颍东区第三中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

颍东区第三中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 设函数f （x ）满足f （x+π）=f （x ）+cosx ，当0≤x ≤π时，f （x ）=0，则f （）=（ ）
A ．
B ．
C ．0
D ．﹣
2． 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A ．y=|x|（x ∈R ）
B ．y=（x ≠0）
C ．y=x （x ∈R ）
D ．y=﹣x 3（x ∈R ）
3． 数列{a n }满足a 1=， =﹣1（n ∈N *
），则a 10=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4． 已知条件p ：x 2+x ﹣2＞0，条件q ：x ＞a ，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围可以是（ ） A ．a ≥1 B ．a ≤1 C ．a ≥﹣1
D ．a ≤﹣3
5． （2015秋新乡校级期中）已知x+x ﹣1=3，则x 2+x ﹣2等于（ ）
A ．7
B ．9
C ．11
D ．13
6． 数列1，﹣4，7，﹣10，13，…，的通项公式a n 为（ ） A ．2n ﹣1 B ．﹣3n+2
C ．（﹣1）n+1（3n ﹣2）
D ．（﹣1）n+13n ﹣2
7． 3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共有
（ ） A ．90种 B ．180种
C ．270种
D ．540种
8． 已知函数f （x ）=x （1+a|x|）．设关于x 的不等式f （x+a ）＜f （x ）的解集为A ，若，则
实数a 的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9． 已知数列，则5是这个数列的（ ） A ．第12项 B ．第13项 C ．第14项
D ．第25项
10．设集合M={x|x 2﹣2x ﹣3＜0}，N={x|log 2x ＜0}，则M ∩N 等于（ ）
A ．（﹣1，0）
B ．（﹣1，1）
C ．（0，1）
D ．（1，3）
11．已知圆C 方程为222x y +=，过点(1,1)P -与圆C 相切的直线方程为（ ）
A ．20x y -+=
B ．10x y +-=
C ．10x y -+=
D ．20x y ++= 12．数列{a n }的首项a 1=1，a n+1=a n +2n ，则a 5=（ ） A ．
B ．20
C ．21
D ．31
二、填空题
13．三角形ABC 中，2,60AB BC C ==∠=，则三角形ABC 的面积为 . 14．若命题“∀x ∈R ，|x ﹣2|＞kx+1”为真，则k 的取值范围是 ．
15．设a 抛掷一枚骰子得到的点数，则方程x 2+ax+a=0有两个不等实数根的概率为 ．
16．阅读如图所示的程序框图，则输出结果S 的值为 .
【命题意图】本题考查程序框图功能的识别，并且与数列的前n 项和相互联系，突出对逻辑判断及基本运算能力的综合考查，难度中等.
17．已知数列{a n }中，a 1=1，a n+1=a n +2n ，则数列的通项a n = ．
18．在极坐标系中，点（2，）到直线ρ（cos θ+
sin θ）=6的距离为 ．
三、解答题
19．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形．
（Ⅰ）求出f（5）；
（Ⅱ）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f（n+1）与f（n）的关系式，并根据你得到的关系式求f（n）的表达式．
20．设函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在上的最大值与最小值．
21．已知x2﹣y2+2xyi=2i，求实数x、y的值．
22．在直接坐标系中，直线的方程为，曲线的参数方程为（为参数）。

（1
）已知在极坐标（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为
极轴）中，点的极坐标为（4，），判断点与直线的位置关系； （2
）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值。

23．（本小题满分13分）
如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>
C 的左顶点T 为圆心作圆T ：
222(2)x y r ++=（0r >），设圆T 与椭圆C 交于点M 、N ．[_]
（1）求椭圆C 的方程；
（2）求TM TN ⋅的最小值，并求此时圆T 的方程；
（3）设点P 是椭圆C 上异于M 、N 的任意一点，且直线MP ，NP 分别与x 轴交于点R S 、（O 为坐标 原点），求证：OR OS ⋅为定值．
【命题意图】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，几何问题构建代数方法解决等基础知识，意在考查学生转化与化归能力，综合分析问题解决问题的能力，推理能力和运算能力．
