2015年全国中考数学试卷分类汇编专题28 解直角三角形

2015年全国中考数学试卷分类汇编
专题28 解直角三角形
一.选择题
1,(2015威海,第2题4分)
【答案】D
【解析】根据三角函数的定义,边AC=BCtan26其按键顺序正确的是
【备考指导】
本题考查了解直角三角形的知识,解答本题的关键是利用三角函数的知识解直角三角形,求解相关线段的长度,难度一般.
2.(2015·湖南省衡阳市,第12题3分)如图,为了测得电视塔的高度AB,在D处用高为1米的测角仪CD,测得电视塔
顶端A的仰角为30°,再向电视塔方向前进100米到达F处,又测得电视塔顶端A的仰角为60°,则这个电视塔的高度AB(单位:米)为( ).
A. B.51 C. D.101
3. (2015•浙江滨州,第12题3分)如图,在x轴的上方,直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋
转.若∠BOA的两边分别与函数､的图象交于B､A两点,则∠OAB大小的变化趋势为( )
A.逐渐变小
B.逐渐变大
C.时大时小
D.保持不变
【答案】D
考点:反比例函数,三角形相似,解直角三角形
5. (2015•绵阳第10题,3分)如图,要在宽为22米的九州大道两边安装路灯,路灯的灯臂CD 长2米,且与灯柱BC成120°角,路灯采用圆锥形灯罩,灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直,当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳,此时,路灯的灯柱BC高度应该设计为( )
A.(11﹣2)米
B.(11﹣2)米
C.(11﹣2)米
D.(11﹣4)米
考点:解直角三角形的应用..
分析:出现有直角的四边形时,应构造相应的直角三角形,利用相似求得PB､PC,再相减即可求得BC长.
解答:解:如图,延长OD,BC交于点P.
∵∠ODC=∠B=90°,∠P=30°,OB=11米,CD=2米,
∴在直角△CPD中,DP=DC•cot30°=2m,PC=CD÷(sin30°)=4米,
∵∠P=∠P,∠PDC=∠B=90°,
∴△PDC∽△PBO,
∴=,
∴PB===11米,
∴BC=PB﹣PC=(11﹣4)米.
故选:D.
点评:本题通过构造相似三角形,综合考查了相似三角形的性质,直角三角形的性质,锐角三角函数的概念.
6.(2015•山东日照,第10题4分)如图,在直角△BAD中,延长斜边BD到点C,使DC=BD,连
接AC,若tanB=,则tan∠CAD的值( )
A. B. C. D.
考点:解直角三角形..
分析:延长AD,过点C作CE⊥AD,垂足为E,由tanB=,即=,设AD=5x,则AB=3x,然后
可证明△CDE∽△BDA,然后相似三角形的对应边成比例可得:,进而可得CE=
x,DE=,从而可求tan∠CAD==.
解答:解:如图,延长AD,过点C作CE⊥AD,垂足为E,
∵tanB=,即=,
∴设AD=5x,则AB=3x,
∵∠CDE=∠BDA,∠CED=∠BAD,
∴△CDE∽△BDA,
∴,
∴CE=x,DE=,
∴AE=,
∴tan∠CAD==.
故选D.
点评:本题考查了锐角三角函数的定义,相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质,是基础知识要熟练掌握,解题的关键是:正确添加辅助线,将∠CAD放在直角三角形中.
7.(2015•山东聊城,第10题3分)湖南路大桥于今年5月1日竣工,为徒骇河景区增添了一道亮丽的风景线.某校数学兴趣小组用测量仪器测量该大桥的桥塔高度,在距桥塔AB底部50米的C处,测得桥塔顶部A的仰角为41.5°(如图).已知测量仪器CD的高度为1米,则桥塔AB 的高度约为( )
A.34米
B.38米
C.45米
D.50米
考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题..
分析:Rt△ADE中利用三角函数即可求得AE的长,则AB的长度即可求解.
