垂径定理及推论教学设计

24.1.2垂径定理及其推论教学设计
【教材分析】
本节是《圆》这一章的重要内容，也是本章的基础。

它揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的内在关系，是圆的轴对称性的具体化；也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据；同时也为进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据；由垂径定理的得出，使学生的认识从感性到理性，从具体到抽象，有助于培养学生思维的严谨性。

同时，通过本节课的教学，对学生渗透类比、转化、数形结合、方程、建模等数学思想和方法，培养学生实验、观察、猜想、抽象、概括、推理等逻辑思维能力和识图能力。

所以它在教材中处于非常重要的位置。

【教学目标】
根据新课程标准的要求，课改应体现学生身心发展特点；应有利于引导学生主动探索和发现；有利于进行创造性的教学。

因此，我把本节课的教学目标确定为以下三个方面：
知识目标：
使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理；学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。

培养学生观察能力、分析能力及联想能力。

方法与过程目标：
经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及推论的过程，锻炼学生的思维品质，学习证明的方法。

情感态度与价值观目标:
在学生通过观察、操作、变换和研究的过程中进一步培养学生的思维能力，创新意识和良好的运用数学的习惯和意识。

【重点与难点】
重点：垂径定理及其推论的发现、记忆与证明。

难点：对垂径定理及其推论的探索和证明，并能应用垂径定理及推论进行简单计算或证明。

【学生分析】
九年级学生已了解圆的有关概念；但根据皮亚杰的认知发展理论：这个阶段的学生思维正处于具体思维向抽象思维发展、逻辑思维向形式思维发展、内部心理上逐步朝着自我反省的思维发展。

虽然他们具有一定的数学活动经验、生活经验和操作技能，会进行简单的说理，但他们的逻辑思维能力和抽象思维能力还比较薄弱。

对如何从实际问题中抽象出数学问题，建立数学模型的能力较差。

【教学方法】
鉴于教材特点及九年级学生的知识基础，根据教学目标和学生的认知水平，让学生在课堂上多活动、多观察、多合作、多交流，主动参与到整个教学活动中来，组织学生参与“实验---观察---猜想---证明”的活动，最后得出定理，这符合新课程理念下的“要把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学”的观点，也符合教师的主导作用与学生的主体地位相统一的原则。

同时，在教学中，我充分利用教具和课件，提高教学效果，在实验、演示、操作、观察、练习等师生的共同活动中启发学生，让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力，这符合新课程理念下的直观性与可接受性原则。

【设计理念】
在教学设计和课堂教学中应充分了解学生，研究学生，我们不仅要备教材，而且还要备学生。

要真正树立以学生的发展为本的教学理念。

只有这样，才能为学生提供充分的教学活动和交流的机会，使学生从单纯的的知识接受者变为数学学习的主人。

【教师准备】
《问题导读---评价单》、《问题生成---评价单》、《问题训练---评价单》
A O
B C
D
E
【教学过程的设计】
问题情境师生活动设计意图
创设情境，导入新课
1.将你手中的圆沿圆心对折，你会
发现圆是一个什么图形？
2.将手中的圆沿直径向上折，你会
发现折痕是圆的一条弦，这条弦
被直径怎样了？
3.一个残缺的圆形物件，你能找到
它的圆心吗？
4. 赵州桥是我国古代桥梁史的骄傲，我们能求出主桥拱的半径吗？
合作交流，探究新知
1.圆的对称性
（探究）圆是轴对称图形吗？它有几条对称轴？分别是什么？
2.垂径定理
（思考）如图：
AB是⊙O的一条
弦，作直径CD，使
CD⊥AB，垂足E。

①这个图形是对
称图形吗
②你能发现图中有哪些相等的线段
和弧？请说明理由。

③你能用一句话概括这些结论吗？
垂径定理：垂直于弦的直径平分
弦，并且平分弦所对的两条弧。

④你能用几何方法证明这些结论
吗？
⑤你能用符号语言表达这个结论吗？上课之前先检查学生对《问题导
读评价单》的完成情况
将学生分组，然后由小组长发放
《问题生成评价单》，然后小组
根据评价单中的问题进行讨论，
交流。

