爆破振动作用下基于Rayleigh波传播特性的边坡动力稳定性计算方法
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动力折减系数； Ｗ ｉ 为第 ｉ 条块的重力； ａ ｉ 为第 ｉ 条块
岩体中质点峰值振动加速度。 有研究建议粗略计
算时 β ｉ 直接取 ０ １ ～ ０ ３ ［２７］ ， 李海波等 ［２８］ 利用反应
谱法建议取 β ｉ 为 ０ ００８ ～ ０ １５２。
通过上节分析可以知道 Ｒ 波的 ａ ｘ 、 ａ ｚ 存在相
所示。
在条分法中条块内部不同质点加速度方向和大小
都不同， 因此在用条分法计算边坡稳定性时不宜ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
将质心处的加速度作为整个条块的加速度。
２ 边坡安全系数计算
工程计算中常采用拟静力法处理边坡岩体所
受爆破振动荷载， 其计算式为
Ｆｉ ＝
１ ａｉ
Ｗ
βｉ ｇ ｉ
（８）
式中： Ｆ ｉ 为爆破地震荷载的静力等效值； β ｉ 为爆破
Ｃ Ｒ ＝ ω ／ ｋ ， ω 为波的圆频率； ｔ 为时间； Ｃ Ｐ 为纵波波
速； Ｃ Ｓ 为横波波速。
Ｒ 波引起的边坡岩土介质在 ｘ 方向和 ｚ 方向的
位移可表示为
∂φ ∂ψ
ìï
＋
ｕ ＝
ï ｚ ∂ｚ
∂ｘ
í
∂φ ∂ψ
ï
ïｕ ｘ ＝ ∂ｘ － ∂ｚ
î
式 （１） ～ （３） 联立可得位移通解
（３）
ìï
２ｋ ２ ö ｉｋ ( ｘ －Ｃ ｔ )
第２期
岩土力学
边坡失稳可能会造成巨大经济损失 ［４－６］ ， 因此爆破
取地震波传播路径上岩体为分析区域， 将其视为
振动荷载作用下的边坡稳定性分析是学者们研究
半无 限 空 间， 取 分 析 区 域 边 界 面 为 相 对 震 源
的热点问题。
位置。
目前在开挖爆破情况下， 分析边坡稳定性采
Ｒ 波是体波遇到自由表面反射形成的沿自由
参考。
关键词： 爆破振动； Ｒａｙｌｅｉｇｈ 波； 动力安全系数； 极限平衡法； 时程法
中图分类号： ＴＵ ４５ 文献标志码： Ａ 文章编号： １００５－８２４９ （２０２２） ０２－００３４－０７
ＤＯＩ：１０．１９８６０ ／ ｊ．ｃｎｋｉ．ｉｓｓｎ１００５－８２４９．２０２２．０２．００６
æ
－ｒｚ
－
＋
ｕ ( ｘ， ｔ ) ＝ Ａｒ ç ｅ
÷ｅ
ïï ｚ
ｋ２ ＋ ｓ２ ø
è
（４）
í
２ｒｓ ö ｉｋ ( ｘ －Ｃ ｔ )
æ －ｒｚ
ï
ïｕ ｘ ( ｘ， ｔ ) ＝ ｉＡｋ ç ｅ － ｋ ２ ＋ ｓ ２ ÷ ｅ
è
ø
î
位移函数 （４） 对时间求导并取实部后可以得
Ｒ
Ｒ
在边坡的爆破开挖工程中， 爆源远区爆破地
收稿日期： ２０２１－０７－２８
播会影响边坡的抗滑稳定性， 造成边坡失稳 ［１－３］ ，
边坡稳定方面的研究。
· ３４·
的分析与评价问题。 爆破开挖中引起的振动的传
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余 蒙等： 爆破振动作用下基于 Ｒａｙｌｅｉｇｈ 波传播特性的边坡动力稳定性计算方法
φ ＝ Ａｅ －ｒｚ ｅ ｉｋ ( ｘ －Ｃ ｔ )
（１）
Ｒ
（２）
ψ ＝ Ｂｅ ｅ
－ｓｚ ｉｋ ( ｘ －Ｃ Ｒｔ )
其中， ｒ 和 ｓ 分别表示为
ｒ＝ｋ
２
æ ＣＲ ö
１ － ç ÷ ， ｓ＝ｋ
è ＣＰ ø
２
æ ＣＲ ö
１ －ç ÷ 。
è ＣＳ ø
式中： Ａ 、 Ｂ 均为幅值； ｋ 为波数； Ｃ Ｒ 为 Ｒ 波波速，
没有充分考虑到爆破地震波主要成分是 Ｒａｙｌｅｉｇｈ
波 （ Ｒ 波） 。
为此， 本文根据波动理论中 Ｒ 波的位移场得
出边坡潜在滑体的加速度场， 在条分法中通过用
加速度对整个条块内积分的方式将爆破振动荷载
等效为作用在条块底部中心的惯性力和力矩， 并
