2018-2019学年云南省昆明市寻甸县黄冈实验学校高三(上)期中数学试卷(理科)(附答案详解)

2018-2019学年云南省昆明市寻甸县黄冈实验学校高三（上）期中数学试卷（理科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知集合A={x|x<1}，B={x|3x<1}，则()
A. B. A∪B=R
C. D. A∩B=⌀
2.已知函数f(x)=3x−(1
3
)x，则f(x)=()
A. 是奇函数，且在R上是增函数
B. 是偶函数，且在R上是增函数
C. 是奇函数，且在R上是减函数
D. 是偶函数，且在R上是减函数
3.设函数f(x)=cos(x+π
3
)，则下列结论错误的是()
A. f(x)的一个周期为−2π
B. y=f(x)的图象关于直线x=8π
3
对称
C. f(x+π)的一个零点为x=π
6
D. f(x)在(π
2
,π)单调递减
4.设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x+y>2，则p是q的()
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
5.为了得到函数y=sin(x+π
3
)的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点()
A. 向左平行移动π
3个单位长度 B. 向右平行移动π
3
个单位长度
C. 向上平行移动π
3个单位长度 D. 向下平行移动π
3
单位长度
6.已知a=243，b=323，c=2513，则()
A. b<a<c
B. a<b<c
C. b<c<a
D. c<a<b
7.若tanθ=1
3
，则cos2θ=()
A. −4
5B. −1
5
C. 1
5
D. 4
5
8.已知f(x)是定义在上的偶函数，且在区间(−∞,0)上单调递增，若实数a满足
f(2|a−1|)>f(−√2)，则a的取值范围是()
A. (−∞,1
2) B. (−∞,12)∪(3
2,+∞) C. (12,3
2)
D. (3
2,+∞)
9. 若函数f(x)=x −1
3sin2x +asinx 在(−∞,+∞)单调递增，则a 的取值范围是( )
A. [−1,1]
B. [−1,1
3]
C. [−13,1
3]
D. [−1,−1
3]
10. 函数y =Asin(ωx +φ)(A >0,|φ|<π,ω>0)的部分图
象如图所示，则( )
A. y =2sin(2x −π
6) B. y =2sin(2x −π
3) C. y =2sin(x +π6) D. y =2sin(x +π3)
11. 函数y =sinx 2的图象是( )
A.
B.
C.
D.
12. 设，，则( )
A. a +b <ab <0
B. ab <a +b <0
C. a +b <0<ab
D. ab <0<a +b
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. sin750°= ．
14. 已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a−i
2+i 为实数，则a 的值为 ．
15. 在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若
sinα=1
3，则cos(α−β)= ．
16. 我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π.理论上能把π的值计算到
任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结
果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6=________．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=cosα,
y=√3sinα(α为参数).以坐标原点为极
点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin(θ−π
4
)= 2√2．
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．
18.在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知asin2B=√3bsinA．
(Ⅰ)求B；
(Ⅱ)若cosA=1
3
，求sinC的值．
19.已知向量a⃗=(cosx,sinx)，b⃗ =(3,−√3)，x∈[0,π]．
(1)若a⃗//b⃗ ，求x的值；
(2)记f(x)=a⃗⋅b⃗ ，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．
20. 设函数f(x)=[ax 2−(4a +1)x +4a +3]e x ．
(1)若曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线与x 轴平行，求a ； (2)若f(x)在x =2处取得极小值，求a 的取值范围．
21. 已知α，β为锐角，tanα=4
3，cos(α+β)=−√5
