全国卷历届文科数学试题及详细答案分类汇编十一函数和导数

全国卷文数试题及详细答案分类汇编十一函数和导数
1、(2010全国文数1) (7)已知函数()|lg |f x x =.若a b ≠且()()f a f b =，则a b +的取值范围是
(A)(1,)+∞ (B)[1,)+∞(C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞
2、(2010全国文数1)（10）设
12
3log 2,ln 2,5a b c -===则
（A ）a b c <<（B ）b c a << (C) c a b << (D) c b a << 3、(2010全国文数2)（4）函数1ln(1)(1)y x x =+->的反函数是
(A) 11(0)x y e x +=+> (B) 1
1(0)x y e x -=+> (C) 11(R)x y e x +=+∈ (D)
11(R)x y e x -=+∈ 4、(2010全国文数2)（7）若曲线
2
y x ax b =++在点（0,b ）处的切线方程式1x y -+=0，则
（A ）1a =，1b = （B ）1a =-，1b =
（C ） 1a =，1b =- （D ）1a =-1b =-
5、(2010全国文数3)（4）曲线y=x 3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为（ ） A ．y=x ﹣1 B ．y=﹣x+1 C ．y=2x ﹣2 D ．y=﹣2x+2
6、(2010全国文数3)（6）如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0（，﹣），角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致
为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7、(2010全国文数3)（9）设偶函数f （x ）满足f （x ）=2x ﹣4（x≥0），则{x|f （x ﹣2）＞0}=（ ）
A ．{x|x ＜﹣2或x ＞4}
B ．{x|x ＜0或x ＞4}
C ．{x|x ＜0或x ＞6}
D ．{x|x ＜﹣2或x ＞2}
8、(2010全国文数3)（12）已知函数，若a ，b ，c 互不相等，且f （a ）=f （b ）=f （c ），则abc 的取值范围是（ ） A ．（1，10） B ．（5，6） C ．（10，12） D ．（20，24）
9、(2011全国文数1) (2)
函数0)y x =≥的反函数为
（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2
(0)4x y x =≥ （C ）2
4y x =()x R ∈ （D ）24(0)y x x =≥
10、(2011全国文数1) (10) 设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()f x =
2(1)x x -,则5
()2
f -=
(A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)12
11、(2012全国文数1)(12)设点P 在曲线1
2
x y e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则||
PQ 的最小值为（ ）
A ．1ln2- B
ln 2)- C ．1ln2+ D
ln 2)+
12、（2012年全国文数2）(11)当0<x ≤1
2时，4log x a x <，则a 的取值范围是
（A ）(0，
22) （B ）(2
2
，1) （C ）(1，2) （D ）(2，2) 13、（2012全国文数2）(13)曲线(3ln 1)y x x =+在点（1,1）处的切线方程为________
14、（2012全国文数2） (16)设函数()f x =(x+1)2+sinx
x2+1
的最大值为M ，最小值为m ，
则M+m=____
15、(2013全国文数1)（12）已知函数f(x)＝22,0,ln(1),0.x x x x x ⎧-+≤⎨
+>⎩
若|f(x)|≥ax，则a 的
取值范围是( )．
A ．(－∞，0]
B ．(－∞，1]
C ．[－2,1]
D ．[－2,0]
16、(2013全国文数2)（11）已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( )．
A ．∃x0∈R ，f(x0)＝0
B ．函数y ＝f(x)的图像是中心对称图形
C ．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减
D ．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0 17、(2013全国文数2)(12)若存在正数x 使2x(x －a)＜1成立，则a 的取值范围是( )． A ．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞) D．(－1，＋∞)
18、(2013全国文数3)（6）函数f (x )＝21log 1x ⎛⎫+ ⎪
⎝
⎭
(x ＞0)的反函数f －1(x )＝( )． A ．121x -(x ＞0) B ．1
21x
-(x≠0) C ．2x －1(x ∈R) D ．2x －1(x ＞0)
19、(2013全国文数3)（10）已知曲线y ＝x4＋ax2＋1在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，则a ＝( )．
A ．9
B ．6
C ．－9
D ．－6
20、(2013全国文数3)（13）设f(x)是以2为周期的函数，且当x ∈[1,3)时，f(x)＝x －2，则f(－1)＝______.
21、（2014全国文数1）（5）设函数f （x ），g （x ）的定义域都为R ，且f （x ）是奇函数，g （x ）是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
A ． f （x ）g （x ）是偶函数
B ． |f （x ）|g （x ）是奇函数
C ． f （x ）|g （x ）|是奇函数
D ． |f （x ）g （x ）|是奇函数
22、(2014全国文数1)（12）已知函数f （x ）=ax3﹣3x2+1，若f （x ）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a 的取值范围是（ ）
A ． （2，+∞）
B ．（1，+∞）
C ．（﹣∞，﹣2）
D ．（﹣∞，﹣1）
23、（2014全国文数1）（15）设函数f （x ）=，则使得f （x ）≤2成立的x 的取值范围是 _________ ．
24、（2014全国文数2）（11）若函数f （x ）=kx ﹣lnx 在区间（1，+∞）单调递增，则k 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣2] B ．（﹣∞，﹣1] C ．[2，+∞） D ．[1，+∞）
25、（2014全国文数2）（15）偶函数y=f （x ）的图象关于直线x=2对称，f （3）=3，则f （﹣1）=
26、（2015全国文数1）已知函数f （x ）=且f （a ）=﹣3，则f （6﹣a ）=（ ） A ． ﹣ B ． ﹣ C ． ﹣ D ．
﹣
27、（2015全国文数1）设函数y=f （x ）的图象与y=2x+a 的图象关于y=﹣x 对称，且f （﹣2）+f （﹣4）=1，则a=（ ） A ． ﹣1 B ． 1 C ． 2 D ． 4
28、（2015新课标I 文）已知函数f （x ）=ax3+x+1的图象在点（1，f （1））处的切线过点（2，7），则a= ．
29、(2015全国文数2)(11)如图，长方形的边AB=2，BC=1,O 是AB 的中点，点P 沿着边BC,CD,与DA 运动，记
的图像大致为则数两点距离之和表示为函到将动点)(),(,,x f x f B A P x BOP =∠
x
P
O
D
C
B
A
30、(2015全国文数2)（12）设函数
的范围是成立的则使得x x f x f x x x f )12()(,11
)1ln()(2
->+-
+=
A. )1,31(
B. ),1()31,(+∞-∞
C. )31,31(-
D. )
,31()31,(+∞--∞ 31、(2015全国文数2)（13）已知函数
=-=a x ax x f ），则的图像过点（4,1-2)(3 。