解答:解:过D作DE⊥AB于E,
∴DE=BC=50米,
在Rt△ADE中,AE=DE•tan41,5°≈50×0.88=44(米),
∵CD=1米,
∴BE=1米,
∴AB=AE+BE=44+1=45(米),
∴桥塔AB的高度为45米.
点评:本题考查仰角的定义,注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键,注意数形结合思想的应用.
8(2015山东济宁,9,3分)如图,斜面AC的坡度(CD与AD的比)为1:2,AC=米,坡顶有一旗杆BC,旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连,若AB=10米,则旗杆BC的高度为( )
A.5米
B.6米
C. 8米
D. 米
【答案】A
=,则对角线3 .
考点:旋转的性质;等边三角形的性质;解直角三角形..
专题:计算题.
分析:先根据等边三角形的性质得AB=AC,∠BAC=60°,再根据旋转的性质得AD=AE=5,∠DAE=∠BNAC=60°,CE=BD=6,于是可判断△ADE为等边三角形,得到DE=AD=5;过E点作
EH⊥CD于H,如图,设DH=x,则CH=4﹣x,利用勾股定理得到52﹣x2=62﹣(4﹣x)2,解得x=,再计算出EH,然后根据正切的定义求解.
解答:解:∵△ABC为等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=60°,
∵△ABD绕A点逆时针旋转得△ACE,
∴AD=AE=5,∠DAE=∠BNAC=60°,CE=BD=6,
∴△ADE为等边三角形,
∴DE=AD=5,
过E点作EH⊥CD于H,如图,设DH=x,则CH=4﹣x,
在Rt△DHE中,EH2=52﹣x2,
在Rt△DHE中,EH2=62﹣(4﹣x)2,
∴52﹣x2=62﹣(4﹣x)2,解得x=,
∴EH==,
在Rt△EDH中,tan∠HDE===3,
即∠CDE的正切值为3.
故答案为:3.
= .
===,
故答案为.
= 6 .
===6,
:6.°
处的俯角为,B处的俯角为.如果此时直升机镜头
200(+1)
=CD=200,BD =200(+1)(
30°=2000×=1000.
测角仪忽略不计,≈1.414,,1.732)
=(=50(+1),
=,
Rt△ABD=,
=(
=50(+1)
所以建议你们先按再进行等号两边的乘除变化,这样
14.(2015•山东临沂,第22题7分)
小强从自己家的阳台上,看一栋楼顶部的仰角为30°,看这栋楼底部的俯角为60°,小强家与这栋楼的水平距离为42m,这栋楼有多高?
【答案】56m
∴BD = AD·tanα = 42×tan30°
= 42×= 14.
CD=AD tanβ=42×tan60°
=42.
∴BC=BD+CD=14+42
=56(m).
因此,这栋楼高为56m.
考点:解直角三角形
15. (2015辽宁大连,15,3分)如图,从一个建筑物的A处测得对面楼BC的顶部B的仰角为32°,底部C的俯角为45°,观测点与楼的水平距离AD为31cm,则楼BC的高度约为
_______m(结果取整数)｡(参考数据:sin32°≈0.5,cos32°≈0.8,tan32°≈0.6)
(第15题)
【答案】50
【解析】解:BC=BD+CD=AD×tan32°+AD×tan45°≈31×0.6+31×1=49.6≈50,故答案为50m.
16. (2015山东菏泽,16,6分)(1)如图,M､N为山两侧的两个村庄,为了两村交通方便,根据国家的惠民政策,政府决定打一直线涵洞.工程人员为了计算工程量,必须计算M､N两点之间的直线距离,选择测量点A､B､C,点B､C分别在AM､AN上,现测得AM=1千米､AN=1.8千米,AB=54米､BC=45米､AC=30米,求M､N两点之间的直线距离.
,
=x
∴x
=2﹣
=2﹣
=,
30°=12×=12.
=12.
=12(+1)
tan30°=,
解得,=,
∴AD=45,
∵在一楼房的底端A点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°,
∴在Rt△ACD中,
CD=AD•tan60°=45×=135米.
故答案为135米.