5
． (1)求cos2α的值； (2)求tan(α−β)的值．
22. 已知函数f(x)=e x −ax 2．
(1)若a =1，证明：当x ≥0时，f(x)≥1； (2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点，求a ．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】 【分析】
本题考查交集和并集的求法，考查指数不等式的解法，属于基础题． 先求出集合B ，再求出A ∩B 和A ∪B ，由此能求出结果． 【解答】
解：∵集合A ={x|x <1}， B ={x|3x <1}={x|x <0}，
∴A ∩B ={x|x <0}，所以A 正确，D 错误， A ∪B ={x|x <1}，所以B 和C 都错误， 故选A ．
2.【答案】A
【解析】 【分析】
本题考查函数的奇偶性与单调性，指数函数及其性质，属于基础题．
由已知得f(−x)=−f(x)，即函数f(x)为奇函数，由函数y =3x 为增函数，y =(13)x
为
减函数，结合“增”−“减”=“增”，可得答案． 【解答】
解：函数f(x)的定义域为R ， ∵f(x)=3x −(1
3)x =3x −3−x ， ∴f(−x)=3−x −3x =−f(x)， 即函数f(x)为奇函数，
又由函数y =3x
为增函数，y =(13)x
为减函数，
故函数f(x)=3x −(1
3)x 为增函数． 故选A ．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查三角函数的图象与性质，考查推理能力，属于基础题．根据题意，逐项判断即可．
【解答】
解：对于A，函数f(x)的周期为2kπ，k∈Z，
当k=−1时，周期为−2π，故A正确；
对于B，当x=8π
3时，cos(x+π
3
)=cos(8π
3
+π
3
)=cosπ=−1，
此时函数f(x)取得最小值，
所以y=f(x)的图象关于直线x=8π
3
对称，故B正确；
对于C，因为f(x+π)=cos(x+π+π
3)=−cos(x+π
3
)，
且，
则f(x+π)的一个零点为x=π
6
，故C正确；
对于D，当π
2<x<π时，5π
6
<x+π
3
<4π
3
，
此时函数f(x)不是单调函数，故D错误，
故选D．
4.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了不等式的性质、充分条件、必要条件的判定方法，属于基础题．根据不等式的性质与特例法分别判断充分性和必要性是否成立即可得．【解答】
解：由x>1且y>1，可得：x+y>2，
反之不成立：例如取x=3，y=1
2
．
∴p 是q 的充分不必要条件． 故选A ．
5.【答案】A
【解析】 【分析】
本题考查的知识点是函数图象的平移变换法则．
根据函数图象平移“左加右减“的原则，结合平移前后函数的解析式，可得答案． 【解答】
解：由已知中平移前函数解析式为y =sinx ， 平移后函数解析式为：y =sin(x +π
3)， 可得只需向左平行移动π
3个单位长度， 故选：A
6.【答案】A
【解析】 【分析】
本题主要考查分数指数式变为根式并判断大小，考查幂函数的单调性，属基础题． 将a 、b 、c 的分数指数式变为根式，利用幂函数的单调性即可得出结果． 【解答】 解：由题意，
a =24
3=√243=√163
，
b =323=√323=√93
，
c =2513
=√253
．
∵9<16<25， ∴√93
<√163
<√253
． 即b <a <c ， 故选：A ．
7.【答案】D
【解析】解：∵tanθ=1
3
，
∴cos2θ=2cos2θ−1=2
1+tan2θ−1=2
1+1
9
−1=4
5
．
故选：D．
原式利用二倍角的余弦函数公式变形，再利用同角三角函数间的基本关系化简，将tanθ的值代入计算即可求出值．
此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了指数函数的单调性，奇偶性的性质，属于中档题．
根据偶函数的对称性可知f(x)在(0,+∞)递减，故只需令2|a−1|<√2即可．
【解答】
解：∵f(x)是定义在上的偶函数，且在区间(−∞,0)上单调递增，
∴f(x)在(0,+∞)上单调递减，
∵2|a−1|>0，f(−√2)=f(√2)，
∴2|a−1|<√2=212，
∴|a−1|<1
2
，
解得1
2<a<3
2
．
故选C．9.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式恒成立问题，属于中档题．
求出f(x)的导数，由题意可得f′(x)⩾0恒成立，设t=cosx(−1≤t≤1)，即有5−4t2+ 3at≥0恒成立，即可求解a的取值范围．
【解答】
解：函数f(x)=x−1
3
sin2x+asinx的导数为：
f′(x)=1−2
3
cos2x+acosx，
由题意可得f′(x)≥0恒成立，
即为1−2
3
cos2x+acosx≥0，
即有5
3−4
3
cos2x+acosx≥0，
设t=cosx(−1≤t≤1)，
即有5−4t2+3at≥0(−1≤t≤1)，
{5−4×12+3a×1≥0
5−4×(−1)2+3a×(−1)≥0
,
a的取值范围是[−1
3,1 3 ].
