2017-2018年江苏省苏州市常熟市高二上学期期中数学试卷及答案

2017-2018学年江苏省苏州市常熟市高二（上）期中数学试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卷相应位置上.
1．（5分）已知直线l的斜率为﹣1，则它的倾斜角为．
2．（5分）已知圆C的方程为x2+y2+2x﹣y=0，则它的圆心坐标为．3．（5分）若直线a和平面α平行，且直线b⊂α，则两直线a和b的位置关系为．
4．（5分）已知直线l1：ax+3y﹣1=0与直线l2：2x+（a﹣1）y+1=0垂直，则实数a=．
5．（5分）已知直线l：x+2y﹣4=0与坐标轴交于A、B两点，O为坐标原点，则经过O、A、B三点的圆的标准方程为．
6．（5分）圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则这个圆锥的高是．
7．（5分）已知P，Q分别为直线x+3y﹣9=0和x+3y+1=0上的动点，则PQ的最小值为．
8．（5分）已知m，n是空间两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下面说法正确的有．
①若m⊂α，m⊥β，则α⊥β；
②若m⊂α，α∩β=n，α⊥β，则m⊥n；
③若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n；
④若m∥α，m⊂β，α∩β=n，则m∥n．
9．（5分）直线x﹣2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是．
10．（5分）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱，其各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为．
11．（5分）若直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=8分成长度相同的四段弧，则ab=．
12．（5分）已知正三棱锥的体积为9cm3，高为3cm．则它的侧面积为cm2．
13．（5分）已知点A（1，2），B（﹣3，﹣1），若圆x2+y2=r2（r＞0）上恰有两点
M，N，使得△MAB和△NAB的面积均为5，则r的取值范围是．14．（5分）已知线段AB的长为2，动点C满足（μ为常数，μ＞﹣1），且点C始终不在以点B为圆心为半径的圆内，则μ的范围是．
二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卷指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（14分）如图：四棱锥P﹣ABCD中，PD=PC，底面ABCD是直角梯形AB⊥BC，AB∥CD，CD=2AB，点M是CD的中点．
（1）求证：AM∥平面PBC；
（2）求证：CD⊥PA．
16．（14分）已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（﹣1，5），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．
（1）求平行四边形ABCD的顶点D的坐标；
（2）在△ACD中，求CD边上的高所在直线方程；
（3）求四边形ABCD的面积．
17．（15分）已知圆C经过A（﹣2，1），B（5，0）两点，且圆心C在直线y=2x 上．
（1）求圆C的方程；
（2）动直线l：（m+2）x+（2m+1）y﹣7m﹣8=0过定点M，斜率为1的直线m 过点M，直线m和圆C相交于P，Q两点，求PQ的长度．
18．（15分）斜棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥面ABC，侧面AA1C1C为菱形，∠A1AC=60°，E，F分别为A1C1和AB的中点．
（1）求证：平面CEF⊥平面ABC；
（2）若三棱柱的所有棱长为2，求三棱柱F﹣ECB的体积；
（3）D为棱BC上一点，若C1D∥EF，请确定点D位置，并证明你的结论．
19．（16分）已知圆C的圆心在直线3x+y﹣1=0上，且圆C在x轴、y轴上截得的弦长AB和MN分别为和．
（1）求圆C的方程；
（2）若圆心C位于第四象限，点P（x，y）是圆C内一动点，且x，y满足，求的范围．
20．（16分）已知，B（0，2），C（1，0），斜率为的直线l过点A，且l和以C为圆C相切．
（1）求圆C的方程；
（2）在圆C上是否存在点P，使得，若存在，求出所有的点P的坐标；若不存在说明理由；
（3）若不过C的直线m与圆C交于M，N两点，且满足CM，MN，CN的斜率依次为等比数列，求直线m的斜率．
2017-2018学年江苏省苏州市常熟市高二（上）期中数学
试卷
参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卷相应位置上.
