[推荐学习]2016届高三数学上学期第四次月考试题 文

岳阳县一中2016届高三第四阶段检测
文科数学
时量：120分钟 满分：150分
一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一选项是符合题
目要求的）
1. 已知集合12
{|||1},{|log 0},M x x N x x =<=>则N M 为 （ ）
A ．(1,1)-
B ．(0,1)
C ．1(0,)2
D ．∅
2. 设i 是虚数单位，复数i 3＋2i 1＋i
＝ ( ) A ．－i B ．i C ．－1 D ．1
3.已知向量(cos ,2),(sin ,1),//a b a b αα=-=则tan()4πα-
等于 ( ) A ．3 B.3- C. 13 D. 13-
4．以下四个命题中,其中真命题的个数为 ( )
①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样
是分层抽样； ②对于命题p ：x R ∃∈，使得210x x ++<. 则⌝p ：x R ∀∈， 均有210x x ++≥；
③“x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的充分不必要条件;
④命题:"3"p x >是"5"x >的充分不必要条件。

A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 5．将函数)22)(2sin()(π
θπ
θ<<-+=x x f 的图象向右平移)0(>ϕϕ个单位长度后得
到函数)(x g 的图象,若)(),(x g x f 的图象都经过点)23,
0(P ,则ϕ的值可以是 ( ) A ．35π B ．65π C ．2π D ．6
π 6. 阅读如下程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是
（ ）
A ．S ＜8？
B ． S ＜12？
C ． S ＜14？
D ． S ＜16？
7．已知0a >,,x y 满足约束条件()133x x y y a x ⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩
,若2z x y =+的最小值为1,则a =（ ）
A ．12
B ．13
C ．1
D ．2 8.若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c)·(b －c)≤0，则|a ＋b －c|的最大值为
( )
A. 2－1 B ．1 C. 2 D ．2
9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )
A ．12
B ．18
C ．24
D ．30
10. 已知()x x f x 3log 31-⎪⎭
⎫ ⎝⎛=，实数a 、b 、c 满足()()()f a f b f c ⋅⋅＜0，且0＜
a ＜
b ＜
c ，若实数0x 是
函数()x f 的一个零点，那么下列不等式中，不可能．．．
成
立的是
( )
A ．
0x ＜a B ．0x ＞b C ．0x ＜c
D ．0x ＞c 11．已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆+=1（a ＞b ＞0）的焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与
椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ |lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10.若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值
范围是 ( )
A ．(1,10)
B ．(5,6)
C ．(10,12)
D ．(20,24)
二．填空题（本题共4个小题，每小5分，满分20分）
13．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知6π
=A ，1=a ，3=b ，则=B ________.
14．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝18，则该数列前11项和S 11＝
15.已知三棱锥P ABC -的外接球的球心O 在AB 上，且PO ⊥平面ABC ,
AB AC 32=，若三棱锥P ABC -的体积为32
，则该三棱锥的外接球的体积为 16．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )．当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，
f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 016)＝
三．解答题(本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．( 本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2a n ﹣2．
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）设b n =log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a n ，求（n ﹣8）b n ≥nk 对任意n∈N *恒成立的实数k 的取值范围．
18. ( 本小题满分12分) 最近2016届高考改革方案已在上海和江苏开始实施，某教育机构为了了解我省
广大师生对新2015届高考改革的看法，对某市部分学校500名师生进行调查，统计结果如下：
在全体师生中随机抽取1名“赞成改革”的人是学生的概率为0.3，且z=2y ．
（1）现从全部500名师生中用分层抽样的方法抽取50名进行问卷调查，则应抽取“不赞成改革”的教师和学生人数各是多少？
（2）在（1）中所抽取的“不赞成改革”的人中，随机选出三人进行座谈，求至少一名教师被选出的概率．
19．(本题满分12分) 如图，已知AF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 为矩形，四边形ABCD 为直角梯形， ∠DAB=90°，AB ∥CD ，AD=AF=CD=2，AB=4．
（1）求证：AF ∥平面BCE ；
（2）求证：AC ⊥平面BCE ；
（3）求三棱锥E ﹣BCF 的体积．
20．(本题满分12分)给定椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C ，称圆心在原点O ,半径为22b a +的圆是椭圆C 的“准圆”．若椭圆C 的一个焦点为)0,2(F ，且其短轴上的一个端点到F 的距离为3.