基于 极 限 平 衡 分 析 法 中 的 Ｍｏｒｇｅｎｓｔｅｒｎ － Ｐｒｉｃｅ 法
ｄｙｎａｍｉｃ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｓｌｏｐｅ ｕｎｄｅｒ ｂｌａｓｔｉｎｇ ｅｘｃａｖａｔｉｏｎ
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ： ｂｌａｓｔｉｎｇ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ； Ｒａｙｌｅｉｇｈ ｗａｖｅ； ｄｙｎａｍｉｃ ｓａｆｅｔｙ ｆａｃｔｏｒ； ｌｉｍｉｔ ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ ｍｅｔｈｏｄ； ｔｉｍｅ ｈｉｓｔｏｒｙ ｍｅｔｈｏｄ
余 蒙， 姜清辉， 王一凤
（ 武汉大学 土木建筑工程学院， 湖北 武汉 ４３００７２）
摘 要： 提出一种在爆破振动作用下基于 Ｒａｙｌｅｉｇｈ 波传播特性计算边坡安全系数的方法。 在进行边坡爆破
开挖时， 爆源中、 远区 Ｒａｙｌｅｉｇｈ 波能量较大， 是影响爆破时边坡稳定性的重要因素。 现有的拟静力法计算通常
较早采用拟静力极限平衡法对地震
较早地对 Ｓａｒｍａ 法进行了改进。 随着认识
的不断深入， 卢文波等
［１９－２６］
提出基于爆破振动速
度或加速度时程曲线计算边坡安全系数的时程法。
时程法突破了拟静力法的局限性， 反映了边坡在
爆破过程中的动力响应过程， 但目前多数文献在
计算中以条块质心处地震加速度计算地震惯性力，
表达式中只有幅值 Ａ 未知， 若幅值 Ａ 值给定， 则
随深度增加发生变化， ｘ ＝ ０ 时 ａ ｘ 始终为 ０， ｘ ≠ ０ 时
ａ ｘ 先增大后反向增大再缓慢减小， 在较深处减小
至 ０； 深度增加 ａ ｚ 方向不发生变化， ａ ｚ 先快速增大
后缓慢减小， 在较深处减小至 ０。
分析结果表明， Ｒ 波引起的岩土介质加速度
（ Ｍ －Ｐ 法） 结合时程法得到边坡安全系数时程曲
线。 这种方法考虑到了 Ｒ 波在边坡岩体内的传播
规律， 以及地震波的频率、 相位等因素对潜在滑
体的影响， 可为边坡稳定性分析与评价、 优化边
坡爆破开挖设计提供参考。
１ 加速度场解析解
波和 ＳＶ 波沿自由表面的传播， 因此假定存在以相
势函数 φ 和 ψ 分别表示为
震波的主要成分是 Ｒ 波， 故本文主要研究 Ｒ 波对
边坡稳定性的影响。 假设边坡模 型 如 图 １ 所 示，
到 ｘ 方向和 ｚ 方向的速度为
２ｋｒ －ｓｚ ö
ìï
æ ｒ －ｒｚ
ｅ ÷ ｓｉｎ ( ｋｘ － ωｔ )
Ｖ ｚ ＝ Ａｋω ç － ｅ ＋ ２
ｋ ＋ ｓ２ ø
ïï
è ｋ
（５）
í
２ｒｓ －ｓｚ ö
采用爆破动力折减系数来表示爆破振动对边坡稳定性的影响， 未能考虑 Ｒａｙｌｅｉｇｈ 波沿深度快速衰减及频谱特性，
所得的安全系数不够准确。 本文考虑 了 Ｒａｙｌｅｉｇｈ 波 作 用 下 岩 土 介 质 的 加 速 度 场， 结 合 极 限 平 衡 分 析 法 中 的
Ｍｏｒｇｅｎｓｔｅｒｎ－Ｐｒｉｃｅ 法， 得到整个边坡的安全系数时程曲线， 为爆破开挖条件下边坡动力稳定性分析与评价提供
（６）
· ３５·
第 ３６ 卷
粉煤灰综合利用
２０２２ 年
岩土力学
Ｃ Ｒ 由瑞利方程确定：
ξ － ８ξ ＋ ( ２４ － １６ｂ ) ξ － １６ ( １ － ｂ ) ＝ ０ （７）
其中， ξ ＝ Ｃ Ｒ ／ Ｃ Ｓ ， ｂ ＝ Ｃ Ｓ ／ Ｃ Ｐ 。
６
４
２
２
２
当边坡岩体弹性模量、 泊松比、 密度已知时，
３
松比 ν 为 ０ ２５， 位移势函数幅值 Ａ 为 ０ ０１ ｍ２ ， 此
时对应的加速度峰值为 ａ ｘｍａｘ ＝ ４ ７３９ ｍ ／ ｓ２ ， ａ ｚｍａｘ ＝
７ ４０２ ｍ ／ ｓ２ 。 振动频率 ｆ 为 ２０ Ｈｚ， 根据式 （６） 绘
