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=log2，且{b n}为递增数列，若c n=，求证：c1+c2+c3+…+c n＜1．
【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．
【专题】计算题；证明题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，从而可得3（1++）=9，从而解得；
（Ⅱ）讨论可知a2n+3=3•（﹣）2n=3•（）2n，从而可得b n=log2=2n，利用裂项求和法求和．【解析】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，
则3（1++）=9，
解得，q=1或q=﹣；
故a n=3，或a n=3•（﹣）n﹣3；
（Ⅱ）证明：若a n=3，则b n=0，与题意不符；
故a2n+3=3•（﹣）2n=3•（）2n，
故b n=log2=2n，
故c n==﹣，
故c1+c2+c3+…+c n=1﹣+﹣+…+﹣
=1﹣＜1．
【点评】本题考查了数列的性质的判断与应用，同时考查了方程的思想应用及裂项求和法的应用．　。