河北省唐山市海港高级中学高二数学上学期第一次月考试题新人教A版

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海港高级中学2021-2021学年高二第一学期第一次月考数学试题
一、选择题:本大题共12小题,每题5分,共60分,每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要
求的.
(1)P ,Q ,R ,S 别离在正方体的四条棱上,而且是所在棱的中点,那么直线PQ 与RS 是异面直线的图是
(2)为
了了解1000名学生的学习情形,采纳系统抽样的方式,从中抽取容量为40的样本,那么分
段的距离为 (A )50 (B )40 (C )25
(D )20
(3)以下命题中,不是..
公理的是 (A )平行于同一个平面的两个平面彼此平行 (B )过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面
(C )若是一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内
(D )若是两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
(4)关于直线m 、n 和平面α,以下命题中的真命题是
(A )若是m α,n α,m 、n 是异面直线,那么n ∥α (B )若是m α,n α,m 、n 是异面直线,那么n 与α相交 (C )若是m α,n ∥α,m 、n 共面,那么m ∥n (D )若是m ∥α,n ∥α,m 、n 共面,那么m ∥n
(5)已知一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°,
腰和上底均为1的等腰梯形,那么原平面图形的面积是 (A )2+
2
(B )1+2
2
开始
否 k =0,S =0
是 S =S +2k
k <3
结束
k =k +1
输出S
(C )2+22
(D )1+2
(6)执行如下图的程序框图,输出的S 值为
(A )1 (B )3 (C )7
(D )15
(7)3名同窗各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,那么周六、周日都有同窗参加公益活动的概率为
(A ) 1 4
(B ) 2 3
(C ) 1 2
(D ) 3 4
(8)高为2的直三棱柱的俯视图是一个边长为2的正三角形,如下图,那么那个直三棱柱的正视图的面积是
(A )4 (B )2 3
(C )3
(D )2
(9)如图,正方体A 1B 1C 1D 1-ABCD 中,AB 的中点为M ,DD 1的中点为N ,那么异面直线B 1M 与CN 所成
的角是 (A )30 (B )45 (C )60
(D )90
(10)设x ,y 知足约束条件⎩⎨⎧x +y -1≥0,
x -y -1≤0,x -3y +3≥0,
则z =x +2y 的最大值为
(A )8
(B )7 (C )2
(D )1
(11)已知直线l 平面,直线m 平面,有以下命题:


l m ;②l ∥m ;③l ∥m ;④l m ;
其中正确的命题是 (A )①与②
(B )③与④
(C)②与④(D)①与③
(12)如图,在棱长为1的正方体A1B1C1D1-ABCD中,点E,F别离是棱BC,CC1的中点,P 是侧面BCC1B1内一点,假设A1P//平面AEF,那么线段A1P长度的取值范围是
(A)[1,
5
2
](B)[
32
4

5
2
]
(C)[
5
2
,2](D)[2,3]
2
2 4
2 正视图
侧视图
俯视图 二、填空题:本大题共4小题,每题5分,共20分.
(13)如右图,一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等 腰直角三角形,若是直角三角形的直角边的长为1,那么那个几
何体的表面积为_____________.
(14)已知某几何体的三视图如右以下图所示,那么该几何体的体积为 ___________.
(15)在三棱锥V -ABC 中,VB =6,AC =3,P 为△VAC 的重
心,过点P 作三棱锥的一个截面,使截面平行于直线VB 和AC ,那么截面的周长为_________.
(16)已知正三棱柱内接于一个半径为2的球,那么正三棱柱的侧面
积取得最
大值时,其底面边长为_________.
三、解答题:解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤. (17)(本小题总分值10分)
如图,在正方体A 1B 1C 1D 1-ABCD 中,E ,F 别离为A 1D 与D 1C 的中点.
(Ⅰ)证明:EF ∥平面ABCD ; (Ⅱ)证明:DD 1
EF .
(18)(本小题总分值12分)
已知等差数列{a n }的前n 项和S n 知足S 3=6,S 5=15. (Ⅰ)求{a n }的通项公式; (Ⅱ)求数列{
1
a 2n -1a 2n +1
}的前n 项和.
(19)(本小题总分值12分)
如图,在边长为2的正方形ABCD 中,E ,F 别离是AB ,BC 的中点,将△AED ,△BEF ,△CFD 别离沿DE ,
EF ,DF 折起,使A ,B ,C 三点重合于点P .
(Ⅰ)求证:平面PDE 平面PEF ;
(Ⅱ)求P到平面DEF的距离.(20)(本小题总分值12分)
△ABC中,角A,B,C所对的边别离为角a,b,c.已知a=3,cos A=
6
3
,B=A+
2

