课时达标检测(三十) 等差数列及其前n项和

课时达标检测（三十） 等差数列及其前n 项和
[练基础小题——强化运算能力]
1．若等差数列{a n }的前5项之和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝( ) A ．12 B ．13 C ．14
D ．15
解析：选B 由S 5＝
(a 2＋a 4)·52，得25＝(3＋a 4)·5
2
，解得a 4＝7，所以7＝3＋2d ，即d ＝2，所以a 7＝a 4＋3d ＝7＋3×2＝13.
2．在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为( ) A ．37 B ．36 C ．20
D ．19
解析：选A a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 1＋
9×8
2
d ＝36d ＝a 37，即m ＝37. 3．在单调递增的等差数列{a n }中，若a 3＝1，a 2a 4＝3
4，则a 1＝( )
A ．－1
B ．0 C.14
D.12
解析：选B 由题知，a 2＋a 4＝2a 3＝2，又∵a 2a 4＝34，数列{a n }单调递增，∴a 2＝1
2，a 4
＝3
2.∴公差d ＝a 4－a 22＝12
.∴a 1＝a 2－d ＝0. 4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 3＋a 7＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )
A ．9
B ．8
C ．7
D ．6
解析：选D 设等差数列{a n }的公差为d .因为a 3＋a 7＝－6，所以a 5＝－3，d ＝2，则S n ＝n 2－12n ，故当n 等于6时S n 取得最小值．
5．已知等差数列{a n }中，a n ≠0，若n ≥2且a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，S 2n －1＝38，则n 等于________．
解析：∵{a n }是等差数列，∴2a n ＝a n －1＋a n ＋1，又∵a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，∴2a n －a 2
n ＝0，
即a n (2－a n )＝0.∵a n ≠0，∴a n ＝2.∴S 2n －1＝(2n －1)a n ＝2(2n －1)＝38，解得n ＝10.
答案：10
[练常考题点——检验高考能力]
一、选择题
1．(2017·黄冈质检)在等差数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8＝( ) A ．95 B ．100 C ．135
D ．80
解析：选B 由等差数列的性质可知，a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8构成新的等差数列，于是a 7＋a 8＝(a 1＋a 2)＋(4－1)[(a 3＋a 4)－(a 1＋a 2)]＝40＋3×20＝100.
2．(2017·东北三校联考)已知数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 2＝12，则a 8＝( )
A ．0
B ．－109
C ．－181
D ．121
解析：选B 设等差数列{b n }的公差为d ，则d ＝b 3－b 2＝－14，因为a n ＋1－a n ＝b n ，所以a 8－a 1＝b 1＋b 2＋…＋b 7＝7(b 1＋b 7)2＝7
2
[(b 2－d )＋(b 2＋5d )]＝－112，又a 1＝3，则a 8＝－109.
3．在等差数列{a n }中，a 3＋a 5＋a 11＋a 17＝4，且其前n 项和为S n ，则S 17为( ) A ．20 B ．17 C ．42
D ．84
解析：选B 由a 3＋a 5＋a 11＋a 17＝4，得2(a 4＋a 14)＝4，即a 4＋a 14＝2，则a 1＋a 17＝2，故S 17＝17(a 1＋a 17)
2
＝17.
4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＞0，a 3＋a 10＞0，a 6a 7＜0，则满足S n ＞0的最大自然数n 的值为( )
A ．6
B ．7
C ．12
D ．13
解析：选C ∵a 1＞0，a 6a 7＜0，∴a 6＞0，a 7＜0，等差数列的公差小于零．又∵a 3＋a 10＝a 1＋a 12＞0，a 1＋a 13＝2a 7＜0，∴S 12＞0，S 13＜0，∴满足S n ＞0的最大自然数n 的值为12.
5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n
S 2n
为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．已知等
差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“吉祥数列”，则数列{b n }的通项公式为( )
A ．b n ＝n －1
B ．b n ＝2n －1
C ．b n ＝n ＋1
D ．b n ＝2n ＋1
解析：选B 设等差数列{b n }的公差为d (d ≠0)，
S n S 2n ＝k ，因为b 1＝1，则n ＋1
2
n (n －1)d ＝k ⎣⎡⎦
⎤2n ＋1
2×2n (2n －1)d ，即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ，整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－
d )＝0.因为对任意的正整数n 上式均成立，所以(4k －1)d ＝0，(2k －1)(2－d )＝0，解得d ＝2，k ＝1
4
.所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.