点评:本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角､俯角问题,要求学生能借助仰角､俯角构造直角三角形并解直角三角形.
三解答题
1. (2015•四川广安,第23题8分)数学活动课上,老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆AB 的高度,如图,老师测得升旗台前斜坡FC的坡比为i FC=1:10(即EF:CE=1:10),学生小明站在离升旗台水平距离为35m(即CE=35m)处的C点,测得旗杆顶端B的仰角为α,已知tanα=,升旗台高AF=1m,小明身高CD=1.6m,请帮小明计算出旗杆AB的高度.
考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题..
分析:首先根据题意分析图形,本题涉及到两个直角三角形,分别解可得BG与EF的大小,进而求得BE､AE的大小,再利用AB=BE﹣AE可求出答案.
解答:解:作DG⊥AE于G,则∠BDG=α,
易知四边形DCEG为矩形.
∴DG=CE=35m,EG=DC=1.6m
在直角三角形BDG中,BG=DG•×tanα=35×=15m,
∴BE=15+1.6=16.6m.
∵斜坡FC的坡比为i FC=1:10,CE=35m,
∴EF=35×=3.5,
∵AF=1,
∴AE=AF+EF=1+3.5=4.5,
∴AB=BE﹣AE=16.6﹣4.5=12.1m.
答:旗杆AB的高度为12.1m.
点评:本题考查俯角､仰角的定义,要求学生能借助俯角､仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形.
2. (2015•四川甘孜､阿坝,第18题7分)如图,某中学九年级数学兴趣小组测量校内旗杆AB的高度,在C点测得旗杆顶端A的仰角∠BCA=30°,向前走了20米到达D点,在D点测得旗杆顶端A的仰角∠BDA=60°,求旗杆AB的高度.(结果保留根号)
考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题..
分析:根据题意得∠C=30°,∠ADB=60°,从而得到∠DAC=30°,进而判定AD=CD,得到CD=20米,在Rt△ADB中利用sin∠ADB求得AB的长即可.
解答:解:∵∠C=30°,∠ADB=60°,
∴∠DAC=30°,
∴AD=CD,
∵CD=20米,
∴AD=20米,
在Rt△ADB中,
=sin∠ADB,
∴AB=AD×sin60°=20×=10米.
点评:此题主要考查了解直角三角形的应用,解题的关键是从题目中整理出直角三角形并正确的利用边角关系求解.
3.(2015·深圳,第20题分)小丽为了测旗杆AB的高度,小丽眼睛距地图1.5米,小丽站在C 点,测出旗杆A的仰角为30o,小丽向前走了10米到达点E,此时的仰角为60o,求旗杆的高度｡
【解析】
4.(2015·贵州六盘水,第25题12分)如图13,已知Rt△ACB中,∠C=90°,∠BAC=45°.
的延长线上截取AD=AB,并连接
=AC=x =x=(+1)
=∠=×45°=22.5°,
=AC=x
=x
=x=(+1)
===+1,
22.5°=+1.
B
C
要求大树的高度,需要构造直角三角形
G,并过点D
的长即可求解.
考点:解直角三角形的应用-方向角问题..
分析:首先根据题意可得PC⊥AB,然后设PC=x海里,分别在Rt△APC中与Rt△APB中,利用
正切函数求得出PC与BP的长,由PC+BP=BC=30×,即可得方程,解此方程求得x的值,再计算出BP,然后根据时间=路程÷速度即可求解.
解答:解:过点A作AP⊥BC,垂足为P,设AP=x海里.
在Rt△APC中,∵∠APC=90°,∠PAC=30°,∴tan∠PAC=,∴CP=AP•tan∠PAC=x.
在Rt△APB中,∵∠APB=90°,∠PAB=45°,∴BP=AP=x.
∵PC+BP=BC=30×,∴x+x=15,解得x=,
∴PB=x=,
∴航行时间:÷30=(小时).
答:该渔船从B处开始航行小时,离观测点A的距离最近.
点评:此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题,锐角三角函数的定义,准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键,注意数形结合思想的应用.
