忆阻混沌系统的同步
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研 究者 的 注意 。
近年来 ， Ｓ ｔ ｒ ｕ ｋ ｏ ｖ 等人 发明了一些具有记忆特点的元件之后 ， 忆 阻器应用在混沌系统 中非常广泛 ： 可
用于 电路 的设计 或对 生物 的记 忆特点 进行 实 验 等 ， 文献 ［ ３ ， ４ ］ 采 用 的忆 阻器 造 成 了忆 阻 或忆 导 都 是 间 断 的 非 线性 函数 ， 是 因为忆 阻器 的特 点是 不 光滑 的间 断段 线 性 函 数 ， 并 且 只是 简 单 地分 析 了所 提 出混 沌 电路 的
图１ 所示。
收稿 日期 ： ２ ０ １ ４ — １ ０ — ２ ８ ： 修 回 日期 ： ２ ０ １ ４ － １ ２ － ０ ４ ．
基金项 目： 重庆市教委科研资助项 目（ Ｋ Ｊ １ ３ ０ ６ ０ ６ ） ． 作者简介 ： 陈福利 （ １ ９ ９ ０ 一 ） ， 女， 重庆忠县人 ， 硕士研究生 ， 从事微分方程 与动力 系统研究
（ ａ ＞ Ｏ ， ｂ ＞ Ｏ， ‘ Ｄ 是 忆 阻元 件 的状 态 变量 ） ， 式（ １ ） 的状 态方程 可 改写成 无 量纲 的状 态方 程 ：
） ＝ 击 （ ） 一 ㈩ ）
） ＝ １（
，
（ ￡ ）
（ ） ）
（ ２ ） （ ｆ ） ）
，
（ ｆ ） ＝ （ ｔ ）
第３ ２卷 第 ８期
Ｖ０ ｌ ＿ ３ ２ ＮＯ ． ８
重 庆工 商 大学学报 （自然科 学版 ）
Ｊ Ｃ ｈ ｏ ｎ ｇ ｑ ｉ ｎ ｇ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ Ｂ ｕ ｓ ｉ ｎ ｅ ｓ ｓ Ｕ ｎ ｉ ｖ ． （ Ｎ ａ ｔ Ｓ ｃ ｉ Ｅ ｄ ）
阻 混 沌 系 统 的 同 步
２ ５
图１ 四阶忆 阻 混沌 电路
利用 这个 电路 导 出 了忆 阻 混沌 电路 的方 程 ：
ｌ （ ￡ ） ＝ 击 ￡ ） 一 （ ） ）
ｃ ） ） （ １ ）
・ １
（ ） 麦 （ Ｇ （ ‘ ） 一 （ ） ）
ｘ Ｘｔ ） ： ， （ ￡ ）
图 ｌ的所 示 的忆 阻混 沌 电路 系统 是一 个 四维 系统 ， 它 的动力 学特性 由式 （ ２ ） 描述 。
摘
要： 忆阻器之所以引起 了人们的大量关注， 是 因为它具有其一些特殊的特点， 在普通的混沌系统 中
代 替蔡 氏二 极 管 通 过 用 忆 阻 器 ， 因之 得 到 了一 个 忆 阻 混 沌 系统 ； 研 究 了忆 阻 混 沌 系统 的 同 步 ， 通 过 用 Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ 稳 定性 理论 ， 并设 计 一个脉 冲控 制 器 来 实现 忆 阻 混 沌 系统 在 不 同的条 件 下 的 同步 ， 从 理 论 分 析 上
动力学 特点 ， 在此 基础 上 ， 利 用 混沌动 力学 特征 和 以往 研 究过 的理论 分 析方 法 ， 现将 对 其 进一 步 研 究忆 阻混 沌 电路 的同步 问题 。
１ 模 型 建 立
在２ ０ ０ ８年 ， ｈ ｏ ｈ和蔡少 棠提 出 了一个用 忆 阻器代 替 了蔡 氏二极管 ， 导 推 出了一 个 四阶忆 阻混 沌 电路 ， 如
说 明 了结 果的有 效性 。
关键 词 ： 忆 阻器 ； 混沌 系统 ； 同步 中图分 类号 ： ０ １ ５ ７ ． ２ 文 献标识 码 ： Ａ 文章 编 号 ： １ ６ ７ ２ － ０ ５ ８ Ｘ（ ２ ０ １ ５ ） ０ ８ － ０ ０ ２ ４ － ０ ４
蔡少棠教授¨ 在１ ９ ７ １ 年第一次提出了” 忆阻器” 的观点 ， 它被当做是 电感 、 电阻、 电容除外 的又一个基
线性严格增加的弧线忆阻模 型， 取代了线性振荡器中的蔡氏晶体二极管 ， 得到 了一个含有忆阻器的混沌系
