江苏省盐城市2013届高三数学考前突击精选模拟试题2苏教版

江苏省盐城市2013届高三考前突击精选模拟试卷数学卷2
一. 填空题 (每题5分,计70分)
1. 已知集合{}
R x x y y A ∈==,sin ，集合{
}
R x x y y B ∈=
=,，
则=B A . 2. “0a =”是“复数a bi +(,)a b R ∈是纯虚数”的 条件 3. 将函数sin(2)3
y x π
=-
的图象先向左平移
3
π
，然后将所得图象上所有的点的横坐标变
为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为_______________
4. 若抛物线)0(22
>-=p px y 的焦点与双曲线2213
x y -=的左焦点重合,则p 的
值 .
5. 函数()2f x x lnx =--在定义域内零点的个数为
6. 已知直线1+=kx y 与曲线b ax x y ++=3
切于点（1, 3），则b 的值为
7. 若规定
a b ad bc c d
=-，则不等式3
11log 01x
<的解集是
8. 若平面向量a ,b 满足1a b +=,a b +平行于x 轴，(2,1)b =-，则a = 9．在ABC △中，AB BC =，7
cos 18
B =-．若以A ，B 为焦点的椭圆经过点
C ，则该椭圆的离心率e = .
10. 直线y x =
+与圆心为D 的圆22((1)3x y +-=交于A 、B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为 11.如果函数()2sin (0)f x x ωω=>在22,33ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上单调递增，则ω的最大值为 12. 等差数列{}n a 中，
n S 是其前n 项和，12008a =-，20072005
220072005
S S -=，则2008S =_____． 13 .△ABC 满足23AB AC ⋅=︒=∠30BAC ，设M 是△ABC 内的一点(不在边界上)，定
义),,()(z y x M f =，其中z y x ,,分别表示△MBC ,△MCA ,△MAB 的面积，若
)2
1
,,()(y x M f =，则14x y +的最小值为
14. 设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2010f =，且对任意的x R ∈，满足
(2)()32,(6)()632x x f x f x f x f x +-≤⋅+-≥⋅，则(2010)f =
二. 解答题 (解答应给出完整的推理过程,否则不得分)
15. （14分）已知全集,U R =集合{
}
062
<--=x x x A ，{
}
0822
>-+=x x x B ，
{}
03422<+-=a ax x x C ，若()U C A B C ⊆，求实数a 的取值范围.
16. （14分）如图，在直角坐标系xOy 中，锐角△ABC 内接于圆.122=+y x 已知BC 平行于x 轴，AB 所在直线方程为)0(>+=k m kx y ，记角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c 。

（1）若B C A b
c a ac k 2sin 2cos ,2322
22++-+=
求的值； （2）若),2
3(),2
0(,2π
βπβπ
αα<
<=∠<
<=∠=xOB xOA k 记求)sin(βα+的值。

17.（15分）某公司有价值a 万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进
行技术改造，从而提高产品附加值，改造需要投入，假设附加值y 万元与技术改造投
入x 万元之间的关系满足：
①y 与a x -和x 的乘积成正比； ②2
a x =时，2
y a =； ③02()
x
t a x ≤
≤-，其中为常数，且[0,1]t ∈。

求：（1）设()y f x =，求()f x 表达式，并求()y f x =的定义域； （2）求出附加值y 的最大值，并求出此时的技术改造投入。

18. （15分）已知椭圆的中心为坐标原点O ，椭圆短轴长为2，动点(2,)M t (0)t >在椭
圆的准线上。

（1）求椭圆的标准方程；
（2）求以OM 为直径且被直线3450x y --=截得的弦长为2的圆的方程；
（3）设F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，
求证：线段ON 的长为定值，并求出这个定值。

