内蒙古包头一中2016-2017学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析

2016-2017学年内蒙古包头一中高二（上）期中数学试卷（文科）一.选择题（本大题共12题，每题5分，共60分）
1．椭圆的离心率为（）
A．B．C．2 D．4
2．设a，b∈R，则“a＞b”是“|a|＞|b|”的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知||=1，||=，|﹣2|=，则向量，的夹角为（）
A．B．C．D．
4．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）
A．y= B．y= C．y=±x D．y=
5．给出下列命题：
（1）“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题；
（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；
（3）“若m≤1，则x2﹣2x+m=0有实根”的逆否命题；
（4）“若A∩B=B，则A⊆B”的逆否命题．
其中为真命题的是（）
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（2）（3） D．（3）（4）
6．已知椭圆的长轴是8，离心率是，此椭圆的标准方程为（）
A．
B．或
C．
D．或
7．若向量、、两两所成的角相等，且||=1，||=1，||=3，则|++|等于（）
A．2 B．5 C．2或5 D．或
8．设=（1，2），=（1，1）且与+λ的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（）
A．（﹣，0）∪（0，+∞）B．（﹣，+∞）C．[﹣，0）∪（0，+∞）D．（﹣
，0）
9．已知方程﹣=1表示双曲线，那么k的取值范围是（）
A．k＞5 B．﹣2＜k＜2 C．k＞2或k＜﹣2 D．k＞5或﹣2＜k＜2
10．设D为△ABC所在平面内一点，，则（）
A．B．
C．D．
11．已知△ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）
A． B．6 C． D．12
12．设双曲线的焦点为F1、F2，过F1作x轴的垂线与该双曲线相交，其中一
个交点为M，则||=（）
A．5B．4C．3D．2
二.填空题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13．命题“∃∈R，x2+2x+5=0”的否定是．
14．若命题p：曲线﹣=1为双曲线，命题q：函数f（x）=（4﹣a）x在R上是
增函数，且p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是．
15．已知点F1（﹣4，0），F2（4，0），动点P满足|PF2|﹣|PF1|=4，则动点P的轨迹方程为．
16．在直角三角形ABC中，∠C=，AB=2，AC=1，若=，则•=．
三.解答题（本大题共6题，共70分）
17．求符合下列条件的双曲线的标准方程
（1）焦点在x轴上，顶点间的距离为6，渐近线方程为y=±
（2）与椭圆+=1共焦点，它们的离心率之和为．
18．已知，的夹角为60°，，，当实数k为何值时，
（1）
（2）．
19．已知点P是椭圆+=1上的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形面积等于1，求点P的坐标．
20．在四边形ABCD中，已知∥，=（6，1），=（x，y），=（﹣2，﹣3）．（1）求用x表示y的关系式；
（2）若⊥，求x、y值．
21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）上的动点到焦点距离的最小值为．以原点
为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于A，B两点，P为椭圆上一点，且满足+
=t（O为坐标原点）．当|AB|=时，求实数t的值．
22．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）过点，且离心率e为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．
2016-2017学年内蒙古包头一中高二（上）期中数学试卷
（文科）
参考答案与试题解析
一.选择题（本大题共12题，每题5分，共60分）
1．椭圆的离心率为（）
A．B．C．2 D．4
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】根据椭圆方程和椭圆基本量的平方关系，可得a=2、b=，从而算出c=1，由此即得该椭圆离心率的值．
【解答】解：∵椭圆的方程为，
∴a2=4，b2=3，可得c==1，
因此椭圆的离心率e=，
故选：B
2．设a，b∈R，则“a＞b”是“|a|＞|b|”的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：若a=1，b=﹣2，满足a＞b，但|a|＞|b|不成立，
若a=﹣2，b=1，满足|a|＞|b|，但a＞b不成立，