1．（5分）已知直线l的斜率为﹣1，则它的倾斜角为．
【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[θ，π）．
∴tanθ=﹣1，解得θ=．
故答案为：．
2．（5分）已知圆C的方程为x2+y2+2x﹣y=0，则它的圆心坐标为（﹣1，）．【解答】解：圆C的方程为x2+y2+2x﹣y=0，即（x+1）2+（y﹣）2 =，则圆心坐标为（﹣1，），
故答案为：（﹣1，）．
3．（5分）若直线a和平面α平行，且直线b⊂α，则两直线a和b的位置关系为平行或异面．
【解答】解：如图，在正方体AC1中，
直线A1B1∥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，BC⊂平面ABCD，
A1B1∥AB，A1B1与BC异面．
∴直线a∥平面α，直线b在平面α内，则直线a与b的位置关系可能平行、可能异面．
故答案为：平行或异面．
4．（5分）已知直线l1：ax+3y﹣1=0与直线l2：2x+（a﹣1）y+1=0垂直，则实数a=．
【解答】解：∵直线l1：ax+3y﹣1=0与直线l2：2x+（a﹣1）y+1=0垂直，
∴斜率之积等于﹣1，他们的斜率分别为和，
∴×=﹣1，∴a=，
故答案为．
5．（5分）已知直线l：x+2y﹣4=0与坐标轴交于A、B两点，O为坐标原点，则经过O、A、B三点的圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．
【解答】解：根据题意，直线l：x+2y﹣4=0与坐标轴的交点为（4，0）、（0，2），经过O、A、B三点的圆即△OAB的外接圆，
又由△OAB为直角三角形，则其外接圆直径为|AB|，圆心为AB的中点，
则有2r==2，即r=，
圆心坐标为（2，1），
则要求圆的方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5；
故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．
6．（5分）圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则这个圆锥的高是2．
【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，
根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，
2πr=，
r=1；
圆锥的高为：=2．
故答案为：2．
7．（5分）已知P，Q分别为直线x+3y﹣9=0和x+3y+1=0上的动点，则PQ的最小值为．
【解答】解：P，Q分别为直线x+3y﹣9=0和x+3y+1=0上的动点，则PQ的最小值为这两条平行直线间的距离，
为=，
故答案为：．
8．（5分）已知m，n是空间两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下面说法正确的有①④．
①若m⊂α，m⊥β，则α⊥β；
②若m⊂α，α∩β=n，α⊥β，则m⊥n；
③若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n；
④若m∥α，m⊂β，α∩β=n，则m∥n．
【解答】解：对于①，若m⊂α，m⊥β，根据面面垂直的判定可得α⊥β，故正确；
对于②，若m⊂α，α∩β=n，α⊥β，则m、n不一定垂直，故错；
对于③，若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m于n可能平行，可能异面，故错；
对于④，若m∥α，m⊂β，α∩β=n，根据线面平行的性质可判定m∥n，故正确．故答案为：①④．
9．（5分）直线x﹣2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是x+2y﹣3=0．【解答】解：在直线x﹣2y+1=0上任取两点（1，1），（0，），
这两点关于直线x=1的对称点分别为（1，1），（2，），
过这两点的直线方程为y﹣1=﹣（x﹣1），
即x+2y﹣3=0．
故答案为：x+2y﹣3=0．
10．（5分）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱，其各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为．
【解答】解：因为正四棱柱底面边长为1，侧棱长为，
所以它的体对角线的长是：2．
所以球的直径是：2，半径为1．
所以这个球的体积是：．
故答案为：．
11．（5分）若直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=8分成长度相同的四段弧，则ab=﹣7．
【解答】解：如图，∵直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=8分成长度相同的四段弧，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD=，OA=OB=OC=OD=r=2，
E、F是AB和CD的中点，则OE=OF===2．
∴圆心（1，2）到直线l1：y=x+a和l2：y=x+b的距离都是2，
