2016中考复习四边形综合题

四边形综合题
1．在△ABC中，AB=AC，点F是BC延长线上一点，以CF为边，作菱形CDEF，使菱形CDEF与点A在BC的同侧，连接BE，点G是BE的中点，连接AG、DG．
（1）如图①，当∠BAC=∠DCF=90°时，直接写出AG与DG的位置和数量关系；
（2）如图②，当∠BAC=∠DCF=60°时，试探究AG与DG的位置和数量关系，
（3）当∠BAC=∠DCF=α时，直接写出AG与DG的数量关系．
2．如图，在菱形ABCD中，M，N分别是边AB，BC的中点，MP⊥AB交边CD于点P，连接NM，NP．（1）若∠B=60°，这时点P与点C重合，则∠NMP=度；
（2）求证：NM=NP；
（3）当△NPC为等腰三角形时，求∠B的度数．
3．菱形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，∠MON+∠BCD=180°，∠MON绕点O旋转，射线OM交边BC于点E，射线ON交边DC于点F，连接EF．
（1）如图1，当∠ABC=90°时，△OEF的形状是；
（2）如图2，当∠ABC=60°时，请判断△OEF的形状，并说明理由；
（3）在（1）的条件下，将∠MON的顶点移到AO的中点O′处，∠MO′N绕点O′旋转，仍满足
∠MO′N+∠BCD=180°，射线O′M交直线BC于点E，射线O′N交直线CD于点F，当BC=4，且=时，直接写出线段CE的长．
4．如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，
（1）求证：四边形AECF为平行四边形；
（2）若△AEP是等边三角形，连结BP，求证：△APB≌△EPC；
（3）若矩形ABCD的边AB=6，BC=4，求△CPF的面积．
5．如图，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），连接AP，过点B作BQ⊥AP交CD 于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′，延长QC′交BA的延长线于点M．
（1）试探究AP与BQ的数量关系，并证明你的结论；
（2）当AB=3，BP=2PC，求QM的长；
（3）当BP=m，PC=n时，求AM的长．
6．如图，菱形ABCD中，点P是CD的中点，∠BCD=60°，射线AP交BC的延长线于点E，射线BP交DE于点K，点O是线段BK的中点．
（1）求证：△ADP≌△ECP；
（2）若BP=n•PK，试求出n的值；
（3）作BM丄AE于点M，作KN丄AE于点N，连结MO、NO，如图2所示，请证明△MON是等腰三角形，并直接写出∠MON的度数．
7．在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O；在Rt△PMN中，∠MPN=90°．
（1）如图1，若点P与点O重合且PM⊥AD、PN⊥AB，分别交AD、AB于点E、F，请直接写出PE与PF的数量关系；
（2）将图1中的Rt△PMN绕点O顺时针旋转角度α（0°＜α＜45°）．
①如图2，在旋转过程中（1）中的结论依然成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
②如图2，在旋转过程中，当∠DOM=15°时，连接EF，若正方形的边长为2，请直接写出线段EF的长；
③如图3，旋转后，若Rt△PMN的顶点P在线段OB上移动（不与点O、B重合），当BD=3BP时，猜想此时PE与PF的数量关系，并给出证明；当BD=m•BP时，请直接写出PE与PF的数量关系．
8．在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在射线CD上（与点C、D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于H，连接AH，PH．
（1）若点P在线段CD上，如图1．
①依题意补全图1；
②判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明；
（2）若点P在线段CD的延长线上，且∠AHQ=152°，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路．（可以不写出计算结果）
9．如图①，∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠QPN=α，将∠QPN绕点P旋转，旋转过程中∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重
合）．
（1）如图①，当α=90°时，DE，DF，AD之间满足的数量关系是；
（2）如图②，将图①中的正方形ABCD改为∠ADC=120°的菱形，其他条件不变，当α=60°时，（1）中的结论变为DE+DF=AD，请给出证明；
