2021年高考数学总复习 第9章 第7节 抛物线课时跟踪检测 理(含解析)新人教版

2021年高考数学总复习 第9章 第7节 抛物线课时跟踪检测 理（含解析）
新人教版
1．(xx·吉安模拟)若点P 到点F (0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，则点P 的轨迹方程为( )
A ．y 2＝8x
B ．y 2＝－8x
C ．x 2＝8y
D ．x 2＝－8y
解析：选C 由题意知点P 到点F (0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，因此点P 到点F (0,2)的距离与到直线y ＋2＝0的距离相等，故点P 的轨迹是以F 为焦点，y ＝－2为准线的抛物线，其方程为x 2＝8y ，选C.
2．已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( )
A.3
4 B.32 C ．1
D ．2
解析：选D 由题意知，抛物线的准线l ：y ＝－1，过A 作AA 1⊥l 于A 1，过B 作BB 1⊥l 于B 1，设弦AB 的中点为M ，过M 作MM 1⊥l 于M 1，则|MM 1|＝|AA 1|＋|BB 1|
2.|AB |≤|AF |＋|BF |(F
为抛物线的焦点)，即|AF |＋|BF |≥6，|AA 1|＋|BB 1|≥6,2|MM 1|≥ 6，|MM 1|≥3，故M 到x 轴的距离d ≥2，选D.
3．(xx·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)
的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则
p ＝( )
A ．1
B.32
C ．2
D ．3
解析：选C 设A 点坐标为(x 0，y 0)，则由题意，得S △AOB ＝|x 0|·|y 0|＝3，抛物线y
2
＝2px 的准线为x ＝－p 2，所以x 0＝－p 2，代入双曲线的渐近线的方程y ＝±b a x ，得|y 0|＝bp
2a
.
由⎩⎪⎨⎪⎧
c a ＝2，
a 2＋
b 2＝
c 2，
得b ＝3a ，所以|y 0|＝
32p .所以S △AOB ＝3
4
p 2＝3，解得p ＝2或p ＝－2(舍去). 故选C.
4．(xx·江西高考)已知点A (2,0)，抛物线C ：x 2
＝4y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM |∶|MN |＝( )
A ．2∶ 5
B ．1∶2
C ．1∶ 5
D ．1∶3
解析：选C 射线FA 的方程为x ＋2y －2＝0(x ≥0)． 如图所示，由条件知tan α＝1
2，
∴sin α＝
55
， 由抛物线的定义知|MF |＝|MG |， ∴
|FM ||MN |＝|MG ||MN |＝sin α＝55＝1
5
.故选C. 5．(xx·东北三省联考)已知抛物线y 2
＝8x 的焦点为F ，直线y ＝k (x －2)与此抛物线相交于P ，Q 两点，则1|FP |＋1|FQ |
＝( )
A.12 B ．1 C ．2
D ．4
解析：选A 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由题意可知|PF |＝x 1＋2，|QF |＝x 2＋2，则1|FP |
＋
1
|FQ |＝1x 1＋2＋1x 2＋2＝x 1＋x 2＋4x 1x 2＋2x 1＋x 2＋4
，联立直线与抛物线方程消去y 得k 2x 2－(4k 2
＋8)x ＋4k 2
＝0，可知x 1x 2＝4，故
1
|FP |＋1|FQ |＝x 1＋x 2＋4x 1x 2＋2x 1＋x 2＋4＝x 1＋x 2＋42x 1＋x 2＋8＝12.
故选A.
6．(xx·大纲全国高考)已知抛物线C ：y 2
＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若MA →·MB →
＝0，则k ＝( )
A.1
2 B.
2
2
C. 2
D ．2
解析：选D 由题意知抛物线C 的焦点坐标为(2,0)，则直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，将其代入y 2
＝8x ，得k 2x 2
－4(k 2
＋2)x ＋4k 2
＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 2
＋2
k
2
，x 1x 2＝4.① 所以⎩
⎪⎨⎪⎧
y 1＋y 2＝k x 1＋x 2－4k ， ②
y 1y 2＝k 2
[x 1x 2－2x 1＋x 2＋4]. ③
∵MA →·MB →
＝0，
∴(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝0. ∴(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0， 即x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0.④ 由①②③④解得k ＝2.故选D.
