2017-2018学年度新人教版初中数学八年级下册勾股定理单元检测题答案解析版-精品试卷

《第17章勾股定理》
一、选择题
1．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是（）
A．48 B．60 C．76 D．80
2．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）
A．5、6、7 B．10、8、4 C．7、24、25 D．9、15、17
3．三角形的三边长分别是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1（n为自然数），则此三角形是（）A．直角三角形B．等腰直角三角形
C．等腰三角形D．无法判定
4．△ABC的三边分别为下列各组值，其中不是直角三角形三边的是（）
A．a=41，b=40，c=9 B．a=1.2，b=1.6，c=2
C．a=，b=，c=D．a=，b=，c=1
5．一个三角形三边的长分别为15cm，20cm和25cm，则这个三角形最长边上的高为（）A．15cm B．20cm C．25cm D．12cm
6．下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（）
A．三内角之比为1：2：3 B．三边长的平方之比为1：2：3
C．三边长之比为3：4：5 D．三内角之比为3：4：5
7．三边长分别为n2+1，n2﹣1，2n（n＞l）的三角形是（）
A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．等腰三角形
8．在下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（）
A．3，4，B．1，1，C．6，12，13 D．，，
9．下列结论错误的是（）
A．三个角度之比为1：2：3的三角形是直角三角形
B．三个边长之比为3：4：5的三角形是直角三角形
C．三个边长之比为8：16：17的三角形是直角三角形
D．三个角度之比为1：1：2的三角形是直角三角形
10．在△ABC中，已知AB=12cm，AC=9cm，BC=15cm，则△ABC的面积等于（）A．108cm2B．90cm2C．180cm2D．54cm2
11．在△ABC中，AB=5cm，BC=6cm，BC边上的中线AD=4cm，则∠ADC的度数是（）A．60°B．90°C．120°D．150°
12．在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是（）
A．10 B．C．10或D．10或
二、填空题
13．如果一个△ABC的三边长a、b、c满足关系式，那么这个三角形是直角三角形，其中∠C 是直角．
14．在△ABC中，若b=，则此三角形是．
15．已知一个三角形三边长之比为1：2：，则这个三角形是．
16．给出下列几组数据：
①3，4，5；②1，3，4；③4，4，6；④6，8，10；⑤5，7，2；⑥13，5，12；⑦7，25，24．以每组数据为三边长，可构成三角形的有，可构成直角三角形的有．（只填写序号）17．已知直角三角形三边长为三个连续整数，则该三角形三边长分别为．
18．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为cm2．
19．已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足关系式+|a﹣b|=0，则△ABC的形状为．
20．已知3，4，5是一三角形的三边长，那么以3m，4m，5m（m＞0）为三边长的三角形是三角形．
21．已知7cm和24cm长的两条线段与第三条线段首尾顺次相接构成直角三角形，则第三条线段的长为．
22．在5，6，8，10，12，13这6个数中选取3个数作为三角形的三边长，共可组成个直角三角形．
23．△ABC的三边长分别为m2﹣1，2m，m2+1（m＞1），则最大角的度数为．
24．在△ABC中，a+b=10，ab=18，c=8，则△ABC是三角形．
25．写出三组整数，使它们都能作为直角三角形的三边长：、、．
三、解答题
26．在△ABC中，AB=13cm，BC=10cm，BC边上的中线AD=12cm．求AC．
27．△ABC的三边长a、b、c满足a2+b2+c2﹣14a﹣48b﹣50c+l250=0，判断△ABC的形状．28．如图所示，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，∠A=90°，求四边形ABCD的面积．
29．如图，△ABC的三边BC，AC，AB的长分别为3cm，4cm，5cm，把△ABC沿最长边AB 翻转180°得△ABC′，连接CC′，求CC′的长．
30．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；
（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．
31．如图，在△ABC中，AB=20，AC=15，BC边上的高AD=12，试求△ABC的周长．
《第17章勾股定理》
参考答案与试题解析
一、选择题
1．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是（）
A．48 B．60 C．76 D．80
【考点】勾股定理；正方形的性质．
【分析】由已知得△ABE为直角三角形，用勾股定理求正方形的边长AB，用S阴影部分=S正方形ABCD ﹣S△ABE求面积．
【解答】解：∵∠AEB=90°，AE=6，BE=8，
∴在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2=100，
∴S阴影部分=S正方形ABCD﹣S△ABE，
=AB2﹣×AE×BE
=100﹣×6×8
=76．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的运用，正方形的性质．关键是判断△ABE为直角三角形，运用勾股定理及面积公式求解．
2．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）
