沈阳四校协作体2010-2011学年度(上)高三阶段测试(文科数学)

沈阳四校协作体2010―2011学年度（上）高三阶段测试
数学试卷（文科）
本试卷分第I 卷（选择题）第II 卷（非选择题）两部分.
试卷满分：150分，考试时间：120分钟。

第I 卷 （选择题 共60分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知集合M={y|y=2x ,x>0},N={x|y=lg(2x-x 2
)},M ∩N 为( )
A.(1,2)
B.(1,+∞)
C.[2,+∞)
D.[1,+∞) 2.已知复数z 满足
)(431是虚数单位i i i
z
i z +=-+
⋅,则z=( ) A.3+i B.4-3i C.2-3i D.3-i
3.已知命题p:()0，∞-∈∃x ,2x
<3x
; 命题q:)2
0(π
，∈∀x ,tanx>sinx,则下列命题为真
命题的是( )
A.p ∧q
B.p ∨)(q ⌝
C.p )(q ⌝∧
D. q p ∧⌝)( 4.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 17=170,则a 7+a 8+a 12的值为( ) A.10 B.20 C.25 D.30 5.函数y=f(x)·sinx 的图像向右平移
4
π
个单位后,再作关于x 轴的对称变换,得到函数y=1-2sin 2
x 的图像,则f(x)是( )
A.sinx
B.cosx
C.2sinx
D. 2cosx
6.过抛物线y 2
=4x 的焦点作直线l 交抛物线于A 、B 两点,若线段AB 中点的横坐标为3,则|AB|= ( )
A.10
B.8
C.6
D.4
7.已知f(x),g(x)都是定义在R 上的函数，并满足以下条件：（1）
f(x)=2a x
g(x),(a>0,a ≠1);（2）g(x)≠0; (3)f(x) g'(x)< f'(x) g(x)且
5)
1()
1()1()1(=--+g f g f ,则a=( ) A.
21 B.2 C. 45 D.2或2
1 8.已知点（x,y ）满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≤≥--≥-+20230
2x y x y x ,若函数f(x)=log a (x 2
+1) (a>0且a ≠
1)图像通过的定点是（m,n ）,则m
x n
y --的最大值为（ ） A.1 B.
2
3
C. 2
D.4 9.圆(x-1)2
+(y+2)2
=r 2
的弦AB 中点是M （-1,0）,若∠AOB=90°(O 是坐标原点),那么( )
A.r=2
B. r=3
C. r=4
D.r=5
10.设M 是△ABC 内一点,且AC AB ⋅ =23,∠BAC=30°定义f(M)=(m,n,p),其中m,n,p 分别是△MBC,△MCA, △MAB 的面积.若f(M)=(
21,x,y),则y
x 4
1+的最小值是 A.20 B.18 C.16 D.14 11.向量OA =(1,1), OB =(1,-1), OC =(2cos α,2sin α)(α∈R),实数λ1,λ2满足λ1OA +λ2OB =OC ,则（λ1+22）2
+λ22
的最大值为（ ）
A.2
B.16
C.18
D.20
12.已知函数f(x)=1
22
+x x ,函数g(x)=asin(x 6π)-2a+2(a>0),若存在x 1,x 2∈[0,1]使
得f(x 1)=g(x 2)成立,则实数a 的取值范围是（ ） A.[ 21,34] B.[ 32,1] C.[ 34,23] D.[ 3
1
,2]
第II 卷 （非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积是________________.
侧视图
俯视图
正视图
14.函数f(x)=log a [1)21
(
+-x a
]在区间x ∈[1,3]上的函数值大于0恒成立,则实数a 的取值范围是________________.
15.过双曲线122
22=-b y a x (a>0, b>0)的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足恰好落
在曲线122
22=+a
y b x 上，则双曲线的离心率为________________.