（3）在（2）的条件下，若旋转过程中∠QPN的边PQ与射线AD交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明．
10．如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ．
（1）如图a，求证：△BCP≌△DCQ；
（2）如图，延长BP交直线DQ于点E．
①如图b，求证：BE⊥DQ；
②如图c，若△BCP为等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由．
11．已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=12cm，BD=16cm．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？
（2）设四边形APFE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40？若存在，求出t的值，并求出此时P，E两点间的距离；若不存在，请说明理由．
12．已知菱形ABCD的边长为1，∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交DC、CB于点E、F．
（1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点，求证：菱形ABCD对角线AC、BD的交点O即为等边△AEF的外心；
（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动，记等边△AEF的外心为P．①猜想验证：如图2，猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；②拓展运用：如图3，当E、F分别是边DC、CB的中点
时，过点P任作一直线，分别交DA边于点M，BC边于点G，DC边的延长线于点N，请你直接写出
的值．
13．已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAC=∠D，点E、F分别在BC、CD上，且∠AEF=∠ACD．
（1）如图1，若AB=BC=AC，求证：AE=EF；
（2）如图2，若AB=BC，（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论；
（3）如图3，若AB=kBC，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出AE与EF 之间的数量关系，并证明．
14．正方形ABCD的边长为4cm，点E在边AB上，将线段AE绕点E顺时针旋转α°（0＜α＜90）得线段EF，以EF为边在EF右侧作正方形EFGH；
（1）如图①，分别连接线段AF、FH、AH，AH交EF于点I；
①求证∠FAH的度数是一个常数；
②求证：2AE2=AH•IH．
（2）如图②，若α=60，点E为AB的中点，在直线AG上是否存在一点J，使△EBJ的周长最小？若存在，求出△EBJ的最小周长；若不存在，说明理由．
（3）如图③，若α=45，点E从A出发，按1cm/s的速度沿AB方向运动，直至点C落在GH上停止运动，设点E的运动时间为t（t＞0），正方形EFGH与正方形ABCD重叠部分的面积为S，请用含t的代数式表示S．
15．请你认真阅读下面的小探究系列，完成所提出的问题．
（1）初步探究：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD边AB、AD上，DE⊥CF于点P，小芳看到该图后，发现DE=CF，这是因为∠EDA和∠FCD都是∠EDC的余角，就会由ASA判定得出△ADE≌△DCF．
（2）类比发现：小芳进一步思考，如果四边形ABCD是矩形，如图（2），且DE⊥CF于点P，她发现，
请你替她完成证明；
（3）拓展延伸：如图（3），若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EPC满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论．
16．如图1，在矩形ABCD中，点E为矩形的边CD上任意一点，点P为线段AE的中点，连接BP并延长交边AD于点F，点M为边CD上一点，连接FM，且∠DMF=∠ABF．
（1）若AD=2，DE=1，求AP的长；
（2）求证：PB=PF+FM；
（3）若矩形ABCD改为□ABCD，如图2，（2）中的结论成立吗？若成立，请证明；不成立，说明理由．
17．在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC=60°，P是DF的中点，连接PG、PC．
（1）如图1，当点G在BC边上时，猜想PG与PC的关系，并证明．（提示：延长GP交CD于点E）
