贵州省遵义市仁寿中学2021年高三数学文联考试卷含解析

贵州省遵义市仁寿中学2021年高三数学文联考试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1.
利用独立性检验来考察两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X 与Y 有关系”的可信程度．如果k ＞5．024，那么就有把握认为“X 与Y 有关系”的百分比为（ ）
.455
.708
.323
.072
.706
.841
.024
.635
.879
.828
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
参考答案：
D
2. 已知=（a ，﹣2），=（1，1﹣a ），则“a=2”是“∥”的（ ） A ．充要条件 B ．充分而不必要条件
C ．必要而不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
参考答案：
B
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【专题】简易逻辑．
【分析】根据向量平行的等价条件，以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论． 【解答】解：若∥，则a （1﹣a ）+2=0， 即a 2﹣a ﹣2=0， 解得a=2或a=﹣1，
则“a=2”是“∥”的充分不必要条件， 故选：B
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量共线的坐标公式是解决本题的关键． 3. 已知抛物线
的焦点为F 准线为l , P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个交点,且Q 位于第
四象限,过Q 作l 的垂线QE ,垂足为E ,若PF 的倾斜角为60°,则
的面积是( )
A. B. C. D.
参考答案：
A 【分析】 表示PF 方程为
,与抛物线方程联立，求解Q 点坐标，求解
面积.
【详解】
由已知条件抛物线的准线为
，焦点为,
直线PF 倾斜角为60°,故斜率，方程为：
代入抛物线方程可得：
解得：
由于Q 在第四象限
故选：A
【点睛】本题考查了直线和抛物线综合，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
4. 若
，且
为第二象限角，则
（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、
参考答案：
B
5. 已知，则函数的零点的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：
B
6. 设a R，则“a＝-2”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与
直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
7. 定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，当x∈[3，5]时，f(x)=2－|x－4|，则（）
A．f(sin)<f(cos) B．f(sin1)>f(cos1)
C．f(cos)<f(sin) D．f(cos2)>f(sin2)
参考答案：
D
8. 已知函数f（x）=sin2x﹣2cos2x，下面结论中错误的是（）
A．函数f（x）的最小正周期为π
B．函数f（x）的图象关于x=对称
C．函数f（x）的图象可由g（x）=2sin2x﹣1的图象向右平移个单位得到
D．函数f（x）在区间[0，]上是增函数
参考答案：
C
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】由三角函数公式化简可得f（x）=2sin（2x﹣）﹣1，由三角函数的图象和性质，逐个选项验证可得．
【解答】解：f（x）=sin2x﹣2cos2x
=sin2x﹣1﹣cos2x=2sin（2x﹣）﹣1，
由周期公式可得T==π，选项A正确；
由2x﹣=kπ+可得x=+，k∈Z，
故当k=0时，可得函数一条对称轴为x=，选项B正确；
g（x）=2sin2x﹣1的图象向右平移个单位得到y=2sin2（x﹣）﹣1=2sin（2x﹣）﹣1的图象，
而不是f（x）=2sin（2x﹣）﹣1的图象，选项C错误；
由kπ﹣≤2x﹣≤kπ+可得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，
∴函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，
显然f（x）在区间[0，]上是增函数，选项D正确．
故选：C．
9. 将函数的图象向左平移个长度单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）的单调递增区间是（）
A．B．
C．D．
参考答案：
A
略
10. 已知简谐振动的振幅为，图象上相邻最高点与最低点之间
的距离为5，且过点
，则该简谐振动的频率与初相分别为
A ．
B ．
C ．
D ．
参考答案： B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在如图所示的算法流程图中，若输入m = 4，n = 3，则输出的a = ．
参考答案： 12
12. 正四棱锥
的5个顶点都在球的表面上，过球心
的一个截面如图，棱锥的底面
边长为1，则球O
的表面积为 .
参考答案：
答案：
13. 在中，，M 为BC 的中点，则_______。

（用表
示） 参考答案：
答案：
解析：
，，所以。

14. 已知实数x ，y 满足，则的最小值为______．
参考答案：
2 【分析】
先画出满足条件的平面区域，将
转化为：
，由图象得：
过
时，最大，代入求出即可． 【详解】画出满足条件的平面区域， 如图所示：
，
将转化为：
，
由图象得：
过
时，最大，
．
的最小值为2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，考查了数形结合思想，是一道基础题．
15. （理）函数的反函数是_______________
参考答案：
8．理
16. 若实数x ，y 满足不等式组，则z=y ﹣2x 最小值等于﹣2，z
的最大值 ．
参考答案：
10
【考点】7C ：简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，先求出m 的值，然后结合数形结合即可得到结论．
【解答】解：由z=y ﹣2x ，得y=2x+z ， 作出不等式对应的可行域， 平移直线y=2x+z ，
由平移可知当直线y=2x+z 经过点C 时，
直线y=2x+z 的截距最小，此时z 取得最小值﹣2，
由得，即C （1，0），
将C （1，0）代入x+y+m=0，得m=﹣1， 即此时直线方程为x+y ﹣1=0，
当直线y=2x+z 经过点B 时，
直线y=2x+z 的截距最大，此时z 取得最大值
由
，得
，即B （﹣3，4），
此时z 的最大值为z=4﹣2×（﹣3）=10， 故答案为：10
17. 设棱长为1的正方体为图形，以各个面的中心为顶点的正八面体为图形，以各个面的
中心为顶点的正方体为图形
，以各个面的中心为顶点的正八面体为图形，……,以此类推.设
正多面体的棱长为 (各棱长相等的多面体称为正多
面体),则:(1)
(2)当为奇数时,
参考答案：
,
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数（），其中．
（Ⅰ）若曲线与在点处相交且有相同的切线，求的值；
（Ⅱ）设，若对于任意的，函数在区间上的值恒为负数，求的取值范围．
参考答案：
解：（Ⅰ），切线斜率，------------２分由题知，即，解得．------------5分（Ⅱ）由题知对任意的，在上恒成立，即恒成立．------------7分设，则 Ks5u
，
令，则对任意的，恒有，则恒有
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增。

