66二阶常系数线性微分方程、欧拉方程

2
t0

得
C1 4，C2 2，
故所求特解为
s et (4 2 t)。
（略）
例
用手将悬挂着的质量为m 的弹簧从静止状态
开始拉长， 当点O 的位移为 x x0 时， 突然放手，
此时弹簧仅受到弹性恢复力 f 的作用。求反映此弹
簧运动的规律（设其弹性系数为 k ）。
解
O
例
用手将悬挂着的质量为m 的弹簧从静止状态
6.6 二阶常系数线性微分方程与Euler方程 在二阶线性微分方程
y p( x) y q( x) y f ( x)
如果p( x)，q( x)均为常数，则该方程变为
y p y q y f ( x)
（6.49）
其 中p、q均 为常 数，则称（6.49）为二阶常系数
非齐次线性微分方程。而称方程
解 (1) 特 征 方 程 为r 4 5r 3 6r 2 0,
即r 2 (r 6)(r 1) 0, 得 特 征 值 为
得 特 征 值 为r1 r2 0, r3 6, r4 1.
故原方程的通解为
y c1 c2 x c3e 6 x c4e x .
e1x d x x e1x。
于是，当特征方程有重实根时，方程 ( 1 ) 的通 解为
y C1e1x C2 x e1x e1x (C1 C2 x)。
二阶常系数齐线性微分方程
y p y q y 0 ( 1 )
的特征方程为
2 p q 0。
3) 特征方程有一对共轭复 1 i ，2 i ，则
根： y1 e1x e( i ) x， y2 e2 x e( i ) x
是方程 ( 1 ) 的两个线性无关的解，其通解
为
y C1 y1 C2 y2 C1e( i ) x C2e( i ) x。
特 征 方 程 2 p q 0 ；
特 征 根 1 ，2 。
单根
你认为方程应该 有什么样子的特解？
二重根 一对共轭复根
假设方程
y p y q y e x Pn ( x) (2)
有下列形式的特解：y e xu( x)，则
y e xu e xu，
6.6.2 二阶常系数非齐线性微分方程
形如 y p y q y f ( x) (2)
的方程，称为二阶常系数非齐线性微分方程， 其中 p、q 为(实)常数。
它对应的齐方程为 y p y q y 0。 ( 1 )
我们只讨论函数 f ( x ) 的几种简单情形下，(2) 的 特解。
利用欧拉公式去掉表达式中虚数单位 i 。
欧拉公式： ei cos i sin 。
y1 e( i )x e x e i x e x (cos x i sin x)，
y1 e( i ) x e x e i x e x (cos x i sin x) 。
是方程 (1) 的两个线性无关的解，故方程 (1) 的通 解为
y C1 y1 C2 y2 C1e1x C2e 。 2x
二阶常系数齐线性微分方程
y p y q y 0 ( 1 )
的特征方程为 2 p q 0。
2) 特征方程有实重根 1 2 ，则
1. f ( x) e x Pn ( x) 的 情 形
y p y q y f (x) (2) y p y q y 0。 (1)
其 中 Pn ( x) a0 xn a1 xn1 an1 x an 。
方程 (2) 对应的齐方程 (1) 的特征方程及特征根为
2
u (2 p) u Pn ( x)。 由多项式求导的特点可知，应有
u( x) x Qn ( x) x (b0 xn b1 xn1 bn1 x bn )，
故 当 f ( x) e x Pn ( x) 中 的 是 方 程(2) 的 单 特 征 根 时 ， 方程 (2) 有下列形式的特解:
例
求方程
d2 s d t2

2
d d
s t

s

0
满足初始条件的解：
s 4， d s 2。
t 0
d t t0
解 特征方程 2 2 1 0，
特 征 根 1 2 1，
所求通解为 s et (C1 C2 t )。
由初始条件 s
4，d s
t0
dt
p2 4q 0，
由求根公式
p
1,2
p2 4q p ，
2
2
此 时 ，y1 e1x 是 方 程( 1 ) 的 一 个 解 。
由刘维尔公式求另一个解：
p 21 0
y2 e1x

e

pd
x
(e1x )2
d
x

e 1 x
e ( p21 ) x d x
所求通解为 y C1e x C2e3x 。
例 求方程 y 2 y 5 y 0 的通解。
解
特征方程 2 2 5 0，
特 征 根 1 1 2 i， 2 1 2 i， 所 求通 解 为 y e x (C1 cos 2x C2 sin2x)。
2e x p e x q e x 0，
即
2 p q 0。
特征方程
二阶常系数齐线性微分方程
y p y q y 0 ( 1 )
的特征方程为
2 p q 0。
1) 特征方程有两 个不同的实根 1 2 ，则 y1 e1x， y2 e2 x
由线性方程解的性质：
y1