（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段PC、PG还满足（1）中的结论吗？写出你的猜想，并给与证明；
（3）如图3，当点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的关系，直接写出你猜想．
18．问题情境：小彬、小颖和小明对一道教学问题进行研究．
已知，如图1，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是线段OC上一点，过点A作BE的垂线，交线段OB于点G，垂足为点F，易知：OG=OE．
变式探究：
分析完图1之后，小彬和小颖分别对此进行了研究，并提出了下面两个问题，请回答：
（1）小彬：如图2，将图1中的点E改为线段OC延长线上的一点，过点A作BE 垂线，交OB的延长线于点G，垂足为点F．求证：OG=OE．
（2）小颖：如图3，将图中的“正方形ABCD”改为“菱形ABCD”，且∠ABC=60°，其余条件不变，试求
的值．
拓展延伸：
（3）小明解决完上述问题后，又提出了如下问题：如图4，将图3中的“∠ABC=60°”改为“∠ABC=α”，并
且点E，G分别在OC，OB的延长线上，其余条件不变，直接用含“α”的式子表示的值．
19．已知矩形ABCD，AB=4，BD=2．现有另一个与矩形ABCD相似矩形EFGH，相似比为2：1．最初矩形EFGH的GH边放置在∠BCD的平分线处（如图1），现将矩形EFGH 沿着FG作一条直线l，再连接
AH、BH、DH、BE，设BC与EH的交点为M，CD与GH的交点为N（若没有交点则不计），回答下列问题．
（1）如图1，当矩形ABCD矩形EFGH都不动时，求出矩形ABCD与矩形EFGH重合部分三角形的面积．（2）如图2，现矩形ABCD不动，矩形EFGH沿直线l开始出发，以1m/s的速度移动．设移动时间为t，矩形ABCD与矩形EFGH重合部分的面积为S，求出S关于t的函数关系式，并写出相应的取值范围，并且求出当t为多少时，S为最大值？
（3）如图3，矩形ABCD仍然不动，矩形EFGH运动一段时间后停止在某一个点，并且此时△CEH为等腰三角形，这时，在△AHC中，AH=HC成立吗？请说明理由，并求出此时S和t的值．
20．在菱形ABCD中，∠A=60°，以D为顶点作等边三角形DEF，连接EC，点N、P分别为EC、BC的中点，连接NP
（1）如图1，若点E在DP上，EF与CD交于点M，连接MN，CE=3，求MN的长；
（2）如图2，若M为EF中点，求证：MN=PN；
（3）如图3，若四边形ABCD为平行四边形，且∠A=∠DBC≠60°，以D为顶点作三角形DEF，满足DE=DF 且∠EDF=∠ABD，M、N、P仍分别为EF、EC、BC的中点，请探究∠ABD与∠MNP的和是否为一个定值，并证明你的结论．
21．已知矩形ABCD的一条边AD=8，E是BC边上的一点，将矩形ABCD沿折痕AE折叠，使得顶点B 落在CD边上的点P处，PC=4（如图1）．
（1）求AB的长；
（2）擦去折痕AE，连结PB，设M是线段PA的一个动点（点M与点P、A不重合）．N是AB沿长线上的一个动点，并且满足PM=BN．过点M作MH⊥PB，垂足为H，连结MN交PB于点F（如图2）．
①若M是PA的中点，求MH的长；
②试问当点M、N在移动过程中，线段FH的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段FH的长度．
22．如图1，▱ABCD中，AE⊥BC于E，AE=AD，EG⊥AB于G，延长GE、DC交于点F，连接AF．（1）若BE=2EC，AB=，求AD的长；
（2）求证：EG=BG+FC；
（3）如图2，若AF=5，EF=2，点M是线段AG上的一个动点，连接ME，将△GME沿ME翻折得△G′ME，连接DG′，试求当DG′取得最小值时GM的长．
23．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，∠CAB的平分线分别交BD，BC于点E，F，作BH⊥AF 于点H，分别交AC，CD于点G，P，连接GE，GF．
（1）求证：△OAE≌△OBG；
（2）试问：四边形BFGE是否为菱形？若是，请证明；若不是，请说明理由；
（3）试求：的值（结果保留根号）．
24．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），连接AC1、BD1，AC1与BD1交于点P．
（1）如图1，若四边形ABCD是正方形．
①求证：△AOC1≌△BOD1．
②请直接写出AC1与BD1的位置关系．
（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，AC=5，BD=7，设AC1=kBD1．判断AC1与BD1的位置关系，说明理由，并求出k的值．
