[工学]工程力学37-d20b例题
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解： 轮O定轴转动，块B平动，
r m
M B
O
vB r ()
1 2 LO J O Mv B r mr Mr 2 2
（负号表示转向为）
例题
例 题 20-7
A
§20 动量原理
均质圆柱，半径为r，质量为m，绕有细绳， A端固定，圆柱质心C以速度vC向下运动， 求圆柱对质心C及定点A的动量矩。
r
l轴
(20.20) x
m
O
y
显然，质点对点的动量矩是一个定位矢量，而质点 对轴的动量矩是一个代数量。 当质点作平面运动时，动量对平面内 v O 某点O之矩或对Oz轴之矩均为：
LO mvh
（20.21）
符号规定： 为正，为负 20.5.2. 质点系的动量矩
m
1.质点系对固定点、固定轴的动量矩 设质点系中质点 Di 相对于某一固定点O的矢径为 ri ， z mi vi 动量为 mi vi i 1,2,, n 。 质点系对某固定点O的动量矩 LO 为： D
r mv A (20.28) LA LA rC
其中 rC 为质点系质心C在动系中的 v A 为动点的绝对速度。 相对坐标，
vA
v i vri
y’ y
O x
x’
mi ri
r mv A (20.29) LA LA rC
解：圆柱作一般平面运动
vC r
r C m
若建立质心平移坐标系，则轮子的相对 运动为绕质心的定轴转动 1 2 1 r LC LC J C mr mrv C
2 2
1 3 LA LC mv C r mrv C mrv C mv C 2 2
ri
LO mi vi hi
i 1
n
（20.24）
O m
v
符号规定： 为正，为负
2. 质点系对动点的动量矩 设在惯性参考系中有任意一动点A，其速度为 v A 。 固连于动点A建立平移直角坐标系 Axyz， ri 相对矢径 vri 相对速度 质点系中质点 Di ri 绝对矢径 vi 绝对速度
dm
x
3. 一般平面运动刚体的动量矩
建立惯性参考空间中的定系Oxyz和质 y 心平移坐标系 Cxyz， 使三对坐标轴分别平行，且使 Oz， Cz C L C 轴垂直于刚体的运动平面，则一般平 面运动刚体相对该平移坐标系为绕 Cz x O 轴的定轴转动： z r (20.36) LC LC J xz i J yz j J z k
3 系统该时刻的动量： p mi vCi i 1
p mvA mvB 2mr ()
例题
例 题 20-8
§20 动量原理
A vA
O
vB
B
系统该瞬时对点O的动量矩：
LO J m杆v A r m块vB r
盘 O
1 2 5 2 2 mr 2mr mr 2 2 （ ）
LC J C
(20.38)
对任意固定点A，则有： LA LC AC m vC 若对该刚体运动平面上的任意 固定点A，则有：
(20.39) y
C
vC
LA LC m vC h
(20.40)
LC
O z
h A
x
例题
例 题 20-6
§20 动量原理
求系统对转轴O点的动量矩。
注意：系统该瞬时的动能、动量、动量矩 都是特殊位置的量，不可求导！
§20.6 动量矩定理
20.6.1 质点的动量矩定理 质点对固定点的动量矩定理 上的合力为 F
设质量为 m的质点 D对固定点O的矢径为 r ，作用其
z’
vA
v i vri
y’
(20.26)
O x
x’
A ri
mi ri
y
将质点系中各质点的相对动量 mi vri对动点A的矩的矢
r L 量和定义为质点系对动点A的相对动量矩，用 A 表示， 即： n r n r (20.27) LA LA mi vri ri mi vri
n r LA LA ( ri mi ) v A i 1
由质点系质心C相对于动点A
m 故质点系对动点的绝对动量 矩和相对动量矩的关系为：
的矢径公式 r C
i 1
n
mi ri
m ri mi 可得： rC
i 1
n
z’ z
A ri
F
O
（见书上例22.4）