故选C．
10.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，属于基础题．
根据已知中的函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象，求出满足条件的A，ω，φ值，可得答案．
【解答】
解：由图可得函数的最大值为2，最小值为−2，
故A=2，设原函数的最小正周期为T．
则T
2=π
3
+π
6
，
所以T=π，ω=2，故y=2sin(2x+φ)．
将(π
3,2)代入可得2sin(2π
3
+φ)=2，
则，，
即
， 因为|φ|<π，则
，
结合各选项可知A 选项正确． 故选A ．
11.【答案】D
【解析】解：函数y =sinx 2是偶函数，排除A 、C ，当x 2=π
2，即x =√2π
2
时，函数取得
最大值1， 因为√
2π2
<π
2
，x =π
2时，y =sin π2
4≈sin2.5≈0.04， 所以排除B ． 故选：D ．
判断函数的奇偶性排除选项，利用特殊值判断选项即可．
本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊点的位置是常用方法．
12.【答案】B
【解析】 【分析】
本题考查了对数值大小的比较，考查了对数的运算性质，是中档题． 直接利用对数的运算性质化简即可得答案． 【解答】
解：∵a =log 0.20.3=lg0.3
−lg5，b =log 20.3=lg0.3lg2
，
∴a +b =
lg0.3lg2
−
lg0.3lg5
=
lg0.3(lg5−lg2)
lg2lg5
=
lg0.3lg
52
lg2lg5
，
ab =lg0.3−lg5lg0.3lg2=
lg0.3lg 10
3lg5lg2
∵lg
103
>lg 52>0，lg0.3
lg2lg5<0，
∴ab<a+b<0．
故选：B．
13.【答案】1
2
【解析】
【分析】
本题考查运用诱导公式化简求值，着重考查诱导公式及特殊角的三角函数值，属于基础题．
利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可得答案．
【解答】
解：sin750°=sin(2×360°+30°)=sin30°=1
2
，
故答案为1
2
．
14.【答案】−2
【解析】
【分析】
本题考查复数的乘除运算，注意运用共轭复数，同时考查复数为实数的条件：虚部为0，考查运算能力，属于基础题．
运用复数的除法法则，结合共轭复数，化简a−i
2+i
，再由复数为实数的条件：虚部为0，解方程即可得到所求值．
【解答】
解：a∈R，i为虚数单位，
a−i 2+i =
(a−i)(2−i)
(2+i)(2−i)
=
2a−1−(2+a)i
4+1
=
2a−1
5
−
2+a
5
i
由a−i
2+i
为实数，
可得−2+a
5
=0，解得a=−2．故答案为−2．
15.【答案】−7
9
【解析】 【分析】
本题考查了两角差的余弦公式，以及同角的三角函数的关系，属于基础题．
根据角的对称得到sinα=sinβ=1
3，cosα=−cosβ，利用两角差的余弦公式即可求出． 【解答】
解：∵角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称， ∴sinα=sinβ=1
3
，cosα=−cosβ，
∴cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ
=−cos 2α+sin 2α=2sin 2α−1=2
9−1=−7
9，
故答案为：−7
9．
16.【答案】3√3
2
【解析】解：如图所示，
单位圆的半径为1，则其内接正六边形ABCDEF 中， △AOB 是边长为1的正三角形， 所以正六边形ABCDEF 的面积为 S 6=6×1
2×1×1×sin60°=3√32
．
故答案为：
3√3
2． 根据题意画出图形，结合图形求出单位圆的内接正六边形的面积． 本题考查了已知圆的半径求其内接正六边形面积的应用问题，是基础题．
17.【答案】解：(1)由曲线C 1的参数方程{x =cosα,y =√3sinα(α为参数)消去参数得，x 2+y 2
3=
cos 2α+sin 2α=1， 即C 1的普通方程为：x 2+
y 23
=1．
曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ−π
4)=2√2可化为：ρ(√2
2sinθ−√2
2
cosθ)=2√2．
由x =ρcosθ，y =ρsinθ，可得C 2的直角坐标方程为直线x −y +4=0． (2)设P(cosα,√3sinα)， 则点P 到直线C 2的距离为d =
√3sinα+4|
√2
=
|2cos(α+π3
)+4|
√2
．
当cos(α+π
3)=−1时，|PQ|的最小值为√2， 此时可取α=
2π
3
，故P(−12,3
2)．
【解析】本题主要考查直角坐标与极坐标互化、椭圆的参数方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，考查数学运算核心素养等，体现基础性与综合性，属中档题．
(1)根据平方关系式消去α可得C 1的普通方程；根据互化公式可得C 2的直角坐标过程； (2)根据C 1的参数方程设P ，根据点到直线的距离以及三角函数的性质可得．
18.【答案】解：(Ⅰ)∵asin2B =√3bsinA ．
由正弦定理，可得sinAsin2B =√3sinBsinA ∵0<A <π，0<B <π， ∴sinB ≠0，sinA ≠0
∴2cosB =√3
即cosB =√3
2． ∴B =π
6
．
(Ⅱ)由(Ⅰ)得B =π
6，cosA =1
3， ∴sinB =1
2，sinA =2√23
那么：sinC =sin(A +B)
=sinAcosB +cosAsinB =
2√23×√32+12×1
3
=
2√6+1
6
．