32、(2015全国文数2)（16）已知曲线x x y ln +=在点（1,1）处的切线与曲线
=+++=a x a ax y 相切，则1)2(2。

33、（9）函数
在的图像大致为（ ）。

A: B:
C: D:
34、（2016全国文数1）（12）若函数1
()sin 2sin 3f x x -x a x =+在()
,-∞+∞单调递增，
则a 的取值范围是
（A ）[]1,1-（B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（D ）
11,3⎡
⎤--⎢⎥⎣⎦ 35、（2016全国文数2）（2）数ln(1)y x =-的定义域是 ( )
A ．
B ．(,)e +∞
C ．
D ．(1,)e
D
C
B
A
π
4244423π424π
4
24X
O
X
O
X X O
)2,1(),1(+∞
36、（2016全国文数2）3．已知函数
(1),0()(1),0x x x f x x x x +<⎧=⎨
-≥⎩，则函数()f x 的零点个数为（ ）
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
37、（2016全国文数3）（16）已知f(x)为偶函数，当0x ≤ 时，
1
()x f x e x --=-，则曲线y= f(x)在点(1,2)处的切线方程式_____________________________.
38、（2017全国文数3）（7）函数y =1+x +2sin x
x
的部分图像大致为
A ．
B ．
C ．
D ．
39、（2017全国文数3）（12）已知函数)(2)(112+--++-=x x e e a x x x f 有唯一零点，则=a （ ）
A 21-
B 31
C 2
1
D 1 40、（2017全国文数3）（16）设函数1,0,()2,0,
x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，则满足1
()()1
2f x f x +->的x 的取值范围是___.
41、（2017全国文数2）（8）函数2()ln(28)f x x x =-- 的单调递增区间是 A.(-∞,-2) B. (-∞,-1) C.(1, +∞) D. (4, +∞)
42、（2017全国文数2）（14）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ()-，
0∈∞时，()
322=+f
x x x ,
则()2=f
43、（2017全国文数1）（9）已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则 （ ）
A ．()f x 在（0,2）单调递增
B ．()f x 在（0,2）单调递减
C ．y =()f x 的图像关于直线x =1对称
D ．y =()f x 的图像关于点（1,0）对称
解答题：
1、(2010全国文数1)（21）(本小题满分12分)已知函数
x x a ax x f 4)13(23)(2
4++-=
（I ）当
1
6a =
时，求()f x 的极值;
（II ）若()f x 在()1,1-上是增函数，求a 的取值范围
2、(2010全国文数2)（21）（本小题满分12分） 已知函数f(x)=x 3-3ax 2+3x+1.
(1) 设 a=2 ，求f(x)的单调区间；
(2) 设f(x)在区间（2,3）中至少有一个极致点，求 a 的取值范围 3、(2010全国文数3)(21)设函数f （x ）=x （ex ﹣1）﹣ax2 （Ⅰ）若a= ，求f （x ）的单调区间；
（Ⅱ）若当x ≥0时f （x ）≥0，求a 的取值范围．4、(2011全国文数1) (21)(本小题满分l2分)
已知函数
()
32()3(36)+124f x x ax a x a a R =++--∈
(Ⅰ)证明：曲线()0y f x x ==在处的切线过点（2，2）；
（Ⅱ）若
00()f x x x x =∈在处取得最小值，（1，3），
求a 的取值范围.
5、(2012全国文数1)（21）小题满分12分）
已知函数)(x f 满足
2
121)0()1(')(x x f e f x f x +
-=-。