A．5、6、7 B．10、8、4 C．7、24、25 D．9、15、17
【考点】勾股数．
【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、52+362≠72，不能构成直角三角形，故本选项错误；
B、42+82≠102，不能构成直角三角形，故本选项错误；
C、72+242=252，能构成直角三角形，故本选项正确；
D、92+152≠172，不能构成直角三角形，故本选项错误．
故选C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．勾股定理的逆定理：若三角形三边满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
3．三角形的三边长分别是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1（n为自然数），则此三角形是（）A．直角三角形B．等腰直角三角形
C．等腰三角形D．无法判定
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三角形三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：∵（2n2+2n）2+（2n+1）2=4n4+4n2+8n3+4n2+4n+1=4n4+8n3+8n2+1；
（2n2+2n+1）2=（2n2+2n+1）（2n2+2n+1）=4n4+8n3+8n2+1；
∴（2n2+2n）2+（2n+1）2=（2n2+2n+1）2，
∴三角形是直角三角形．
故选A．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
勾股定理的逆定理：若三角形三边满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
4．△ABC的三边分别为下列各组值，其中不是直角三角形三边的是（）
A．a=41，b=40，c=9 B．a=1.2，b=1.6，c=2
C．a=，b=，c=D．a=，b=，c=1
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】根据勾股定理的逆定理进行分析，从而得到答案．
【解答】解：A、因为92+402=412，所以是直角三角形；
B、因为1.22+1.62=22，所以是直角三角形；
C、因为（）2+（）2=≠（）2，所以不是直角三角形；
D、因为（）2+（）2=12，所以是直角三角形．
故选C．
【点评】本题利用了勾股定理的逆定理来判定直角三角形．
5．一个三角形三边的长分别为15cm，20cm和25cm，则这个三角形最长边上的高为（）A．15cm B．20cm C．25cm D．12cm
【考点】勾股定理的逆定理；三角形的面积．
【分析】根据勾股定理的逆定理可得该三角形为直角三角形，然后再利用三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：∵一个三角形的三边的长分别是15，20，25，
又∵152+202=252，
∴该三角形为直角三角形．
∴这个三角形最长边上的高=15×20××2÷25=12cm．
故选D．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理和三角形的面积公式的应用．根据勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形是解答此题的突破点．
6．下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（）
A．三内角之比为1：2：3 B．三边长的平方之比为1：2：3
C．三边长之比为3：4：5 D．三内角之比为3：4：5
【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．
【分析】根据三角形的内角和定理及勾股定理的逆定理进行分析，从而得到答案．
【解答】解：A、因为根据三角形内角和定理可求出三个角分别为30度，60度，90度，所以是直角三角形，故正确；
B、因为其符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故正确；
C、因为其符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故正确；
D、因为根据三角形内角和公式得三个角中没有90°角，所以不是直角三角形，故不正确．
故选D．
【点评】本题考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理或三角形的内角和定理来判定．
7．三边长分别为n2+1，n2﹣1，2n（n＞l）的三角形是（）
A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．等腰三角形
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】根据勾股定理的逆定理进行判断即可．
【解答】解：∵（n2﹣1）2+（2n）2=n4+1+2n2，
（n2+1）2=n4+1+2n2，
∴（n2﹣1）2+（2n）2=（n2+1）2．
∴三边长分别为n2+1，n2﹣1，2n（n＞l）的三角形是直角三角形．
故选A．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
8．在下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（）
A．3，4，B．1，1，C．6，12，13 D．，，
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】根据勾股定理的逆定理，只需验证两较小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、32+（）2=16=42，故能构成直角三角形，故本选项错误；
B、12+12=2=（）2，故能构成直角三角形，故本选项错误；
C、62+122=180≠132，故不能构成直角三角形，故本选项正确；
