2024-2025学年北师版中学数学八年级上册7.4平行线的性质教学课件

2 CN
F
直线AB∥CD,∠1
D 和∠2是直线AB、 CD被直线EF截出 的同位角.
符号 语言
求证：∠1=∠2.
问题3：你能说说证明的思路吗？
证明：假设∠1 ≠ ∠2，那么我们
G
1E
可以过点M作直线GH，使 ∠EMH= ∠2，如图所示.
A
M 2
HB
根据“同位角相等，两直线平 行”，可知GH ∥ CD.
新课导入
条件
结论
两条平行线 被第三条直 线所截
同位角？ 内错角？ 同旁内角？
合作探究
问题1：根据“两条平行线被第三条直线
所截，同位角相等”.你能作出相关的图
形吗？
E
1
A
M
B
2
CN
D
F
问题2：你能根据所作的图形写出已知、求证吗？
两条平行线被
E 第三条直线所截，
同位角相等.
文字
1
语言
A
M
B 已知，如图，
3 1
证明：∵a∥b(已知)，
b
2
∴∠2＝∠3(两条直线平行，同位角相等)
∵∠1＝∠3(对顶角相等)，
∴∠1=∠2(等量代换) .
定理3：两条直线被第三条直线所截， 同旁内角互补
已知：直线a∥b，∠1和∠2是直
c
线a，b被直线c截出的同旁内角. a
3
求证： ∠1+∠2=180°.
1
证明：∵a∥b (已知),
d
1
a
2
b
3
c
2.如图，已知DE∥BC,CD平分∠ACB,∠AED=80°,
求∠DCB的度数.
A
D B
E C
证明：∵ DE∥BC（已知）,
∴ ∠ACB=∠AED（两直线平行，同位角相等）.
A
又∵ ∠AED=80°（已知）,
∴ ∠ACB=80°（等量代换）. 又∵ CD平分∠ACB（已知）,
D
E
∴∠ACD=∠DCB（角平分线定理）.
求证：AD∥BC.
证法一：
A
D
∵AB∥DC（已知）,
∴∠B+∠C=180°
B
C
（两直线平行，同旁内角互补）.
∵∠B=∠D（已知）,
∴∠D+∠C=180°（等量代换）,
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）.
例2：已知，如图，AB∥CD，∠B=∠D，
求证：AD∥BC.
证法二：
A1
D
如图，延长BA
（构造一组同位角）.
CN
D 又因为AB ∥ CD，这样经过点M
F
存在两条直线AB和GH都与直线
如果∠1 ≠ ∠2， AB与CD的位 置关系会怎样
呢？
CD平行.这与基本事实“过直线
外一点有且只有一条直线与这条 直线平行”相矛盾. 这说明∠1 ≠ ∠2的假设不成立，
所以∠1 =∠2.
知识讲解
一般地，平行线具有如下性质：
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相 等. 简单说成：两直线平行，同位角相等.
同理∠2=∠3，∴∠1=∠3，
∴a∥c.
平行线的性质
公理: 两直线平行,同位角相等. a
∵ a∥b, ∴∠1=∠2.
b
性质定理1:
两直线平行,内错角相等. a
∵ a∥b, ∴∠1=∠2.
b
性质定理2: 两直线平行,同旁内角互补. a
∵ a∥b, ∴ ∠1+∠2=1800 . b
这里的结论,以后可以直接运用.
D C
b
2
∴∠2＝∠3 (两条直线平行，同位角相等).
∵∠1+∠3 =180° (平角等于180°),
∴∠1+∠2=180 ° (等量代换) .
定理：如果两条直线都和第三条直线 平行，那么这两条直线也互相平行.
已知：如图，直线a,b,c被直线d所截，
且a∥b,c∥b. 求证：a∥c.
证明：∵a∥b，∴∠1=∠2，
解：∠A= ∠C, ∠B=∠D.
B
理由：∵AB∥CD （已知 ）,
C
∴∠B+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）.
又 ∵ AD∥BC （已知）,
∴∠C+∠D=180°（ 两直线平行，同旁内角互补）.
∴∠ B=∠D（ 同角的补角相等 ）,
同理 ∠A=∠C.
例2 已知，如图，AB∥CD，∠B=∠D，
∵AB∥CD（已知）,
B
C
∴∠1=∠D（两直线平行，内错角相等）.
∵∠B=∠D（已知）,
∴∠1=∠B（等量代换）,
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）.
例2：已知，如图，AB∥CD，∠B=∠D，
求证：AD∥BC.
A
D
证法三：
如图，连接BD. （构造一组内错角）
∵AB∥CD（已知）,
3 4
1
2
B
C
c 1
2 c
12 c
1 2
归纳总结 证明一个命题的一般步骤： (1)弄清题设和结论； (2)根据题意画出相应的图形； (3)根据题设和结论写出已知,求证； (4)分析证明思路,写出证明过程.
例题讲解
例1 如图所示，已知四边形ABCD 中，
AB∥CD， AD∥BC,试问∠A与∠C， A
D
∠B与∠D 的大小关系如何？
B
C
∴2∠DCB=∠ACB=80°,∴∠DCB=40°.
课堂小结
基本事实 两直线平行，同位角相等
平行线的 性质
性质定理
两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补
当堂检测
1.如图，直线a ∥b,直线c与a,b相交， ∠1＝65°，则∠2
＝（B）.
A. 115° B. 65° C. 35° D. 25°
第七章 平行线的证明
第七章 平行线的证明
7.4 平行线的性质
学习目标
1.理解并掌握平行线的性质公理和定理．（重点） 2.能熟练运用平行线的性质进行简单的推理证 明．（难点）
知识回顾
条件
平行线的判定
结论
判定方法1 同位角相等，两直线平行.
判定方法2 内错角相等，两直线平行. 判定方法3 同旁内角互补，两直线平行.
a1
3 b
2 c
2.如图，AB∥CD，∠CDE=∠140°，则∠A的度
数为（ D ）.
A. 140° B. 60° C. 50° D. 40°
140°
E
C
D
A
B
3.已知：如图，AD∥BC，∠ABD=∠D.
A
求证：BD平分∠ABC.
证明：∵ AD∥BC（已知）,
B
∴ ∠DBC=∠D（两直线平行，内错角 相等）. 又∵ ∠ABD=∠D（已知）, ∴ ∠DBC= ∠ABD（等量代换）, ∴ BD平分∠ABC.
应用格式:
∵a∥b（已知）,
a
1
∴∠1=∠2
b
2
（两直线平行，同位角相等）
c
利用上述定理，你能证明哪些熟悉的结论？ 两直线平行，内错角相等. 两直线平行，同旁内角互补.
尝试来证明一下
定理2：两条直线被第三条直线所截，内错
角相等.
已知：直线a∥b，∠1和∠2是
c
直线a，b被直线c截出的内错角.a 求证： ∠1=∠2.
∴∠1=∠4（两直线平行，内错角相等）.
∵∠B=∠D（已知）,
∴∠B－∠1=∠D－ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ4（等式的性质）,
∴∠2=∠3,
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）.
随堂训练
1. 如图，b∥a,c∥a,∠1，∠2，∠3是直线a，b，c
被直线d截出的同位角。 求证：b∥c
d
1
a
2
b
3
c
证明：∵b∥a（已知）, ∴∠2=∠1（两直线平行，同位角相等）. ∵c∥a（已知）, ∴∠3=∠1（两直线平行，同位角相等）. ∴∠2=∠3（等量代换）. ∴b∥c（同位角相等，两直线平行）.