制 ｔ ＝ ０ 时 刻 边 坡 岩 土 体 中 加 速 度 分 布， 如 图 ２
æ －ｒｚ
ï
ïＶ ｘ ＝ Ａｋω ç ｅ － ｋ ２ ＋ ｓ ２ ｅ ÷ ｃｏｓ ( ｋｘ － ωｔ )
è
ø
î
速度函数 （５） 对时间求导并取实部后可以得
到 ｘ 方向和 ｚ 方向的加速度为
图 １ 边坡模型示意图
Ｆｉｇ １ Ｓｃｈｅｍａｔｉｃ ｄｉａｇｒａｍ ｏｆ ｔｈｅ ｓｌｏｐｅ ｍｏｄｅｌ
沿深度快速衰 减， 相 位 随 位 置 和 时 间 发 生 变 化。
可得到岩土介质的加速度场。
爆破地震波在边坡安全系数计算过程中的影
响主要体现在爆破地震加速度上， 为此下面分析 Ｒ
波作用下岩土体加速度分布特征。 假定边坡岩体
弹性模量 Ｅ 为 ２０ ＧＰａ， 密度 ρ 为 ２７１０ ｋｇ ／ ｍ ， 泊
ｐｒｏｐｏｓｅｄ Ｄｕｒｉｎｇ ｔｈｅ ｂｌａｓｔｉｎｇ ｅｘｃａｖａｔｉｏｎ ｏｆ ｓｌｏｐｅ， Ｒａｙｌｅｉｇｈ ｗａｖｅｓ ｉｎ ｔｈｅ ｍｉｄｄｌｅ ａｎｄ ｆａｒ ｒｅｇｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｂｌａｓｔｉｎｇ ｓｏｕｒｃｅ ｈａｖｅ ｈｉｇｈ ｅｎｅｒｇｙ，
ｗｈｉｃｈ ｉｓ ａｎ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｆａｃｔｏｒ ａｆｆｅｃｔｉｎｇ ｔｈｅ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｓｌｏｐｅ ｄｕｒｉｎｇ ｂｌａｓｔｉｎｇ Ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｉｎｇ ｑｕａｓｉ － ｓｔａｔｉｃ ｍｅｔｈｏｄ ｕｓｕａｌｌｙ ｕｓｅｓ ｔｈｅ ｂｌａｓｔｉｎｇ
ｄｙｎａｍｉｃ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ ｆａｃｔｏｒ ｔｏ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔ ｔｈｅ ｉｍｐａｃｔ ｏｆ ｂｌａｓｔｉｎｇ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｏｎ ｓｌｏｐｅ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ， ｂｕｔ ｆａｉｌｓ ｔｏ ｔａｋｅ ｉｎｔｏ ａｃｃｏｕｎｔ ｔｈｅ ｒａｐｉｄ ａｔｔｅｎｕａｔｉｏｎ
ａｎｄ ｓｐｅｃｔｒａｌ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｏｆ Ｒａｙｌｅｉｇｈ ｗａｖｅ ａｌｏｎｇ ｔｈｅ ｄｅｐｔｈ， ｒｅｓｕｌｔｉｎｇ ｉｎ ａｎ ｉｎａｐｐｒｏｐｒｉａｔｅ ｓａｆｅｔｙ ｆａｃｔｏｒ Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ， ｔｈｅ ａｃｃｅｌｅｒａｔｉｏｎ
∗基金项目： 国家自然科学基金 （５１７６９０１４） 。
作者简介： 余蒙 （ １９９７—） ， 女， 硕士研究生， 主要从事边
坡稳定方面的研究。
０ 引言
在大型水利水电、 露天矿开采等工程中， 面
通信作者： 姜清辉 （ １９７２—） ， 男， 博士， 教 授， 主 要 从 事
临着岩土边坡在开挖爆破荷载作用下边坡稳定性
ｆｉｅｌｄ ｏｆ ｒｏｃｋ ａｎｄ ｓｏｉｌ ｍｅｄｉｕｍ ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ａｃｔｉｏｎ ｏｆ Ｒａｙｌｅｉｇｈ ｗａｖｅ ｉｓ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ Ｃｏｍｂｉｎｅｄ ｗｉｔｈ Ｍｏｒｇｅｎｓｔｅｒｎ － Ｐｒｉｃｅ ｍｅｔｈｏｄ ｉｎ ｌｉｍｉｔ
ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ ａｎａｌｙｓｉｓ， ｔｈｅ ｔｉｍｅ － ｈｉｓｔｏｒｙ ｃｕｒｖｅ ｏｆ ｔｈｅ ｓａｆｅｔｙ ｆａｃｔｏｒ ｏｆ ｔｈｅ ｗｈｏｌｅ ｓｌｏｐｅ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ， ｗｈｉｃｈ ｐｒｏｖｉｄｅｓ ａ ｒｅｆｅｒｅｎｃｅ ｆｏｒ ｔｈｅ
２ｋｒ －ｓｚ ö
ìï
æ ｒ －ｒｚ
ｅ ÷ ｃｏｓ ( ｋｘ － ωｔ )
ａ ＝ Ａｋω２ ç ｅ － ２
ïï ｚ
ｋ
ｋ ＋ ｓ２ ø
è
í
２ｒｓ －ｓｚ ö
ï
２ æ －ｒｚ
ïａ ｘ ＝ Ａｋω ç ｅ － ｋ ２ ＋ ｓ ２ ｅ ÷ ｓｉｎ ( ｋｘ － ωｔ )
è
ø
î
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。
边界传播的波， 可以看作是一对耦合的非均匀 Ｐ
作 用 下 边 坡 稳 定 性 进 行 了 分 析 研 究； 杨 桂 桐
同波速 Ｃ Ｒ 沿 ｘ 向传播的一对 Ｐ 波和 Ｓ 波， 其位移
用的 方 法 主 要 是 拟 静 力 法 和 时 程 分 析 法
Ｓａｒｍａ 等
等
［１７－１８］
［１３－１６］
［７－１２］
第 ３６ 卷 第 ２ 期
２０２２ 年 ４ 月
粉煤灰综合利用
ＦＬＹ ＡＳＨ ＣＯＭＰＲＥＨＥＮＳＩＶＥ ＵＴＩＬＩＺＡＴＩＯＮ
Ｖｏｌ．３６ Ｎｏ．２
Ａｐｒ
２０２２
岩土力学
爆破振动作用下基于 Ｒａｙｌｅｉｇｈ 波传播特性的
边坡动力稳定性计算方法 ∗
Ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ Ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ Ｄｙｎａｍｉｃ Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ Ｓｌｏｐｅ ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｒａｙｌｅｉｇｈ Ｗａｖｅ Ｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ Ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｕｎｄｅｒ Ｂｌａｓｔｉｎｇ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ
ＹＵ Ｍｅｎｇ， ＪＩＡＮＧ Ｑｉｎｇｈｕｉ， ＷＡＮＧ Ｙｉｆｅｎｇ
（ Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｃｉｖｉｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ， Ｗｕｈａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｗｕｈａｎ ４３００７２， Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ： Ａ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇ ｓｌｏｐｅ ｓａｆｅｔｙ ｆａｃｔｏｒ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｏｆ Ｒａｙｌｅｉｇｈ ｗａｖｅ ｕｎｄｅｒ ｂｌａｓｔｉｎｇ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｉｓ
岩体中质点峰值振动加速度。 有研究建议粗略计
算时 β ｉ 直接取 ０ １ ～ ０ ３ ［２７］ ， 李海波等 ［２８］ 利用反应
谱法建议取 β ｉ 为 ０ ００８ ～ ０ １５２。
通过上节分析可以知道 Ｒ 波的 ａ ｘ 、 ａ ｚ 存在相
所示。
在条分法中条块内部不同质点加速度方向和大小
都不同， 因此在用条分法计算边坡稳定性时不宜ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
将质心处的加速度作为整个条块的加速度。
２ 边坡安全系数计算
工程计算中常采用拟静力法处理边坡岩体所
受爆破振动荷载， 其计算式为
Ｆｉ ＝
１ ａｉ
Ｗ
βｉ ｇ ｉ
（８）
式中： Ｆ ｉ 为爆破地震荷载的静力等效值； β ｉ 为爆破
Ｃ Ｒ ＝ ω ／ ｋ ， ω 为波的圆频率； ｔ 为时间； Ｃ Ｐ 为纵波波
速； Ｃ Ｓ 为横波波速。
Ｒ 波引起的边坡岩土介质在 ｘ 方向和 ｚ 方向的
位移可表示为
∂φ ∂ψ
ìï
＋
ｕ ＝
ï ｚ ∂ｚ
∂ｘ
í
∂φ ∂ψ
ï
ïｕ ｘ ＝ ∂ｘ － ∂ｚ
î
式 （１） ～ （３） 联立可得位移通解
（３）
ìï
２ｋ ２ ö ｉｋ ( ｘ －Ｃ ｔ )
第２期
岩土力学
边坡失稳可能会造成巨大经济损失 ［４－６］ ， 因此爆破
取地震波传播路径上岩体为分析区域， 将其视为
振动荷载作用下的边坡稳定性分析是学者们研究
半无 限 空 间， 取 分 析 区 域 边 界 面 为 相 对 震 源
的热点问题。
位置。
目前在开挖爆破情况下， 分析边坡稳定性采
Ｒ 波是体波遇到自由表面反射形成的沿自由
参考。
关键词： 爆破振动； Ｒａｙｌｅｉｇｈ 波； 动力安全系数； 极限平衡法； 时程法
中图分类号： ＴＵ ４５ 文献标志码： Ａ 文章编号： １００５－８２４９ （２０２２） ０２－００３４－０７
ＤＯＩ：１０．１９８６０ ／ ｊ．ｃｎｋｉ．ｉｓｓｎ１００５－８２４９．２０２２．０２．００６
æ
－ｒｚ
－
＋
ｕ ( ｘ， ｔ ) ＝ Ａｒ ç ｅ
÷ｅ
ïï ｚ
ｋ２ ＋ ｓ２ ø
è
（４）
í
２ｒｓ ö ｉｋ ( ｘ －Ｃ ｔ )
æ －ｒｚ
ï
ïｕ ｘ ( ｘ， ｔ ) ＝ ｉＡｋ ç ｅ － ｋ ２ ＋ ｓ ２ ÷ ｅ
è
ø
î
位移函数 （４） 对时间求导并取实部后可以得
Ｒ
Ｒ
在边坡的爆破开挖工程中， 爆源远区爆破地
收稿日期： ２０２１－０７－２８
播会影响边坡的抗滑稳定性， 造成边坡失稳 ［１－３］ ，
边坡稳定方面的研究。
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的分析与评价问题。 爆破开挖中引起的振动的传
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余 蒙等： 爆破振动作用下基于 Ｒａｙｌｅｉｇｈ 波传播特性的边坡动力稳定性计算方法
φ ＝ Ａｅ －ｒｚ ｅ ｉｋ ( ｘ －Ｃ ｔ )
（１）
Ｒ
（２）
ψ ＝ Ｂｅ ｅ
－ｓｚ ｉｋ ( ｘ －Ｃ Ｒｔ )
其中， ｒ 和 ｓ 分别表示为
ｒ＝ｋ
２
æ ＣＲ ö
１ － ç ÷ ， ｓ＝ｋ
è ＣＰ ø
２
æ ＣＲ ö
１ －ç ÷ 。
è ＣＳ ø
式中： Ａ 、 Ｂ 均为幅值； ｋ 为波数； Ｃ Ｒ 为 Ｒ 波波速，
没有充分考虑到爆破地震波主要成分是 Ｒａｙｌｅｉｇｈ
波 （ Ｒ 波） 。
为此， 本文根据波动理论中 Ｒ 波的位移场得
出边坡潜在滑体的加速度场， 在条分法中通过用
加速度对整个条块内积分的方式将爆破振动荷载
等效为作用在条块底部中心的惯性力和力矩， 并
基于 极 限 平 衡 分 析 法 中 的 Ｍｏｒｇｅｎｓｔｅｒｎ － Ｐｒｉｃｅ 法