D、（）2+（）2=5=（）2，故能构成直角三角形，故本选项错误．
故选C．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
9．下列结论错误的是（）
A．三个角度之比为1：2：3的三角形是直角三角形
B．三个边长之比为3：4：5的三角形是直角三角形
C．三个边长之比为8：16：17的三角形是直角三角形
D．三个角度之比为1：1：2的三角形是直角三角形
【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．
【分析】根据勾股定理的逆定理及三角形的内角和公式进行分析，从而得到答案．
【解答】解：A、因为根据三角形内角和定理可求出三个角分别为30°，60°，90°，所以该结论正确；
B、因为其三边符合勾股定理的逆定理，所以该结论正确；
C、因为其三边不符合勾股定理的逆定理，所以该结论不正确；
D、因为根据三角形内角和定理可求出三个角分别为45°，45°，90°，所以该结论正确．
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理判定和求出一角等于90°来判定．
10．在△ABC中，已知AB=12cm，AC=9cm，BC=15cm，则△ABC的面积等于（）A．108cm2B．90cm2C．180cm2D．54cm2
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】根据勾股定理的逆定理判定直角三角形及直角三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：∵92+122=152，
∴根据勾股定理的逆定理，三角形是直角三角形，两直角边为9和12，
所以△ABC的面积=×9×12=54（cm2）．
故选D．
【点评】本题考查了直角三角形的判定和三角形的面积公式．
11．在△ABC中，AB=5cm，BC=6cm，BC边上的中线AD=4cm，则∠ADC的度数是（）A．60°B．90°C．120°D．150°
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】根据题意画出图形，根据中线的定义，求出BD，由勾股定理的逆定理判断出△ABD为直角三角形，从而求得∠ADC的度数．
【解答】解：∵AB=5cm，BC=6cm，AD=4cm，
又∵AD为BC边上的中线，
∴BD=6×=3，
∴AB2=AD2+BD2，
∴△ABC为直角三角形，
∴∠ADC=∠ADB=90°．
故选B．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
12．在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是（）
A．10 B．C．10或D．10或
【考点】图形的剪拼．
【专题】压轴题．
【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理求出斜边上的中线，最后即可求出斜边的长．
【解答】解：①如图：
因为CD==2，
点D是斜边AB的中点，
所以AB=2CD=4，
②如图：
因为CE==5，
点E是斜边AB的中点，
所以AB=2CE=10，
原直角三角形纸片的斜边长是10或，
故选：C．
【点评】此题考查了图形的剪拼，解题的关键是能够根据题意画出图形，在解题时要注意分两种情况画图，不要漏解．
二、填空题
13．如果一个△ABC的三边长a、b、c满足关系式a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，其中∠C是直角．
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】利用勾股定理的逆定理，从而确定三角形的形状．
【解答】解：如果一个△ABC的三边长a、b、c满足关系式a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，其中∠C是直角．
故答案为：a2+b2=c2．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
14．在△ABC中，若b=，则此三角形是直角三角形．
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】把等式两边平方，再根据勾股定理逆定理进行判定．
【解答】解：两边平方得，b2=a2﹣c2，
所以，b2+c2=a2，
所以，此三角形是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
【点评】本题考查了勾股定理逆定理，是基础题，熟记定理是解题的关键．
15．已知一个三角形三边长之比为1：2：，则这个三角形是直角三角形．
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】一个三角形的三边符合a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形．
【解答】解：设三角形的三边分别为x，2x，x，则
x2+（2x）2=（x）2，
由勾股定理的逆定理可知，这个三角形是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
【点评】考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．
16．给出下列几组数据：
①3，4，5；②1，3，4；③4，4，6；④6，8，10；⑤5，7，2；⑥13，5，12；⑦7，25，24．以每组数据为三边长，可构成三角形的有①③④⑥⑦，可构成直角三角形的有①④⑥⑦．（只填写序号）
【考点】勾股数．
【分析】根据两边之和大于第三边，两边之和小于第三边就能构成三角形，再根据两小边的平方和等于最长边的平方，就能构成直角三角形，从而得出正确答案．
【解答】解：①∵32+42=52，
∴可构成直角三角形；
②∵1+3=4，
∴不能构成三角形；
③∵42+42≠62，
∴可构成三角形，不能构成直角三角形；
④∵62+82=102，
∴可构成直角三角形；
⑤∵5+2=7，
∴不能构成三角形；
⑥∵52+122=132，
∴可构成直角三角形；