16.已知函数f(1+x)是定义域为R 的偶函数, f(2)=2
1
, f'(x)是f(x)的导函数,若∀x ∈R, f'(x)<e x
,则不等式f(x)<e x
-2
1
的解集为________________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)
令函数f(x)=﹒,=(2cosx,1), =(cosx,23sinxcosx),x ∈R (1)求f(x)的最小正周期与单调增区间
(2)在△ABC 中,a,b,c 分别是角A,B,C 的 对边,已知
f(A)=2,b=1,
213
2
sin sin =++C B c b , 求△ABC 的面积.
18.(本小题满分12分)
已知数列{a n }的前n 项和为S n , S n+1=4a n +2, a 1=1, b n=a n+1-2a n (n ∈N *
) (1) 求数列{b n }的前n 项和T n .
(2)求 a n
19.(本小题满分12分)
如图,在四棱锥P-ABCD 中,平面PAD ⊥平面ABCD, AB ∥DC, △PAD 是等边三角形,已知BD=2AD=8, AB=2DC=54
(1)设M 是PC 上的一点,证明：平面MBD ⊥平面PAD (2)求四棱锥P-ABCD 的体积
20.(本小题满分10分)
某食品公司为了解某种新品种食品的市场需求，进行了20天的测试，人为地调控每天产品的单价P(元/件)：前10天每天单价呈直线下降趋势(第10天免费赠送品尝),
(1)写出每天销售y(元)与时间x(天)
(2)在这20价P 设定为多少元为好?(结果精确到1元)
21.(本小题满分12分)
已知定点A(3-,0),B 是圆C:(x-3)2
+y 2
=16,(C 为圆心)上的动点,AB 的垂直平分
线与BC 交与点E.
(1)求动点E 的轨迹方程.
(2)设直线l:y=kx+m (k ≠0,m>0)与E 的轨迹交与P,Q 两点,且以PQ 为对角线的菱形的一顶点为M(-1,0),求△OPQ 面积的最大值及此时直线l 的方程.
22.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=4x 3
-3x 2
sin θ+
32
1
的极小值大于零,其中x ∈R, θ∈[0,π]. (1).求θ的取值范围.
(2).若在θ的取值范围内的任意θ,函数f(x)在区间(2a-1,a)内都是增函数,求实数a 的取值范围. (3).设x 0＞
2sin θ,f(x 0) ＞2
sin θ
,若f[f(x 0)]=x 0,求证f(x 0)=x 0
高三12月月考（文科数学）参考答案
一 选择题 A D D D D B B C B B C A 二 填空题 π8 )5
3,21( 2 }{0>x x
三 解答题 17
，解
：
（
1
）
()1)6
2sin(22cos 12sin 3cos sin 32cos 22++
=++=⋅+=π
x x x x x x x f
π=∴T 由2
26
22
2π
ππ
π
π+
≤+
≤-k x k
得6
3
π
ππ
π+
≤≤-
k x k )(z k ∈
∴递增区间为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-6,3ππππk k )(z k ∈---------------------------------（6分）
（2）21)6
2sin(2)(=++=π
A A f 2
1
)6
2sin(=
+
π
A )613,6(62πππ
∈+A ππ6
562=+∴A 3
π
=
∴A
3
21
2sin sin sin =
=++A a C B c b
7=∴a 2
1
12172
⨯
⨯⨯-+=∴c c 3=∴c 4
3
360sin 3121sin 21=⨯⨯⨯==∴ A bc S ---------------------------------------
（12分） 18
解：（1）n n n S S a -=++11
242411--+=∴-+n n n a a a 1144-+-=∴n n n a a a
11422-+-=-∴n n n n a a a a
22211=--∴
-+n n n n a a a a 即21
=-n n b b
{}n b ∴是以2为公比的等比数列 又 3252121=-=-=a a b
)12(32
1)
21(3-=--=
∴n n n T -----------------------------------------------（6分）
（2）123-⋅=n n b 11232-+⋅=-∴n n n a a
432211=-++n
n n n a a ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧∴n n a 2是以43为公差的等差数列 43
)1(212
⋅-+=∴
n a n
n n
n n a 2)4
14