（1）求)(x f 的解析式及单调区间；
（2）若b ax x x f ++≥
2
21)(，求b a )1(+的最大值。

6、(2013全国文数1)（题满分12分)已知函数f(x)＝ex(ax ＋b)－x2－4x ，曲线y ＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y ＝4x ＋4. (1)求a ，b 的值；
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．
7、(2013全国文数2（21）小题满分12分)已知函数f(x)＝x2e －x. (1)求f(x)的极小值和极大值；
(2)当曲线y ＝f(x)的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围． 8、(2013大纲全国，文21)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3x ＋1.
(1)当a =f(x)的单调性；
(2)若x ∈[2，＋∞)时，f(x)≥0，求a 的取值范围．
9、（14全国文数 1）(21) (本小题满分12分)设函数f （x ）=alnx+x2﹣bx （a ≠
1），曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线斜率为0， （1）求b ；
（2）若存在x0≥1，使得f （x0）＜，求a 的取值范围．
10、（2014全国文数2）（21）小题满分12分）
已知函数f （x ）=x3﹣3x2+ax+2，曲线y=f （x ）在点（0，2）处的切线与x 轴交点的横坐标为﹣2． （Ⅰ）求a ；
（Ⅱ）证明：当k ＜1时，曲线y=f （x ）与直线y=kx ﹣2只有一个交点． 11、（2015全国文数1）（12分）设函数f （x ）=e2x ﹣alnx ． （Ⅰ）讨论f （x ）的导函数f′（x ）零点的个数；
（Ⅱ）证明：当a ＞0时，f （x ）≥2a+aln ． 12、(2015全国文数2)（21）（本小题满分12分）已知()()
ln 1f x x a x =+-.
（I ）讨论()
f x 的单调性；
（II ）当
()
f x 有最大值,且最大值大于22a -时,求a 的取值范围.
13、(2016全国文数1)（21）（本小题满分12分）已知函数()()()
2
2e 1x f x x a x =-+-．
(I)讨论()
f x 的单调性；
(II)若
()
f x 有两个零点,求a 的取值范围.
14、(2016全国文数2)（23）本小题满分12分）对于定义域为D 的函数，若同时满足下列条件：①在D 内单调递增或单调递减；②存在区间[]，使
在[]上的值域为[]；那么把（）叫闭函数。

（Ⅰ）求闭函数符合条件②的区间[]；
（Ⅱ）判断函数
是否为闭函数？并说明理由；
（Ⅲ）若是闭函数，求实数的取值范围。

15、(2016全国文数3)（21）（本小题满分12分） 设函数()ln 1f x x x =-+. （I ）讨论()f x 的单调性； （II ）证明当(1,)x ∈+∞时，
1
1ln x x x -<
<；
（III ）设1c >，证明当(0,1)x ∈时，1(1)x
c x c +->. 16、(2017全国文数3)（21）（12分）
已知函数()f x =ln x +ax 2+(2a +1)x ． （1）讨论()f x 的单调性； （2）当a ﹤0时，证明3
()24f x a
≤-
-． 17、(2017全国文2)（21）（12分）
设函数f(x)=(1-x 2)e x
. （1）讨论f(x)的单调性；
（2）当x ≥0时，f(x)≤ax +1，求a 的取值范围.
18、(2017全国文1)（21）（12分） 已知函数()f x =e x (e x ﹣a )﹣a 2x ．
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()0f x ≥，求a 的取值范围．
)(x f y =)(x f b a ,D ⊆)(x f b a ,b a ,)(x f y =D x ∈3
x y -=b a ,)0(1
43)(>+=
x x x x f 2++=x k y k
答案
1、解：C 因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或
1
b
a
=
，所以a+b=a
a
1
+
而利用均值不等式求得a+b=
2
1
>
+
a
a。

即a+b的取值范围是(2,+∞).
2、C解：a=3
log
2=2
1
log3, b=In2=
2
1
log e,而22
log3log1
e
>>,所以a<b,
c=
1
2
5-22
2log4log3
>=>,所以c<a,综上c<a<b.
3、D解：由1ln(1)(1)
y x x
=+->可得y R
∈且1
1y
x e-
-=,
即可得函数
1ln(1)(1)
y x x
=+->的反函数是11(R)
x
y e x
-
=+∈,故应选D.
4、A解：由
2
y x a
'=+可得在点（0,b）处切线的斜率1
k a
==,
又由（0,b）在切线1
x y
-+上可得1
b=, 故应选A.
5、解：验证知，点（1，0）在曲线上
∵y=x3﹣2x+1，
y′=3x2﹣2，所以k=y′|x﹣1=1，得切线的斜率为1，所以k=1；
所以曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为：
y﹣0=1×（x﹣1），即y=x﹣1．
故选A．
6、解：通过分析可知当t=0时，点P到x轴距离d为，于是可以排除答案A，D，
再根据当时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0，排除答案B，
故应选C．
7、解：由偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|﹣4，则f（x﹣2）=f（|x﹣2|）=2|x﹣2|﹣4，要使f（|x﹣2|）＞0，只需2|x﹣2|﹣4＞0，|x﹣2|＞2
解得x＞4，或x＜0．
应选：B．
8、解：作出函数f（x）的图象如图，
不妨设a＜b＜c，则
ab=1，
则abc=c∈（10，12）．
故选C．
9、答案：B
解析：由原函数反解得
24y x =
,又原函数的值域为0y ≥,
所以函数0)y x =≥的反函数为2
(0)
4x y x =≥.
10、答案：A
解析：由()f x 是周期为2的奇函数,利用周期性和奇偶性得:
5511111
()(2)()()2(1)2222222f f f f -=-+=-=-=-⨯⨯-=-
11、解析：函数
12x
y e
=
与函数ln(2)y x =互为反函数，图象关于直线y x =
对称。

问题转化为求曲线
12x
y e =上点P 到直线y x =的距离的最小值d ，则||PQ 的最小值 为2d 。

设直线y x b =+与曲线
12x
y e
=
相切于点
1(,)2t P t e ， 因为
1'2x y e
=
，所以根据导数的几何意义，
得112t
e =，ln 2t =，
所以切点(ln 2,1)P ，从而1ln 2b =-， 所以1ln 2y x =+-
因此曲线
12x
y e =上点P 到直线y x = 的距离的最小值d 为直线
1ln 2y x =+-与直线y x =的距离，
从而
d =
min ||2ln 2)PQ d =-，故选择B 。