------------12分Ks5u
＝４，
所以，即------------14分
略
19.
已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2．
（I）求直线l2的方程；
（II）求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积．
参考答案：
(1)y′＝2x＋1.直线l1的方程为y＝3x－3.设直线l2过曲线y＝x2＋x－2上的点B(b，b2＋b－2)，则l2的方程为y＝(2b＋1)x－b2－2.因为l1⊥l2，则有2b＋1＝－，b＝－，所以直线l2的方程为y＝－x－.(2)解方程得所以直线l1和l2的交点的坐标为(，－)．l1、l2与x轴交点的坐标分别为(1,0)、(－，0)．所以所求三角形的面积为S＝×＝.
20. 已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为正三角形，E，F分别是A1C1，B1C1上的点，且满足A1E=EC1，
B1F=3FC1．
（1）求证：平面AEF⊥平面BB1C1C；
（2）设直三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱长均相等，求二面角C1﹣AE﹣B的余弦值．
参考答案：
【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．
【分析】（1）取B1C1的中点G，连结A1G，推导出EF∥A1G，A1G⊥B1C1，从而EF⊥B1C1，由三棱柱ABC ﹣A1B1C1是直棱柱，得到BB1⊥EF，从而EF⊥平面BB1C1C，由此能证明平面AEF⊥平面BB1C1C．
（2）以A为坐标原点，以AA1，AC分别为y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C1﹣AE﹣B的余弦值．
【解答】证明：（1）取B1C1的中点G，连结A1G，
∵B1F=3FC1，FG=FC1，∴EF∥A1G，
在等边△A1B1C1中，由G是B1C1的中点，知A1G⊥B1C1，
∴EF⊥B1C1，
∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直棱柱，∴BB1⊥平面A1B1C1，
又∵EF?平面A1B1C1，∴BB1⊥EF，
∵BB1∩B1C1=B1，∴EF⊥平面BB1C1C，
又EF?平面AEF，∴平面AEF⊥平面BB1C1C．
解：（2）以A为坐标原点，以AA1，AC分别为y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
设直三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱均为2，则A（0，0，0），B（），E（0，1，2），∴=（0，1，2），=（），
设=（x，y，z）是平面ABE的一个法向量，
由，取x=﹣2，得=（﹣2，2，﹣），
平面AEC1的一个法向量=（1，0，0），
设二面角C1﹣AE﹣B的平面角为θ，
则cosθ==．
∴二面角C1﹣AE﹣B的余弦值为．
21. (本题满分12分）
已知数列{}的前n项和Sn＝.
（I）求数列{}的通项公式；
（II）设，求。

参考答案：（Ⅰ）a1＝S1＝(81－1)＝2．…1分
当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(8n－1)－(8n－1－1)＝23n－2．
当n＝1时上式也成立，所以a n＝23n－2
（n∈N*）．…6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b n＝log223n－2＝3n－
2，…7分
所以
＋＋…＋＝＋＋…＋
＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]
＝(1－)
＝．…12分
22. [选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中，双曲线E的参数方程为（θ为参数），设E的右焦点为F，经过第一象限的渐进线为l．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线l的极坐标方程；
（2）设过F与l垂直的直线与y轴相交于点A，P是l上异于原点O的点，当A，O，F，P四点在同一圆上时，求这个圆的极坐标方程及点P的极坐标．
参考答案：
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】（1）由双曲线E的参数方程求出双曲线E的普通方程为．从而求出直线l在直角坐标系中的方程，由此能求出l的极坐标方程．
（2）由题意A、O、F、P四点共圆等价于P是点A，O，F确定的圆（记为圆C，C为圆心）与直线l 的交点（异于原点O），线段AF为圆C的直径，A是过F与l垂直的直线与y轴的交点，从而C的
半径为2，圆心的极坐标为（2，），由此能求出点P的极坐标．
【解答】解：（1）∵双曲线E的参数方程为（θ为参数），
∴，，
∴==1，
∴双曲线E的普通方程为．
∴直线l在直角坐标系中的方程为y=，其过原点，倾斜角为，
∴l的极坐标方程为．
（2）由题意A、O、F、P四点共圆等价于P是点A，O，F确定的圆（记为圆C，C为圆心）与直线l 的交点（异于原点O），
∵AO⊥OF，∴线段AF为圆C的直径，
由（Ⅰ）知，|OF|=2，
又A是过F与l垂直的直线与y轴的交点，
∴∠AFO=，|AF|=4，
于是圆C的半径为2，圆心的极坐标为（2，），
∴圆C的极坐标方程为，
此时，点P的极坐标为（4cos（），），即（2，）．。