3(⋅-=∴------------------------------------------------------------------（12分 ）
19 （1）证明：取AD 中点O ，则AD PO ⊥ 平面PAD ⊥平面ABCD
AD
ABCD PAD =⋂平面平面
A BCD
PO 平面⊥∴BD PO ⊥∴ 4=AD 8=BD 54=AB
2
2
2
AB BD AD =+∴ AD BD ⊥∴
又O AD PO =⋂ ⊥∴BD 平面PAD
∴面⊥MBD 面PAD -------------------------------------------------------------(6分)
（2）解：底面梯形ABCD 得高55
85
484=
⨯=⋅=AB BD AD h ()24AB CD 2
1
ABCD =⋅+=
∴h S 梯形 ABCD PO 面⊥ 且32PO = 31632243
1
PO S 31V ABCD ABCD -P =⨯⨯=⋅⨯=∴ 20 解：（1）[][]
⎩⎨
⎧∈-∈-=20,11,1010,1,10x x x x P []*
∈∈--=N x x x Q 且20,1,)10(1002
[][]
⎪⎩⎪⎨⎧∈+-⋅-∈+-⋅-==∴20,11,20)10(10010,1,20)10(1001002
2x x x x x x x x PQ y *
∈N x ------(5
分)
（2）,2500]2
)10(100)10([
])10(100[)10(2
222
2
=--+-≤---x x x x 当且仅当2
2)10(100)10(--=-x x 即2510±=x 时，y 有最大值 *
∈N x ，7,499951700173max =≈===∴p y x x 时，或取 答：第3天或第17天销售收入最高，此时应将单价P 定为7元
件为好。

------------------------------------（10分）
21 解：（1）324>=+=+EC EB EC EA ∴点E 的轨迹是以B,C 为焦点的椭圆
2=∴a 3=c 12
=∴b ∴椭圆方程为14
22
=+y x --------（4分）
(2)设点),(11y x P ),(22y x Q 中点),(00y x N
⎪⎩⎪⎨⎧=++=14
2
2y x m kx y 0448)41(2
22=-+++m k m x x k 0>∆ 2
214m k >+∴
2
2104142k km
x x x +-=+=
20
041k m m kx y +=+= PQ MN ⊥ k
x y 1
100-=+∴
1432+=∴k km 由2
214m k >+可得512
>
k 5
5>∴k 4
22
22222221
120929)15)(14(241)14(16112121k
k k k k k m k k k m d PQ S OPQ
-+=-+=+-++⋅+⋅=⋅=∆ 时当2
112=∴k 1S =最大
此时2=k ，223
=m 22
3
2:+
=∴x y l ----------------------------------------------------------------------（12分）
22 解：（1）)sin 2(6sin 612)(2
θθ-=-='x x x x x f 令0)(='x f 则2
sin ,021θ
==x x []πθ,0∈ 0sin >∴θ
0321sin 41)2sin (
3>+-=∴θθf 2
1
s i n 0<<∴θ ⎪⎭
⎫
⎝⎛⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∈∴πππθ,656,0----------------------------------（4分）
（2）由（1）知()⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞∞-,2sin 0,)(θ和在x f 内为增函数
⎩⎨⎧≤<-∴012a a a 或⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-⇒≥-<-4112sin 211212a a a
a θ
(]⎪⎭
⎫⎢⎣⎡⋃∞-∈∴1,850,a ---------------------------------------（8分）
（3）证明：假设00)(x x f ≠则0
)()(x x f x x f ><或
2
sin 0
θ>
x ,
2
sin )(0θ
>
x f 2
sin )()(2sin 0000θ
θ>
><<∴x x f x x f 或 为增函数在⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞,2sin )(θx f
[])()(0
x f x f f
<∴或()[]()0
x f x f f >
)()(0000x f x x f x ><∴或矛盾
∴假设不成立 00)(x x f
=∴------------------------------（12分。