【解析】(Ⅰ)利用正弦定理化简，即可求B ；
(Ⅱ)利用诱导公式以及两角和与差的三角函数公式即可求出sinC 的值．
本题主要考查了正弦定理和同角三角形基本关系以及两角和与差的三角函数公式，属于
基础题．
19.【答案】解：(1)∵a ⃗ =(cosx,sinx)，b ⃗ =(3,−√3)，a ⃗ //b ⃗ ， ∴−√3cosx =3sinx ，
当cosx =0时，sinx =1，不合题意， 当cosx ≠0时，tanx =−√3
3，
∵x ∈[0,π]，∴x =
5π6
；
(2)f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ =3cosx −√3sinx =2√3(√3
2cosx −12
sinx)
=2√3cos(x +π
6)，
∵x ∈[0,π]，∴x +π
6∈[π6,7π
6
]，
∴−1≤cos(x +π
6)≤
√3
2
， 当x =0时，f(x)有最大值，最大值3， 当x =
5π6
时，f(x)有最小值，最小值−2√3．
【解析】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质，属于基础题．
(1)根据向量的平行即可得到tanx =−√3
3
，问题得以解决．
(2)根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出．
20.【答案】解：(1)函数f(x)=[ax 2−(4a +1)x +4a +3]e x 的导数为
f ′(x)=[ax 2−(2a +1)x +2]e x ，
由题意可得曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为0， 可得(a −2a −1+2)e =0，且f(1)=(a +2)e ≠0， 解得a =1；
(2)f(x)的导数为f ′(x)=[ax 2−(2a +1)x +2]e x =(x −2)(ax −1)e x ， ①当a <0时，则1
a <2，此时f(x)在(1
a ,2)递增；在(2,+∞)，(−∞,1
a )递减， 可得f(x)在x =2处取得极大值，不符题意；
②当a =0时，若x <2，则f′(x)>0，f(x)递增；若x >2，则f′(x)<0，f(x)递减， 可得f(x)在x =2处取得极大值，不符题意；
③当0<a <12时，则1a >2，此时f(x)在(2,1a )递减；在(1
a ,+∞)，(−∞,2)递增， 可得f(x)在x =2处取得极大值，不符题意；
④当a =1
2时，此时f ′(x)=1
2(x −2)2e x ≥0，f(x)在R 上递增，无极值，不符合题意； ➄当a >1
2时，则1
a <2，此时f(x)在(1
a ,2)递减；在(2,+∞)，(−∞,1
a )递增， 可得f(x)在x =2处取得极小值，满足题意． 综上可得，a 的取值范围是(1
2,+∞)．
【解析】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的极值，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题．
(1)求得f(x)的导数，由导数的几何意义，可得(a −2a −1+2)e =0，进行求解即可； (2)根据题意，对a 分类讨论，进行求解即可．
21.【答案】解：(1)由
，解得{sinα=4
5
cosα=
35
， ∴cos2α=cos 2α−sin 2α=−7
25
；
(2)由(1)得，sin2α=2sinαcosα=24
25，则tan2α=sin2α
cos2α=−24
7． ∵α，β∈(0,π
2)，∴α+β∈(0,π)， ∴sin(α+β)=√1−cos 2(α+β)=2√55
．
则tan(α+β)=sin(α+β)
cos(α+β)=−2． ∴tan(α−β)=tan[2α−(α+β)]=
tan2α−tan(α+β)
1+tan2αtan(α+β)=−2
11
．
【解析】(1)由已知结合平方关系求得sinα，cosα的值，再由倍角公式得cos2α的值； (2)由(1)求得tan2α，再由cos(α+β)=−√5
5求得tan(α+β)，利用tan(α−β)=
tan[2α−(α+β)]，用两角差的正切展开求解．
本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是中档题．
22.【答案】证明：(1)当a=1时，函数f(x)=e x−x2．
则f′(x)=e x−2x，
令g(x)=e x−2x，则g′(x)=e x−2，
令g′(x)=0，得x=ln2．
当∈(0,ln2)时，ℎ′(x)<0，当∈(ln2,+∞)时，ℎ′(x)>0，
∴ℎ(x)≥ℎ(ln2)=e ln2−2⋅ln2=2−2ln2>0，
∴f(x)在[0,+∞)单调递增，∴f(x)≥f(0)=1，
解：(2)f(x)在(0,+∞)只有一个零点⇔方程e x−ax2=0在(0,+∞)只有一个根，⇔a=e x
x2
在(0,+∞)只有一个根，
即函数y=a与G(x)=e x
x2
的图象在(0,+∞)只有一个交点．
G′(x)=e x(x−2)
x3
，
当x∈(0,2)时，G′(x)<0，当∈(2,+∞)时，G′(x)>0，
∴G(x)在(0,2)递增，在(2,+∞)递增，
当→0时，G(x)→+∞，当→+∞时，G(x)→+∞，
∴f(x)在(0,+∞)只有一个零点时，a=G(2)=e2
4
．
【解析】(1)通过两次求导，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可证明，
(2)分离参数可得a=e x
x2在(0,+∞)只有一个根，即函数y=a与G(x)=e
x
x2
的图象在
(0,+∞)只有一个交点．结合图象即可求得a．
本题考查了利用导数探究函数单调性，以及函数零点问题，考查了转化思想、数形结合思想，属于中档题．。