2021-2022年高三第九次适应性考试数学(文)试题 含答案

2021年高三第九次适应性考试数学（文）试题 含答案
一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1． 已知 是实数， 是纯虚数，则等于（ ）
A ． 1
B ． -1
C ．
D ．
2．已知全集U ， ,那么下列结论中可能不成立的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．若 ;()()():sin 0q f x x ωϕω=+≠ 是偶函数。

则p 是q 的（ ）
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
4．设 ，则的概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．执行如图所示的程序框图，若输入，
则输出的值为( )
A ．
B ．
C ．
D ．1
6．若非零向量 满足，则与夹角为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．设 满足约束条件1133x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩
则目标函数 的最
小值为（ ）
A ． -1
B ． 0
C ． 1
D ．2
8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log 2n ＋1n ＋2
(n ∈N *)，设其前n 项和为S n ，则使S n <－5成立的自然数n ( )
A ．有最大值31
B ．有最大值63
C ．有最小值31
D ．有最小值63
9．某商场中秋前30天月饼销售总量f (t )与时间t (0<t ≤30)的关系大致满足f (t )＝t 2＋10t ＋16，则该商场前t 天平均售出(如前10天的平均售出为 )的月饼最小值为 ( )
A ． 16
B ． 20
C ．27
D ．18
10．若直线 与圆 相交于A 、B 两点，且是直角三角形（O 为坐标原点），则点与点 之间距离的最大值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．若，且 ，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．给出下列命题：
①在区间 上，函数()12132,,1,y x y x y x y x -===-= 中有三个是增函数； ②若 ，则 ；
③若函数 是奇函数，则的图像关于点 对称； ④已知函数()()2332log 12x x f x x x -⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，则方程有2个实数根。

其中正确命题的个数为（ ）
A ． 1
B ． 2
C ． 3
D ． 4 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二． 填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 某校开展“向感动中国xx 人物学习”主题墙报评比，9位评委为A 班的墙报，给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，
复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶
图中的x )无法看清，若记分员计算无误，
则数字x 应该是_____．
14. 椭圆C 的两个焦点分别为和，若该椭圆
C 与直线 有
公共点，则其离心率的最大值为 .
15. 某几何体的三视图如图所示，
则该几何体的体积为 .
16.观察下列式子：
222222111122
11211233
1113112344+
<+++<++++<+ 根据以上式子可以猜想：
（）。

三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共70分）．
17.（本小题满分12分）已知向量()3sin ,,cos ,12a x b x ⎛⎫
==- ⎪⎝⎭ （1）当 时，求的值；
（2）求在上的值域．
18. （本小题满分12分）某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育
运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收
集300位学生每周平均体育运动时间的样本
数据（单位：小时）
（1）应收集多少位女生样本数据？
（2）根据这300个样本数据，得到学生每周
平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：[](](](](](]12,10,10,8,8,6,6,4,4,2,2,0
估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率．
（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否. P(K 2≥k 0) 0.10 0.05 0.010 0.005
k 0 2.706 3.841 6.635 7.879
附:()()()()2n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 19. （本题满分12分） 如图，⊥平面， 四边形是矩形，，点是的中点， 点在边上移动.
（Ⅰ）点为的中点时，试判断与平面的
位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）证明：无论点在边的何处，都有.
20. (本题满分12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设，若过的直线交曲线于两点，求的取值范围．
21.（本小题满分12分）已知函数的导函数，且. 设曲线在原点处的切线的斜率为，过原点的另一条切线的斜率为.
（Ⅰ）若：，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若时，函数无极值，且存在实数使成立，求实数的取值范围。