(Ⅰ)求b的值;
(Ⅱ)求△ABC的面积.
(21)(本小题总分值12分)
如图,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,ACB=90,CA=CB=CC1,M,P,N别离为A1C1,A1C,BC 的中点.
(Ⅰ)证明平面MNP∥平面ABB1A1;
(Ⅱ)求A1C与平面ABB1A1所成的角.
(22)(本小题总分值12分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,PD平面ABCD,四边形ABCD为菱形,E,F为PC的三等分点.
(Ⅰ)证明:AC PB;
(Ⅱ)假设PD=3,AD=2,BAD=60,求二面角P-BC-A的大小;
(Ⅲ)在直线PB上是不是存在一点G,使平面BDE∥平面AFG?说明理由.
高二数学10月月考参考答案
一、选择题:本大题共12小题,每题5分,共60分,每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要
求的. (1-5)CCACA
(6-10)CDBDB
(11-12)DB
二、填空题:本大题共4小题,每题5分,共20分. (13)3+3
2
(14)3 (15)8 (16)6
三、解答题:解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤.
(17)证明:(Ⅰ)连接AD 1,AC ,∵E 是A 1D 的中点,∴E 也是AD 1的中点,
又F 是D 1C 的中点,∴EF 是△ACD 1的中位线, ∴EF ∥AC ,
……3分
又EF 平面ABCD ,AC 平面ABCD ,∴EF ∥平面ABCD .……5分 (Ⅱ)∵DD 1平面ABCD ,AC 平面ABCD ,∴DD 1AC ,……8分
又EF ∥AC ,∴DD 1
EF .
……10分
(18)解:(Ⅰ)设{a n }的公差为d ,那么S n =na 1+
n (n +1)
2
d .
由已知可得⎩
⎨⎧3a 1+3d =6,
5a 1+10d =15,解得a 1=1,d =1.
……4分
故{a n }的通项公式为a n =n .
……6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知1
a 2n -1a 2n +1=1
( 2n -1)(2n +1)= 1 2(12n -1-1
2n +1),
……9分
从而数列{
1
a 2n -1a 2n +1
}的前n 项和为
1 2(1- 1 3+ 1 3- 1 5+…+12n -1-12n +1)=n 2n +1. ……12分
(19)(Ⅰ)证明:由已知四边形ABCD 是正方形,

A =
B =
C =90,
又折叠后A ,B ,C 三点重合于点P , ∴PD PE ,PD PF ,PE PF , 又PE ∩PF =P ,∴PD 平面PEF ,
……4分 又PD 平面PDE ,∴平面PDE 平面PEF .
……6分
(Ⅱ)解:PD =2,PE =PF =1,EF =2,DE =DF =5,
S △DEF =
1
2
2
5- 1 2= 3
2
,设P 到平面DEF 的距离为d ,
由V P -DEF =V D -PEF ,得 1
3
S △DEF
d = 1
3
S △PEF
PD , ……9分
∴ 1 3 3 2d = 1 3 1 2112,∴d = 2 3, ∴P 到平面DEF 的距离为 2 3

……12分
(20)解:(Ⅰ)由题意可知sin A =
1-cos 2A =33
. ……2分
又因为B =A + 2,因此sin B =sin (A + 2)=cos A =6
3.
……4分
由正弦定理可知b =
a sin B
sin A
=32. ……6分
(Ⅱ)由B =A + 2,得cos B =cos (A + 2)=-sin A =-3
3.
……8分
由A +B +C =,得C =-(A +B ),
因此sin C =sin[-(A +B )]=sin(A +B )=sin A cos B +cos A sin B = 1
3. ……10分
S △ABC = 1 2ab sin C = 1
2
33
2 1 3=32
2

……12分
(21)(Ⅰ)证明:∵M ,P 别离是A 1C 1,A 1C 的中点,∴MP ∥CC 1,
又CC 1∥AA 1,∴MP ∥AA 1,又MP 平面ABB 1A 1,AA 1平面ABB 1A 1, ∴MP ∥平面ABB 1A 1,
……4分
同理PN ∥平面ABB 1A 1,MP ∩PN =P ,∴平面MNP ∥平面ABB 1A 1;……6分 (Ⅱ)解:取AB 中点D ,连接CD ,A 1D , ∵AA 1⊥平面ABC ,CD 平面ABC ,∴AA 1⊥CD ,
又∵AC =BC ,D 为AB 中点,∴CD ⊥AB ,又AA 1∩AB =A , ∴CD ⊥平面ABB 1A 1,
∴CA 1D 为A 1C 与平面ABB 1A 1所成的角.
……10分
在Rt △CA 1D 中,
CDA 1=90,设CA =1,可得CD =22
,A 1C =2,
sin CA 1D =CD
A 1C = 1
2,∴CA 1D =30,即A 1C 与平面ABB 1A 1所成的角为30.……12分
(22)(Ⅰ)证明:∵PD ⊥平面ABCD ,AC 平面ABCD ,∴PD ⊥AC ,
又四边形ABCD 为菱形,∴AC ⊥BD ,又PD ∩BD =D , ∴AC ⊥平面PBD ,又PB 平面PBD ,∴AC ⊥PB .……4分 (Ⅱ)解:取BC 中点H ,连接HD ,HC , 由四边形ABCD 为菱形,且
BAD =60,
得△BCD 为等边三角形,∴HD ⊥BC ,PH ⊥BC , ∴PHD 为二面角P -BC -A 的平面角,
……6分 在Rt△PDH 中,PDH =90,PD =DH =
3,
∴PHD =45,即二面角P -BC -A 的大小为45.……8分 (Ⅲ)解:当G 为PB 中点时,平面BDE ∥平面AFG .下证: 当G 为PB 中点时,连接FG ,AG ,设AC ∩BD =O ,连接OE ,
∵F ,G 别离是PE ,PB 的中点,∴FG ∥EB ,且FG 平面BDE ,EB 平面BDE , ∴FG ∥平面BDE ,同理,AF ∥平面BDE ,又AF ∩FG =F ,∴平面BDE ∥平面AFG , ∴当G 为PB 中点时,平面BDE ∥平面AFG . ……12分。

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