12、解析：由指数函数与对数函数的图像知1
2011log 42a
a <<⎧⎪⎨>⎪⎩
，解得
02a <<，故选A. 13、解析：∵3ln 4y x '=+，∴切线斜率为4，则切线方程为：430x y --=.
14、解析：()f x =
22sin 11x x
x ++
+， 设()g x =()1f x -=2
2sin 1x x x ++，则()g x 是奇函数，
∵()f x 最大值为M ，最小值为m ，∴()g x 的最大值为M-1，最小值为m －1，
∴110M m -+-=，M m +=2. 15、答案：D
解析：可画出|f(x)|的图象如图所示．
当a ＞0时，y ＝ax 与y ＝|f(x)|恒有公共点，所以排除B ，C ； 当a≤0时，若x ＞0，则|f(x)|≥ax 恒成立．
若x≤0，则以y ＝ax 与y ＝|－x2＋2x|相切为界限，
由2,2,y ax y x x =⎧⎨=-⎩
得x2－(a ＋2)x ＝0. ∵Δ＝(a ＋2)2＝0，∴a ＝－2. ∴a ∈[－2,0]．故选D. 16、答案：C
解析：若x0是f(x)的极小值点，则y ＝f(x)的图像大致如下图所示，则在(－∞，x0)上不单调，故C 不正确．
17、答案：D
解析：由题意可得，
12x
a x ⎛⎫>- ⎪
⎝⎭(x ＞0)． 令f(x)＝12x
x ⎛⎫
- ⎪
⎝⎭，该函数在(0，＋∞)上为增函数，可知f(x)的值域为(－1，＋∞)，故a ＞－1时，存在正数x 使原不等式成立． 18、答案：A
解析：由y ＝f(x)＝
21log 1x ⎛⎫+ ⎪
⎝⎭⇒1＋1x ＝2y ⇒x ＝121y -. ∵x ＞0，∴y ＞0.
∴f －1(x)＝1
21x
-(x ＞0)．故选
A ．
19、答案：D
解析：由题意知y′|x＝－1＝(4x3＋2ax)|x ＝－1＝－4－2a ＝8，则a ＝－6.故选D ． 20、答案：－1
解析：∵f(x)是以2为周期的函数，且x ∈[1,3)时，f(x)＝x －2， 则f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)＝1－2＝－1. 21、答案：C
解析：f （x ）是奇函数，g （x ）是偶函数，∴|f （x ）|为偶函数，|g （x ）|为偶函数． 再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，
可得 f （x ）|g （x ）|为奇函数， 22、答案：C
解析：当a=0时，f（x）=﹣3x2+1=0，解得x=，函数f（x）有两个零点，不符合题意，应舍去；
当a＞0时，令f′（x）=3ax2﹣6x=3ax=0，解得x=0或x=＞0，列表如下：
x （﹣∞，0） 0
f′（x）+ 0 ﹣ 0 +
f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增∵x→+∞，f（x）→+∞，而f（0）=1＞0，∴存在x＜0，使得f（x）=0，不符合条件：f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，应舍去．
当a＜0时，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax=0，解得x=0或x=＜0，列表如下：
x
0 （0，+∞）
（﹣∞，）
f′（x）﹣ 0 + 0 ﹣
f（x）单调递减极小值单调递增极大值单调递减而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→﹣∞，∴存在x0＞0，使得f（x0）=0，
∵f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，∴极小值=，化为a2＞4，∵a＜0，∴a＜﹣2．综上可知：a的取值范围是（﹣∞，﹣2）
23、答案：x≤8
解析：x＜1时，ex﹣1≤2，∴x≤ln2+1，∴x＜1；x≥1时，≤2，∴x≤8，∴1≤x ≤8，
综上，使得f（x）≤2成立的x的取值范围是x≤8．
24、答案： D
解析：函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，
∴当x＞1时，f′（x）=k﹣≥0，∴k﹣1≥0，∴k≥1，故选：D
25、答案：3
解析：因为偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，所以f（2+x）=f（2﹣x）=f（x ﹣2），
即f（x+4）=f（x），则f（﹣1）=f（﹣1+4）=f（3）=3
26、解：函数f（x）=且f（a）=﹣3，
若a≤1，则2a﹣1﹣2=﹣3，即有2a﹣1=﹣1＜0，方程无解；
若a＞1，则﹣log2（a+1）=﹣3，解得a=7，
则f（6﹣a）=f（﹣1）=2﹣1﹣1﹣2=﹣．
故选：A．
27、解：∵与y=2x+a的图象关于y=x对称的图象是y=2x+a的反函数，
x=log2y﹣a（y＞0），
即g（x）=log2x﹣a，（x＞0）．
∵函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=﹣x对称，
∴f（x）=﹣g（﹣x）=﹣log2（﹣x）+a，x＜0，
∵f（﹣2）+f（﹣4）=1，
∴﹣log22+a ﹣log24+a=1， 解得，a=2， 故选：C ．
28、解：函数f （x ）=ax3+x+1的导数为：f′（x ）=3ax2+1，f′（1）=3a+1，而f （1）=a+2，
切线方程为：y ﹣a ﹣2=（3a+1）（x ﹣1），因为切线方程经过（2，7）， 所以7﹣a ﹣2=（3a+1）（2﹣1）， 解得a=1． 故答案为：1．
29、解：如图，当点P 在BC 上时， ,tan 4tan ,tan 4,tan ,22
x x PB PA x PA x PB x BOP ++=+∴+===∠
当
4π
=
x 时取得最大值51+，
以A,B 为焦点C,D 为椭圆上两定点作椭圆，显然，当点P 在C,D 之间移动时PA+PB<51+. 又函数)(x f 不是一次函数，故选B. 30、解：因为函数
时函数是增函数是偶函数，),0[,11
)1ln()(2+∞∈+-
+=x x x x f
.
131
,)12(,12)12()(22<<->∴->∴->x x x x x x f x f 解得 故选A.
31、答：a=-2
32、解：.
122,1
1'-=∴+=x y x y ，切线方程为切线的斜率为
.
8120.08,08,
021)2(12222=+=====-=∆=+++++=-=a x y a a a a a ax ax x a ax y x y 所以与切线平行，不符。

