数学人教版七年级下册“平行线及平行公理”教学设计

“平行线及平行公理”教学设计
[教学目标]
1．能说出平行线的意义，平面内两条直线的两种位置关系──相交和平行，以及异面直线的意义；能区别空间两直线的位置关系与平面内两直线的位置关系；能说出平行公理及平行公理的推论。

2．会根据平行公理推论画出相应的图形；会用数学语言表示平行公理推论；会用平行公理推论作简单推理。

此外，通过本堂课的教学还可初步渗透反证法，分类讨论、探索归纳由特殊到一般的数学思想。

[引导性材料]
（几何是门研究物体的形状、大小、位置关系的学科，在以前的几何学习中，学生已对平面内点与点间的位置关系，点与线的位置关系，线与线的位置关系中的一种──相交关系已比较熟悉，本堂课是对平面内线与线的另一种位置关系──平行进行教学，）
平行这个名称学生都早已熟悉，而这样的图形在现实生活中也到处存在。

可以先请学生举出生活中的例子。

（如课本第73页图2—16的例子，又如建筑物外沿，一些规则的方形物体的边界等。

），再请学生说出这些图形的共同点。

［知识产生和发展过程的教学设计］
问题1—1：如何用精确的数学语言描述平行的定义?
（先由学生尝试描述，教师指点后，给出平行线的定义：同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

）
问题1—2：如何来画表示平行关系的图形?以及如何用数学语言来表示平行?
（详见课本第65页）
问题1—3：根据平行线的定义，两条直线平行必须符合什么条件?
（1）同一平面内；
（2）没有交点．
（这两个条件是平行线定义的两个本质属性。

学生通常忽视“在同一平面内”这一点，教师可指出：没有交点的两条直线不一定是平行直线。

教师可演示：纵横交叉的两条直线，虽没有交点，但不平行。

从而强化学生对“平行线”概念的第一个本质属性的感知。

）
问题1—4：同一平面内，两直线的位置关系有几种?如果问题改为“同一平面内，两条直线的交点情况有几种?”又该如何回答?
(两个问题的内容实际上是一样，这样设问是为了引导学生从不同的角度看问题，同时
也为后面的例题的提高作铺垫。

)
问题2—1：如果不限定两条直线“在同一平面内”，那么空间里的两条直线除了相交、平行以外，还有什么别的位置关系吗?你能否举出实例?
(学生举出实际例子，或用两支铅笔演示均可。

然后教师给出异面直线的定义。

异面直线的有关内容大纲上的要求仅是“了解”，因而这里不需花太多时间，只要利用实例、实物演示说明即可。

)
问题2—2：现在你能说出空间两直线有哪几种位置关系吗?
(学生回答后，教师引导他们进行如下分类：
问题3—1：如图2．4－1(1)你会过点p画直线l的平行线吗?这样的平行线可以画几条?
图2．4－1
（学生在小学已学过用直尺和三角尺画平行线，可以让学生自己动手画图，教师应适时地强调以下两点：
（1）三角尺的一边要与已知直线重合。

（2）三角尺沿着直尺平移时，直尺不能移动。

学生画图后，再回答上述第二问，说明过点p只能画一条直线平行于直线l。

）
问题3－2：如图2．4—1（2），你能过点p画直线l的平行线吗?
问题3－3：根据上面两次画图的体会，我们能得到什么结论呢?
（如果学生一时茫然，教师可以用“垂线的公理”启发，学生试述后，教师揭示“平行公理”。

）
问题3－4：请把“平行公理”与“垂线的性质”作比较，它们有什么不同?
（“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”这句话中，对“一点”没有任何限制；而“平行公理”中，这一点必须在直线外，所以“平行公理”与“垂线的性质”相比较，多了“直线外”三个字。

）
问题4－1：如果在图2．4—l（1）中，再在l1、l2外取一点Q，过点Q画直线l的平行线l1(教师板演)，你认为直线l1与l2平行吗?能不能说出理由?
（这样设问，可以让学生通过作图再次熟悉平行公理。

学生凭直观，会大胆地猜想直线l1与l2平行，但无法用精确的数学语言来说理。

教科书第74页倒数第6行开始，实际上是用了反证法说理。

应当注意：这仅仅是反证法的一次渗透，决不是要给学生介绍反证法的思路、步骤以及适用情况等。

教学中应选取在日常生活中用反证法思想作出判断的实例，与课本“平行公理”的说理相对照，让学生借助生活经验初步感知这种“反驳”说理的方法，确认“平行公理”推论的正确性。

）
问题4－2：怎样把平行公理的推论，“翻译”成为结合图形的符号语言呢?
（在学生尝试后，教师板书如下：
如图2．4—l（1）
∵l∥l1,l∥l2
∴l1∥l2。

如果在结论l1∥l2后面填写“平行公理的推论”作为理由，那么就成为证明两直线平行的一种推理模式。

顺便指出：有的学生可能会把上述推理的理由，说成是“等量代换”，这是把形的位置关系的传递性与等量代换相混淆，是知识的一种负迁移。

）
问题4－3（本问题仅供参考选用）
（1）如果四条、五条、六条直线平行于同一条直线，那么这些直线平行吗?
（2）如果三条直线不在同一平面内，其中两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行吗?
[例题解析]
例请说明在同一平面内三条直线的位置关系及交点情况。

（本例难度较大，教学中可根据实际情况加以改编，要正确全面地回答这个问题，必须掌握分类的思想方法。

本例有多种分类：如以两条直线的位置关系分类，再考虑第三条直线的位置；又如以三条直线交点的个数分类等。

以下提供的解法属上述第二种分类的方法。

）
解：在同一平面内，三条直线的位置关系及交点情况可以分为：
(1)
图2．4－2
如图2．4－2，三条直线互相平行，此时交点个数为0。

(2)
图2．4－3
如图2．4－3，三条直线两两相交于同一点0，此时交点的个数为1个。

(3)
图2．4－4
如图2．4－4，两条直线平行，第三条直线与他们相交，此时交点的个数为2个。

(4)
图2．4－5
如图2．4－5，三条直线两两相交且不交于同一点，此时，交点的个数为3个。

综上可知，平面内三条直线的交点的情况有以上4种。

(这道例题的回答可让学生自己讨论回答，学生能比较容易地找出第1、4、3三种情况，第二种情况能考虑到的学生可能相对较少，但一经指出，学生会有种豁然开朗的感觉，这可使学生提高兴趣，同时，上述解题过程中还必须强化语言的组织表达的训练，因为简明、准确的表述有利于提高学生思维的条理性。

)
［小结]
这堂课从实例出发，学习了有关平行的知识，通过这堂课的学习，不仅可能说出平行的意义，平行公理及其推论，并且要能将文学语言转化为结合图形的符号语言，并能应用这些知识进行简单的推理。

此外，这堂课还用到了一些重要的思考方法：如用“反驳”说理的方法，推出了平行公理；用特殊到一般的思想方法，用分类讨论的思想方法来研究同一平面内三条直线的位置关系。

今后我们还要逐步地应用这些思想方法去研究其它的问题。