1 2
(
y1

y2
)

e
x
cos

x，
y2

1 2i
(
y1

y2 )

e x
sin
x
均为方程 ( 1 ) 的解，且它们是线性无关的：
W [e x cos x ，e x sin x] 0。
故当特征方程有一对共轭复根
1 i ，2 i
特征方程 2 a2 0， 特征根 1,2 i a，
d2 dt
x
2

a
2
x

0
，
x t0 x0 ，
d x 0。 d t t0
所求通解为 y C1 cos a t C2 sin a t 。
由 x t0 x0 ，得 C1 x0 ；
由 dx dt
＝(aC1 sin a t aC2 cos a t) t0 C2a 0，得 C2 0。
y p y q y 0
（6.50）
为与方程（6.49）对应的齐次线性微分方程。
6.6.1 二阶常系数齐次线性微分方程
形如 y p y q y 0 ( 1 )
的方程，称为二阶常系数齐线性微分方程，其中 p、q 为(实)常 数 。
假设方程 有形如y e x 的解，则代入方 程后，得
t0
从而，所求运动规律为
x x0 cos a t ， ( a
k )。 m
简谐振动
n 阶常系数齐线性微分方程
形如
y(n) p1 y(n1) pn1 y pn y 0
( 1 )
的方程，称为 n 阶常系数齐线性微分方程，
其 中 p1 ,, pn 为(实)常数。
(2) 特 征 方 程 为r 4 2r 2 1 0, 即(r 2 1) 0, 得特征值为
r1 r2 i, r3 r4 i.
故原方程的通解为
y c1 cos x c2 sin x c3 x cos x c4 x sin x
y (c1 c3 x)cos x (c2 c4 x)sin x .
y e1 x (C1 C2 x)
1,2 i (共轭复根) y e x (C1 cos x C2 sin x)
例
求方程 y 2 y 3 y 0 的通解。
解 特征方程 2 2 3 0，
特 征 根 1＝ －1， 2 3，
y e xu( x)
y p y q y e x Pn ( x) (2) u (2 p) u ( 2 p q) u Pn ( x)。 (3)
(2) 若 是单特征根，则
2 p q 0， 而 p ，即 2 p 0。此时，方程(3) 为
它能正确描述 我们的问题吗？
d2 dt
x
2

a
2
x

0
，
(a 0)。
记拉长后，突然放手的时刻为 t 0，则有初始条件：
初始位移
x t0 x0 ，
初始速度
d x 0。 d t t0
我们要找的规律是下列初值问题的解：
d2 dt
x
2

a
2
x

0
，
x t0 x0 ，
d x 0。 d t t0
2 项 e x (C1 cos x C2 sin x)
2k 项 e x[(C1 C2 x Ck x k1 ) cos x
(D1 D2 x Dk xk1 )sin x]
例
求方程
d3 y d x3

3
d2 y d x2

3d d
y x

y

n 阶常系数齐线性微分方程的特征方程为
n p1 n1 pn1 pn 0
特征根
单 实 根
k实重根
一对共轭复根
1,2 i
一对共轭k 重复根
1,2 i
通解中的对应项
1项
Ce x
k 项 e x (C1 C2 x Ck xk1 )
0
的通解。
解
特征方程 3 32 3 1 0，
特 征 根 1 2 3 1，
所 求 通 解 为 y e x (C1 C2 x C3 x2 )。
例6.50 求下列方程的通解： (1) y(4) 5 y 6 y 0; (2) y(4) 3 y y 0.
开始拉长， 当点O 的位移为 x x0 时， 突然放手，
此时弹簧仅受到弹性恢复力 f 的作用。求反映此弹
簧运动的规律（设其弹性系数为 k ）。
解
O
x0
x
取 x 轴如如图所示。
由力学的虎克定理，有
f k x 。 （ 恢复力与运动方向相反 ）
由牛顿第二定律，得
m
d2 dt
x
2

k
x
。
移项，并记 a2 k ，则有 m
由方程 (3) 及多项式求导的特点可知，应有
u( x) Qn ( x) b0 xn b1 xn1 bn1 x bn ，
故 当 f ( x) e x Pn ( x) 中 的 不 是 方 程(2) 的 特 征 根 时 ，
方程 (2) 有下列形式的特解:
y* e xQn ( x) 。
时，原方程的通解可表示为 y e x (C1 cos x C2 sin x)。
二阶常系数齐线性微分方程 特征方程
y p y q y 0
2 p q 0。
特征根
通解形式
1 2 (实根)
y C1e1 x C2e2 x
1 2 (实重根)
y 2 e xu 2 e xu e xu，
代入方程 (2) ， 得 e x[u (2 p) u ( 2 p q) u] e x Pn ( x)，
即 u (2 p) u ( 2 p q) u Pn ( x)。 (3)
方程 (3) 的系数与方程 (2) 的特征根有关。
y e xu( x)
y p y q y e x Pn ( x) (2) u (2 p) u ( 2 p q) u Pn ( x)。 (3)
(1) 若 不是特征根，则 2 p q 0，