20.5.3 刚体的动量矩 1. 平移刚体的动量矩 当刚体作平移时，建立质心平移坐标 系，各质点的相对速度 vr i 0 ，故 r LC LC 0 (20.32) z
z’
vC
y’
y
C
x’ h A O 平移刚体对任意固定点A的动量矩为： x LA LC AC p
i 1 i 1
质点系对动点的绝对动量矩和相对动量矩的关系： 将式(20.25)代入式(20.26): n n z’ LA ri (mi vi ) ri mi (v A vri ) vi z i 1 i 1 v ri vA n n ri (mi vri ) ri (mi v A ) A y’ i 1 i 1 ri m i n r x’ ri y LA ( ri mi ) v A O i 1 x
i 1,2,, n (20.25) 将质点系中各质点的绝对动量 mi vi 对动 点A的矩的矢量和定义为质点系对动点 z A的绝对动量矩，用 LA 表示，即：
n n LA LA mi vi ri mi vi i 1 i 1
vi vri v A
LA AC mvC
(20.33)
平移刚体对任意确定点A的动量矩等于将平移刚体 的质量视为全部集中在质心C上时对点A的动量矩。 当平移刚体作平面曲线运动时，对该平面内任一 点的动量矩可视为代数量 LA mvC h 。
2. 定轴转动刚体的动量矩 在转轴上任取一点O，使z轴与转轴重合， LO 建立惯性参考空间中的直角坐标系Oxyz， 则定轴转动刚体的角速度为 k O 设质量为d m的微元，相对于点O的矢径为 r， x 在直角坐标系Oxyz 中的坐标为 ， x, y, z r xi y j z k 其速度为 v r
n n LO LO mi vi ri mi vi i 1 i 1
(20.22)
O
ri
i
x
y
质点系对某一固定轴 l 的动量矩 Ll为：
Ll
i 1 n
z
Ll mi vi
mi vi
(20.23)
O
y 同理，质点系平面运动时，质点系动量 x l轴 对平面内某点O之矩或对Oz轴之矩均为：
工程力学（C）
（下册） ( 37)
北京理工大学理学院力学系
韩斌
§20
§20.5 动量矩
动量原理
20.5.1.质点的动量矩（类比于力对点之矩、力对轴之矩） (20.17) 质点的动量对某点之矩 LO mv r mv z 若在点O建立直角坐标系Oxyz，则 v LO i j k m
m J xz i J yz j J z k
m
m
(20.34)
LO r vd m J xz i J yz j J z k
m
(20.34)
故，定轴转动的刚体对转轴上任意点的动量矩矢量 一般不沿转轴的方向。
特别，当转轴 z 轴为刚体的惯量主轴时，有
LO J zk J z
也可用代数量表示：
J xz 0, J yz 0
动量矩矢量沿转轴方向
LO
O
z
LO J z
Hale Waihona Puke 与 转向相同 (20.35)
例如，刚体作平面定轴转动，转轴 垂直于刚体的质量对称面时。
y r
vC
（ ）
（负号表 示）
例题
例 题 20-8
A
O
§20 动量原理
B
圆盘O半径为r，质量m，以角 速度转动，均质杆AB质量为 m，长为2r，滑块B质量为m， 在水平轨道内运动，A，B处为 铰接，某瞬时杆AB处于水平位 置，求此瞬时系统的动能，动 量，对O点的动量矩。
例题
例 题 20-8
0 , vA vC 故： 若取动点A为质点系的质心C时，rC
r LC LC
(20.30)
质点系对质心的动量矩，无论是在固定坐标系 还是在质心平移坐标系中计算都是相同的。
3.对惯性系中不同的A，O两点的动量矩之间关系
类比于力对不同两点的力矩之间的关系， 力对A，O两点之矩关系为 mA ( F ) mO ( F ) AO F 故质点系对不同的A，O两点的动量矩的关系为：
若一般平面运动刚体的运动平面为其质量对称面， 则 Cz 轴为刚体对点C的惯量主轴，即 J xz J yz 0 ， 上式变为 (20.37) LC J C
LC J C
LC 也可视为代数量
(20.37)
式中 J C为一般平面运动刚体对Cz的转动惯量。
LA LO AO p
n p mi vi i 1