⑦∵72+242=252，
∴可构成直角三角形；
以每组数据为三边长，可构成三角形的有①③④⑥⑦，可构成直角三角形的有①④⑥⑦；
故答案为：①③④⑥⑦，①④⑥⑦．
【点评】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义及勾股定理的逆定理：已知△ABC 的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．
17．已知直角三角形三边长为三个连续整数，则该三角形三边长分别为3，4，5 ．
【考点】勾股定理．
【分析】先设出直角三角形的三边长，再根据勾股定理解答即可．
【解答】解：设最小的一个为M，则三个数依次为M，M+1，M+2
根据勾股定理得M2+（M+1）2=（M+2）2，解得，M1=3，M2=﹣1（舍去）
则三边长分别是3，4，5．
【点评】此题主要考查学生对勾股定理及一元二次方程的解法，比较简单．
18．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为120 cm2．
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】根据已知可求得三边的长，再根据三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：设三边分别为5x，12x，13x，
则5x+12x+13x=60，
∴x=2，
∴三边分别为10cm，24cm，26cm，
∵102+242=262，
∴三角形为直角三角形，
∴S=10×24÷2=120cm2．
故答案为：120．
【点评】此题主要考查学生对直角三角形的判定及勾股定理的逆定理的理解及运用．
19．已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足关系式+|a﹣b|=0，则△ABC的形状为等腰直角三角形．
【考点】勾股定理的逆定理；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；等腰直角三角形．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】已知等式左边为两个非负数之和，根据两非负数之和为0，两非负数同时为0，可得出c2=a2+b2，且a=b，利用勾股定理的逆定理可得出∠C为直角，进而确定出三角形ABC为等腰直角三角形．
【解答】解：∵+|a﹣b|=0，
∴c2﹣a2﹣b2=0，且a﹣b=0，
∴c2=a2+b2，且a=b，
则△ABC为等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形
【点评】此题考查了勾股定理的逆定理，非负数的性质：绝对值及算术平方根，以及等腰直角三角形的判定，熟练掌握非负数的性质及勾股定理的逆定理是解本题的关键．
20．已知3，4，5是一三角形的三边长，那么以3m，4m，5m（m＞0）为三边长的三角形是直角三角形．
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】利用勾股定理逆定理进行判断即可．
【解答】解：∵（3m）2+（4m）2=25m2，
（5m）2=25m2，
∴（3m）2+（4m）2=（5m）2，
∴三角形是直角三角形．
故答案为：直角．
【点评】本题考查了勾股定理逆定理，是基础题，熟记定理是解题的关键．
21．已知7cm和24cm长的两条线段与第三条线段首尾顺次相接构成直角三角形，则第三条线段
的长为cm或25cm ．
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】设第三条线段的长为xcm，分24cm的线段是直角三角形的斜边或是直角三角形的直角边两种情况进行讨论．
【解答】解：设第三条线段的长为xcm，
当24cm的线段是直角三角形的斜边时，72+x2=242，解得x=cm；
当24cm的线段是直角三角形的直角边是，72+242=x2，解得x=25cm．
综上所述，第三条线段的长为cm或25cm．
故答案为：cm或25cm．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
22．在5，6，8，10，12，13这6个数中选取3个数作为三角形的三边长，共可组成 2 个直角三角形．
【考点】勾股数．
【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：∵62+82=102，能构成直角三角形；
52+122=132，能构成直角三角形；
∴这6个数中选取3个数作为三角形的三边长，共可组成2个直角三角形．
故答案为：2．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．勾股定理的逆定理：若三角形三边满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
23．△ABC的三边长分别为m2﹣1，2m，m2+1（m＞1），则最大角的度数为90°．
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】利用勾股定理逆定理进行判断即可．
【解答】解：∵（m2﹣1）2+（2m）2=m4﹣2m2+1+4m2=m4+2m2+1，
（m2+1）2=m4+2m2+1，
∴（m2﹣1）2+（2m）2=（m2+1）2，
∴此三角形是直角三角形，最大角的度数为90°．
故答案为：90°．
【点评】本题考查了勾股定理逆定理，完全平方公式，是基础题，熟记定理和公式是解题的关键．
24．在△ABC中，a+b=10，ab=18，c=8，则△ABC是直角三角形．
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】先根据题意得出a2+b2的值，再根据勾股定理的逆定理进行解答即可．
【解答】解：∵a+b=10，ab=18，
∴（a+b）2=100，即a2+b2+2ab=100，
∴a2+b2=100﹣2ab=1000﹣36=64，
∵c2=82=64，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：直角．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