24．在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）满足=3，其中=（2x+3，y），=（2x﹣﹣3，3y）．（1）求点P的轨迹方程；
（2）过点F（0，1）的直线l交点P的轨迹于A，B两点，若|AB|=，求直线l的方程．
颍东区第三中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：∵函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+cosx，
当0≤x＜π时，f（x）=1，
∴f（）=f（）=f（）+cos=f（）+cos+cos=f（）+cos+cos=f
（）+cos+cos=f（）+cos+cos+cos=0+cos﹣cos+cos=﹣．
故选：D．
【点评】本题考查抽象函数以及函数值的求法，诱导公式的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
2．【答案】D
【解析】解：y=|x|（x∈R）是偶函数，不满足条件，
y=（x≠0）是奇函数，在定义域上不是单调函数，不满足条件，
y=x（x∈R）是奇函数，在定义域上是增函数，不满足条件，
y=﹣x3（x∈R）奇函数，在定义域上是减函数，满足条件，
故选：D
3．【答案】C
【解析】解：∵=﹣1（n∈N*），
∴﹣=﹣1，
∴数列是等差数列，首项为=﹣2，公差为﹣1．
∴=﹣2﹣（n﹣1）=﹣n﹣1，
∴a n=1﹣=．
∴a10=．
故选：C．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4．【答案】A
【解析】解：∵条件p：x2+x﹣2＞0，
∴条件q：x＜﹣2或x＞1
∵q是p的充分不必要条件
∴a≥1
故选A．
5．【答案】A
【解析】解：∵x+x﹣1=3，
则x2+x﹣2=（x+x﹣1）2﹣2=32﹣2=7．
故选：A．
【点评】本题考查了乘法公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6．【答案】C
【解析】解：通过观察前几项可以发现：数列中符号是正负交替，每一项的符号为（﹣1）n+1，绝对值为3n ﹣2，故通项公式a n=（﹣1）n+1（3n﹣2）．
故选：C．
7．【答案】D
【解析】解：三所学校依次选医生、护士，不同的分配方法共有：C31C62C21C42=540种．
故选D．
8．【答案】A
【解析】解：取a=﹣时，f（x）=﹣x|x|+x，
∵f（x+a）＜f（x），
∴（x﹣）|x﹣|+1＞x|x|，
（1）x＜0时，解得﹣＜x＜0；
（2）0≤x≤时，解得0；
（3）x＞时，解得，
综上知，a=﹣时，A=（﹣，），符合题意，排除B、D；
取a=1时，f （x ）=x|x|+x ，
∵f （x+a ）＜f （x ），∴（x+1）|x+1|+1＜x|x|，
（1）x ＜﹣1时，解得x ＞0，矛盾； （2）﹣1≤x ≤0，解得x ＜0，矛盾； （3）x ＞0时，解得x ＜﹣1，矛盾； 综上，a=1，A=∅，不合题意，排除C ，
故选A ．
【点评】本题考查函数的单调性、二次函数的性质、不等式等知识，考查数形结合思想、分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，注意排除法在解决选择题中的应用．
9． 【答案】B
【解析】
由题知，通项公式为，令得，故选B
答案：B
10．【答案】C
【解析】解：∵集合M={x|x 2
﹣2x ﹣3＜0}={x|﹣1＜x ＜3}， N={x|log 2x ＜0}={x|0＜x ＜1}， ∴M ∩N={x|0＜x ＜1}=（0，1）． 故选：C ．
【点评】本题考查集合的交集及其运算，是基础题，解题时要注意一元二次不等式和对数函数等知识点的合理运用．
11．【答案】A 【解析】
试题分析：圆心(0,0),C r =，设切线斜率为，则切线方程为1(1),10y k x kx y k -=+∴-++=
，由
,1d r k =∴=，所以切线方程为20x y -+=，故选A.
考点：直线与圆的位置关系． 12．【答案】C
【解析】解：由a n+1=a n +2n ，得a n+1﹣a n =2n ，又a 1=1， ∴a 5=（a 5﹣a 4）+（a 4﹣a 3）+（a 3﹣a 2）+（a 2﹣a 1）+a 1
=2（4+3+2+1）+1=21． 故选：C ．
【点评】本题考查数列递推式，训练了累加法求数列的通项公式，是基础题．
二、填空题
13．【答案】【解析】
试题分析：因为ABC ∆中，2,60AB BC C ===︒2
sin A
=
，1sin 2A =，又
BC AB <，即A C <，所以30C =︒，∴90B =︒，AB BC ⊥，1
2
ABC
S AB BC ∆=⨯⨯=． 考点：正弦定理，三角形的面积．
【名师点睛】本题主要考查正弦定理的应用，三角形的面积公式．在解三角形有关问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据，一般来说，当条件中同时出现ab 及2
b 、2
a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正
弦、余弦交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦，再结合和、差、倍角的正弦公式进行解答．解三角形时．三角形面积公式往往根据不同情况选用不同形式1sin 2ab C ，12ah ，1()2a b c r ++，4abc R