(1)求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；
(2)点P 是椭圆C 的“准圆”上的一个动点，过动点P 作直线1l ,2l ，使得1l ,2l 与椭圆
C 都只有一个交点，试判断1l ,2l 是否垂直，并说明理由．
21.(本小题满分12分)已知函数f （x ）=x 2﹣8ln x ，g （x ）=﹣x 2
+14x ．
（Ⅰ）求函数f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f （x ）与g （x ）在区间（a ，a +1）上均为增函数，求a 的取值范围；
（Ⅲ）设x ≥1，讨论曲线y=f （x ）与曲线y=g （x ）+m 公共点的个数．
选做题：请考生在22,23,24题中任选一题作答，如果多选则按所做的
第一题记分，作答时，请涂明题号.
22.（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲
如图，AB 是⊙O 的直径，G 是AB 延长线上的一点，GCD 是⊙O 的割线，
过点G 作AG 的垂线，交直线AC 于点E ，交直线AD 于点F ，过点G 作
⊙O 的切线，切点为H.
(1)求证：C ，D ，E ，F 四点共圆；
(2)若GH ＝6，GE ＝4，求EF
的长． 23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是12
x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（为参数）．
(1)求曲线C 的直角坐标方程与直线的普通方程；
(2)设点(),0m P ，若直线与曲线C 交于A ，B 两点，且1PA ⋅PB =
，求实数
m 的值．
24．（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲
已知正实数b a 、满足：ab b a 22
2=+.
（1）求b
a 11+的最小值m ; （2）设函数)0(|1|||)(≠+
+-=t t x t x x f ，对于（1）中求得的m ，是否存在实数x ，使得2)(m x f =成立，说明理由.
数学答案(文)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13、3π或3
2π 14、99 15、π34 16、336 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.解析 ：
考点： 数列的求和；数列递推公式．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： （1）首先利用递推关系式求出数列是等比数列，进一步求出数列的通项公式．
（2）利用（1）的通项公式求出数列的和，进一步利用恒成立问题求出参数的取值范围．
解答： 解：（1）由S n =2a n ﹣2，当n=1时，求得：a 1=2，
当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2a n ﹣2a n ﹣1，所以：（常数），
所以：数列{a n }是以a 1=2为首项，2为公比的等比数列．
所以：．…（6分）
（2）已知：b n =log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a n ，=1+2+3+…+n=，
由于（n ﹣8）b n ≥nk 对任意n ∈N *
恒成立，所以对任意的n ∈N +恒成立．设
，则当n=3或4时，c n 取最小值为﹣10．
所以：k ≤﹣10．…（12分）
点评： 本题考查的知识要点：利用递推关系式求出数列是等比数列，等比数列通项公式的求法，数列的求和，及恒成立问题的应用．
18. 考点： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；互斥事件与对立事件．
专题： 概率与统计．
分析： （1）根据题意，求出x 、y 和z 的值，计算出应抽取的教师与学生人数；
（2）利用列举法求出基本事件数，求出对应的概率即可．
解答： 解：（1）由题意=0.3，解得x=150，
所以y+z=60；又因为z=2y ，所以y=20，z=40；
