湖南省邵阳市第二中学2024-2025学年高二上学期入学考试数学试题

湖南省邵阳市第二中学2024-2025学年高二上学期入学考试数
学试题
一、单选题 1．复数13i
2i
z +=
+的实部和虚部分别是（ ） A ．1，1
B ．1，i
C ．13-，53
D ．13-，5i 3
2．已知向量()2,2a =r ，(),4b λ=-r ，R λ∈，若()
a a
b ⊥+r
r r ，则λ=（ ）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
3．如图所示，梯形|A B C D ''''是平面图形ABCD 用斜二测画法画出的图形，22A D B C ''''==，1A B ''=，则平面图形ABCD 的面积为（ ）
A ．2
B ．
C ．3
D ．4．已知向量
(1,1),(2,1)a b ==-r r ，则a r
在b r 方向上的投影数量为（ ）
A ．1
5
B ．15
-
C D ．5．将函数sin(2)5
y x π=+的图象向右平移10
π
个单位长度，所得图象对应的函数 A ．在区间35[,]44
ππ
上单调递增 B ．在区间3[,]4
π
π上单调递减 C ．在区间53[
,]42
ππ
上单调递增 D ．在区间3[
,2]2
π
π上单调递减 6．已知)π()2sin (06f x x ωω⎛
⎫=+> ⎪⎝⎭
，若方程|()|1f x =在区间(0,2π)上恰有3个实根，则ω的
取值范围是（ ） A ．
15
26
ω<≤ B ．5
16
ω<≤
C ．413
ω<≤
D ．413
ω≤≤
7．《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中非常重要的一部．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知“堑堵”111ABC A B C -的所有顶点都在球O 的球面上，且1AB AC ==．若球O 的表面积为4π，则
这个三棱柱的表面积是（ ）
A
．2+B ．C ．3+D ．3+8．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，且()2f x -是偶函数，当02x ≤≤时，2()4f x x x =-，则当68x ≤≤时，()f x 的解析式为（ ） A ．2(4)=--f x x x B ．2()1660f x x x =-+ C ．2()1232f x x x =-+
D ．2()1232f x x x =-+-
二、多选题
9．同时抛出两枚质地均匀的骰子甲、乙，记事件A ：甲骰子点数为奇数，事件B ：乙骰子点数为偶数，事件C ：甲、乙骰子点数相同．下列说法正确的有（ ） A ．事件A 与事件B 对立 B ．事件A 与事件B 相互独立 C ．事件A 与事件C 相互独立
D ．()()P C P AB =
10．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为π
,,,3,3
a b c a A ==
，O 为ABC V 的外心，则（ ）
A ．若ABC V 有两个解，则3c <<
B ．OA B
C ⋅u u u r u u u r
的取值范围为[-
C ．BA BC ⋅u u u r u u u r
的最大值为9
D ．若,B C 为平面上的定点，则A 11．,a b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与,a b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论正确的有（ ）
A ．当直线A
B 与a 成60o 角时，AB 与b 成30o 角； B ．当直线AB 与a 成60o 角时，AB 与b 成60o 角；
C ．直线AB 与a 所成角的最小值为45o ；
D ．直线AB 与a 所成角的最大值为60o .
三、填空题
12．在同一个平面内，向量,,OA OB OC u u u v u u u v u u u v 的模分别为OA u u u v 与OC u u u v
的夹角为α，且
tan 7,OB α=u u u v 与OC u u u v
的夹角为45o ，若(),OC mOA nOB m n R =+∈u u u v u u u v u u u v ，则m n +=．
13．已知直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD =60°．以1D
为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为．
14．已知函数()()()21
1022420x x f x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪++≤⎩
，若函数()()()2g x f f x m =--，当()g x 恰有3
个零点时，求m 的取值范围为.
四、解答题
15．某地区对初中500名学生某次数学成绩进行分析，将得分分成8组（满分150分）：
[)[)[)[)[)[)[)65,75,75,85,85,95,95,105,105,115,115,125,125,135，[)135,145，整理得到如图
所示的频率分布直方图．
(1)求第七组的频率；
(2)用样本数据估计该地的500名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(3)现从500名学生中利用分层抽样的方法从[)[)95,105,105,115的两组中抽取5个人进一步做调查问卷，再从这5个人中随机抽取两人，求抽取到的两人不在同一组的概率． 16．如图，已知多面体111111,,,ABC A B C A A B B C C -均垂直于平面
111,120,4,1,2ABC ABC A A C C AB BC B B ∠=︒=====．
（Ⅰ）求证：1AB ⊥平面111A B C ；
（Ⅱ）求直线1AC 与平面1ABB 所成角的正弦值．
17．记ABC V 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.
（1）证明：BD b =；
（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.
18．四棱锥P ABCD -中，ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD . （1）求证：AB PD ⊥
（2）若90,2BPC PB PC ∠===o 问AB 为何值时，四棱锥P ABCD -的体积最大？并求此时平面PBC 与平面DPC 夹角的余弦值.
19．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，对任意两个向量()11,m x y =r
，()22,n x y =r .作：
OM m =u u u u r r ，ON n =u u u r r 当,m n r r
不共线时，记以,OM ON 为邻边的平行四边形的面积为
()1221,S m n x y x y =-r r ；当,m n r r
共线时，规定(),0S m n =r r . (1)分别根据下列已知条件求(),S m n r r
；
①()2,1m =r ，()1,2n =-r
；
②()1,2m =r
，()2,4n =r ；
(2)若向量()22
,,0p m n λμλμλμ=+∈+≠R r r r ，求证：()()()(),,,S p m S p n S m n λμ+=+r r r r r r ；
(3)记OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，OC c =u u u r r ，且满足c a b λμ=+r r r
，a b ⊥r r ，1a b c ===r r r ，求()(),,S c a S c b +r r r r 的最大值.。