7．(xx·陕西高考)右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．
解析：2 6 建立如图所示的平面直角坐标系，
设抛物线方程为x 2
＝－2py (p ＞0)，
由点(2，－2)在抛物线上，可得p ＝1，则抛物线方程为x 2
＝－2y .当y ＝－3时，x ＝±6，所以水面宽26米.
8．(xx·江南十校联考)已知直线l 过抛物线y 2
＝4x 的焦点F ，交抛物线于A 、B 两点，且点A 、B 到y 轴的距离分别为m 、n ，则m ＋n ＋2的最小值为________．
解析：4 因为m ＋n ＋2＝(m ＋1)＋(n ＋1)表示点A 、B 到准线的距离之和，所以m ＋n ＋2表示焦点弦AB 的长度，因为抛物线焦点弦的最小值是其通径的长度，所以m ＋n ＋2的最小值为4.
9．(xx·浙江高考)设F 为抛物线C ：y 2
＝4x 的焦点，过点P (－1,0)的直线l 交抛物线
C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点，若|FQ |＝2，则直线l 的斜率等于________．
解析：±1 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩
⎪⎨
⎪⎧
y 2
＝4x ，
y ＝k x ＋1消去y 整理得
k 2x 2＋2(k 2－2)x ＋k 2＝0，
∴x 1＋x 2＝－
2
k 2－2
k 2
， ∴x 1＋x 2
2＝－k 2－2k 2＝－1＋2k 2，y 1＋y 22＝2
k ，
所以Q ⎝
⎛⎭
⎪⎫－1＋2k
2，2k .又|FQ |＝2，F (1,0)，
∴⎝
⎛⎭⎪⎫－1＋2k
2－12＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫2k 2
＝4，解得k ＝±1.
10．(xx·重庆诊断)过抛物线y 2
＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A 、B 两点，若|AB |＝25
12
，|AF |＜|BF |，则|AF |＝________. 解析：56 由题意知过抛物线焦点的直线斜率存在，设其方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －12，由⎩
⎪⎨⎪
⎧
y 2
＝2x y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12消去y 整理得k 2x 2－(k 2
＋2)x ＋14
k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则x 1＋x 2
＝k 2＋2k 2，x 1x 2＝14.所以|AB |＝x 1＋x 2＋1＝k 2＋2k 2＋1＝2512，得k 2＝24，代入k 2x 2－(k 2
＋2)x ＋
14k 2＝0得12x 2－13x ＋3＝0，解得x 1＝13，x 2＝34，又|AF |＜|BF |，故|AF |＝x 1＋12＝56
.
11．(xx·太原调研)如图，已知抛物线C ：y 2
＝2px 和⊙M ：(x －4)2
＋y 2
＝1，过抛物线C 上一点H (x 0，y 0)(y 0≥1)作两条直线与⊙M 相切于A ，B 两点，分别交抛物线为E ，F 两点，圆心点M 到抛物线准线的距离为174
.
(1)求抛物线C 的方程；
(2)当∠AHB 的角平分线垂直x 轴时，求直线EF 的斜率； (3)若直线AB 在y 轴上的截距为t ，求t 的最小值．
解：(1)∵点M 到抛物线准线的距离为4＋p 2＝17
4
，
∴p ＝12
，所以抛物线C 的方程为y 2
＝x .
(2)∵当∠AHB 的角平分线垂直x 轴时，点H (4,2)， ∴k HE ＝－k HF ，
设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，∴y H －y 1x H －x 1＝－y H －y 2
x H －x 2
， ∴
y H －y 1y 2H －y 21＝－y H －y 2
y 2
H －y 22
，∴y 1＋y 2＝－2y H ＝－4. k EF ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 2－y 1y 22－y 21＝1y 2＋y 1＝－14
.
