高中数学北师大版选修2-2 2.3 计算导数 课件
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第二章 变化率与导数 §3 计算导数
1
复习：1.平均变化率的概念：
函数f(x)从x1到x2的平均变化率:
f (x2 ) f (x1) x2 x1
f 习惯上用x表示x2 x1,即x=x2 x1。
x
类似地，f =f (x2 ) f (x1)。
2.导数的定义：
一般地，函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率是：
(3)当x=0时，y=0,求其导数如下：
y | 0 x | | 0 | | x |
x
x
x
14
为了解决可能遇到的导数计算问题，我们给出下列公式
基本初等函数的导数公式
公式1.若f (x) c,则f '(x) 0;
公式2.若f (x) xn ,则f '(x) nxn1;
公式3.若f (x) sin x, 则f '(x) cos x;
10
你能不能求出函数y=f(x)=x3的导数。 y' =3x2
由函数y=x ，y=x2 ，y=x3的导数为 1，2x，3x2
你猜测 y = x n 导数是什么? y' =nxn-1
11
例2、求函数y = f(x) =3x2-x的导函数，并 利用导函数求f’ (1) ， f’ (-2) ，f’ (0) .
解析 因为
y f (x x) f (x) 3(x)2 6xx x
x
x
x
3x 6x 1
所以 y lim y lim (3x 6x 1) 6x 1
x x0
x0
12
例2、求函数y = f(x) =3x2-x的导函数，并 利用导函数求f’ (1) ， f’ (-2) ，f’ (0) .
这又说明y什' 么?2x
4) y f (x) 1 , x
y
'
1 x2
7
练习1、求函数y=f(x)=c的导数。
解析 因为
y f (x x) f (x) c c 0
x
x
x
所以
y lim y lim 0 0 x0 x x0
8
练习2、求函数y=f(x)=x的导数
因为 y f (x x) f (x) x x x 1
15
公式4.若f (x) cos x,则f '(x) sin x;
公式5.若f (x) a x ,则f '(x) a x ln a(a 0);
公式6.若f (x) ex , 则f '(x) ex ;
公式7.若f
(x)
log a
x, 则f
'( x)
1 x ln
a
(a
0, 且a
1);
公式8.若f (x) ln x,则f '(x) 1 ; x
lim f (x0 x) f (x0 ) lim f (x0 x) f (x0 ) lim f .
x0 (x0 x) x0
x0
x
x0 x
我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数（derivative）， 记作 f '(x0 ) 或 y ' |xx0 ，即
f
'(x0 )
lim
x0
f
x
x
(3)求极限，得导函数y f (x) lim y . x0 x
4
例1：已知函数 y = x (1)求y' (2)求函数 y = x在 x = 2 处的导数
解：函数改变量 y= x+x x
算比值 y
x
x x x x
1 x x x
5
例1：已知函 y = x (1)求y' (2)求函数 y = x在 x = 2 处的导数
f / (x) ＝ y /
＝ lim y lim f (x x) f (x)
x0 x x0
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
求函数的导数的方法是:
说明:上面的方法
中把x换x0即为求
(1)求函数的增量y f (x 函数x)数. 在f点(xx)0;处的 导
(2)求函数的增量与自变量的增量的比值 :
y f (x x) f (x) ;
取极限
lim y lim
1
1
所以 x0 x x0 x x x 2 x
y 1 2x
y' |x2 f '(2)
2 4
6
请同学们求下列函数的导数:
1) 函数y=f(x)=c的导数. 公式:
2) y f (x) x, 3) y f (x) x2 ,
C 0 (C为常数).
y ' 1 表示y=x图象上每一点处的切线 斜率都为1
x
x
x
所以 y lim y lim 1 1
x0 x x0
9
练习3、求函数y=f(x)=x2的导数
因为 y f (x x) f (x) (x x)2 x2
x
x
x
x2 2x x (x)2 x2
x 2x x
所以 y lim y lim (2x x) 2x
x0 x x0
( x0
x) x
f
(x0 ) .