（20.31）
注意
质点系对某点的动量矩不等 于质点系动量对该点之矩！ A
i 1 i 1
n n 即 LO ri mi vi rC p rC mi vi
z
y r
dm
定轴转动刚体对定点O的动量矩为 LO r vd m m r r d m r 2 r r d m m m x 2 y 2 z 2 k z xi y j z k d m m 2 2 xzdm i yz dm j x y dm k
§20 动量原理
A vA
O
vB
B
解：圆盘为定轴转动，滑块为 平动，杆为一般平面运动， 杆AB此瞬时为平动
vA vB r ()
1 1 2 1 2 2 T J m vA m vB O 系统该时刻的动能： 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 5 2 2 ( m r ) 2 m r m r 2 2 2 4
当平移刚体作平面曲线运动时对该平面内任一点的动量矩可视为代数量在转轴上任取一点o建立惯性参考空间中的直角坐标系oxyz使z轴与转轴重合则定轴转动刚体的角速度为设质量为的微元相对于点o的矢径为yzxzyzxz2034故定轴转动的刚体对转轴上任意点的动量矩矢量定轴转动的刚体对转轴上任意点的动量矩矢量一般不沿转轴的方向一般不沿转轴的方向
LO mv x y z
O
r
x m yvz zv y i mxvx xvz j m xvy yvx k Lx i Ly j Lz k (20.18)
mvx
mvy
mvz
y
x，y，z为质点的坐标， vy ， vx ， vz分别为质点的速度
Lx myvz zv y , Ly mxvx xvz , Lz mxvy yvx
(20.19) 质点动量对任意 l 轴之矩：
其中，质点动量对x，y，z轴之矩分别为：
0 Ll LO (mv ) l
其中O为l 轴上任意一点。
LO
z
v
v 在x，y，z轴上的投影。
LO mv
i x mvx
j y mvy
k z mvz
m yvz zv y i mxvx xvz j m xvy yvx k Lx i Ly j Lz k (20.18)
r m
M B
O
vB r ()
1 2 LO J O Mv B r mr Mr 2 2
（负号表示转向为）
例题
例 题 20-7
A
§20 动量原理
均质圆柱，半径为r，质量为m，绕有细绳， A端固定，圆柱质心C以速度vC向下运动， 求圆柱对质心C及定点A的动量矩。
r
l轴
(20.20) x
m
O
y
显然，质点对点的动量矩是一个定位矢量，而质点 对轴的动量矩是一个代数量。 当质点作平面运动时，动量对平面内 v O 某点O之矩或对Oz轴之矩均为：
LO mvh
（20.21）
符号规定： 为正，为负 20.5.2. 质点系的动量矩
m
1.质点系对固定点、固定轴的动量矩 设质点系中质点 Di 相对于某一固定点O的矢径为 ri ， z mi vi 动量为 mi vi i 1,2,, n 。 质点系对某固定点O的动量矩 LO 为： D
r mv A (20.28) LA LA rC
其中 rC 为质点系质心C在动系中的 v A 为动点的绝对速度。 相对坐标，
vA
v i vri
y’ y
O x
x’
mi ri
r mv A (20.29) LA LA rC
解：圆柱作一般平面运动
vC r
r C m
若建立质心平移坐标系，则轮子的相对 运动为绕质心的定轴转动 1 2 1 r LC LC J C mr mrv C
2 2
1 3 LA LC mv C r mrv C mrv C mv C 2 2
ri
LO mi vi hi
i 1
n
（20.24）
O m
v
符号规定： 为正，为负
2. 质点系对动点的动量矩 设在惯性参考系中有任意一动点A，其速度为 v A 。 固连于动点A建立平移直角坐标系 Axyz， ri 相对矢径 vri 相对速度 质点系中质点 Di ri 绝对矢径 vi 绝对速度
dm
x
3. 一般平面运动刚体的动量矩