19. （16分）已知函数2
()ln f x x x =，
（1）判断函数)(x f 的奇偶性； （2）求函数)(x f 的单调区间； （3）若关于x 的方程1f x kx =-()有实数解，求实数k 的取值范围．
20. （16分）已知数列{}n a 满足,3,121
==a a 且2(12cos )sin
,,2
2
n n n n a a n N π
π
*+=++∈ （1）求21()k a k N +-∈；
（2）数列{},{}n n y b 满足
2111
,n n y a b y -==，且2
n ≥当时
222
2
121111(
)n n n b y y y y -=+++
．
证明：当2n ≥时，
1222
1
(1)n n b b n n n
+-=+； （3）在（2）的条件下，试比较123
111
1
(1)(1)(1)(1)n
b b b b +⋅+⋅+⋅⋅
+
与4的大小关系．
理科加试
21．已知(n x +
的展开式中前三项的系数成等差数列．
（1）求n 的值；
（2）求展开式中系数最大的项．
22．“抽卡有奖游戏”的游戏规则是：盒子中装有8张形状大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“奥运福娃”或“奥运会徽”，要求参加游戏的4人从盒子中轮流抽取卡片，一次抽2张，抽取后不放回，直到4人中一人一次抽到2张“奥运福娃” 卡才能得到奖并终止游戏．
（1）游戏开始之前，一位高中生问：盒子中有几张“奥运会徽” 卡？主持人说：若从盒中任抽2张卡片不都是“奥运会徽” 卡的概率为25
28
．请你回答有几张“奥运会徽” 卡呢？
（2）现有甲、乙、丙、丁4人参加游戏，约定甲、乙、丙、丁依次抽取．用ξ表示4人中
的某人获奖终止游戏时总共抽取卡片的次数，求ξ的概率分布及ξ的数学期望．
23．已知曲线C 的方程2
2332y
x x =-，设y tx =，为参数，求曲线C 的参数方程．
24．已知抛物线C 的顶点在原点, 焦点为F (2, 0). （1）求抛物线C 的方程；
（2）过)0,1(-N 的直线交曲线C 于,A B 两点，又AB 的中垂线交y 轴于点(0,)D t ，
求的取值范围．
参考答案
一.填空题(每题5分,计70分) 1.[]0,1 2. 必要不充分 3.sin()3
y x π
=+
4. 4
5. 2
6. 3
7. (1,2)
8. ()1,1-或()1,3- 9． 38 10. 43π 11. 3
4。

12. -2008 13 .18。

14.
201022009+
二.解答题(解答应给出完整的推理过程,否则不得分)
15. 解：{}
23,A x x B =-<<={}4,2x x x <->或，A B ⋃={}
4,2x x x <->-或 {}
()42U C A B x x ⋃=-≤≤-，而{}
()(3)0C x x a x a =--
<7分
（1）当0a >时，{}
3C x a x a =<<，显然不成立
9分
（2）当0a =时，C =∅，不成立
11分
（3）当0a <时，{}
3C x a x a =<<，要使()U C A B C ⋃⊆，只要34
2
a a <-⎧⎨
>-⎩，即
4
23
a -<<-。

14分
16.解：（1） 变式得：,3
1
sin ,2cos sin 3
2
22=-+=B b c a ac B B 解得 ……4分 原式18
2
29cos sin 22cos 12sin 2sin 2+=
+-=+=B B B B B ； …………7分 （2）解法一：∠AOB=βα-，作OD ⊥AB 于D ，
11
,tan ,2222OD xOD k k βααβαβα-++∴∠=+=∴==-
=-………11分
2
2tan
42sin().5
1tan 2
αβαβαβ++==-++ 14分
22222112212121212121212121
,5410
241
(,),(,),,.55
sin()sin cos cos sin (2)(2)4
4()145
x y x mx m y x m
m m A x y B x y x x x x y x x y x m x x x m x x m x x αβαβαβ⎧+=++-=⎨=+⎩-+=-=+=+=+=+++=++=-
解法二 :设分
17.解：（1）设()y k a x x =-，当2
a x =
时，2
y a =，可得：4k =，∴4()y a x x =- ∴定义域为2[0,
]12at
t
+，为常数，且[0,1]t ∈。