ｄｙｎａｍｉｃ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｓｌｏｐｅ ｕｎｄｅｒ ｂｌａｓｔｉｎｇ ｅｘｃａｖａｔｉｏｎ
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ： ｂｌａｓｔｉｎｇ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ； Ｒａｙｌｅｉｇｈ ｗａｖｅ； ｄｙｎａｍｉｃ ｓａｆｅｔｙ ｆａｃｔｏｒ； ｌｉｍｉｔ ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ ｍｅｔｈｏｄ； ｔｉｍｅ ｈｉｓｔｏｒｙ ｍｅｔｈｏｄ
余 蒙， 姜清辉， 王一凤
（ 武汉大学 土木建筑工程学院， 湖北 武汉 ４３００７２）
摘 要： 提出一种在爆破振动作用下基于 Ｒａｙｌｅｉｇｈ 波传播特性计算边坡安全系数的方法。 在进行边坡爆破
开挖时， 爆源中、 远区 Ｒａｙｌｅｉｇｈ 波能量较大， 是影响爆破时边坡稳定性的重要因素。 现有的拟静力法计算通常
较早采用拟静力极限平衡法对地震
较早地对 Ｓａｒｍａ 法进行了改进。 随着认识
的不断深入， 卢文波等
［１９－２６］
提出基于爆破振动速
度或加速度时程曲线计算边坡安全系数的时程法。
时程法突破了拟静力法的局限性， 反映了边坡在
爆破过程中的动力响应过程， 但目前多数文献在
计算中以条块质心处地震加速度计算地震惯性力，
表达式中只有幅值 Ａ 未知， 若幅值 Ａ 值给定， 则
随深度增加发生变化， ｘ ＝ ０ 时 ａ ｘ 始终为 ０， ｘ ≠ ０ 时
ａ ｘ 先增大后反向增大再缓慢减小， 在较深处减小
至 ０； 深度增加 ａ ｚ 方向不发生变化， ａ ｚ 先快速增大
后缓慢减小， 在较深处减小至 ０。
分析结果表明， Ｒ 波引起的岩土介质加速度
（ Ｍ －Ｐ 法） 结合时程法得到边坡安全系数时程曲
线。 这种方法考虑到了 Ｒ 波在边坡岩体内的传播
规律， 以及地震波的频率、 相位等因素对潜在滑
体的影响， 可为边坡稳定性分析与评价、 优化边
坡爆破开挖设计提供参考。
１ 加速度场解析解
波和 ＳＶ 波沿自由表面的传播， 因此假定存在以相
势函数 φ 和 ψ 分别表示为
震波的主要成分是 Ｒ 波， 故本文主要研究 Ｒ 波对
边坡稳定性的影响。 假设边坡模 型 如 图 １ 所 示，
到 ｘ 方向和 ｚ 方向的速度为
２ｋｒ －ｓｚ ö
ìï
æ ｒ －ｒｚ
ｅ ÷ ｓｉｎ ( ｋｘ － ωｔ )
Ｖ ｚ ＝ Ａｋω ç － ｅ ＋ ２
ｋ ＋ ｓ２ ø
ïï
è ｋ
（５）
í
２ｒｓ －ｓｚ ö
采用爆破动力折减系数来表示爆破振动对边坡稳定性的影响， 未能考虑 Ｒａｙｌｅｉｇｈ 波沿深度快速衰减及频谱特性，
所得的安全系数不够准确。 本文考虑 了 Ｒａｙｌｅｉｇｈ 波 作 用 下 岩 土 介 质 的 加 速 度 场， 结 合 极 限 平 衡 分 析 法 中 的
Ｍｏｒｇｅｎｓｔｅｒｎ－Ｐｒｉｃｅ 法， 得到整个边坡的安全系数时程曲线， 为爆破开挖条件下边坡动力稳定性分析与评价提供
（６）
· ３５·
第 ３６ 卷
粉煤灰综合利用
２０２２ 年
岩土力学
Ｃ Ｒ 由瑞利方程确定：
ξ － ８ξ ＋ ( ２４ － １６ｂ ) ξ － １６ ( １ － ｂ ) ＝ ０ （７）
其中， ξ ＝ Ｃ Ｒ ／ Ｃ Ｓ ， ｂ ＝ Ｃ Ｓ ／ Ｃ Ｐ 。
６
４
２
２
２
当边坡岩体弹性模量、 泊松比、 密度已知时，
３
松比 ν 为 ０ ２５， 位移势函数幅值 Ａ 为 ０ ０１ ｍ２ ， 此
时对应的加速度峰值为 ａ ｘｍａｘ ＝ ４ ７３９ ｍ ／ ｓ２ ， ａ ｚｍａｘ ＝
７ ４０２ ｍ ／ ｓ２ 。 振动频率 ｆ 为 ２０ Ｈｚ， 根据式 （６） 绘