7. (2015•四川凉山州,第20题8分)如图,在楼房AB和塔CD之间有一棵树EF,从楼顶A处经过树顶E点恰好看到塔的底部D点,且俯角α为45°.从距离楼底B点1米的P点处经过树顶E点恰好看到塔的顶部C点,且仰角β为30°.已知树高EF=6米,求塔CD的高度.(结果保
留根号)
【答案】.
【解析】
试题分析:根据题意求出∠BAD=∠ADB=45°,进而根据等腰直角三角形的性质求得FD,在Rt △PEH中,利用特殊角的三角函数值分别求出BF,即可求得PG,在Rt△PCG中,继而可求出CG的长度.
试题解析:由题意可知∠BAD=∠ADB=45°,∴FD=EF=6米,在Rt△PEH中,∵tanβ=
,∴BF=,∴PG=BD=BF+FD=,在RT△PCG中,∵tanβ=,
∴CG=,∴CD=()米.
考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题.
8. (2015•四川成都,第17题8分)
如图,登山缆车从点A出发,途经点B后到达终点C.其中AB段与BC段的运行路程均为200m,且AB段的运行路线与水平面的夹角为30°,BC段的运行路线与水平面的夹角为42°,求缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离.(参考数据:sin42°≈0.67 ,cos42°≈0.74 , tan42°≈0.90)
的垂直上升的距离为,BD CE +()2000.50.67234m
⨯+=如图:
200m 200m 30°
42°B E
D A
∵∠PBM=90°﹣45°=45°,∠PAM=90°﹣60°=30°,AP=20海里,
∴PM=AP=10海里,∴∠BPM=∠PBM=45°,∴PM=BM=10海里,
AB=20海里,∴BP==10海里,
即小船到B码头的距离是10海里,A､B两个码头间的距离是20海里.
点评:本题考查了解直角三角形,含30度角的直角三角形性质的应用,能正确解直角三角形是解此题的关键,难度适中.
10. (2015•四川省内江市,第20题,9分)我市准备在相距2千米的M,N两工厂间修一条笔直的公路,但在M地北偏东45°方向､N地北偏西60°方向的P处,有一个半径为0.6千米的住宅小区(如图),问修筑公路时,这个小区是否有居民需要搬迁?(参考数据:≈1.41,≈1.73)
考点:解直角三角形的应用-方向角问题..
分析:根据题意,在△MNP中,∠MNP=30°,∠PMN=45°,MN=2千米,是否搬迁看P点到MN 的距离与0.6的大小关系,若距离大于0.6千米则不需搬迁,反之则需搬迁,因此求P点到MN 的距离,作PD⊥MN于D点.
解答:解:过点P作PD⊥MN于D
∴MD=PD•cot45°=PD,
ND=PD•cot30°=PD,
∵MD+ND=MN=2,
即PD+PD=2,
∴PD==﹣1≈1.73﹣1=0.73>0.6.
答:修的公路不会穿越住宅小区,故该小区居民不需搬迁.
=PE=x
﹣x
=9+3.
则BE=(3+3)米.
在直角△BEQ中,QE=BE=(3+3)=(3+)米.
∴PQ=PE﹣QE=9+3﹣(3+)=6+2≈9(米).
答:电线杆PQ的高度约9米.
点评:本题考查了仰角的定义,以及三角函数,正确求得PE的长度是关键.
13. (2015•浙江省台州市,第19题)如图,这是一把可调节座椅的侧面示意图,已知头枕上的点到调节器点O处的距离为80cm,AO与地面垂直,现调整靠背,把OA绕点O旋转35°到OA’处,求调整后点A’比调整前点A的高度降低了多少cm?(结果取整数)?
≈≈≈
(参考数据:sin35°0.57,cos35°0.82,tan35°0.70)
14. (2015•浙江嘉兴,第22题12分)小红将笔记本电脑水平放置在桌子上,显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°时,感觉最舒适(如图1),侧面示意图为图2;使用时为了散热,她在底板下面垫入散热架ACO＇后,电脑转到AO＇B＇位置(如图3),侧面示意图为图4.已知OA=OB=24cm,O＇C⊥OA于点C,O＇C=12cm.
