专题03 复数基础篇-2018年高考数学备考艺体生系列 含

专题三 复数
复数的概念及其几何意义
【背一背基础知识】
1．形如a bi +(),a b R ∈的数叫复数，其中i 叫做复数的虚数单位，且21i =-，a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部．复数集用集合C 表示． 2．复数的分类：对于复数z a bi =+(),a b R ∈
① 当0b =时，z 是实数； ② 当0b ≠时，z 是虚数； ③ 当0a =且0b ≠时，
z 是纯虚数．
3．复数相等：若1z a bi =+(),a b R ∈，2z c di =+(),c d R ∈，则12z z =的充要条件是a c =且b d =．
特别地：若0a bi +=(),a b R ∈的充要条件是0a b ==． 4．复数z a bi =+(),a b R ∈与复平面内的点(),Z a b 一一对应．
复数z a bi =+(),a b R ∈与复平面内所有以原点O 为起点的向量OZ
一一对应． 5．复数的模：向量OZ
的模叫做复数z a bi =+(),a b R ∈的模，记作z 或a bi +
，且||z =
【讲一讲基本技能】
1．必备技能：对于复数的基本概念及其几何意义的考查，一般首先通过复数的基本运算将复数利用一般形式进行表示，然后利用相关知识与公式进行求解． 2．典型例题
例1【2017课标1，文3】下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ） A ．i(1+i)2
B ．i 2(1-i)
C ．(1+i)2
D ．i(1+i)
【答案】C 【解析】
试题分析：由2
(1)2i i +=为纯虚数知选C ．
例2【2018届福建省闽侯第四中学高三上学期期末】已知i 是虚数单位，复数
()11Z m m i =-++（其中m R ∈）是纯虚数，则m =（ ）
A. 1-
B. 1
C. 1±
D. 0 【答案】B
【解析】因为复数是纯虚数，即10{
10
m m -=+≠ ，解得1m =，故选B.
例3【2017课标3，文2】复平面内表示复数i(2i)z =-+的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】C
【解析】由题意：12z i =--，在第三象限. 所以选C.
【练一练趁热打铁】
1.【2017北京，文2】若复数(1i)(i)a -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是
（A ）(,1)-∞ （B ）(,1)-∞- （C ）(1,)+∞ （D ）(1,)-+∞ 【答案】B
2.设复数113z i =-，21z i =-，则12z z +在复平面内对应的点在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 【答案】D
【解析】()()1213124z z i i i +=-+-=-，对应点的坐标为()2,4-，所以复数12z z +在复平面内对应的点在第四象限，故选D ． 3.【2017课标1，理3】设有下面四个命题
1p ：若复数z 满足1
z
∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；
3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .
其中的真命题为 A.13,p p
B ．14,p p
C ．23,p p
D ．24
,p p
【答案】B
【解析】
复数四则运算
【背一背基础知识】
1．共轭复数：实部相等，虚部互为相反数．若z a bi =+(),a b R ∈，则它的共轭复数
z a bi =-．
2．复数的加法、减法、乘法、除法运算：
加法、减法法则：()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+±；
乘法法则：()()()()2
a bi c di ac adi bci bdi ac bd ad bc i +⋅+=+++=-++；
除法法则：
()()()()2222
a bi c di a bi ac bd bc ad
i c di c di c di c d c d
+-++-==+++-++． 【讲一讲基本技能】
1．必备技能：对于复数的基本运算，首先确定复数的实部与虚部，然后利用复数四则运算的基本运算法则进行即可． 2．典型例题
例1【2017课标II ，文2】(1i)(2i)++= （ ） A.1i - B.13i + C.3i + D.33i + 【答案】B
例2【2017山东，文2】已知i 是虚数单位,若复数z 满足i 1i z =+,则2
z =（ ） A.-2i B.2i C.-2 D.2 【答案】A 【解析】
试题分析：由i 1i z =+得2
2
(i)(1i)z =+,即22i z -=,所以2
2i z =-,故选A. 例3.设103i
z i
=
+，则z 的共轭复数为 （ ） A ．13i -+ B ．13i -- C ．13i + D ．13i - 【答案】D ． 【解析】()()()
1031013,333i i i z i z i i i -=
==+∴++-的共轭复数为13i -，故选D ． 【练一练趁热打铁】
1.【2017山东，理2】已知a R ∈,i 是虚数单位，若,4z a z z =+⋅=，则a=
（A ）1或-1 （B （C ） （D
【解析】试题分析：由,4z a z z =+⋅=得234a +=，所以1a =±，故选A.
2．【2016年高考北京理数】设a R ∈，若复数(1)()i a i ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a =_______________. 【答案】1-.