建立惯性参考空间中的定系Oxyz和质 y 心平移坐标系 Cxyz， 使三对坐标轴分别平行，且使 Oz， Cz C L C 轴垂直于刚体的运动平面，则一般平 面运动刚体相对该平移坐标系为绕 Cz x O 轴的定轴转动： z r (20.36) LC LC J xz i J yz j J z k
3 系统该时刻的动量： p mi vCi i 1
p mvA mvB 2mr ()
例题
例 题 20-8
§20 动量原理
A vA
O
vB
B
系统该瞬时对点O的动量矩：
LO J m杆v A r m块vB r
盘 O
1 2 5 2 2 mr 2mr mr 2 2 （ ）
LC J C
(20.38)
对任意固定点A，则有： LA LC AC m vC 若对该刚体运动平面上的任意 固定点A，则有：
(20.39) y
C
vC
LA LC m vC h
(20.40)
LC
O z
h A
x
例题
例 题 20-6
§20 动量原理
求系统对转轴O点的动量矩。
注意：系统该瞬时的动能、动量、动量矩 都是特殊位置的量，不可求导！
§20.6 动量矩定理
20.6.1 质点的动量矩定理 质点对固定点的动量矩定理 上的合力为 F
设质量为 m的质点 D对固定点O的矢径为 r ，作用其
z’
vA
v i vri
y’
(20.26)
O x
x’
A ri
mi ri
y
将质点系中各质点的相对动量 mi vri对动点A的矩的矢
r L 量和定义为质点系对动点A的相对动量矩，用 A 表示， 即： n r n r (20.27) LA LA mi vri ri mi vri
n r LA LA ( ri mi ) v A i 1
由质点系质心C相对于动点A
m 故质点系对动点的绝对动量 矩和相对动量矩的关系为：
的矢径公式 r C
i 1
n
mi ri
m ri mi 可得： rC
i 1
n
z’ z
A ri
F
O
（见书上例22.4）
20.5.3 刚体的动量矩 1. 平移刚体的动量矩 当刚体作平移时，建立质心平移坐标 系，各质点的相对速度 vr i 0 ，故 r LC LC 0 (20.32) z
z’
vC
y’
y
C
x’ h A O 平移刚体对任意固定点A的动量矩为： x LA LC AC p
i 1 i 1
质点系对动点的绝对动量矩和相对动量矩的关系： 将式(20.25)代入式(20.26): n n z’ LA ri (mi vi ) ri mi (v A vri ) vi z i 1 i 1 v ri vA n n ri (mi vri ) ri (mi v A ) A y’ i 1 i 1 ri m i n r x’ ri y LA ( ri mi ) v A O i 1 x
i 1,2,, n (20.25) 将质点系中各质点的绝对动量 mi vi 对动 点A的矩的矢量和定义为质点系对动点 z A的绝对动量矩，用 LA 表示，即：
n n LA LA mi vi ri mi vi i 1 i 1
vi vri v A
LA AC mvC
(20.33)
平移刚体对任意确定点A的动量矩等于将平移刚体 的质量视为全部集中在质心C上时对点A的动量矩。 当平移刚体作平面曲线运动时，对该平面内任一 点的动量矩可视为代数量 LA mvC h 。
2. 定轴转动刚体的动量矩 在转轴上任取一点O，使z轴与转轴重合， LO 建立惯性参考空间中的直角坐标系Oxyz， 则定轴转动刚体的角速度为 k O 设质量为d m的微元，相对于点O的矢径为 r， x 在直角坐标系Oxyz 中的坐标为 ， x, y, z r xi y j z k 其速度为 v r
n n LO LO mi vi ri mi vi i 1 i 1
(20.22)
O
ri
i
x
y
质点系对某一固定轴 l 的动量矩 Ll为：
Ll
i 1 n
z
Ll mi vi
mi vi
(20.23)
O
y 同理，质点系平面运动时，质点系动量 x l轴 对平面内某点O之矩或对Oz轴之矩均为：
工程力学（C）
（下册） ( 37)
北京理工大学理学院力学系
韩斌
§20
§20.5 动量矩
动量原理