即“a＞b”是“|a|＞|b|”的既不充分也不必要条件，
故选：D．
3．已知||=1，||=，|﹣2|=，则向量，的夹角为（）
A．B．C．D．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】利用向量数量积运算性质即可得出．
【解答】解：∵|﹣2|=，
∴=，
∴5=，
解得=，
∴向量，的夹角为．
故选：C．
4．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）
A．y= B．y= C．y=±x D．y=
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．
【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），
则离心率e===，即4b2=a2，
故渐近线方程为y=±x=x，
故选：D．
5．给出下列命题：
（1）“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题；
（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；
（3）“若m≤1，则x2﹣2x+m=0有实根”的逆否命题；
（4）“若A∩B=B，则A⊆B”的逆否命题．
其中为真命题的是（）
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（2）（3） D．（3）（4）
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】①写出逆命题，进行判断
②写出否命题，进行判断
③若m≤1，△=4﹣4m≥0，原命题为真，逆否命题也为真
④若A∩B=B，则A⊆B”为假，逆否命题也为假．
【解答】解：“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy=1”为真命题．（1）正确．
“面积相等的三角形全等”是假命题，其否命题为真命题．（2）正确．
当m≤1时，△=4﹣4m≥0，x2﹣2x+m=0有实根，命题为真，逆否命题也为真（3）正确．“若A∩B=B，则A⊆B”为假命题，逆否命题也为假．（4）错误
综上所述，为真命题的是（1）（2）（3）
故选C
6．已知椭圆的长轴是8，离心率是，此椭圆的标准方程为（）
A．
B．或
C．
D．或
【考点】椭圆的标准方程．
【分析】根据椭圆的基本概念，结合题意算出a=4且c=3，从而得到b2=a2﹣c2=7．再根据椭圆的焦点位置，即可确定此椭圆的标准方程．
【解答】解：∵椭圆的长轴为8，离心率是，
∴2a=8，e==，解得a=4，c=3，b2=a2﹣c2=7，
因此，当椭圆的焦点在x轴上时，其方程为；
椭圆的焦点在y轴上时，其方程为．
故选：B
7．若向量、、两两所成的角相等，且||=1，||=1，||=3，则|++|等于（）
A．2 B．5 C．2或5 D．或
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】设向量所成的角为α，则先求出的值即可求出，
【解答】解：由向量、、两两所成的角相等，设向量所成的角为α，由题意可知α=0°或α=120°
则=+++2（++）=11+2（||•||cosα+|
|•||cosα+||•||cosα）=11+14cosα
所以当α=0°时，原式=5；
当α=120°时，原式=2．
故选C
8．设=（1，2），=（1，1）且与+λ的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（）
A．（﹣，0）∪（0，+∞）B．（﹣，+∞）C．[﹣，0）∪（0，+∞）D．（﹣
，0）
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】若设θ为与的夹角，θ为锐角⇒cosθ＞0，且cosθ≠1，根据条件及两向量夹角的余弦公式即可求得λ的取值范围，并且在求时，先求它的平方．
【解答】解：=（1，2）•（1+λ，2+λ）=3λ+5，
=5+6λ+2λ2，；
∴设与的夹角为θ且θ为锐角，则：
cosθ==＞0，且
∴解得：λ，且λ≠0．
∴实数λ的取值范围是．
故选A．
9．已知方程﹣=1表示双曲线，那么k的取值范围是（）
A．k＞5 B．﹣2＜k＜2 C．k＞2或k＜﹣2 D．k＞5或﹣2＜k＜2
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由双曲线方程的特点可得（k﹣5）（|k|﹣2）＞0，解之可得．
【解答】解：若方程﹣=1表示的曲线为双曲线，
则（k﹣5）（|k|﹣2）＞0，解得k＞5或﹣2＜k＜2．
故选D．
10．设D为△ABC所在平面内一点，，则（）
A．B．
C．D．
【考点】平行向量与共线向量．
【分析】将向量利用向量的三角形法则首先表示为，然后结合已知表示为
的形式．
【解答】解：由已知得到如图
由===；
故选：A．
11．已知△ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）
A． B．6 C． D．12
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长．