25．写出三组整数，使它们都能作为直角三角形的三边长： 3 、 4 、 5 ．
【考点】勾股数．
【专题】开放型．
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，从而得出答案．
【解答】解：三组以整数为边长的直角三角形的三边长可以是：3，4，5；
故答案为：3，4，5．
【点评】本题考查了勾股数：关键是掌握勾股数的定义及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．
三、解答题
26．在△ABC中，AB=13cm，BC=10cm，BC边上的中线AD=12cm．求AC．
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】根据勾股定理的逆定理可知BC上的中线AD同时是BC上的高线，根据勾股定理求出AC 的长，
【解答】解：∵AD是BC上的中线，AB=13cm，BC=10cm，AD=12cm，
∴BD=CD=BC=5cm，
∵52+122=132，故△ABD是直角三角形，
∴AD垂直平分BC．
∴AC=AB==13cm．
【点评】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理的应用．解题关键是得出中线AD是BC上的高线．
27．△ABC的三边长a、b、c满足a2+b2+c2﹣14a﹣48b﹣50c+l250=0，判断△ABC的形状．【考点】因式分解的应用；勾股定理的逆定理．
【分析】根据一次项的系数把常数项1250分成49、576、625，然后与（a2﹣14a）、（b2﹣48b）、（c2﹣50c）分别组成完全平方公式，再利用非负数的性质，可分别求出a、b、c的值，然后利用勾股定理判定三角形的形状即可．
【解答】解：a2+b2+c2﹣14a﹣48b﹣50c+l250=0
a2﹣14a+49+b2﹣48b+576+c2﹣50c+625=0
（a﹣7）2+（b﹣24）2+（c﹣25）2=0
a﹣7=0，b﹣24=0，c﹣25=0
∴a=7，b=24，c=25
∵72+242=252，
∴△ABC为直角三角形．
【点评】此题考查了配方法的应用、勾股定理、非负数的性质，解题的关键是注意配方法的步骤，在变形的过程中不要改变式子的值．
28．如图所示，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，∠A=90°，求四边形ABCD的面积．
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】几何图形问题．
【分析】连接BD，根据已知分别求得△ABD的面积与△BDC的面积，即可求四边形ABCD的面积．
【解答】解：连接BD，
∵AB=3cm，AD=4cm，∠A=90°
∴BD=5cm，S△ABD=×3×4=6cm2
又∵BD=5cm，BC=13cm，CD=12cm
∴BD2+CD2=BC2
∴∠BDC=90°
∴S△BDC=×5×12=30cm2
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=6+30=36cm2．
【点评】此题主要考查勾股定理和逆定理的应用，还涉及了三角形的面积计算．连接BD，是关键的
一步．
29．如图，△ABC的三边BC，AC，AB的长分别为3cm，4cm，5cm，把△ABC沿最长边AB 翻转180°得△ABC′，连接CC′，求CC′的长．
【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理的逆定理．
【专题】几何图形问题；数形结合．
【分析】首先设AB与CC′相较于点D，由△ABC的三边分别为3、4、5，且32+42=52，可得△ABC是直角三角形，即可求得CD的长，继而求得答案．
【解答】解：设AB与CC′相较于点D，
∵△ABC的三边分别为3cm、4cm、5cm，且32+42=52，
∴△ABC是直角三角形，
由折叠的性质可得：AB⊥CD，且CD=C′D，
∴CD==cm，
∴CC′=2CD=cm．
故CC′的长是cm．
【点评】此题考查了折叠的性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
30．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；
（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．
【考点】等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理．
【专题】探究型．
【分析】根据等边三角形的性质利用SAS判定△ABP≌△CBQ，从而得到AP=CQ；设PA=3a，PB=4a，PC=5a，由已知可判定△PBQ为正三角形从而可得到PQ=4a，再根据勾股定理判定△PQC 是直角三角形．
【解答】解：（1）猜想：AP=CQ，
证明：∵∠ABP+∠PBC=60°，∠QBC+∠PBC=60°，
∴∠ABP=∠QBC．
又AB=BC，BP=BQ，
∴△ABP≌△CBQ，
∴AP=CQ；
（2）由PA：PB：PC=3：4：5，
可设PA=3a，PB=4a，PC=5a，
连接PQ，在△PBQ中
由于PB=BQ=4a，且∠PBQ=60°，
∴△PBQ为正三角形．
∴PQ=4a．
于是在△PQC中
∵PQ2+QC2=16a2+9a2=25a2=PC2
∴△PQC是直角三角形．
【点评】此题考查学生对等边三角形的性质，直角三角形的判定及全等三角形的判定方法的综合运用．
31．如图，在△ABC中，AB=20，AC=15，BC边上的高AD=12，试求△ABC的周长．
【考点】勾股定理．
【分析】在Rt△ABD和Rt△ACD中分别进行计算，求出BD和CD，再相加即可．
【解答】解：如图：∵AB=20，AC=15，AD=12，
在Rt△ABD中，
BD=
=
=
=16，
在Rt△ACD中，
DC=
=
=9，
∴C△ABC=20+16+9+15=60．
【点评】本题考查了勾股定理，找到直角边、斜边是解题的关键步骤，要分到两个三角形中解答．。