∴，解得a=1﹣2，b=1+2或a=1+2，b=1﹣2．
∴ab=（1+2）（1﹣2）=﹣7．
故答案为：﹣7．
12．（5分）已知正三棱锥的体积为9cm3，高为3cm．则它的侧面积为18 cm2．
【解答】解：正三棱锥的体积为9cm3，高为3cm．
可得底面正三角形的面积为：，解得S=9．
设底面边长为xcm．
由题意可得：，解得x=6．
侧面斜高h==2．
∴它的侧面积S=3××6×2=18．
故答案为：18．
13．（5分）已知点A（1，2），B（﹣3，﹣1），若圆x2+y2=r2（r＞0）上恰有两点M，N，使得△MAB和△NAB的面积均为5，则r的取值范围是（1，3）．【解答】解：由题意可得|AB|==5，根据△MAB和△NAB的面积均为5，
可得两点M，N到直线AB的距离为2．
由于AB的方程为，即3x﹣4y+5=0．
若圆上只有3个点到直线AB的距离为2，
则有圆心（0，0）到直线AB的距离=r﹣2，解得r=3，
又圆上的点到AB的距离最大值为1+r（只有一个点），故当r≤1时1+r≤2，不可能存在两点到AB的距离都是2．
故r＞1
此时AB与圆相交
要满足题意，则r﹣1＜2得r＜3
∴1＜r＜3
故答案为：（1，3）．
14．（5分）已知线段AB的长为2，动点C满足（μ为常数，μ＞﹣1），且点C始终不在以点B为圆心为半径的圆内，则μ的范围是（﹣1，﹣]∪[，+∞）．
【解答】解：以线段AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示；
设点C（x，y），则A（﹣1，0），B（1，0），
=（﹣1﹣x，﹣y），=（1﹣x，﹣y）；
由，得（﹣1﹣x）（1﹣x）+（﹣y）2=μ，
∴u=x2+y2﹣1；①
又点C不在以点B为圆心为半径的圆内，
∴（x﹣1）2+y2≥，
即x2+y2﹣2x+1≥；②
由①②得μ≥2x﹣，其中x≤或x≥；
当x≤时，μ≤﹣，当x≥时，μ≥；
又μ＞﹣1，
∴μ的范围是﹣1＜μ≤﹣或μ≥．
故答案为：（﹣1，﹣]∪[，+∞）．
二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卷指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（14分）如图：四棱锥P﹣ABCD中，PD=PC，底面ABCD是直角梯形AB⊥BC，AB∥CD，CD=2AB，点M是CD的中点．
（1）求证：AM∥平面PBC；
（2）求证：CD⊥PA．
【解答】证明：（1）∵底面ABCD是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，CD=2AB，点M是CD的中点
∴AB CM，∴四边形ABCM是平行四边形，
∴AM∥BC，
∵AM⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，
∴AM∥平面PBC．
（2）∵PD=PC，点M是CD的中点，
∴PM⊥CD，
∵底面ABCD是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，AM∥BC，
∴CD⊥AM，
∵PM∩AM=M，
∴CD⊥平面PAM，
∵PA⊂平面PAM，
∴CD⊥PA．
16．（14分）已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（﹣1，5），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．
（1）求平行四边形ABCD的顶点D的坐标；
（2）在△ACD中，求CD边上的高所在直线方程；
（3）求四边形ABCD的面积．
【解答】解：（1）解法一：设D（x，y），
∵A（﹣1，5），B（﹣2，﹣1），C（2，3），，
∴（﹣1，﹣6）=（2﹣x，3﹣y），
∴x=3，y=9，即D（3，9）．
解法二：∵A（﹣1，5），B（﹣2，﹣1），C（2，3），
∴AC中点为，
该点也为BD中点，设D（x，y），
则可得D（3，9）；
（2）∵A（﹣1，5），B（﹣2，﹣1），C（2，3），
∴CD边的斜率k CD==6，
∴CD边上的高的斜率为，
∴CD边上的高所在的直线方程为y﹣5=﹣（x+1），即x+6y﹣29=0．
（3）解法一：∵B（﹣2，﹣1），C（2，3）．
∴直线BC：=，即x﹣y+1=0，
∴A到BC的距离为d=，
又BC==4，
∴四边形ABCD的面积为．
解法二：∵，，
∴由余弦定理得
∴
∴四边形ABCD的面积为．
17．（15分）已知圆C经过A（﹣2，1），B（5，0）两点，且圆心C在直线y=2x 上．
（1）求圆C的方程；
（2）动直线l：（m+2）x+（2m+1）y﹣7m﹣8=0过定点M，斜率为1的直线m 过点M，直线m和圆C相交于P，Q两点，求PQ的长度．
【解答】解：（1）设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
则，
解得D=﹣4，E=﹣8，F=﹣5，
∴圆C的方程：x2+y2﹣4x﹣8y﹣5=0；
（2）动直线l的方程为（x+2y﹣7）m+2x+y﹣8=0．
则得，∴动直线l过定点M（3，2），
∴直线m：y=x﹣1，
∴圆心C（2，4）到m的距离为，
∴PQ的长为．