(1)求∠CAO＇的度数.
(2)显示屏的顶部B＇比原来升高了多少?
(3)如图4,垫入散热架后,要使显示屏O＇B＇与水平线的夹角仍保持120°,则显示屏O＇B＇应绕点O＇按顺时针方向旋转多少度?
考点:解直角三角形的应用;旋转的性质..
分析:(1)通过解直角三角形即可得到结果;
(2)过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D,通过解直角三角形求得BD=OB•sin∠BOD=24×
=12,由C､O′､B′三点共线可得结果;
(3)显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°,求得∠EO′B′=∠FO′A=30°,既是显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°.
解答:解:(1)∵O′C⊥OA于C,OA=OB=24cm,
∴sin∠CAO′=,
∴∠CAO′=30°;
(2)过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D,
∵sin∠BOD=,
∴BD=OB•sin∠BOD,
∵∠AOB=120°,
∴∠BOD=60°,
=24×=12,
12=312,
12)
≈1.7)
25°==0.5,
==2
60°==,
=,
第二种方法:使路灯D向墙靠近.
点评:本题考查的是解直角三角形的知识,正确理解锐角三角函数的概念是解题的关键,注意在直角三角形中,边角之间的关系的运用.
18.(2015•甘肃武威,第22题6分)如图①所示,将直尺摆放在三角板上,使直尺与三角板的边分别交于点D,E,F,G,已知∠CGD=42°
(1)求∠CEF的度数;
(2)将直尺向下平移,使直尺的边缘通过三角板的顶点B,交AC边于点H,如图②所示,点H,B 在直尺上的度数分别为4,13.4,求BC的长(结果保留两位小数).
(参考数据:sin42°≈0.67,cos42°≈0.74,tan42°≈0.90)
考点:解直角三角形.
分析:(1)先根据直角三角形的两锐角互为求出∠CDG的度数,再根据两直线平行,同位角相等求出∠DEF,然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求出∠EFA;
(2)根据度数求出HB的长度,再根据∠CBH=∠CGD=42°,利用42°的余弦值进求解.
解答:解:(1)∵∠CGD=42°,∠C=90°,
∴∠CDG=90°﹣42°=48°,
∵DG∥EF,
∴∠CEF=∠CDG=48°;
(2)∵点H,B的读数分别为4,13.4,
∴HB=13.4﹣4=9.4(m),
∴BC=HBcos42°≈9.4×0.74≈6.96(m).
答:BC的长为6.96m.
点评:本题考查了解直角三角形与平行线的性质,直角三角形两锐角互余的性质,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,综合性较强,但难度不大,仔细分析图
形并认真计算即可.
19.(2015•福建泉州第23题9分)如图,在平面直角坐标系中,点A(,1)､B(2,0)､O(0,0),反比例
函数y=图象经过点A.
(1)求k的值;
(2)将△AOB绕点O逆时针旋转60°,得到△COD,其中点A与点C对应,试判断点D是否在该反比例函数的图象上?
解:(1)∵函数y=的图象过点A(,1),
∴k=xy=×1=;
(2)∵B(2,0),
∴OB=2,
∵△AOB绕点O逆时针旋转60°得到△COD,
∴OD=OB=2,∠BOD=60°,
如图,过点D作DE⊥x轴于点E,
DE=OE•sin60°=2×=,
OE=OD•cos60°=2×=1,
∴D(1,),
由(1)可知y=,
∴当x=1时,y==,
∴D(1,)在反比例函数y=的图象上.
20.(2015湖北鄂州第21题9分)如图,某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度.已知小亮站着测量,眼睛与地面的距离(AB)是1.7米,看旗杆顶部E的仰角为30°;小敏蹲着测量,眼睛与地面的距离(CD)是0.7米,看旗杆顶部E的仰角为45°. 两人相距5米且位于旗杆同侧(点B､D､F在同一直线上).