【解答】解：由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，
可得△ABC的周长为4a=，
故选C
12．设双曲线的焦点为F1、F2，过F1作x轴的垂线与该双曲线相交，其中一个交点为M，则||=（）
A．5B．4C．3D．2
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】依题意，可求得﹣=1的左焦点F1（﹣3，0），从而可求得||，利用双
曲线的定义即可求得||．
【解答】解：∵双曲线﹣=1中a2=3，b2=6，
∴c2=a2+b2=9，
∴c=3，故左焦点F1（﹣3，0）．
依题意，设M（﹣3，y0），则=﹣1=2，
∴y0=±2，故|MF1|=2．
∵M（﹣3，y0）为左支上的点，
∴|MF2|﹣|MF1|=2，
∴|MF2|=2+|MF1|=4，即||=4．
故选B．
二.填空题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13．命题“∃∈R，x2+2x+5=0”的否定是∀x∈R，x2+2x+5≠0．
【考点】命题的否定．
【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断．
【解答】解：命题的特称命题，则命题的否定是全称命题，
即∀x∈R，x2+2x+5≠0，
故答案为：∀x∈R，x2+2x+5≠0
14．若命题p：曲线﹣=1为双曲线，命题q：函数f（x）=（4﹣a）x在R上是
增函数，且p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是（﹣∞，2]∪[3，6）．【考点】复合命题的真假；双曲线的简单性质．
【分析】通过p∨q为真命题，p∧q为假命题，判断两个命题的真假关系，分别求出命题是真命题时a的范围，即可求解结果．
【解答】解：当p为真命题时，（a﹣2）（6﹣a）＞0，解之得2＜a＜6．
当q为真命题时，4﹣a＞1，即a＜3．
由p∨q为真命题，p∧q为假命题知p、q一真一假．
当p真q假时，3≤a＜6．当p假q真时，a≤2．
因此实数a的取值范围是（﹣∞，2]∪[3，6）．
故答案为：（﹣∞，2]∪[3，6）．
15．已知点F1（﹣4，0），F2（4，0），动点P满足|PF2|﹣|PF1|=4，则动点P的轨迹方程
为．
【考点】轨迹方程．
【分析】由条件知，点P的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线左支，从而写出轨迹的方程即可．
【解答】解：由|PF2|﹣|PF1|=4＜|F1F2|知，点P的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线左支，得c=4，2a=4，
∴a=2，
∴b2=12，
故动点P的轨迹方程是．
故答案为
16．在直角三角形ABC 中，∠C=，AB=2，AC=1，若
=
，则
•
=
．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据结合图形得出==
，
=0， =2×
×COS30°，
转化得出
•
=（
）•
=+
求解即可．
【解答】解：∵直角三角形ABC 中，∠C=，AB=2，AC=1，
∴根据勾股定理得出BC=，sin ∠ABC ═
=，即∠ABC=30°
∵若=
，
∴==
， =0，
=2××COS30°=3
∴
•
=（）•
=
+
=
×3=
故答案为：
三.解答题（本大题共6题，共70分） 17．求符合下列条件的双曲线的标准方程
（1）焦点在x 轴上，顶点间的距离为6，渐近线方程为y=±
（2）与椭圆+=1共焦点，它们的离心率之和为．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】（1）由题意，2a=6， =，求出a ，b ，即可求出双曲线的标准方程；
（2）椭圆+=1的焦点坐标为（0，±4），离心率为，可得双曲线的焦点坐标为（0，±4），离心率为2，求出a，b，即可求出双曲线的标准方程．
【解答】解：（1）由题意，2a=6，=，
∴a=3，b=1，
∴双曲线的标准方程为=1；
（2）椭圆+=1的焦点坐标为（0，±4），离心率为，
∴双曲线的焦点坐标为（0，±4），离心率为2，
∴，
∴双曲线的标准方程为=1．
18．已知，的夹角为60°，，，当实数k为何值时，
（1）
（2）．
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量共线（平行）的坐标表示．
【分析】（1）由可知存在实数t，使，可得k与t的方程组，解
之可得；（2）由=（）•（）=0可得关于k的方程，解之即可．
【解答】解：（1）由可知存在实数t，使，
即，解得，
故k=时，可得；
（2）由=（）•（）=0可得
15+3k+（5k+9）=0，
代入数据可得15×4+27k+（5k+9）×=0，
解得k=﹣，
故当k=﹣时，．
19．已知点P是椭圆+=1上的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形面积等
于1，求点P的坐标．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由椭圆方程可知： +=1，c==1，由三角的面积公式可知：S=•2c•