时曲线为或解得由联立得与将
33、答案：
试题分析：函数f(x)=2x2–e|x|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于y 轴对称，因为22(2)8,081f e e =-<-<，所以排除,A B 选项；当[]0,2x ∈时，4x y x e '=-有一零点，设为0x
，当0(0,)
x x ∈时，()f x 为减函数，当0(,2)
x x ∈时，()f x 为增函数．故选D
34、答案：
试题分析：用特殊值法：取1a =-，()1sin 2sin 3f x x x x =--，()2
1cos 2cos 3f x x x
'=--，
但()22
011033f '=--=-<，不具备在
(),-∞+∞单调递增，排除A ，B ，D ．故选C ． 35、解:由对数函数的定义域可得到：10,x -> 即(1,)x ∈+∞选C
36、 当0(1)0,1x x x x <+=∴=-时，；
当0(1)0,1x x x x x =0≥-=∴=时，或，共3个零点，选C
37、试题分析： 1
10,(),()1,x x x f x e x f x e --'>=+=+时(1)2,y 22(x 1)y 2x.f '=-=-⇒= 38、答案：D
x
P
O
D C
B
A
39、答案： C 解析：由题知
，所以
，
即
为
的对称轴，由题意知有唯一的零点，所以零点只能为
，即
，解出。

解二 0)(22)(11
'
=-+-=+--x x e e a x x f 得1=x
即1=x 为函数的极值点，故0)1(=f 则0221=+-a ，2
1=a
40、解析： 当0≤x 时，012
1
1)21()(>+-++=-+x x x f x f 41->∴x
04
1
≤<-
x 当102x <≤时，11
()()21122
x f x f x x +-=+-+>恒成立
当12
x >时，12221x x
-+>恒成立；
综上，x 的取值范围为1
(-,+)4
∞。

41、答案：D
解析：函数有意义，则：2280x x --> ，解得：2x <- 或4x > ，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为()4,+∞ . 42、答案：12
解析：(2)(2)[2(8)4]12f f =--=-⨯-+= 43、C 解答题： 1、解：（Ⅰ）
()()()
241331f x x ax ax '=-+-
当1
6a =
时，()22(2)(1)f x x x '=+-，()f x 在(,2)-∞-内单调减，在2-+∞（，）内单
调增，在2x =-时，()f x 有极小值. 所以(2)12f -=-是()f x 的极小值.
2、解：
①式无解，②式的解为554
3a <<
， 因此a 的取值范围是5543⎛⎫
⎪
⎝⎭，.
3、解：（I ）a=时，f （x ）=x （e x ﹣1）﹣x 2，=（e x ﹣1）（x+1）
令f′（x ）＞0，可得x ＜﹣1或x ＞0；令f′（x ）＜0，可得﹣1＜x ＜0；
∴函数的单调增区间是（﹣∞，﹣1），（0，+∞）；单调减区间为（﹣1，0）； （II ）f （x ）=x （e x ﹣1﹣ax ）．
令g （x ）=e x ﹣1﹣ax ，则g'（x ）=e x
﹣a ．
若a≤1，则当x ∈（0，+∞）时，g'（x ）＞0，g （x ）为增函数，而g （0）=0，从而当x≥0时g （x ）≥0，即f （x ）≥0．
若a ＞1，则当x ∈（0，lna ）时，g'（x ）＜0，g （x ）为减函数，而g （0）=0，从而当x ∈（0，lna ）时，g （x ）＜0，即f （x ）＜0． 综合得a 的取值范围为（﹣∞，1]．
4、解：（I ）2()3636f x x ax a '=++- .
由(0)124,(0)36f a f a '=-=-得曲线()y f x =在x=0处的切线方程为 (36)124y a x a =-+-
由此知曲线()y f x =在x=0处的切线过点（2，2）
（II ）由()0f x '=得22120x ax a +--=.
（i
）当11a ≤≤时，()f x 没有极小值；
(ii)
当1a >
或1a <时，由()0f x '=得
12x a x a =-=-+故
02
x x =.
由题设知13a <-，
当1a >
时，不等式13a <-<无解；
当1a <
时，解不等式13a <-<
得5
1
2a -<<
综合(i)(ii)得a
的取值范围是5
(,1)
2-
5、解析：（1）因为
2
121
)0()1(')(x x f e f x f x +-=-， 所以1
'()'(1)(0)x f x f e f x -=-+，
所以1(0)'(1)'(1)'(1)(0)1f f e f f f ⎧
=⋅
⎪⎨
⎪=-+⎩，解得(0)1f =，'(1)f e =。