统， 并对 它 的动力 学 特性进 行 了分析 。其后 Ｍｕ ｔ ｈ ｕ ｓ ｗ ａ ｍ ｙ 选 用一 个 分段 不 连续 的线性 忆 阻器 导 函数 ， 替换 了 蔡 氏二极 管 ， 形成 了一 个崭 新 的忆 阻 混沌 系统 ｊ ， 忆 阻器从 出现 开始 ， 它 的使 用 范 围 和 应 用条 件 吸 引 了
Ａｕｇ ． ２ ０１ ５
ｄ ｏ ｉ ： １ ０ ． １ ６ ０ ５ ５ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ６ ７ ２ — ０ ５ ８ Ｘ． ２ ０ １ ５ ． ０ ０ ０ ８ ． ０ ０ ６
忆 阻混沌 系统 的 同步 木
陈 福 利
（ 重庆师范大学 数学学 院， 重庆 ４ ０ １ ３ ３ １ ）
（ ） ＝Ｖ ｌ （ ￡ ） 令Ｘ ， １ （ ｔ ） ＝Ｖ ｌ （ ｔ ） ， ： （ ￡ ） ＝ｉ （ ￡ ） ， ， （ ｔ ） ＝Ｉ ， ２ （ ｔ ） ， （ ￡ ） ＝ （ ￡ ） ， Ｇ＝１ ， 以及 定 义 忆 导 函数 ： （ ） ＝一 ａ ＋ ３ ｂ ￣ 其 中
用 在一 个大 的密度 存储 空 间里 ， 成功 的构造 了一 个简 单 的数 据存 储 装 置 。忆 阻器非 常 容 易发 生 混 沌振 荡 信
号， 于是 ， 大 量研究 人 员通过 采用 忆 阻器 ， 创 建 了忆 阻 混沌 系 统 ］ 。Ｉ ｔ ｏ ｈ和蔡 少 棠 引 进 了一个 拥 有 分 段
本 电路元 件 ， 当电荷流 过忆 阻器 两端 时 ， 忆 阻器 可 以记 住 当前 的电荷 量 ， 又 因为 这 样 ， 所 以忆 阻器 又被 称 之 为“ 记忆 电阻” 。忆 阻 器是一 个非 线性 的且 是 无 源 的元 件 ， 显 示 了许 多 特别 的性 质 ２ ］ ， 辅 助研 究 人 员 用忆 阻 器 解释 了纳 米系 统 中的几种 现象 ， 例如 ： 在 自旋 电子 元 件 和热 敏 电阻 中 ， 研 究 人 员在 Ｈ Ｐ实验 室 中把忆 阻器
近年来 ， Ｓ ｔ ｒ ｕ ｋ ｏ ｖ 等人 发明了一些具有记忆特点的元件之后 ， 忆 阻器应用在混沌系统 中非常广泛 ： 可
用于 电路 的设计 或对 生物 的记 忆特点 进行 实 验 等 ， 文献 ［ ３ ， ４ ］ 采 用 的忆 阻器 造 成 了忆 阻 或忆 导 都 是 间 断 的 非 线性 函数 ， 是 因为忆 阻器 的特 点是 不 光滑 的间 断段 线 性 函 数 ， 并 且 只是 简 单 地分 析 了所 提 出混 沌 电路 的
图１ 所示。
收稿 日期 ： ２ ０ １ ４ — １ ０ — ２ ８ ： 修 回 日期 ： ２ ０ １ ４ － １ ２ － ０ ４ ．
基金项 目： 重庆市教委科研资助项 目（ Ｋ Ｊ １ ３ ０ ６ ０ ６ ） ． 作者简介 ： 陈福利 （ １ ９ ９ ０ 一 ） ， 女， 重庆忠县人 ， 硕士研究生 ， 从事微分方程 与动力 系统研究
（ ａ ＞ Ｏ ， ｂ ＞ Ｏ， ‘ Ｄ 是 忆 阻元 件 的状 态 变量 ） ， 式（ １ ） 的状 态方程 可 改写成 无 量纲 的状 态方 程 ：
） ＝ 击 （ ） 一 ㈩ ）
） ＝ １（
，
（ ￡ ）
（ ） ）
（ ２ ） （ ｆ ） ）
，
（ ｆ ） ＝ （ ｔ ）
第３ ２卷 第 ８期
Ｖ０ ｌ ＿ ３ ２ ＮＯ ． ８
重 庆工 商 大学学报 （自然科 学版 ）
Ｊ Ｃ ｈ ｏ ｎ ｇ ｑ ｉ ｎ ｇ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ Ｂ ｕ ｓ ｉ ｎ ｅ ｓ ｓ Ｕ ｎ ｉ ｖ ． （ Ｎ ａ ｔ Ｓ ｃ ｉ Ｅ ｄ ）
阻 混 沌 系 统 的 同 步
２ ５
图１ 四阶忆 阻 混沌 电路
利用 这个 电路 导 出 了忆 阻 混沌 电路 的方 程 ：
ｌ （ ￡ ） ＝ 击 ￡ ） 一 （ ） ）