22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲
如图所示，AB 是⊙O 的直径，弦BD ，CA 的延长线相
交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F .
求证：(1)∠DEA ＝∠DFA ；
(2)AB 2＝BE ·BD －AE ·AC .
23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2sin θ，设直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－35t ＋2，y ＝45t .
(t 为参数)
(1)将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；
(2)设直线l 与x 轴的交点是M ，N 为曲线C 上一动点，求|MN |的最大值．
24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知函数f (x )＝|x －3|＋|x －a |，a ∈R.
(1)当a ＝0时，解关于x 的不等式f (x )>4；
(2)若∃x ∈R ，使得不等式|x －3|＋|x －a |<4成立，求实数a 的取值范围．
9模数学（文）参考答案
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.
1. A 2．C 3．A 4．C 5. B 6. A
7．C 8．D 9． D 10．C 11.C 12. C
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二． 填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13． 1 14. 15． 16．
三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共70分）．
17. 解：（1） ，∴，∴ .1320tan 1tan 22cos sin cos sin 2cos 22sin cos 222222=+-=+-=-x x x x x x x x x （2）1(sin cos ,)2a b x x +=+ 2()()sin(2)24f x a b b x π=+⋅=+ ∵，∴，∴
∴ ∴函数
18.解：（1）300×＝90，所以应收集90位女生的样本数据．
（2）由频率分布直方图得每周平均体育运动超过4小时的频率为 1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.
（3）由（2）知，300位学生中有300×0.75＝225(位)的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又
因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周
平均体育运动时间与性别列联表如下：
男生 女生 总计 每周平均体育运动时间不超过4小时
45 30 75 每周平均体育运动时间超过4小时
165 60 225 总计
210 90 300 结合列联表可算得K 2＝＝≈4.762>3.841.
所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．
19. （I ）解：当点E 为BC 的中点时，EF 与平面PAC 平行.
中，E 、F 分别为BC 、PB 的中点.
,//PAC EF PC EF 平面又⊄∴
而平面PAC ，EF//平面PAC
（II ）证明：平面ABCD ，BE 平面ABCD ， 又⊂=⊥AP AB A AP AB AB EB ,,, 平面PAB ，
又平面PAB ，
又PA=PB=1，点F 是PB 的中点， 又⊂=BE PB B BE PB ,, PBE ，平面PBE. 平面PBE ，
所以无论点在边的何处，都有.
20.
(本题满分12分)解：（Ⅰ）由题意可得圆的方程为， ∵直线与圆相切，∴，即， 又，及，得，所以椭圆方程为．
（Ⅱ）①当直线AB 的斜率为0时，A （，0），B （，0）时，=-1
②当直线AB 的斜率不为0时，不妨设AB 的方程为： 由2
211
2x my
x y +=
⎧⎪⎨+=⎪⎩得：, 设则：，，11221122(1,)(1,)(2,)(2,)x y x y my y my y =-•-=-•-
2
12121212(2)(2)(1)2()4
my my y y m y y m y y =--+=+-++
2225194122m m m --=+=-+++]，
由①、②得：的取值范围为[]．
21.（Ⅰ）由已知
，设与曲线的切点为 则22
00000123
y x ax b x ax b x ++==++ 所以 ，即， 则2222393
()3244k f a a a b a b '=-=-+=-+.
又 ，所以，即
因此22()23(3)()f x x ax a x a x a '=+-=+-
①当时，的增区间为和，减区间为.
②当时，的增区间为和，减区间为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）若，则，∴， 于是，所以22
3()24(1)a f x x ax t '=++-， 由无极值可知，，即，
所以
由知，，即，
就是，
而，故，所以，
又，因此.
22．证明:(1)连接AD (图略)．因为AB 为圆的直径，
所以∠ADB ＝90°.
又EF ⊥AB ，∠EFA ＝90°，
则A ，D ，E ，F 四点共圆，所以∠DEA ＝∠DFA .
(2)连接BC (图略)，由(1)，知BE ·BD ＝BA ·BF .
又△ABC ∽△AEF ，
所以 AB AE ＝AC AF ，即AB ·AF ＝AE ·AC ，
所以BE ·BD －AE ·AC ＝BA ·BF －AB ·AF ＝AB ·(BF －AF )＝AB 2.
23.解:(1)曲线C 的极坐标方程可化为ρ2＝2ρsin θ，
又x 2＋y 2＝ρ2，y ＝ρsin θ，
所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0.
(2) 将直线l 的参数方程转化为普通方程，得y ＝－43
(x －2)． 令y ＝0，得x ＝2，即M 点的坐标为(2,0)．
由(1)，知曲线C 为圆，圆心C 的坐标为(0,1)，半径r ＝1， 所以|MC |＝ 5.
利用数形结合，可知|MN |≤|MC |＋r ＝5＋1，即|MN |的最大值为5＋1.
24．解:(1)由a ＝0，知原不等式为|x －3|＋|x |>4.
当x ≥3时，原不等式可化为2x －3>4，解得x >72
. 当0≤x <3时，原不等式可化为3>4，无解．
当x <0时，原不等式可化为－2x ＋3>4，解得x <－12
. 故原不等式的解集为{x |x <－12或x >72
}． (2)由∃x ∈R ，|x －3|＋|x －a |<4成立，
可得(|x －3|＋|x －a |)min <4.
又|x －3|＋|x －a |≥|x －3－(x －a )|＝|a －3|，
即(|x－3|＋|x－a|)min＝|a－3|<4，解得－1<a<7.
即实数a的取值范围是(－1,7)．。