(3)设A (x 1′，y 1′)，B (x 2′，y 2′)， ∵k MA ＝
y 1′
x 1′－4，∴k HA ＝4－x 1′
y 1′
，
所以直线HA 的方程为(4－x 1′)x －y 1′y ＋4x 1′－15＝0， 同理直线HB 的方程为(4－x 2′)x －y 2′y ＋4x 2′－15＝0，
∴(4－x 1′)y 2
0－y 1′y 0＋4x 1′－15＝0，(4－x 2′)y 2
0－y 2′y 0＋4x 2′－15＝0， ∴直线AB 的方程为(4－y 2
0)x －y 0y ＋4y 2
0－15＝0， 令x ＝0，可得t ＝4y 0－15
y 0
(y 0≥1)，
∵t 关于y 0的函数在[1，＋∞)单调递增， ∴t min ＝－11.即t 的最小值为－11.
12．如图，已知抛物线P ：y 2
＝x ，直线AB 与抛物线P 交于A 、B 两点，OA ⊥OB ，OA →＋OB →＝OC →
，OC 与AB 交于点M .
(1)求点M 的轨迹方程；
(2)求四边形AOBC 的面积的最小值． 解：(1)设M (x ，y )，A (y 2
1，y 1)，B (y 2
2，y 2)， ∵OA →＋OB →＝OC →， ∴M 是线段AB 的中点．
∴x ＝
y 21＋y 2
2
2
＝
y 1＋y 2
2
－2y 1y 2
2
，①
y ＝y 1＋y 22
.②
∵OA ⊥OB ，∴OA →·OB →
＝0. ∴y 21y 2
2＋y 1y 2＝0.
依题意知y 1y 2≠0，∴y 1y 2＝－1.③
把②、③代入①得：x ＝4y 2
＋22，即y 2
＝12(x －1)．
∴点M 的轨迹方程为y 2
＝12(x －1)．
(2)依题意得四边形AOBC 是矩形， ∴四边形AOBC 的面积为
S ＝|OA →||OB →
|＝
y 212
＋y 2
1·
y 22
2
＋y 2
2
＝
y 21＋1
y 22＋1
y 1y 2
2
＝y 21y 2
2＋y 2
1＋y 2
2＋1＝2＋y 2
1＋y 2
2.
∵y 2
1＋y 2
2≥2|y 1y 2|＝2，当且仅当|y 1|＝|y 2|时，等号成立， ∴S ≥2＋2＝2.
∴四边形AOBC 的面积的最小值为2.
1．(xx·长沙模拟)与抛物线y 2
＝8x 相切倾斜角为135°的直线l 与x 轴和y 轴的交点分别是A 和B ，那么过A ，B 两点的最小圆截抛物线y 2
＝8x 的准线所得的弦长为( )
A ．4
B ．2 2
C ．2
D. 2
解析：选C 设直线l 的方程为y ＝－x ＋b ，联立直线与抛物线方程，消元得y 2
＋8y －8b ＝0，因为直线与抛物线相切，故Δ＝82
－4×(－8b )＝0，解得b ＝－2，故直线l 的方程为x ＋y ＋2＝0，从而A (－2,0)，B (0，－2)，因此过A ，B 两点最小圆即为以AB 为直径的圆，其方程为(x ＋1)2
＋(y ＋1)2
＝2，而抛物线y 2＝8x 的准线方程为x ＝－2，此时圆心(－1，－1)到准线距离为1，故所截弦长为2
2
2
－12
＝2.故选C.
2．(xx·山东高考)抛物线C 1：y ＝12p x 2(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：x 2
3－y 2
＝1的右焦点
的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )
A.