然后由组长进行汇总，选
出小组代表进行发言
我们一起来完成这个结论的证
明
教师出示问题，前两个问题可以
由学生动手操作，并观察结果，
得到初步结论。

后两个问题作为问题情境，激发
学生学习兴趣，引导学生进一步
的学习。

圆的对称性由学生发现并总结，
教师进行板书。

教师出示问题
学生小组讨论，发现垂径定理的
证明方法，并由学生代表发言。

学生尝试将文字转变为符号语
言，用几何符号表达定理的逻辑
关系。

教师更正。

教师明确定理中的条件和结论，
初步理解“知二得三”口诀的含
义。

教师循序渐进地将
一个个的问题抛
出，引导学生一步
步地进行思考和总
结，调动学生的学
习积极性，培养学
生的学习习惯。

培养学生的观察能
力，概括能力，分
析能力，从而调动
学生学习积极性，
使学生主动的获得
知识
让学生进一步熟悉
垂径定理的条件与
结论，并为探索垂
径定理的推论打基
础
3．垂径定理的推论
如上图，若直径CD平分弦AB则
①直径CD是否垂直且平分弦所对的两条弧？如何证明？
②你能用一句话总结这个结论吗？（即推论：平分弦的直径也垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧）
③如果弦AB是直径，以上结论还成立吗？
例题示范，变式练习
例1.如图。

在⊙O中弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离
OD=3cm，则⊙O的半
径为 cm
（1）连结什么可
得到一个直
角三形？
（2）利用什么知识可以解得半
径。

（3）从中你可总结出利用垂径定
理计算的什么技巧？
例2.如图，是赵州桥的几何示意图，若其中
AB是桥
的跨度
为37.4
米,桥拱
高CD为
7.2米,你能求出它所在的圆的主桥拱半径吗? 教师提出问题，引导学生进行思
考和讨论。

学生尝试得出垂径定理和推论，
教师规范并板书。

教师提醒学生此中的弦一定不
能是直径。

在例1中教师可通过问题设置,
引导学生联系弦、半径、弦心距
或者拱高等因素，从而构成直角
三角形，利用勾股定理解决问
题。

这也是解决计算问题的主要
方法，教师一定要重点重申。

此题是垂径定理计算题中另一
种题型，主要利用将垂径定理、
勾股定理、方程的知识进行综合
应用。

教师在提示后让学生进行小组
讨论，然后进行总结，得出结论，
让学生做好笔记，养成良好的学
习习惯。

让学生亲自探索出
各条推论，以使学
生以后在应用中可
明明白白不加怀疑
的应用知二推三，
并培养学生的团队
意识及资源共享的
意识
垂径定理的应用，
了解圆中辅助线的
添法，并规范论证
书写过程，能利用
图形迅速获取信
息，并找出垂径定
理所需的条件，巩
固并熟练垂径定理
的使用方法
O
A B
D
D
C
B
O
A
灵活应用，提高能力
1.已知：如图,AB 是⊙O 直径，CD 是弦，AE ⊥CD ，BF ⊥CD.
求证：EC ＝DF 2、已知：如图，⊙O 中 AB 为弦C 为AB 的中点，OC 交AB 于D ，AB = 6cm ，CD=1cm. 求⊙O 的半径OA.
轻松过关
发放《问题训练评价单》，让学生独立完成其练习题
归纳总结，形成体系 通过这堂课的学习你有什么收获?知
道了哪些新知识？学会了做什么
学生独立练习，而后再与同桌交
流，上讲台演示，教师要重点关
注“学困生”
．
生独立完成问题评价单中的练习题，老师进行讲评，主要培养
学生独立解题能力
学生畅所欲言，从知识、方
法、情感态度等方面谈收获，谈
体会，并结合本节教学目标，发
现在学习中学会了什么，还存在哪些问题。

综合应用，巩固提高课本例题涉及的问题，因此设计该分层推进的补充题，巩固本节所学知识。

鼓励学生从数学知识、数学方法和数学情感等方面进行自我评价，培养学生归纳和语言表达能力。

使学生的知识更加完整和清晰，形成知识体系。

.
A O
B E
C
D F D C B A
O
《24.1.2垂径定理及其推论教学设计问题导读——评价单》 设计者： 班级： 姓名：
【教学目标】
根据新课程标准的要求，课改应体现学生身心发展特点；应有利于引导学生主动探索和发现；有利于进行创造性的教学。