………………7分 （2）4()y a x x =-224()2
a
x a =--+
当2122at a t ≥+时，即112t ≤≤，2a x =时，2max y a = 当2122at a t <+，即102t ≤<，4()y a x x =-在2[0,]12at t
+上为增函数 ∴当212at x t
=+时，2max 28(12)a t y t =+ ……………………14分
∴当
112t ≤≤，投入2
a
x =时，附加值y 最大，为2a 万元； 当102t ≤<，投入212at
x t
=+时，附加值y 最大，为22
8(12)a t t +万元15分
18. 解：（1）由22b =，得1b = ……………1分
又由点M 在准线上，得22a c =，故2
12c c
+=，1c ∴=
从而a =…4分
所以椭圆方程为2
212
x y += ……………5分
（2）以OM 为直径的圆的方程为2
2
2(1)()124
t t x y -+-=+
其圆心为(1,)2
t
,
半径r =……………7分 因为以OM 为直径的圆被直线3450x y --=截得的弦长为2 所以圆心到直线3450x y --=
的距离d =
2
t
=
……………9分
所以
325
5
2
t t
--=
，解得4t = 所求圆的方程为2
2
(1)(2)5x y -+-= ……………10分 （3）方法一：由平几知：2ON OK OM =⋅ 直线OM ：2t y x =
，直线FN ：2
(1)y x t
=-- ……………12分 由22(1)t y x y x t ⎧
=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩
得244K x t =
+2224(1)2244K M t ON t ∴==+⋅⋅=+
所以线段ON。

……………15分 方法二、设00(,)N x y ，则
000000(1,),(2,)(2,),(,)
FN x y OM t MN x y t ON x y =-==--=
0000,2(1)0,22FN OM x ty x ty ⊥∴-+=∴+=
又
2200000000,(2)()0,22MN ON x x y y t x y x ty ⊥∴-+-=∴+=+=
所以，ON =
=为定值。