制 ｔ ＝ ０ 时 刻 边 坡 岩 土 体 中 加 速 度 分 布， 如 图 ２
æ －ｒｚ
ï
ïＶ ｘ ＝ Ａｋω ç ｅ － ｋ ２ ＋ ｓ ２ ｅ ÷ ｃｏｓ ( ｋｘ － ωｔ )
è
ø
î
速度函数 （５） 对时间求导并取实部后可以得
到 ｘ 方向和 ｚ 方向的加速度为
图 １ 边坡模型示意图
Ｆｉｇ １ Ｓｃｈｅｍａｔｉｃ ｄｉａｇｒａｍ ｏｆ ｔｈｅ ｓｌｏｐｅ ｍｏｄｅｌ
沿深度快速衰 减， 相 位 随 位 置 和 时 间 发 生 变 化。
可得到岩土介质的加速度场。
爆破地震波在边坡安全系数计算过程中的影
响主要体现在爆破地震加速度上， 为此下面分析 Ｒ
波作用下岩土体加速度分布特征。 假定边坡岩体
弹性模量 Ｅ 为 ２０ ＧＰａ， 密度 ρ 为 ２７１０ ｋｇ ／ ｍ ， 泊
ｐｒｏｐｏｓｅｄ Ｄｕｒｉｎｇ ｔｈｅ ｂｌａｓｔｉｎｇ ｅｘｃａｖａｔｉｏｎ ｏｆ ｓｌｏｐｅ， Ｒａｙｌｅｉｇｈ ｗａｖｅｓ ｉｎ ｔｈｅ ｍｉｄｄｌｅ ａｎｄ ｆａｒ ｒｅｇｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｂｌａｓｔｉｎｇ ｓｏｕｒｃｅ ｈａｖｅ ｈｉｇｈ ｅｎｅｒｇｙ，
ｗｈｉｃｈ ｉｓ ａｎ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｆａｃｔｏｒ ａｆｆｅｃｔｉｎｇ ｔｈｅ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｓｌｏｐｅ ｄｕｒｉｎｇ ｂｌａｓｔｉｎｇ Ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｉｎｇ ｑｕａｓｉ － ｓｔａｔｉｃ ｍｅｔｈｏｄ ｕｓｕａｌｌｙ ｕｓｅｓ ｔｈｅ ｂｌａｓｔｉｎｇ
ｄｙｎａｍｉｃ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ ｆａｃｔｏｒ ｔｏ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔ ｔｈｅ ｉｍｐａｃｔ ｏｆ ｂｌａｓｔｉｎｇ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｏｎ ｓｌｏｐｅ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ， ｂｕｔ ｆａｉｌｓ ｔｏ ｔａｋｅ ｉｎｔｏ ａｃｃｏｕｎｔ ｔｈｅ ｒａｐｉｄ ａｔｔｅｎｕａｔｉｏｎ
ａｎｄ ｓｐｅｃｔｒａｌ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｏｆ Ｒａｙｌｅｉｇｈ ｗａｖｅ ａｌｏｎｇ ｔｈｅ ｄｅｐｔｈ， ｒｅｓｕｌｔｉｎｇ ｉｎ ａｎ ｉｎａｐｐｒｏｐｒｉａｔｅ ｓａｆｅｔｙ ｆａｃｔｏｒ Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ， ｔｈｅ ａｃｃｅｌｅｒａｔｉｏｎ
∗基金项目： 国家自然科学基金 （５１７６９０１４） 。
作者简介： 余蒙 （ １９９７—） ， 女， 硕士研究生， 主要从事边
坡稳定方面的研究。
０ 引言
在大型水利水电、 露天矿开采等工程中， 面
通信作者： 姜清辉 （ １９７２—） ， 男， 博士， 教 授， 主 要 从 事
临着岩土边坡在开挖爆破荷载作用下边坡稳定性
ｆｉｅｌｄ ｏｆ ｒｏｃｋ ａｎｄ ｓｏｉｌ ｍｅｄｉｕｍ ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ａｃｔｉｏｎ ｏｆ Ｒａｙｌｅｉｇｈ ｗａｖｅ ｉｓ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ Ｃｏｍｂｉｎｅｄ ｗｉｔｈ Ｍｏｒｇｅｎｓｔｅｒｎ － Ｐｒｉｃｅ ｍｅｔｈｏｄ ｉｎ ｌｉｍｉｔ
ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ ａｎａｌｙｓｉｓ， ｔｈｅ ｔｉｍｅ － ｈｉｓｔｏｒｙ ｃｕｒｖｅ ｏｆ ｔｈｅ ｓａｆｅｔｙ ｆａｃｔｏｒ ｏｆ ｔｈｅ ｗｈｏｌｅ ｓｌｏｐｅ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ， ｗｈｉｃｈ ｐｒｏｖｉｄｅｓ ａ ｒｅｆｅｒｅｎｃｅ ｆｏｒ ｔｈｅ
２ｋｒ －ｓｚ ö
ìï
æ ｒ －ｒｚ
ｅ ÷ ｃｏｓ ( ｋｘ － ωｔ )
ａ ＝ Ａｋω２ ç ｅ － ２
ïï ｚ
ｋ
ｋ ＋ ｓ２ ø
è
í
２ｒｓ －ｓｚ ö
ï
２ æ －ｒｚ
ïａ ｘ ＝ Ａｋω ç ｅ － ｋ ２ ＋ ｓ ２ ｅ ÷ ｓｉｎ ( ｋｘ － ωｔ )
è
ø
î
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。
边界传播的波， 可以看作是一对耦合的非均匀 Ｐ
作 用 下 边 坡 稳 定 性 进 行 了 分 析 研 究； 杨 桂 桐
同波速 Ｃ Ｒ 沿 ｘ 向传播的一对 Ｐ 波和 Ｓ 波， 其位移
用的 方 法 主 要 是 拟 静 力 法 和 时 程 分 析 法
Ｓａｒｍａ 等
等
［１７－１８］
［１３－１６］
［７－１２］
第 ３６ 卷 第 ２ 期
２０２２ 年 ４ 月
粉煤灰综合利用
ＦＬＹ ＡＳＨ ＣＯＭＰＲＥＨＥＮＳＩＶＥ ＵＴＩＬＩＺＡＴＩＯＮ
Ｖｏｌ．３６ Ｎｏ．２
Ａｐｒ
２０２２
岩土力学
爆破振动作用下基于 Ｒａｙｌｅｉｇｈ 波传播特性的
边坡动力稳定性计算方法 ∗
Ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ Ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ Ｄｙｎａｍｉｃ Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ Ｓｌｏｐｅ ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｒａｙｌｅｉｇｈ Ｗａｖｅ Ｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ Ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｕｎｄｅｒ Ｂｌａｓｔｉｎｇ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ
ＹＵ Ｍｅｎｇ， ＪＩＡＮＧ Ｑｉｎｇｈｕｉ， ＷＡＮＧ Ｙｉｆｅｎｇ
（ Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｃｉｖｉｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ， Ｗｕｈａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｗｕｈａｎ ４３００７２， Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ： Ａ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇ ｓｌｏｐｅ ｓａｆｅｔｙ ｆａｃｔｏｒ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｏｆ Ｒａｙｌｅｉｇｈ ｗａｖｅ ｕｎｄｅｒ ｂｌａｓｔｉｎｇ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｉｓ