2014届高考数学(文)一轮复习：第8章 第1讲直线的倾斜角与斜率、直线方程限时特训

第八章 第1讲
(时间：45分钟 分值：100分)
一、选择题
1. [2013·保定模拟]已知直线l 1：y ＝x ，若直线l 2⊥l 1，则直线l 2的倾斜角为( ) A. π
4 B. k π＋π
4(k ∈Z)
C. 3π
4
D. k π＋3π
4
(k ∈Z)
答案：C
解析：∵l 1⊥l 2，∴k 2＝－1. 故倾斜角为3
4
π.
2. [2013·东北三校联考]经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π
4，则y ＝
( )
A. －1
B. －3
C. 0
D. 2
答案：B
解析：由2y ＋1－(－3)4－2＝2y ＋4
2＝y ＋2，
得y ＋2＝tan 3π
4
＝－1.∴y ＝－3.
3. [2013·孝感统考]直线x ＋a 2y －a ＝0(a >0，a 是常数)，当此直线在x ，y 轴上的截距之和最小时，a 的值是( )
A. 1
B. 2
C. 2
D. 0
答案：A
解析：方程可化为x a ＋y 1a ＝1，因为a >0，所以截距之和t ＝a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1a ，即
a ＝1时取等号．
4. 不论m 为何实数，直线3(m －1)x ＋2(m ＋1)y －12＝0恒过定点( ) A. (1，－1
2
)
B. (2,3)
C. (－2,3)
D. (2,0)
答案：C
解析：解法一：原方程化为(3x ＋2y )m ＋(－3x ＋2y －12)＝0，
∵恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧
3x ＋2y ＝0
－3x ＋2y －12＝0
，解得x ＝－2，y ＝3.
∴直线恒过定点(－2,3)．
解法二：令m ＝1，得4y －12＝0，令m ＝－1，得－6x －12＝0， ∴x ＝－2，y ＝3，代入方程成立． ∴直线恒过(－2,3)点． 故应选C.
5. [2013·合肥质检]直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0(a ∈R)的倾斜角的取值范围是( ) A. [0，π
4]
B. [3π
4，π)
C. [0，π4]∪(π
2，π)
D. [π4，π2)∪[3π
4
，π)
答案：B
解析：斜率k ＝－1a 2＋1，故k ∈[－1,0)，由正切函数图象知倾斜角α∈[3π
4，π)．
6. [2013·太原模考]设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为3，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )
A. x ＋y －5＝0
B. 2x －y －1＝0
C. x －2y ＋4＝0
D. x ＋y －7＝0 答案：D
解析：由|P A |＝|PB |知点P 在AB 的垂直平分线上．由点P 的横坐标为3，且P A 的方程为x －y ＋1＝0，得P (3,4)．直线P A 、PB 关于直线x ＝3对称，直线P A 上的点(0,1)关于直线x ＝3的对称点(6,1)在直线PB 上，∴直线PB 的方程为x ＋y －7＝0.
二、填空题
7. [2013·常州模拟]过点P (－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为________．
答案：x ＋y －1＝0或3x ＋2y ＝0
解析：分两种情况：(1)直线l 过原点时，l 的斜率为－3
2
，
∴直线方程为y ＝－32x ；(2)l 不过原点时，设方程为x a ＋y
a ＝1，将x ＝－2，y ＝3代入得a
＝1，∴直线方程为x ＋y ＝1.
综上：l 的方程为x ＋y －1＝0或2y ＋3x ＝0.
8. 经过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l 的方程为________． 答案：2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0 解析：设所求直线方程为x a ＋y
b
＝1，
由已知可得⎩⎨⎧
－2a ＋2
b
＝1，1
2|a ||b |＝1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝2，
b ＝1.
，
∴2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0为所求．
9. [2013·苏州模拟]直线x cos θ＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是________． 答案：[0，π6]∪[5
6π，π)
解析：由题知k ＝－
33cos θ，故k ∈[－33，33]，结合正切函数的图象，当k ∈[0，3
3
]时，直线倾斜角α∈[0，π6]，当k ∈[－33，0)时，直线倾斜角α∈[5
6π，π)，故直线的倾斜角
的范围是[0，π6]∪[5
6
π，π)．
三、解答题
10. [2013·宁夏银川]设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R)． (1)若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．
解：(1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.
当直线不经过原点时，截距存在且均不为0， ∴a －2
a ＋1
＝a －2，即a ＋1＝1.
∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.
(2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ －(a ＋1)>0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧
－(a ＋1)＝0，a －2≤0，
∴a ≤－1. 综上可知a 的取值范围是a ≤－1.
11. △ABC 的三个顶点为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求： (1)BC 所在直线的方程；
(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边上的垂直平分线DE 的方程．
解：(1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，
即x ＋2y －4＝0.
(2)设BC 中点D 的坐标(x ，y )，则 x ＝2－22＝0，y ＝1＋32
＝2.
BC 边的中线AD 过A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线方程为x －3＋y
2＝1，
即2x －3y ＋6＝0.
(3)BC 的斜率k 1＝－1
2，则BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2，由斜截式得直线DE 的
方程为y ＝2x ＋2.
12．[2013·湖南四市联考]过点A (3，－1)作直线l 交x 轴于点B ，交直线l 1：y ＝2x 于点C ，若|BC |＝2|AB |，求直线l 的方程．
解：当k 不存在时B (3,0)，C (3,6)． 此时|BC |＝6，|AB |＝1，|BC |≠2|AB |.
∴直线l 的斜率存在．
∴设直线l 的方程为y ＋1＝k (x －3)． 令y ＝0，得B (3＋1
k
，0)．
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝2x ，y ＋1＝k (x －3)，得C 点横坐标x C ＝1＋3k k －2.
若|BC |＝2|AB |，则|x B －x C |＝2|x A －x B |. ∴|1＋3k k －2－1k
－3|＝2|1
k |.
∴1＋3k k －2－1k
－3＝2k 或1＋3k k －2－1k －3＝－2
k ，
解得k ＝－32或k ＝1
4
.
∴所求直线l 的方程为：3x ＋2y －7＝0或x －4y －7＝0.。