所以)(x f 的解析式为
2
1()2x f x e x x =-+。

由此得
'()1x
f x e x =-+。

而
'()1x
f x e x =-+是R 上的增函数，且'(0)0f =， 因此，当(0,)x ∈+∞时，'()'(0)0f x f >=，)(x f 在(0,)+∞上是增函数； 当(,0)x ∈-∞时，'()'(0)0f x f <=，)(x f 在(,0)-∞上是减函数。

综上所述，函数)(x f 的增区间为(0,)+∞，减区间为(,0)-∞。

（2）由已知条件得(1)x
e a x b -+≥。

①
（i ）若10a +<，则对任意常数b ，当0x <，且
11b
x a -<
+，
可得(1)x e a x b -+<，因此①式不成立。

（ii ）若10a +=，则(1)0a b +=。

（iii ）若10a +>，设()(1)x g x e a x =-+，则
'()(1)x
g x e a =-+。

当(,ln(1))x a ∈-∞+，'()0g x <；当(ln(1),)x a ∈++∞，'()0g x >
从而()g x 在(,ln(1))a -∞+单调递减，在(ln(1),)a ++∞单调递增。

所以
b ax x x f ++≥
2
21)(等价于1(1)ln(1)b a a a ≤+-++。

②
因此
22
(1)(1)(1)ln(1)a b a a a +≤+-++。

设
22()(1)(1)ln(1)h a a a a =+-++，则'()(1)(12ln(1))h a a a =+-+。

所以()h a 在12(1,1)e --单调递增，在12
(1,)e -+∞单调递减， 故()h a 在1
2
1a e =-在处取得最大值，从而
()2e h a ≤
，即(1)2e
a b +≤。

当
1
21
a e
=-，
1
2
2
e
b=
时，②式成立，故
b
ax
x
x
f+
+
≥2
2
1
)
(。

综合得，
b
a)1
(+的最大值为2
e。

6、解：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4. 由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4.
故b＝4，a＋b＝8.
从而a＝4，b＝4.
(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，
f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)·
1
e
2
x
⎛⎫
-
⎪⎝⎭.
令f′(x)＝0得，x＝－ln 2或x＝－2.
从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)＞0；
当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)＜0.
故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．
7、(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，
f′(x)＝－e－xx(x－2)．①
当x∈(－∞，0)或x∈(2，＋∞)时，f′(x)＜0；
当x∈(0,2)时，f′(x)＞0.
所以f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)单调递减，在(0,2)单调递增．
故当x＝0时，f(x)取得极小值，极小值为f(0)＝0；
当x＝2时，f(x)取得极大值，极大值为f(2)＝4e－2.
(2)设切点为(t，f(t))，
则l的方程为y＝f′(t)(x－t)＋f(t)．
所以l在x轴上的截距为m(t)＝
()2
23 '()22
f t t
t t t
f t t t
-=+=-++
--.
由已知和①得t∈(－∞，0)∪(2，＋∞)．
令h(x)＝
2
x
x
+
(x≠0)，则当x∈(0，＋∞)时，h(x)的取值范围为
[
当x∈(－∞，－2)时，h(x)的取值范围是(－∞，－3)．
所以当t∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，m(t)的取值范围是(－∞，0)∪
[3，＋∞)．
综上，l在x轴上的截距的取值范围是(－∞，0)∪
[3
+，＋∞)．
8、解：(1)
当a=f(x)＝x3
－＋3x＋1，
f′(x)＝3x2
－x＋3.
令f′(x)＝0
，得1
1
x-
，2
1
x=
.
当x∈(
1)时，f′(x)＞0，f(x)在(
1)是增函数；
当x∈
1
1)时，f′(x)＜0，f(x)在
1
1)是减函数；
当x∈
1，＋∞)时，f′(x)＞
1，＋∞)是增函数．
(2)由f(2)≥0得
5
4
a≥-
.
当
5
4
a≥-
，x∈(2，＋∞)时，
f′(x)＝3(x2＋2ax＋1)≥
2
5
31
2
x x
⎛⎫
-+
⎪
⎝⎭＝3
1
2
x
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭(x－2)＞0，
所以f(x)在(2，＋∞)是增函数，于是当x∈[2，＋∞)时，f(x)≥f(2)≥0.
综上，a的取值范围是
5
,
4
⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
.
9、解：（1）f′（x）=（x＞0），∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，
∴f′（1）=a+（1﹣a）×1﹣b=0，解得b=1．
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），由（1）可知：f（x）=alnx+，∴=．
①当a时，则，则当x＞1时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）在（1，+∞）单调递增，
∴存在x0≥1，使得f（x0）＜的充要条件是，即，解得；
②当a＜1时，则，
则当x∈时，f′（x）＜0，函数f（x）在上单调递减；
当x∈时，f′（x）＞0，函数f（x）在上单调递增．
∴存在x0≥1，使得f（x0）＜的充要条件是，
而=+，不符合题意，应舍去．
③若a＞1时，f（1）=，成立．
综上可得：a的取值范围是．
10、解：（Ⅰ）函数的导数f′（x）=3x2﹣6x+a；f′（0）=a；则y=f（x）在点（0，2）处的切线方程为y=ax+2，
∵切线与x轴交点的横坐标为﹣2，∴f（﹣2）=﹣2a+2=0，解得a=1．
（Ⅱ）当a=1时，f（x）=x3﹣3x2+x+2，设g（x）=f（x）﹣kx+2=x3﹣3x2+（1﹣k）x+4，
由题设知1﹣k＞0，当x≤0时，g′（x）=3x2﹣6x+1﹣k＞0，g（x）单调递增，
g（﹣1）=k﹣1，g（0）=4，则g（x）=0在（﹣∞，0]有唯一实根．
当x ＞0时，令h （x ）=x3﹣3x2+4，则g （x ）=h （x ）+（1﹣k ）x ＞h （x ）． 则h ′（x ）=3x2﹣6x=3x （x ﹣2）单调递增，g （﹣1）=k ﹣1，g （0）=4， 则g （x ）=0在（﹣∞，0]有唯一实根．
∴g （x ）＞h （x ）≥h （2）=0，∴g （x ）=0在（0，+∞）上没有实根． 综上当k ＜1时，曲线y=f （x ）与直线y=kx ﹣2只有一个交点 11、解：（Ⅰ）f （x ）=e2x ﹣alnx 的定义域为（0，+∞）， ∴f′（x ）=2e2x ﹣．
当a≤0时，f′（x ）＞0恒成立，故f′（x ）没有零点， 当a ＞0时，∵y=e2x 为单调递增，y=﹣单调递增， ∴f′（x ）在（0，+∞）单调递增， 又f′（a ）＞0，
当b 满足0＜b ＜时，且b ＜，f （b ）＜0， 故当a ＞0时，导函数f′（x ）存在唯一的零点，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，可设导函数f′（x ）在（0，+∞）上的唯一零点为x0， 当x ∈（0，x0）时，f′（x ）＜0， 当x ∈（x0+∞）时，f′（x ）＞0，
故f （x ）在（0，x0）单调递减，在（x0+∞）单调递增， 所欲当x=x0时，f （x ）取得最小值，最小值为f （x0）， 由于
﹣
=0，
所以f （x0）=
+2ax0+aln ≥2a+aln ．
故当a ＞0时，f （x ）≥2a+aln ． 12、解：已知
()()
ln 1f x x a x =+-.
.
),1
()1,0)(00)(0.1)(')1(上是减函数上是增函数，在在（时，函数当）上是增函数；
，在（时，函数当+∞>∞+≤-=
a a x f a x f a a x
x f
（II ）由（1）知，当.
ln 1)1
(1)(0a a a f a x x f a --==>时取得最大值在时，函数
.01ln ,22ln 1<-+->--a a a a a 整理得由
.1,0(,10),1()(,0)1(0)(,0)(',00,1
1',1ln )(）即上述不等式即函数。