因此，我把本节课的教学目标确定为以下三个方面： 知识目标：
使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理；学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。

培养学生观察能力、分析能力及联想能力。

方法与过程目标：
经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及推论的过程，锻炼学生的思维品质，学习证明的方法。

情感态度与价值观目标:
在学生通过观察、操作、变换和研究的过程中进一步培养学生的思维能力，创新意识和良好的运用数学的习惯和意识。

【重点与难点】
重点：垂径定理及其推论的发现、记忆与证明。

难点：对垂径定理及其推论的探索和证明，并能应用垂径定理及推论进行简单计算或证明。

1．已知AB 是⊙O 的弦，AB ＝8cm ，OC ⊥AB 与C ，OC=3cm ，则⊙O 的半径为 cm 2．如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，若∠COD ＝120°，OE ＝3厘米，则CD ＝ 厘米
3.半径为6cm 的圆中，垂直平分半径OA 的弦长为 cm.
4.过⊙O 内一点M 的最长的弦长为6cm ，最短的弦长为4cm ，则OM 的长
等于 cm
5.如图，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为5，OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ， 且CD ＝l ，则弦AB 的长是
通过预习本节内容你未解决的问题有：
自我评价： 小组评价： 教师评价：
O
图 4
E D
C
B
A
《24.1.2垂径定理及推论教学设计问题生成——评价单》
请同学们在预习的基础上，将生成的问题充分交流后，在单位时间内完成下列题目，并准备多元化展示.
带着问题走进丰富多彩的数学世界
1.将你手中的圆沿圆心对折，你会发现圆是一个什么图形？
2.将手中的圆沿直径向上折，你会发现折痕是圆的一条弦，这条弦被直径怎样了？
3.一个残缺的圆形物件，你能找到它的圆心吗？
4. 赵州桥是我国古代桥梁史的骄傲，我们能求出主桥拱的半径吗？
分析通过上述问题，学生自己动手操作可以得出圆是轴对称图形，而且对称轴是过直径的直线，由此我们可以得出垂径定理及推论
归纳垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

注意在推论里，平分的这条弦一定不能为直径，否则推论不成立。

例1.如图在⊙O中弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离OD=3cm，则⊙O的半径为 cm （1）连结什么可得到一个直角三形？
（2）利用什么知识可以解得半径。

（3）从中你可总结出利用垂径定理计算的什么技巧？
例2.如图，是赵州桥的几何示意图，若
其中AB是桥的跨度为37.4米,桥拱高
CD为7.2米,你能求出它所在的圆的主
桥拱半径吗?
小组评价：教师评价：
O
A B
D
D
C
B O
A
《24.1.2垂径定理及推论教学设计问题训练——评价单》
设计者： 班级： 姓名：
1．如图1，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，那么弦AB 的长是（ ）
A ．4
B ．6
C ．7
D ．8
2.如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 长的最小值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
3．下列命题中，正确的是（ ） A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C ．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心
D ．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心
4.如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( )
A ．5米
B ．8米
C ．7米
D ．53米
5．⊙O 的半径为5cm ，弦AB//CD ，且AB=8cm,CD=6cm,则AB 与CD 之间的距离为( )
A ． 1 cm
B ． 7cm
C ． 3 cm 或4 cm
D ． 1cm 或
7cm
6.如图，在直角坐标系中，以点P 为圆心的圆弧与轴交于A 、B 两点，已知P(4，2) 和A(2，0)，则点B 的坐标是
7、已知⊙O 的半径长为50cm ，弦AB 长50cm. 求：（1）点O 到AB 的距离；（2）∠AOB 的大小
B
A P
O
y
x
《24.1.2垂径定理及其推论教学设计问题导读——评价单》答案1、5 cm 2、63 cm 3、63 cm 4、5 5、6
《24.1.2垂径定理及其推论教学设计问题训练——评价单》答案【夯实基础】
1、D
2、B
3、D
4、B
5、D
【拓展提升】
60
6、(6，0)
7、（1）253（2）0。