(1)(6分)求小敏到旗杆的距离DF.(结果保留根号)
(2)(3分)求旗杆EF的高度.(结果保留整数.参考数据:,)
【答案】(1)4+米.(2)10米.
考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题.
21.(2015湖南邵阳第24题8分)如图,某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF 来测量操场旗杆AB的高度,他们通过调整测量位置,使斜边DF与地面保持平行,并使边DE 与旗杆顶点A在同一直线上,已知DE=0.5米,EF=0.25米,目测点D到地面的距离DG=1.5米,到旗杆的水平距离DC=20米,求旗杆的高度.
考点:相似三角形的应用..
则=,
∴=,
,tan70°=2.75,sin70°=0.94)
°≈,sin°≈,tan°≈)
考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题..
分析:根据正切函数的定义,可得方程①②,根据代入消元法,可得答案.
解答:解:在Rt△ABD中,tan∠ADC=tan64°==2,
CD=①.
在Rt△ABE中tan∠ABE=tan53°==,
BE=AB②.
BE=CD,得===AB,
解得AB=70cm,
AC=AB+BC=AB+DE=70+35=105cm.
点评:本题考查了解直角三角形的应用,利用正切函数得出方程①②是解题关键.
24.(2015•江苏南京,第23题8分)如图,轮船甲位于码头O的正西方向A处,轮船乙位于码头O的正北方向C处,测得∠CAO=45°,轮船甲自西向东匀速行驶,同时轮船乙沿正北方向匀速行驶,它们的速度分别为45km/h和36km/h,经过0.1h,轮船甲行驶至B处,轮船乙行驶至D处,测得∠DBO=58°,此时B处距离码头O多远?(参考数据:sin58°≈0.85,cos58°≈0.53,tan58°≈1,60)
【答案】13.5km.
=,∴
=, =.
25.(2015•山东莱芜,第20题9分)
2009年首届中国国际航空体育节在莱芜雪野举办,期间在市政府广场进行了热气球飞行表演.如图,有一热气球到达离地面高度为36米的A处时,仪器显示正前方一高楼顶部B的仰角是37°,底部C的俯角是60°.为了安全飞越高楼,气球应至少再上升多少米?(结果精确到0.1米)
(参考数据:)
【答案】15.6米
【解析】
试题分析:过A作BC的垂线,设垂足为D.BD即为所求的高度.在Rt△ADC中,运用三角函数定义求出AD的值;进而可在Rt△ABD中,求出BD的值.
试题解析:解:过A作AD⊥CB,垂足为点D.
在Rt△ADC中,∵CD=36,∠CAD=60°.
∴AD=≈20.76.
在Rt△ADB中,∵AD≈20.76,∠BAD=37°.
=≈
【答案】233m
【解析】
D
考点:解直角三角形的应用..
专题:应用题.
分析:作FH⊥AB于H,DQ⊥AB于Q,如图2,FH=42cm,先在Rt△BFH中,利用∠FBH的正弦计算出BF≈48.28,则BC=BF+CF=≈90.3(cm),再分别在Rt△BDQ和Rt△ADQ中,利用正
切定义用DQ表示出BQ和AQ,得BQ=,AQ=,则利用BQ+AQ=AB=43得到
+=43,解得DQ≈56.999,然后在Rt△ADQ中,利用sin∠DAQ的正弦可求出AD的长.
解答:解:作FH⊥AB于H,DQ⊥AB于Q,如图2,FH=42cm,
在Rt△BFH中,∵sin∠FBH=,
∴BF=≈48.28,
∴BC=BF+CF=48.28+42≈90.3(cm);
在Rt△BDQ中,∵tan∠DBQ=,
∴BQ=,
在Rt△ADQ中,∵tan∠DAQ=,
∴AQ=,
∵BQ+AQ=AB=43,
∴+=43,解得DQ≈56.999,
在Rt△ADQ中,∵sin∠DAQ=,
∴AD=≈58.2(cm).
答:两根较粗钢管AD和BC的长分别为58.2cm､90.3cm.。