2
新课讲授 导函数
如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每点处 都有导数，此时对于每一个x∈(a,b)，都 对应着一个确定的导数 f / (x)，从而构成
了一个新的函数 f / (x) 。称这个函数 f / (x)
为函数y=f(x)在开区间内的导函数，简 称导数，也可记作 y /，即
x 1, x分别2将, x 0
带入f’ (x) ，可得
f’ (1) =6×1－1=5，
f’ (-2) =6×（-2）=-13 ，
f’ (0) =6×0－1=-1。
13
练习4、y=|x|(x∈R)有没有导函数，试求之。
解: (1)当x>0时，y=x, 则y' =1
(2)当x<0时，y=-x,不难求得y' =-1
1
复习：1.平均变化率的概念：
函数f(x)从x1到x2的平均变化率:
f (x2 ) f (x1) x2 x1
f 习惯上用x表示x2 x1,即x=x2 x1。
x
类似地，f =f (x2 ) f (x1)。
2.导数的定义：
一般地，函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率是：
(3)当x=0时，y=0,求其导数如下：
y | 0 x | | 0 | | x |
x
x
x
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为了解决可能遇到的导数计算问题，我们给出下列公式
基本初等函数的导数公式
公式1.若f (x) c,则f '(x) 0;
公式2.若f (x) xn ,则f '(x) nxn1;
公式3.若f (x) sin x, 则f '(x) cos x;
10
你能不能求出函数y=f(x)=x3的导数。 y' =3x2
由函数y=x ，y=x2 ，y=x3的导数为 1，2x，3x2
你猜测 y = x n 导数是什么? y' =nxn-1
11
例2、求函数y = f(x) =3x2-x的导函数，并 利用导函数求f’ (1) ， f’ (-2) ，f’ (0) .
解析 因为
y f (x x) f (x) 3(x)2 6xx x
x
x
x
3x 6x 1
所以 y lim y lim (3x 6x 1) 6x 1
x x0
x0
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例2、求函数y = f(x) =3x2-x的导函数，并 利用导函数求f’ (1) ， f’ (-2) ，f’ (0) .
这又说明y什' 么?2x
4) y f (x) 1 , x
y
'
1 x2
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练习1、求函数y=f(x)=c的导数。
解析 因为
y f (x x) f (x) c c 0
x
x
x
所以
y lim y lim 0 0 x0 x x0
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练习2、求函数y=f(x)=x的导数
因为 y f (x x) f (x) x x x 1
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公式4.若f (x) cos x,则f '(x) sin x;
公式5.若f (x) a x ,则f '(x) a x ln a(a 0);
公式6.若f (x) ex , 则f '(x) ex ;
公式7.若f
(x)
log a
x, 则f
'( x)
1 x ln
a
(a
0, 且a
1);
公式8.若f (x) ln x,则f '(x) 1 ; x
lim f (x0 x) f (x0 ) lim f (x0 x) f (x0 ) lim f .
x0 (x0 x) x0
x0
x
x0 x
我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数（derivative）， 记作 f '(x0 ) 或 y ' |xx0 ，即
f
'(x0 )
lim
x0
f
x
x
(3)求极限，得导函数y f (x) lim y . x0 x
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例1：已知函数 y = x (1)求y' (2)求函数 y = x在 x = 2 处的导数
解：函数改变量 y= x+x x
算比值 y
x
x x x x
1 x x x
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例1：已知函 y = x (1)求y' (2)求函数 y = x在 x = 2 处的导数
f / (x) ＝ y /
＝ lim y lim f (x x) f (x)
x0 x x0
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
求函数的导数的方法是:
说明:上面的方法
中把x换x0即为求
(1)求函数的增量y f (x 函数x)数. 在f点(xx)0;处的 导
(2)求函数的增量与自变量的增量的比值 :
y f (x x) f (x) ;
取极限
lim y lim
1
1
所以 x0 x x0 x x x 2 x
y 1 2x
y' |x2 f '(2)
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请同学们求下列函数的导数:
1) 函数y=f(x)=c的导数. 公式:
2) y f (x) x, 3) y f (x) x2 ,
C 0 (C为常数).
y ' 1 表示y=x图象上每一点处的切线 斜率都为1
x
x
x
所以 y lim y lim 1 1
x0 x x0
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练习3、求函数y=f(x)=x2的导数
因为 y f (x x) f (x) (x x)2 x2
x
x
x
x2 2x x (x)2 x2
x 2x x
所以 y lim y lim (2x x) 2x
x0 x x0
( x0
x) x
f
(x0 ) .
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新课讲授 导函数
如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每点处 都有导数，此时对于每一个x∈(a,b)，都 对应着一个确定的导数 f / (x)，从而构成
了一个新的函数 f / (x) 。称这个函数 f / (x)
为函数y=f(x)在开区间内的导函数，简 称导数，也可记作 y /，即
x 1, x分别2将, x 0
带入f’ (x) ，可得
f’ (1) =6×1－1=5，
f’ (-2) =6×（-2）=-13 ，
f’ (0) =6×0－1=-1。
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练习4、y=|x|(x∈R)有没有导函数，试求之。
解: (1)当x>0时，y=x, 则y' =1
(2)当x<0时，y=-x,不难求得y' =-1