又）是增
，在（）（则设∈<<∴<=∞+>∴>∴>+=-+=a a g a g g x g x g x a x
x g x x x g 13、（I ）解:f ′(x)=ex+(x-2)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a)
(1)a ≥0,ex+2a>0 x ∈(-∞,1)时f ′(x)<0, x ∈(1,+∞)时f ′(x)>0 f(x)在(-∞,1)减f(x)在(1，+∞)增
（2）a<0时令f ′(x)=0 则x1=1, x2=ln(-2a)
1°若ln(-2a)>1 即 a<-e 2时x ∈(-∞,1)时f ′(x)>0, x ∈(1,ln(-2a)时f ′(x)<0; x ∈(ln(-2a),+∞)时f ′(x)>0 ∴f(x)在（-∞，1）增
2°若ln(-2a)=1 即a=−e 2时 f ′(x)=(x-1)(ex =e ) ∴x ≠1时f ′（x ）>0 ∴f(x)在（-∞，+∞）上递增；
3°若ln(-2a)<1 即- e 2<a0，x ∈(ln(-2a),1)时f ′(x)<0,</a x ∈(1,+∞)时f ′(x)>0
∴若- e 2<a<0时f(x)在(-∞,ln(--a 2))上递增，< span=""></a<0时f(x)在(-∞,ln(--a 2))上递增，<> 在（1，+∞）上递增;
在（ln(-a 2),1)）上单调递减 （II ）解：由①知
若a ≥0 f (x )在(-∞,1)减，（1，+∞）增，且f (1)=-e<0. x →+∞时，f (x ) →+∞，x →-∞时，f (x ) →+∞ ∴一定有2个零点；
若a <-时，f (x ) 在（-∞，1）内递增，（1，ln(-2a )）内递减，（ln(-2a ),+ ∞）递增
且f (1)=-e<0 f (x )只有一个零点；
若a =-时 f (x )在R 上递增，则f (x )只有一个零点；
若0>a >-时，f (x )在（-∞，ln(-2a )）增，（ln(-2a ),1）减，（1，+∞）增 ∵f (1)=-e<0 x →+∞时，f (x )→+∞，x →-∞时f (x ) →-∞
∴f (x )在（1，+∞）内只有一个零点，f (x )若恰有2个零点，只能使f (ln (-2a )=0 而[ln(-2a )-2]·(-2a )+a [ln(-2a )-1]2=0
即须4-ln(-2a )+[ln(-2a )-1]2=0* ∵-<a <0 ∴ln(-2a )<1
∴4-ln(-2a )>0,[ln(-2a )-1]2
>0 ∴*不可能为0 综上f (x )有2个零点 a 的范围为[0,+ ∞]
14、解：（Ⅰ）由题意，在[]上递减，
则
解得
所以，所求的区间为[-1，1]
（Ⅱ）解：取则，
即不是上的减函数。