丨y丨=1，即丨y丨=1，代入椭圆方程得：=1，即可求得丨x丨=，即可求得
点P的坐标．
【解答】解：F1、F2是椭圆+=1的左、右焦点，c==1，
则F1（﹣1，0），F2（1，0），
设P（x，y）是椭圆上的一点，
由三角的面积公式可知：S=•2c•丨y丨=1，即丨y丨=1，
将丨y丨=1代入椭圆方程得：=1，
解得：丨x丨=，
∴点P的坐标为（，1））（﹣，1）（）（，﹣1）．
20．在四边形ABCD中，已知∥，=（6，1），=（x，y），=（﹣2，﹣3）．（1）求用x表示y的关系式；
（2）若⊥，求x、y值．
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量共线（平行）的坐标表示．
【分析】（1），由，能求出y=﹣．
（2）=（x+6，y+1），=（x﹣2，y﹣3），由，y=﹣，能
求出x、y值．
【解答】（本小题满分12分）
解：（1）∵=（6，1），=（x，y），=（﹣2，﹣3），
∴…
∵，
∴x（﹣2+y）=y（4+x）…
∴y=﹣，…
（2）∵=（6，1），=（x，y），=（﹣2，﹣3），
∴=（x+6，y+1），
=（x﹣2，y﹣3），
∵，
∴（x+6）（x﹣2）+（y+1）（y﹣3）=0，
又∵y=﹣，
解得或．
21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）上的动点到焦点距离的最小值为．以原点
为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于A，B两点，P为椭圆上一点，且满足+
=t（O为坐标原点）．当|AB|=时，求实数t的值．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
【分析】（Ⅰ）利用椭圆C： +=1（a＞b＞0）上的动点到焦点距离的最小值为，可求a﹣c的值，利用直线与圆相切，可得b的值，由此可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线AB的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理及|AB|=， +=t，即可求得结论．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知a﹣c=﹣1；…
又因为b==1，所以a2=2，b2=1．…
故椭圆C的方程为+y2=1．…
（Ⅱ）设直线AB的方程为y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），
由得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0．…
△=64k4﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）＞0，∴k2．…
x1+x2=，x1x2=．
又由|AB|=，得|x1﹣x2|=，即
=…
可得…
又由+=t，得（x1+x2，y1+y2）=t（x，y），则=，
=…
故，即16k2=t2（1+2k2）．…
得，t2=，即t=±．…
22．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）过点，且离心率e为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】解法一：（1）由已知得，解得即可得出椭圆E的方程．
（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为H（x0，y0）．直线方程与椭圆方程联立化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，利用根与系数的关系中点坐标公式可得：
y0=．|GH|2=．=，作差
|GH|2﹣即可判断出．
解法二：（1）同解法一．
（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），则=，=．直线
方程与椭圆方程联立化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，计算=
即可得出∠AGB，进而判断出位置关系．
【解答】解法一：（1）由已知得，解得，
∴椭圆E的方程为．
（2）设点A（x1y1），B（x2，y2），AB中点为H（x0，y0）．
由，化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，
∴y1+y2=，y1y2=，∴y0=．
G，
∴|GH|2==+=++．
==
=，
故|GH|2﹣=+=﹣+
=＞0．
∴，故G在以AB为直径的圆外．
解法二：（1）同解法一．
（2）设点A（x1y1），B（x2，y2），则=，=．
由，化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，
∴y1+y2=，y1y2=，
从而=
=+y1y2
=+
=﹣+=＞0．
∴＞0，又，不共线，
∴∠AGB为锐角．
故点G在以AB为直径的圆外．
2016年12月19日。