则应抽取的教师人数为×20=2，应抽取的学生人数为×40=4； …（5分）
（2）所抽取的“不赞成改革”的2名教师记为a 、b ，4名学生记为1，2，3，4，
随机选出三人的不同选法有（a 、b 、1），（a 、b 、2），（a 、b 、3），（a 、b 、4），
（a 、1、2），（a 、1、3），（a 、1、4），（a 、2、3），（a 、2、4），（a 、3、4），
（b 、1、2），（b 、1、3），（b 、1、4），（b 、2、3），（b 、2、4），（b 、3、4），
（1、2、3），（1、2、4），（1、3、4），（2、3、4）共20种，…（9分）
至少有一名教师的选法有（a 、b 、1），（a 、b 、2），（a 、b 、3），（a 、b 、4），（a 、1、2），
（a 、1、3），（a 、1、4），（a 、2、3），（a 、2、4），（a 、3、4），（b 、1、2），（b 、1、3），（b 、1、4），（b 、2、3），（b 、2、4），（b 、3、4）共16种，
所以至少有一名教师被选出的概率为P==． …（12分）
点评： 本题考查了分层抽样方法的应用问题，也考查了用列举法计算古典概型的概率问题，是基础题目．
19．考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定． 专题： 空间位置关系与距离．
分析： （1）AF ∥BE ，BE ⊂平面BCE ，AF ⊄平面BCE ，运用判定定理可判断．
（2）运用勾股定理可判断AC ⊥BC ，再根据线面的转化，AF ⊥平面ABCD ，AF ∥BE ，BE ⊥平面ABCD ，BE ⊥AC ，得出AC ⊥平面BCE ，
（3）CM ⊥平面ABEF ，V E ﹣BCF =V C ﹣BEF 得出体积即可判断．
解答： 解：（1）∵四边形ABEF 为矩形，
∴AF ∥BE ，BE ⊂平面BCE ，AF ⊄平面BCE ，∴AF ∥平面BCE ．
（2）过C 作CM ⊥AB ，垂足为M ，∵AD ⊥DC ，∴四边形ADCM 为矩形，∴AM=MB=2
∵AD=2，AB=4．∴AC=2，CM=2，BC=2，∴AC 2+BC 2=AB 2，∴AC ⊥BC ，
∵AF ⊥平面ABCD ，AF ∥BE ，∴BE ⊥平面ABCD ，∴BE ⊥AC ，
∵BE ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，BC ∩BE=B ，∴AC ⊥平面BCE ．
（3）∵AF ⊥平面ABCD ，∴AF ⊥CM ，
∵CM ⊥AB ，AF ⊂平面ABEF ，AB ⊂平面ABEF ，AF ∩AB=A ，∴CM ⊥平面ABEF ，
∴V E ﹣BCF =V C ﹣BEF ==×2×4×2．
点评： 本题综合考查了空间直线，几何体的平行，垂直问题，求解体积，属于中档题．
20．解：(1)由题意可知c ＝2，b 2＋c 2＝(3)2，则a ＝3，b ＝1，所以椭圆方程为x 23＋y 2＝1.易知准圆半径为32＋12＝2，则准圆方程为x 2＋y 2
＝4. (2)①当l 1，l 2中有一条直线的斜率不存在时，不妨设l 1的斜率不存在，
因为l 1与椭圆只有一个公共点，则其方程为x ＝±3，
当l 1的方程为x ＝3时，此时l 1与准圆交于点(3，1)，(3，－1)，
此时经过点(3，1)或(3，－1)且与椭圆只有一个公共点的直线是y ＝1或y ＝－1，
即l 2为y ＝1或y ＝－1，显然直线l 1，l 2垂直；
同理可证直线l 1的方程为x ＝－3时，直线l 1，l 2也垂直．
②当l 1，l 2的斜率都存在时，设点P(x 0，y 0)，其中x 20＋y 2
0＝4.
设经过点P(x 0，y 0)与椭圆只有一个公共点的直线为y ＝t(x －x 0)＋y 0， 由 ⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝tx ＋y 0－tx 0，x 23＋y 2＝1， 消去y ，得(1＋3t 2)x 2＋6t(y 0－tx 0)x ＋3(y 0－tx 0)2
－3＝0. 由Δ＝0化简整理得，(3－x 20)t 2＋2x 0y 0t ＋1－y 20＝0.
因为x 20＋y 20＝4，所以有(3－x 20)t 2＋2x 0y 0t ＋x 20－3＝0.