316 B.38 C.233 D.43
3
解析：选 D 设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，12p x 20，y ′＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12p x 2′＝x p ，故M 点切线的斜率为x 0p ＝33，故M ⎝
⎛⎭⎪⎫33
p ，16p .由⎝ ⎛⎭⎪⎫33p ，16p ，⎝ ⎛⎭⎪⎫
0，p 2，(2,0)三点共线，可求得p ＝433，故选D.
3．过抛物线y 2
＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，直线l
与抛物线的准线的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若AF →＝FB →，BA →·BC →
＝36，则抛物线的方程为________．
解析：y 2＝23x 由AF →＝FB →
知F 为AB 的中点，设准线与x 轴的交点为D ，则|DF |＝12|AC |
＝p ，∴|AC |＝2p ＝|AF |＝|FB |，|AB |＝4p ，∴∠ABC ＝30°，|BC |＝23p ，BA →·BC →
＝|BA ||BC |cos 30°＝4p ×23p ×
32
＝36，解得p ＝3，∴y 2
＝23x . 4．(xx·西安五校联考)已知直线y ＝－2上有一个动点Q ，过点Q 作直线l 1垂直于x 轴，动点P 在l 1上，且满足OP ⊥OQ (O 为坐标原点)，记点P 的轨迹为C .若直线l 2是曲线C 的一条切线，则当点(0,2)到直线l 2的距离最短时，直线l 2的方程为________．
解析：2x －y －1＝0或2x ＋y ＋1＝0
设点P 的坐标为(x ， y )，则点Q 的坐标为(x ，－2)， ∵OQ ⊥OP ，∴k OQ ·k OP ＝－1，当x ≠0时，得y x ·
－2x
＝－1，化简得x 2
＝2y ，当x ＝0时，P ，O ，Q 三点共线，不合题意，故x ≠0，故曲线C 的方程为x 2＝2y (x ≠0)．由x 2＝2y ，得y ′
＝x ，
∵直线l 2与曲线C 相切，设切点M 的坐标为(x 1，y 1)，其中y 1＝12x 2
1＞0，则直线l 2的方
程为y －y 1＝x 1(x －x 1)，化简得x 1x －y －y 1＝0.点(0,2)到直线l 2的距离
d ＝
|－2－y 1|x 21＋1
＝y 1＋22y 1＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2y 1＋1＋32y 1＋1≥12×22y 1＋1·
32y 1＋1
＝3，当
且仅当2y 1＋1＝
3
2y 1＋1
，即y 1＝1时，等号成立，此时x 1＝±2，所以直线l 2的方程为2
x －y －1＝0或2x ＋y ＋1＝0.
5．已知抛物线y 2
＝2x ，P 是抛物线的动弦AB 的中点． (1)当P 的坐标为(2,3)时，求直线AB 的方程；
(2)当直线AB 的斜率为1时，求线段AB 的垂直平分线在x 轴上的截距的取值范围．
解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知y 1＋y 2＝6.由⎩
⎪⎨⎪⎧
y 2
1＝2x 1
y 2
2＝2x 2可得y 21－y 2
2＝2x 1－
2x 2，变形得
y 1－y 2x 1－x 2＝2y 1＋y 2，则k AB ＝26＝1
3
. 所以直线AB 的方程为y －3＝1
3(x －2)，即x －3y ＋7＝0.
(2)由题意可设直线AB
的方程为y ＝x ＋b ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨
⎪⎧
y 2
＝2x
y ＝x ＋b
可得
x 2＋2(b －1)x ＋b 2＝0.
依题意得Δ＝4－8b ＞0，所以b ＜1
2
.
易知x 1＋x 2＝2(1－b )，y 1＋y 2＝(x 1＋b )＋(x 2＋b )＝2，故AB 的中点P 的坐标为(1－b,1)． 所以线段AB 的垂直平分线的方程为y －1＝－(x －1＋b )， 即x ＋y ＋b －2＝0，其在x 轴上的截距为2－b . 因为b ＜12，所以2－b ＞32
，
所以截距的取值范围为⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，＋∞.
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