取
，
3
x y -=b a ,⎪⎩⎪⎨⎧>-=-=a
b b a a b 33
⎩
⎨
⎧=-=11
b a ,10,121==x x )
(1076
47)(21x f x f =<=)(x f ),0(+∞,
1001,10121==x x )
(1004003
10403)(21x f x f =+<+=
即不是上的增函数
所以，函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数。

（Ⅲ）解：若是闭函数，则存在区间[]，
在区间[]上，函数的值域为[]，
即
，为方程
的两个实数根，即方程
有两个不等的实根。

当时，有，
解得 当时，有，无
解 ……13分
综上所述，
15、解：（Ⅰ）由题设，()f x 的定义域为(0,)+∞，'1()1f x x =
-，令'
()0f x =，解
得1x =.
当01x <<时，'()0f x >，()f x 单调递增；当1x >时，'
()0f x <，()f x 单调递减.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在1x =处取得最大值，最大值为(1)0f =. 所以当1x ≠时，ln 1x x <-. 故当(1,)x ∈+∞时，ln 1x x <-，
11ln
1x x <-，即11ln x x x -<<.
（Ⅲ）由题设1c >，设()1(1)x g x c x c =+--，则'()1ln x g x c c c =--，令'
()0g x =，
解得
01ln ln ln c c
x c -=. 当0x x <时，'()0g x >，()g x 单调递增；当0x x >时，'
()0g x <，()g x 单调递减.
由（Ⅱ）知，1
1ln c c c -<
<，故001x <<，又(0)(1)0g g ==，故当01x <<时，()0g x >.
所以当(0,1)x ∈时，1(1)x
c x c +->.
16、解：（1）由2()ln (21),(0)f x x ax a x x =+++>
)(x f ),0(+∞2++
=x k y b a ,b a ,)(x f b a ,⎪⎩⎪⎨⎧++=++=2
2b k b a k a b a ,∴2++=x k x 22
(21)20(2,)x k x k x x k -++-=≥-≥2-≤k ⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
->+≥->∆22120)2(0k f 2
49
-≤<-k 2->k ⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
>+≥>∆k k k f 2120)(0]
2,49
(--∈k
有'1
()221f x ax a x =+++
22(21)1
ax a x x +++= (2)
①当0a =时，'()10,()f x f x =>单增
① 当0a ≠时，令'()0f x =，即22(21)10ax a x +++= 解得121
1(,2x x a =-=-舍) (4)
2()2(21)1g x ax a x =+++
ⅰ.当0a >时，()g x 开口向上，1
02a -<,()0g x >,即'()0f x >，()f x 单增
ⅱ.当0a <时，()g x 开口向上，1
02a ->， 此时，在1
(0,)2a -上，()0g x <，即'()0f x <，()f x 单减 在1
(,)2a -+∞上，()0g x >，即'()0f x >，()
f x 单
增 (6)
（2）由（1）可得：max 1
11
()()ln()1224f x f a a a =-=--- 故要证3
()24f x a ≤-- 即证1
1
3
ln()12244a a a ---≤-- ………………………………..8 即证1
1
ln()1022a a -++≤
即证ln 10(0)t t t -+≤> (10)
令()ln 1g t t t =-+ 则'1
()1g t t =-
令'()0g t ≥，得1t <
max ()(1)0g t g ∴==
()0g t ∴≤ (12)
17、解析：（1）()()()222112x x x f x xe x e x x e '=-+-=--
令()0f x '=得2210x x +-=，解得121,1x x ==
∴()f x 在区间()),1,1,-∞+∞是减函数，
在区间()1是增函数
（2）∵0x ≥时，()1f x ax ≤+，∴()211x x e ax -≤+
∴210x x x e e ax -++≥，令()21x x h x x e e ax =-++，
即[)0,x ∈+∞时，()0h x ≥，而()00h =，∴()00h '≥
∴10,1a a -≥≥；
再令()()22x x x x h x x e xe e a ϕ'==+-+，()()241x x x x e ϕ'=++
0x ≥时，()0x ϕ'>恒成立. ∴()h x '在[)0,+∞是增函数，
恒有()0h x '≥，从而()h x 是增函数，()00h =，()0h x ≥
在[)0,+∞恒成立，故1a ≥即为所求.
18、（1）函数()f x 的定义域为(,)-∞+∞，22()2(2)()x x x x f x e ae a e a e a '=--=+-， ①若0a =，则2()x f x e =，在(,)-∞+∞单调递增.
②若0a >，则由()0f x '=得ln x a =.
当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增.
③若0a <，则由()0f x '=得ln()2a x =-. 当(,ln())2a
x ∈-∞-时，()0f x '<；当(ln(),)2
a x ∈-+∞时，()0f x '>，故()f x 在(,ln())2a -∞-单调递减，在(ln(),)2
a -+∞单调递增. （2）①若0a =，则2()x f x e =，所以()0f x ≥.
②若0a >，则由（1）得，当ln x a =时，()f x 取得最小值，最小值为2(ln )ln f a a a =-.从而当且仅当2ln 0a a -≥，即1a ≤时，()0f x ≥.
③若0a <，则由（1）得，当ln()2
a
x =-时，()f x 取得最小值，最小值为23(ln())[ln()]242a a f a -=--.从而当且仅当23[ln()]042
a a --≥，即3
42e a ≥-时()0f x ≥.
综上，a 的取值范围为34[2e ,1]-.。