ｃ ） ） （ １ ）
・ １
（ ） 麦 （ Ｇ （ ‘ ） 一 （ ） ）
ｘ Ｘｔ ） ： ， （ ￡ ）
图 ｌ的所 示 的忆 阻混 沌 电路 系统 是一 个 四维 系统 ， 它 的动力 学特性 由式 （ ２ ） 描述 。
摘
要： 忆阻器之所以引起 了人们的大量关注， 是 因为它具有其一些特殊的特点， 在普通的混沌系统 中
代 替蔡 氏二 极 管 通 过 用 忆 阻 器 ， 因之 得 到 了一 个 忆 阻 混 沌 系统 ； 研 究 了忆 阻 混 沌 系统 的 同 步 ， 通 过 用 Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ 稳 定性 理论 ， 并设 计 一个脉 冲控 制 器 来 实现 忆 阻 混 沌 系统 在 不 同的条 件 下 的 同步 ， 从 理 论 分 析 上
动力学 特点 ， 在此 基础 上 ， 利 用 混沌动 力学 特征 和 以往 研 究过 的理论 分 析方 法 ， 现将 对 其 进一 步 研 究忆 阻混 沌 电路 的同步 问题 。
１ 模 型 建 立
在２ ０ ０ ８年 ， ｈ ｏ ｈ和蔡少 棠提 出 了一个用 忆 阻器代 替 了蔡 氏二极管 ， 导 推 出了一 个 四阶忆 阻混 沌 电路 ， 如
说 明 了结 果的有 效性 。
关键 词 ： 忆 阻器 ； 混沌 系统 ； 同步 中图分 类号 ： ０ １ ５ ７ ． ２ 文 献标识 码 ： Ａ 文章 编 号 ： １ ６ ７ ２ － ０ ５ ８ Ｘ（ ２ ０ １ ５ ） ０ ８ － ０ ０ ２ ４ － ０ ４
蔡少棠教授¨ 在１ ９ ７ １ 年第一次提出了” 忆阻器” 的观点 ， 它被当做是 电感 、 电阻、 电容除外 的又一个基
线性严格增加的弧线忆阻模 型， 取代了线性振荡器中的蔡氏晶体二极管 ， 得到 了一个含有忆阻器的混沌系
统， 并对 它 的动力 学 特性进 行 了分析 。其后 Ｍｕ ｔ ｈ ｕ ｓ ｗ ａ ｍ ｙ 选 用一 个 分段 不 连续 的线性 忆 阻器 导 函数 ， 替换 了 蔡 氏二极 管 ， 形成 了一 个崭 新 的忆 阻 混沌 系统 ｊ ， 忆 阻器从 出现 开始 ， 它 的使 用 范 围 和 应 用条 件 吸 引 了
Ａｕｇ ． ２ ０１ ５
ｄ ｏ ｉ ： １ ０ ． １ ６ ０ ５ ５ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ６ ７ ２ — ０ ５ ８ Ｘ． ２ ０ １ ５ ． ０ ０ ０ ８ ． ０ ０ ６
忆 阻混沌 系统 的 同步 木
陈 福 利
（ 重庆师范大学 数学学 院， 重庆 ４ ０ １ ３ ３ １ ）
（ ） ＝Ｖ ｌ （ ￡ ） 令Ｘ ， １ （ ｔ ） ＝Ｖ ｌ （ ｔ ） ， ： （ ￡ ） ＝ｉ （ ￡ ） ， ， （ ｔ ） ＝Ｉ ， ２ （ ｔ ） ， （ ￡ ） ＝ （ ￡ ） ， Ｇ＝１ ， 以及 定 义 忆 导 函数 ： （ ） ＝一 ａ ＋ ３ ｂ ￣ 其 中
用 在一 个大 的密度 存储 空 间里 ， 成功 的构造 了一 个简 单 的数 据存 储 装 置 。忆 阻器非 常 容 易发 生 混 沌振 荡 信
号， 于是 ， 大 量研究 人 员通过 采用 忆 阻器 ， 创 建 了忆 阻 混沌 系 统 ］ 。Ｉ ｔ ｏ ｈ和蔡 少 棠 引 进 了一个 拥 有 分 段
本 电路元 件 ， 当电荷流 过忆 阻器 两端 时 ， 忆 阻器 可 以记 住 当前 的电荷 量 ， 又 因为 这 样 ， 所 以忆 阻器 又被 称 之 为“ 记忆 电阻” 。忆 阻 器是一 个非 线性 的且 是 无 源 的元 件 ， 显 示 了许 多 特别 的性 质 ２ ］ ， 辅 助研 究 人 员 用忆 阻 器 解释 了纳 米系 统 中的几种 现象 ， 例如 ： 在 自旋 电子 元 件 和热 敏 电阻 中 ， 研 究 人 员在 Ｈ Ｐ实验 室 中把忆 阻器