20.5.1.质点的动量矩（类比于力对点之矩、力对轴之矩） (20.17) 质点的动量对某点之矩 LO mv r mv z 若在点O建立直角坐标系Oxyz，则 v LO i j k m
m J xz i J yz j J z k
m
m
(20.34)
LO r vd m J xz i J yz j J z k
m
(20.34)
故，定轴转动的刚体对转轴上任意点的动量矩矢量 一般不沿转轴的方向。
特别，当转轴 z 轴为刚体的惯量主轴时，有
LO J zk J z
也可用代数量表示：
J xz 0, J yz 0
动量矩矢量沿转轴方向
LO
O
z
LO J z
Hale Waihona Puke 与 转向相同 (20.35)
例如，刚体作平面定轴转动，转轴 垂直于刚体的质量对称面时。
y r
vC
（ ）
（负号表 示）
例题
例 题 20-8
A
O
§20 动量原理
B
圆盘O半径为r，质量m，以角 速度转动，均质杆AB质量为 m，长为2r，滑块B质量为m， 在水平轨道内运动，A，B处为 铰接，某瞬时杆AB处于水平位 置，求此瞬时系统的动能，动 量，对O点的动量矩。
例题
例 题 20-8
0 , vA vC 故： 若取动点A为质点系的质心C时，rC
r LC LC
(20.30)
质点系对质心的动量矩，无论是在固定坐标系 还是在质心平移坐标系中计算都是相同的。
3.对惯性系中不同的A，O两点的动量矩之间关系
类比于力对不同两点的力矩之间的关系， 力对A，O两点之矩关系为 mA ( F ) mO ( F ) AO F 故质点系对不同的A，O两点的动量矩的关系为：
若一般平面运动刚体的运动平面为其质量对称面， 则 Cz 轴为刚体对点C的惯量主轴，即 J xz J yz 0 ， 上式变为 (20.37) LC J C
LC J C
LC 也可视为代数量
(20.37)
式中 J C为一般平面运动刚体对Cz的转动惯量。
LA LO AO p
n p mi vi i 1
（20.31）
注意
质点系对某点的动量矩不等 于质点系动量对该点之矩！ A
i 1 i 1
n n 即 LO ri mi vi rC p rC mi vi
z
y r
dm
定轴转动刚体对定点O的动量矩为 LO r vd m m r r d m r 2 r r d m m m x 2 y 2 z 2 k z xi y j z k d m m 2 2 xzdm i yz dm j x y dm k
§20 动量原理
A vA
O
vB
B
解：圆盘为定轴转动，滑块为 平动，杆为一般平面运动， 杆AB此瞬时为平动
vA vB r ()
1 1 2 1 2 2 T J m vA m vB O 系统该时刻的动能： 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 5 2 2 ( m r ) 2 m r m r 2 2 2 4
当平移刚体作平面曲线运动时对该平面内任一点的动量矩可视为代数量在转轴上任取一点o建立惯性参考空间中的直角坐标系oxyz使z轴与转轴重合则定轴转动刚体的角速度为设质量为的微元相对于点o的矢径为yzxzyzxz2034故定轴转动的刚体对转轴上任意点的动量矩矢量定轴转动的刚体对转轴上任意点的动量矩矢量一般不沿转轴的方向一般不沿转轴的方向
LO mv x y z
O
r
x m yvz zv y i mxvx xvz j m xvy yvx k Lx i Ly j Lz k (20.18)
mvx
mvy
mvz
y
x，y，z为质点的坐标， vy ， vx ， vz分别为质点的速度
Lx myvz zv y , Ly mxvx xvz , Lz mxvy yvx
(20.19) 质点动量对任意 l 轴之矩：
其中，质点动量对x，y，z轴之矩分别为：
0 Ll LO (mv ) l
其中O为l 轴上任意一点。
LO
z
v
v 在x，y，z轴上的投影。
LO mv
i x mvx
j y mvy
k z mvz
m yvz zv y i mxvx xvz j m xvy yvx k Lx i Ly j Lz k (20.18)