等等．
14．【答案】 [﹣1，﹣） ．
【解析】解：作出y=|x ﹣2|，y=kx+1的图象，如图所示，直线y=kx+1恒过定点（0，1），结合图象可知k ∈[﹣
1，﹣）．
故答案为：[﹣1，﹣）．
【点评】本题考查全称命题，考查数形结合的数学思想，比较基础．
15．【答案】 ．
【解析】解：∵a 是甲抛掷一枚骰子得到的点数， ∴试验发生包含的事件数6，
∵方程x 2
+ax+a=0 有两个不等实根， ∴a 2
﹣4a ＞0，
解得a ＞4， ∵a 是正整数， ∴a=5，6，
即满足条件的事件有2种结果，
∴所求的概率是=，
故答案为：
【点评】本题考查等可能事件的概率，在解题过程中应用列举法来列举出所有的满足条件的事件数，是解题的关键．
16．【答案】
2017
2016
【解析】根据程序框图可知，其功能是求数列})
12)(12(2
{
+-n n 的前1008项的和，即 +⨯+⨯=532312S =-++-+-=⨯+)2017120151()5131()311(201720152 2017
2016
. 17．【答案】 2n ﹣1 ．
【解析】解：∵a 1=1，a n+1=a n +2n
， ∴a 2﹣a 1=2， a 3﹣a 2=22， …
a n ﹣a n ﹣1=2n ﹣1，
相加得：a n ﹣a 1=2+22+23+2…+2n ﹣1
，
a n =2n ﹣1，
故答案为：2n
﹣1，
18．【答案】 1 ．
【解析】解：点P（2，）化为P．
直线ρ（cosθ+sinθ）=6化为．
∴点P到直线的距离d==1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵f（1）=1，f（2）=5，f（3）=13，f（4）=25，
∴f（2）﹣f（1）=4=4×1．
f（3）﹣f（2）=8=4×2，
f（4）﹣f（3）=12=4×3，
f（5）﹣f（4）=16=4×4
∴f（5）=25+4×4=41．…
（Ⅱ）由上式规律得出f（n+1）﹣f（n）=4n．…
∴f（2）﹣f（1）=4×1，
f（3）﹣f（2）=4×2，
f（4）﹣f（3）=4×3，
…
f（n﹣1）﹣f（n﹣2）=4•（n﹣2），
f（n）﹣f（n﹣1）=4•（n﹣1）…
∴f（n）﹣f（1）=4[1+2+…+（n﹣2）+（n﹣1）]=2（n﹣1）•n，
∴f（n）=2n2﹣2n+1．…
20．【答案】
【解析】【知识点】三角函数的图像与性质恒等变换综合
【试题解析】（Ⅰ）因为
．
所以函数的最小正周期为．
（Ⅱ）由（Ⅰ），得．
因为，
所以，
所以．
所以．
且当时，取到最大值；
当时，取到最小值．
21．【答案】
【解析】解：由复数相等的条件，得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）解得或﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
【点评】本题考查复数相等的条件，以及方程思想，属于基础题．
22．【答案】（1）点P在直线上
（2）
【解析】（1）把极坐标系下的点化为直角坐标，得P（0，4）。

因为点P的直角坐标（0，4）满足直线的方程，
所以点P在直线上，
（2）因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为，
从而点Q到直线的距离为
，
23．【答案】
【解析】（1）依题意，得2a =
，c e a =
=
1,322=-==∴c a b c ；
故椭圆C 的方程为2
214
x y += ． （3分）
（3）设),(00y x P 由题意知：01x x ≠，01y y ≠±.
直线MP 的方程为),(01
01
00x x x x y y y y ---=
-
令0=y 得101001y y y x y x x R --=,同理：1
01
001y y y x y x x S ++=，
∴2
1
2
02
1
202021y y y x y x x x S R --=
⋅. （10分）
又点P M ,在椭圆上，故
)1(4),1(42
1212
020y x y x -=-=，
∴4)(4)1(4)1(42
1
2
02
12
02
1
2
02
1
2
02
02
1=--=
----=
y y y y y y y y y y x x S R ，
4R S R S OR OS x x x x ∴⋅=⋅==，
即OR OS ⋅为定值４. （13分）
24．【答案】
【解析】解：（1
）由题意，
=（2x+3）（2x ﹣3）+3y 2=3， 可化为4x 2+3y 2
=12
，即：
； ∴点P
的轨迹方程为
；
（2）①当直线l 的斜率不存在时，|AB|=4，不合要求，舍去；
②当直线l 的斜率存在时，设方程为y=kx+1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
代入椭圆方程可得：（4+3k 2）x 2
+6kx ﹣9=0，
∴x 1+x 2
=，x 1x 2
=，
∴
|AB|=•|x 1﹣x 2
|=
=
，
∴k=
±
，
∴直线l 的方程y=
±x+1．
【点评】本题考查了与直线有关的动点的轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了向量的坐标运算，训练了利用数量积，属于中档题．。