19. 解：（1）函数)(x f 的定义域为{R x x ∈|且0≠x } ………………… 1分
)(ln ||ln )()(22x f x x x x x f ==--=-∴)(x f 为偶函数 …………… 4分
（2）当0>x 时，)1ln 2(1
ln 2)(2+⋅=⋅+⋅='x x x
x x x x f ………………… 5分 若2
1
0-<<e
x ，则0)(<'x f ，)(x f 递减； 若2
1->e x ， 则0)(>'x f ，)(x f 递增．
再由)(x f 是偶函数，得)(x f 的 递增区间是)0,(2
1
--e
和),(2
1∞+-
e
；
递减区间是),0(2
1-
e
和)
,(2
1---∞e 9分
(3)由1)(-=kx x f ，得：k x
x x =+
1
||ln ……………… 10分 令=)(x g x x x 1
||ln +，当0>x ，=')(x g 2
221ln 11ln x x x x x -+=-+ ………12分
显然0)1(='g ，10<<x 时，0)(<'x g ，↓)(x g ，1>x 时，0)(>'x g ，↑)(x g ∴0>x 时，1)1()(min ==g x g ………………… 14分 又)()(x g x g -=-，)(x g ⇒为奇函数，∴0<x 时，1)1()(max -=-=g x g ∴)(x g 的值域为（－∞，－1]∪[1，＋∞） ∴k 的取值范围是（－∞，－1]∪[1，＋∞）．16分
20. （1）设21,n k k N +
=-∈ 由212121(21)(21)(12cos
)sin 122
k k k k k a a a ππ
+----=++=+ 21211k k a a +-⇒-=，∴当k N +∈时，数列21{}k a 为等差数列．
∴211(1)1k a a k k -=+-⋅=
……4分
（2）证：21n n y a n -==当2n ≥时， 由2222
12
1
11
1
(
)n n n b y y y y -=+++
，得2222
12
1
11
1n n n b y y y y
-=+++
，
即
222
211112(1)n b n n =+++
-……① ∴1222
2
11
1
(1)12n b n n +=++
+
+……② ②式减①式，有
1222
1
(1)n n b b n n n
+-=+，得证． 8分
（3）解：当1n =时， 11124b +
=<；当2n =时， 12115
(1)(1)244
b b ++=⨯<， 由（2）知，当2n ≥时，2
1222
111(1)(
1)n n n n b b b n n n b n ++++=⇒=
++ 10分
∴当3n ≥时，123
1111
(1)(1)(1)(1)n
b b b b +
⋅+⋅+⋅⋅+
3
121231111n n b b b b b b b b ++++=
⋅⋅⋅⋅
3
1
121234
11111(1)n n n
b b b b b b b b b b -++++=⋅⋅⋅⋅⋅
⋅+ 22
22122222
222
123(1)11
11
22[1]434(1)23
(1)n n n b n n n n
+-=⋅⋅⋅⋅
⋅=++++
++-
∵
21111(2)(1)1n n n n n n
<=-≥--， ∴上式1
111112
2[1(1)()(
)]2(2)442
23
1n n n n
<+-+-++-=-=-<-， ∴123
111
1
(1)(1)(1)(1)4n
b b b b +
⋅+⋅+⋅⋅+
<． 16分
21． 解：（1）由题设，得 02
111C C 2C 42
n n n +⨯=⨯⨯，
即2980n n -+=，解得n ＝8，n ＝1（舍去）． （2）设第r ＋1的系数最大，则188
11881
11C C 2211C C .22r
r r r r r r r ++--⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥，≥
即1
182(1)
11.291
r r r ⎧⎪-+⎪⎨⎪⎪-⎩≥，≥ 解得r ＝2或r ＝3． 所以系数最大的项为5
37T x =，92
47T x =．
22．解：（1）设盒子中有“会徽卡”n 张，依题意有，28
25
1282
=-C C n
解得n=3 即盒中有“会徽卡”3张．
（2）因为ξ表示某人一次抽得2张“福娃卡”终止时，所有人共抽取了卡片的次数，
所以ξ的所有可能取值为1，2，3，4， 14
5
)1(2825===C C P ξ；
22112
35354222286862
(2)7
C C C C C P C C C C ξ⋅==+=
； 21111112222113153535342424
222222222
8648648643(3)14
C C C C C C C C C C C C C P C C C C C C C C C ξ⋅⋅⋅⋅==++=； 111111235
132422222
86421
(4)7
C C C C C C C P C C C C ξ⋅⋅⋅===， 4
ξ∴的数学期望为7
1571414337221451=⨯+⨯+⨯+⨯
=ξE 。

23．解：将y tx =代入22332y x x =-，
得222332t x x x =-，即32223x t x =-()． 当 x =0时，y =0；
当0x ≠时， 2
32t x -=．
从而3
32t t y -=．
∵原点(0,0)也满足233232
t x t t y ⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩,， ∴曲线C 的参数方程为2
3
3232
t x t t y ⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩,（为参数）． 24．解：（1）设抛物线方程为px y 22
=，则22
=p
，4=∴p 所以，抛物线的方程是2
8y x =．
（2）直线的方程是(1)y k x =+，联立2
(1),
8.
y k x y x =+⎧⎨
=⎩消去x 得2880ky y k -+=，
显然0k ≠，由264320k ∆=->，得0||k <<．
由韦达定理得，12128
,8y y y y k
+=
=， 所以12122822y y x x k k ++=-=-，则AB 中点E 坐标是244
(1,)k k
-，
由 1DE k k ⋅=-可得 32340k t k -
-=， 所以，3
43t k k =
+，令1x k =，则343t x x =+
，其中||
x > 因为21230t x '=+>，所以函数343t x x
=+是在(,)-∞+∞上增函数． 所以，的取值范围是52
(,(
,)2
-∞+∞．。