设直线l 1，l 2的斜率分别为t 1，t 2，因为l 1，l 2与椭圆只有一个公共点，
所以t 1，t 2满足方程(3－x 20)t 2＋2x 0y 0t ＋x 20－3＝0，
所以t 1·t 2＝－1，即l 1，l 2垂直．综合①②知，l 1，l 2垂直．
21.考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题： 导数的综合应用．
分析： （Ⅰ）因为f'（x ）=2x ﹣，求出切线的斜率．继而得到切线方程．
（Ⅱ）因为f'（x ）=，求出函数f （x ）的单调区间，又由题意知有含参数的单调区间，继而求出参数范围．
（Ⅲ）当x ≥1时，曲线y=f （x ）与曲线y=g （x ）+m 公共点的个数方程2x 2﹣8lnx ﹣14x=m 根的个数．转
化思路，对曲线y=f （x ）与曲线y=g （x ）+m 公共点的个数讨论．
解答： 解：（Ⅰ）因为f'（x ）=2x ﹣，所以切线的斜率k=f'（1）=﹣6…（2分）
又f （1）=1，故所求切线方程为y ﹣1=﹣6（x ﹣1），即y=﹣6x+7 …（4分）
（Ⅱ）因为f'（x ）=，又x ＞0，所以当x ＞2时，f'（x ）＞0；
当0＜x ＜2时，f'（x ）＜0．即f （x ）在（2，+∞）上递增，在（0，2）上递减…（6分）
又g （x ）=﹣（x ﹣7）2+49，所以g （x ）在（﹣∞,7）上递增，在（7，+∞）上递减…（7分）
欲f （x ）与g （x ）在区间（a ，a+1）上均为增函数，则，
解得2≤x ≤6…（8分）
（Ⅲ）当x ≥1时，曲线y=f （x ）与曲线y=g （x ）+m 公共点的个数为方程2x 2﹣8lnx ﹣14x=m 根的个数，
令h （x ）=2x 2﹣8lnx ﹣14x ，方程即为h （x ）=m ．
又，且x ＞0，所以当x ＞4时，h'（x ）＞0；当0＜x ＜4时，h'（x ）＜0，即h （x ）在（4，+∞）上递增，在（0，4）上递减．
故h （x ）在x=4处取得最小值，且h （1）=﹣12 …（10分）
所以对曲线y=f （x ）与曲线y=g （x ）+m 公共点的个数，讨论如下：
当m ∈（﹣∞，﹣16ln2﹣24）时，有0个公共点；
当m=﹣16ln2﹣24或m ∈（﹣12，+∞）时，有1个公共点；
当m ∈（﹣16ln2﹣24，﹣12]时，有2个公共点．…（12分）
点评： 本题主要考查导数的几何意义和利用导数求参数的取值范围等问题，属于难题，在高考中常以压轴题出现．
22. 【解】(1)证明：连接DB
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，在Rt △ABD 与Rt △AFG 中，∠ABD ＝∠AFE ，
又∠ABD ＝∠ACD ，∴∠ACD ＝∠AFE ，∴C ，D ，E ，F 四点共圆．
(2) ⎭⎪⎬⎪⎫C ，D ，E ，F 四点共圆⇒GE ·GF ＝GC ·GD GH 切⊙O 于点H ⇒GH 2＝GC ·GD ⇒GH 2＝GE ·GF ， 又GH ＝6，GE ＝4，∴GF ＝9，EF ＝GF －GE ＝5.
23. 解：（Ⅰ）由θρcos 2=，得：θρρcos 22=，∴x y x 222=+，即1)1(22=+-y x ， ∴曲线C 的直角坐标方程为1)1(22=+-y x . 3 分
由⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+=t y m t x 2123，得m y x +=3，即03=--m y x ， ∴直线的普通方程为03=--m y x . 5 分
（Ⅱ）将⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+=t y m t x 2123代入1)1(22=+-y x ，得：12112322=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+t m t ， 整理得：02)1(32
2=-+-+m m t m t ，
由0>∆，即0)2(4)1(322>---m m m ，解得：31<<-m .
设21,t t 是上述方程的两实根，则m m t t m t t 2),1(322121-=--=+， 8 分
又直线过点)0,(m P ，由上式及直线的几何意义得 1|2|||||||221=-==⋅m m t t PB PA ，解得：1=m 或21±=m ，都符合31<<-m ，
因此实数m 的值为或21+或21-. 10 分。