【解析】(1)()1(1)1i a i a a i R a ++=-++∈⇒=-，故填：1-. 3．复数
21i
i
+的模是 ．
． 【解析】因为
()()()()()21212111112i i i i i i i i i i i --===-=+++-，
=．
（一） 选择题（12*5=60分）
1．【2018届山东省菏泽市高三上学期期末】复数z 的共轭复数()()122+z i i =+，则z = ( )
A. 5i -
B. 5i
C. 1+5i
D. 15i - 【答案】A
【解析】()()122+5,5z i i i z i =+=∴=- . 故选A.
2.【2018届河北省邢台市高三上学期期末】设复数3z i =-，则复数z
i
的实部为（ ）
A. -3
B. 3
C. -1
D. 1 【答案】C
【解析】复数3z i =-， 3,z i =-- 313311
z i i
i i i ---===--
，故实部为-1.
故答案为：C.
3.【2018届山西省吕梁市高三上学期第一次模拟】已知i 是虚数单位，复数
2
1i
-
的虚部为
A. 1
B. i
C. -1
D. i - 【答案】A
【解析】()()()
21i 2
1i 1i 1i 1i +==+--+，故虚部为1.
4．【2018届安徽省马鞍山市高三第一次（期末】i 是虚数单位，复数21
1z i i
=++在复平面内对应的点在( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C.
第三象限 D. 第四象限 【答案】C
5．【2018届福建省漳州市高三1月调研】在复平面内，复数z 1和z 2对应的点分别是A(2，1)和B(0，1)，则
1
2
z z = ( ) A. －1－2i B. －1＋2i C. 1－2i D. 1＋2i 【答案】C
【解析】由已知得z 1＝2＋i ，z 2＝i ，所以
＝222212121
i i i i i i i ++-+===--，故选C.
6．【2018届福建省漳州市高三1月调研】若复数z 满足z(2－i)＝1＋7i ，则|z|＝( )
C. D. 2 【答案】B
【解析】因为()()()()
17i 2i 17i 13i 2i 2i 2i z +++===-+--+
，所以z =故选B.
7.【2018届福建省闽侯第四中学高三上学期期末】已知复数4723i
z i
-=+，则在复平面内，复数z 所对应的点位于（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限 【答案】C 【解析】()()()()47234713261223232313
i i i i
z i i i i -----=
===--++- ，复数所对应的点为()1,2-- ，为第三象限的点，故选C.
8．【2018届湖南省长沙市长郡中学高三上学期月考】已知复数12z i =-，
()2z m i m R =+∈，若动12z z ⋅为纯虚数，则12z z ⋅=（ ）
A.
52i B. 5
2
C. 2i -
D. -2 【答案】A
【解析】因为12z z ⋅为纯虚数，故得到()()()12·
2122z z i m i m m i =-+=++-， 1210.2m m +=⇒=- 1252
i z z ⋅=.
故答案为：A.
9.已知i 是虚数单位，1
1z i
=+，则z =（ ）
A ．0
B ．1
C ．
D ．2 【答案】C ．
【解析】111z i i
=+=- =
，故选C ．
10．已知复数1z i =-（i 为虚数单位），z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是（ ）
A ．1z i =--
B ．1z i =-+
C ．2z = 【答案】D
【解析】1z i =- ，1z i ∴=+=D ．
11.【2016高考新课标Ⅲ文数】若z ） （A ）1
（B ）1-
（C ）43i 55
+
（D ）
43i 55
- 【答案】D
【解析】
43i ||55
z z ==-，故选D ． 12．【2018届河北省唐山市高三上学期期末】已知复数31i
z i
+=
-，则关于z 的四个命题：
1:p z 的虚部为2i ； 2:p z =
3:p z 的共轭复数为12i - 4:p z 在复平面内对应的点在第四象限.
其中的真命题为( )
A. 12,p p
B. 24,p p
C. 23,p p
D. 34,p p 【答案】C
二、填空题（4*5=20分）
13．复数1
i i
-+_______.
【来源】【全国区级联考】北京市东城区2018届高三上学期期末考试数学（文）试题 【答案】-2i 【解析】1i i -+=22i
i i i i i
-+=--=-. 故答案为-2i.
14．【2018届北京市通州区高三上学期期末】已知复数
2i i
a
-的实部与虚部相等，那么实数a =_______.
【答案】2 【解析】复数
()()()2i 2i 2i i a i a ai i -⋅--==+⋅- ，由题意复数
2i i
a
-的实部与虚部相等，则
实数a =2, 即答案为2.
15．【2018届福建省厦门市高三年级上学期期末】复数z 满足()1i 2i z -=，则
z =__________．
【解析】由题意得2i 2i(1i)
i(1i)1i 1i (1i)(1i)
z +=
==+=-+--+，
∴|1i|z =-+=
答案：.l ’ik,
16．【2018届河北省廊坊市第八高级中学高三模拟】若复数z 满足32i z i ⋅=-+，且其对应的点为Z ，则点Z 的坐标为__________． 【答案】()2,3 【解析】3223i
z i i
-+==+，所以()2,3Z ，填()2,3．。