18．（15分）斜棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥面ABC，侧面AA1C1C为菱形，∠A1AC=60°，E，F分别为A1C1和AB的中点．
（1）求证：平面CEF⊥平面ABC；
（2）若三棱柱的所有棱长为2，求三棱柱F﹣ECB的体积；
（3）D为棱BC上一点，若C1D∥EF，请确定点D位置，并证明你的结论．
【解答】解：（1）
；
（2）∵CE⊥面ABC，∴CE为三棱锥E﹣BCF的高，
在Rt△CC1E中，可得，
又∵，
∴；
（3）D为棱BC中点点，
∵C1D∥EF，∴C1，D，E，F共面，
．
19．（16分）已知圆C的圆心在直线3x+y﹣1=0上，且圆C在x轴、y轴上截得的弦长AB和MN分别为和．
（1）求圆C的方程；
（2）若圆心C位于第四象限，点P（x，y）是圆C内一动点，且x，y满足，求的范围．
【解答】解：（1）设圆心为（a，b），半径为r，
则有
得或，
圆C：（x﹣1）2+（y+2）2=9或．
（2）∵圆心C在第四象限，∴圆C的方程为（x﹣1）2+（y+2）2=9，
∴，，
∴，
∵x，y满足，
∴（或），
又∵P在圆C内，满足（x﹣1）2+（y+2）2＜9且
∴4y2+8y﹣5＜0，解得，
∴．
∴的范围[﹣，10）．
20．（16分）已知，B（0，2），C（1，0），斜率为的直线l过点A，且l和以C为圆C相切．
（1）求圆C的方程；
（2）在圆C上是否存在点P，使得，若存在，求出所有的点P的坐标；若不存在说明理由；
（3）若不过C的直线m与圆C交于M，N两点，且满足CM，MN，CN的斜率依次为等比数列，求直线m的斜率．
【解答】解：（1）∵，B（0，2），C（1，0），斜率为的直线l过点A，
∴l：x﹣2y+4=0，
∵直线l和圆C相切，∴设圆C的半径为r，
则，
∴圆C：（x﹣1）2+y2=5．
（2）设P（x，y），则由PB2=8PA2，得7x2+7y2+16x﹣20y+22=0，
又∵点P在圆C上，∴，
相减得：3x﹣2y+5=0，
代入x2+y2﹣2x=4，得13x2+22x+9=0，
解得x=﹣1或，
∴点的坐标为P（﹣1，1）或；
（3）若直线m的斜率不存在，则MN的斜率也不存在，不合题意：
若直线m的斜率不存在，设直线m：y=kx+b，M（x1，y1），N（x2，y2），
直线m与圆（x﹣1）2+y2=5联立，得（1+k2）x2+2（kb﹣1）x+b2﹣4=0，由k2=k CM k CN，得，
即k2（x1x2﹣x1﹣x2+1）=（kx1+b）（kx2+b）．
整理得：，
∵m不过C点，∴k+b≠0，∴上式化为k（x1+x2）+b﹣k=0．
将代入得：k2b﹣k+k3﹣b=0，
即（k2﹣1）（k+b）=0，
∵k+b≠0，∴k2=1，
∴直线m的斜率为±1．
赠送初中数学几何模型
【模型一】
“一线三等角”模型： 图形特征：
60
°
60°
60°
45°
45°
45°
运用举例：
1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；
x
y
B C
A
O
2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则
14S S += ．
l
s 4
s 3
s 2
s 1
3
2
1
3. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；
（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．
E
B
4.如图，已知直线112y x =
+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线21
2
y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

（1）求该抛物线的解析式；
（2）动点P 在x 轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，求点P 的坐标P ； （3）在抛物线的对称轴上找一点M ，使|AM －MC |的值最大，求出点M 的坐标。

x y
E
D
A
C
B
5.如图，已知正方形ABCD 中，点E 、F 分别为AB 、BC 的中点，点M 在线段BF 上（不与点B 重合），连接EM ，将线段EM 绕点M 顺时针旋转90°得MN ，连接FN ． （1）特别地，当点M 为线段BF 的中点时，通过观察、测量、推理等，猜想：∠NFC = °，BM NF
= ；
（2）一般地，当M 为线段BF 上任一点（不与点B 重合）时，（1）中的猜想是否仍然成立？请说明理由；
（3）进一步探究：延长FN 交CD 于点G ，求FM NG
的值
G
N
E D
A
6..如图，矩形AOBC 中，C 点的坐标为(4，3)，，F 是BC 边上的一个动点（不与B ，C 重合），过F 点的反比例函数k
y x =(k >0)的图像与AC 边交于点E 。

(1)若BF ＝1，求△OEF 的面积；
(2)请探索：是否在这样的点F ，使得将△CEF 沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点k 的值；若不存在，请说明理由
x y E F C A B O。