6．设等差数列{a n }满足a 1＝1，a n >0(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，若数列{S n }也为等差数列，则S n ＋10
a 2n
的最大值是( )
A ．310
B ．212
C ．180
D ．121
解析：选D 设数列{a n }的公差为d ，依题意得2S 2＝S 1＋S 3，因为a 1＝1，所以22a 1＋d ＝a 1＋3a 1＋3d ，化简可得d ＝2a 1＝2，所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，S n ＝n ＋n (n －1)2×2＝n 2，所以S n ＋10a 2n ＝(n ＋10)2(2n －1)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋102n －12＝⎣⎢
⎢⎡⎦⎥⎥⎤12(2n －1)＋2122n －12＝14⎝⎛⎭⎫1＋212n －12≤121.即S n ＋10
a 2n
的最大值为121.
二、填空题
7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 2
2＝1，则数列{a n }的公差d 是
________．
解析：由S 33－S 2
2＝1得a 1＋a 2＋a 33－a 1＋a 22＝a 1＋d －2a 1＋d 2＝d 2＝1，所以d ＝2.
答案：2
8．若等差数列{a n }的前17项和S 17＝51，则a 5－a 7＋a 9－a 11＋a 13等于________． 解析：因为S 17＝
a 1＋a 17
2
×17＝17a 9＝51，所以a 9＝3.根据等差数列的性质知a 5＋a 13＝a 7＋a 11，所以a 5－a 7＋a 9－a 11＋a 13＝a 9＝3.
答案：3
9．在等差数列{a n }中，a 9＝1
2a 12＋6，则数列{a n }的前11项和S 11等于________．
解析：S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6，设公差为d ，由a 9＝12a 12＋6得a 6＋3d ＝1
2(a 6＋6d )＋6，
解得a 6＝12，所以S 11＝11×12＝132.
答案：132
10．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前 n 项和为S n ，当且仅当n ＝8 时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．
解析：由题意，当且仅当n ＝8时S n 有最大值，可得
⎩⎪⎨⎪
⎧
d <0，a 8>0，a 9<0，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
d <0，7＋7d >0，7＋8d <0，
解得－1<d <－7
8
.
答案：⎝⎛⎭⎫－1，－7
8 三、解答题
11．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －12a n －1＋1(n ∈N *，n ≥2)，数列{b n }满足关系式b n ＝1
a
n
(n ∈N *)．
(1)求证：数列{b n }为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．
解：(1)证明：∵b n ＝1
a n ，且a n ＝a n －12a n －1＋1，
∴b n ＋1＝
1a n ＋1
＝
1
a n 2a n ＋1
＝2a n ＋1a n ， ∴b n ＋1－b n ＝
2a n ＋1a n －1
a n ＝2.
又∵b 1＝1
a 1
＝1，
∴数列{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列．
(2)由(1)知数列{b n }的通项公式为b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，又b n ＝1a n
，∴a n ＝1
b n
＝
1
2n －1
.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝
1
2n －1
. 12．已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72，若b n ＝1
2
a n －30，设数列{
b n }的前n 项和为T n ，求T n 的最小值．
解：∵2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，∴a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，故数列{a n }为等差数列．设数列{a n }
的首项为a 1，公差为d ，由a 3＝10，S 6＝72得，⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＋2d ＝10，
6a 1＋15d ＝72，解得a 1＝2，d ＝4.故a n
＝4n －2，则b n ＝12a n －30＝2n －31，令⎩⎪⎨⎪⎧ b n ≤0，b n ＋1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧
2n －31≤0，2(n ＋1)－31≥0，
解得292≤n ≤31
2，
∵n ∈N *，∴n ＝15，即数列{b n }的前15项均为负值，∴T 15最小．∵数列{b n }的首项是－29，公差为2，∴T 15＝15(－29＋2×15－31)
2
＝－225，∴数列{b n }的前n 项和T n 的最小值为－225.。