（3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，AC=5，BD=10，连接DD1，设AC1=kBD1．请直接写出k 的值和AC12+（kDD1）2的值．
25．已知，如图1，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，矩形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD 的边AB，CD，DA上，AH=2，连接CF．
（1）如图2，当四边形EFGH为正方形时，求CF的长和△FCG的面积；
（2）如图1，设AE=x，三角形FCG的面积=y，求与x之间的函数关系式与y的最大值；
（3）当△CGF是直角三角形时，求x和y值．
26．如图，点E是矩形ABCD的边BC的中点，连接DE交AC于点F．
（1）如图①，求证：AF=2CF；
（2）如图②，作DG⊥AC于G，试探究：当AB与AD满足什么关系时，使得AG=CF成立？并证明你的结论；
（3）如图③，以DE为斜边在矩形ABCD内部作等腰Rt△DEM，交对角线BD于N，连接AM，若AB=AD，请直接写出的值．
27．数学课上，张老师出示了问题1：如图1，四边形ABCD是正方形，BC=2，对角线交点记作O，点E 是边BC延长线上一点．联结OE交CD边于F，设CE=x，CF=y，求y关于x的函数解析式及其定义域．
（1）经过思考，小明认为可以通过添加辅助线﹣﹣过点O作OM⊥BC，垂足为M求解．你认为这个想法可行吗？请写出问题1的答案及相应的推导过程；
（2）如果将问题1中的条件“四边形ABCD是正方形，BC=2”改为“四边形ABCD是平行四边形，BC=3，CD=2，”其余条件不变（如图2），请直接写出条件改变后的函数解析式；
（3）如果将问题1中的条件“四边形ABCD是正方形，BC=2”进一步改为：“四边形ABCD是梯形，AD∥BC，BC=4，CD=3，AD=2”其余条件不变（如图3），请你写出条件再次改变后y关于x的函数解析式以及相应的推导过程．
28．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC上的两点，若EF=BE+DF．
（1）求证：∠EAF=45°；
（2）作∠EFC的平分线FG交AE的延长线于G，连接CG，如图2．求证：BC﹣CF=CG；
（3）若F是DC的中点，AB=4，如图3，求EG的长．
29．已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G．
（1）如图1，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF．则DE•CD CF•AD（填“＜”或“=”或“＞”）；（2）如图2，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得DE•CD=CF•AD 成立？并证明你的结论；
（3）如图3，若BA=BC=3，DA=DC=4，∠BAD=90°，DE⊥CF．则的值为．
30．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，BD=24，在菱形ABCD的外部以AB为边作等边三角形ABE．点F是对角线BD上一动点（点F不与点B、D重合），将线段AF绕点A顺时针方向旋转60°得到线段AM，连接FM．
（1）求AO的长；
（2）如图2，当点F在线段BO上，且点M，F，C三点在同一条直线上时，求证：∠ACM=30°；
（3）连接EM，若△AEM的面积为40，请画出图形，并直接写出△AFM的周长
答案
1．在△ABC中，AB=AC，点F是BC延长线上一点，以CF为边，作菱形CDEF，使菱形CDEF与点A 在BC的同侧，连接BE，点G是BE的中点，连接AG、DG．
（1）如图①，当∠BAC=∠DCF=90°时，直接写出AG与DG的位置和数量关系；
（2）如图②，当∠BAC=∠DCF=60°时，试探究AG与DG的位置和数量关系，
（3）当∠BAC=∠DCF=α时，直接写出AG与DG的数量关系．
【分析】（1）延长DG与BC交于H，连接AH、AD，通过证得△BGH≌△EGD求得BH=ED，HG=DG，得出BH=DC，然后证得△ABH≌△ACD，得出∠BAH=∠CAD，AH=AD，进而求得∠HAD=90°，即可求得AG⊥GD，AG=GD；
（2）延长DG与BC交于H，连接AH、AD，通过证得△BGH≌△EGD求得BH=ED，HG=DG，得出BH=DC，然后证得△ABH≌△ACD，得出∠BAH=∠CAD，AH=AD，进而求得△HAD是等边三角形，即可证得AG⊥GD，AG=DG；
（3）延长DG与BC交于H，连接AH、AD，通过证得△BGH≌△EGD求得BH=ED，HG=DG，得出BH=DC，然后证得△ABH≌△ACD，得出∠BAH=∠CAD，AH=AD，进而求得△HAD是等腰三角形，即可证得
DG=AGtan．
2．如图，在菱形ABCD中，M，N分别是边AB，BC的中点，MP⊥AB交边CD于点P，连接NM，NP．（1）若∠B=60°，这时点P与点C重合，则∠NMP=30度；
（2）求证：NM=NP；
（3）当△NPC为等腰三角形时，求∠B的度数．
【分析】（1）根据直角三角形的中线等于斜边上的一半，即可得解；
（2）延长MN交DC的延长线于点E，证明△MNB≌△ENC，进而得解；
（3）NC和PN不可能相等，所以只需分PN=PC和PC=NC两种情况进行讨论即可．
①若PN=PC，则∠PNC=∠NCP=2x°，
在△PNC中，2x+2x+x=180，
解得：x=36，
∴∠B=∠PNC+∠NPC=2x°+x°=36°×3=108°，
②若PC=NC，则∠PNC=∠NPC=x°，
在△PNC中，2x+x+x=180，
解得：x=45，
∴∠B=∠PNC+∠NPC=x°+x°=45°+45°=90°．
3．菱形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，∠MON+∠BCD=180°，∠MON绕点O旋转，射线OM交边BC于点E，射线ON交边DC于点F，连接EF．
（1）如图1，当∠ABC=90°时，△OEF的形状是等腰直角三角形；
（2）如图2，当∠ABC=60°时，请判断△OEF的形状，并说明理由；
（3）在（1）的条件下，将∠MON的顶点移到AO的中点O′处，∠MO′N绕点O′旋转，仍满足
∠MO′N+∠BCD=180°，射线O′M交直线BC于点E，射线O′N交直线CD于点F，当BC=4，且=时，直接写出线段CE的长．
【分析】（1）先求得四边形ABCD是正方形，然后根据正方形的性质可得∠EBO=∠FCO=45°，OB=OC，再根据同角的余角相等可得∠BOE=∠COF，然后利用“角边角”证明△BOE和△COF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）过O点作OG⊥BC于G，作OH⊥CD于H，根据菱形的性质可得CA平分∠BCD，∠ABC+BCD=180°，求得OG=OH，∠BCD=180°﹣60°=120°，从而求得∠GOH=∠EOF=60°，再根据等量减等量可得
∠EOG=∠FOH，然后利用“角边角”证明△EOG和△FOH全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（3）过O点作OG⊥BC于G，作OH⊥CD于H，先求得四边形O′GCH是正方形，从而求得GC=O′G=3，∠GO′H=90°，然后利用“角边角”证明△EO′G和△FO′H全等，根据全等三角形对应边相等即可证得△O′EF 是等腰直角三角形，根据已知求得等腰直角三角形的直角边O′E的长，然后根据勾股定理求得EG，即可求得CE的长．
4．如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，
（1）求证：四边形AECF为平行四边形；
（2）若△AEP是等边三角形，连结BP，求证：△APB≌△EPC；
（3）若矩形ABCD的边AB=6，BC=4，求△CPF的面积．
【分析】（1）由折叠的性质得到BE=PE，EC与PB垂直，根据E为AB中点，得到AE=EB=PE，利用三角形内一边上的中线等于这条边的一半的三角形为直角三角形，得到∠APB为90°，进而得到AF与EC平行，再由AE与FC平行，利用两对边平行的四边形为平行四边形即可得证；
（2）根据三角形AEP为等边三角形，得到三条边相等，三内角相等，再由折叠的性质及邻补角定义得到一对角相等，根据同角的余角相等得到一对角相等，再由AP=EB，利用AAS即可得证；
（3）过P作PM⊥CD，在直角三角形EBC中，利用勾股定理求出EC的长，利用面积法求出BQ的长，根据BP=2BQ求出BP的长，在直角三角形ABP中，利用勾股定理求出AP的长，根据AF﹣AP求出PF 的长，由PM与AD平行，得到三角形PMF与三角形ADF相似，由相似得比例求出PM的长，再由FC=AE=3，求出三角形CPF面积即可．
5．如图，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），连接AP，过点B作BQ⊥AP交CD 于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′，延长QC′交BA的延长线于点M．
（1）试探究AP与BQ的数量关系，并证明你的结论；
（2）当AB=3，BP=2PC，求QM的长；
（3）当BP=m，PC=n时，求AM的长．
【分析】（1）要证AP=BQ，只需证△PBA≌△QCB即可；
（2）过点Q作QH⊥AB于H，如图．易得QH=BC=AB=3，BP=2，PC=1，然后运用勾股定理可求得AP （即BQ）=，BH=2．易得DC∥AB，从而有∠CQB=∠QBA．由折叠可得∠C′QB=∠CQB，即可得到∠QBA=∠C′QB，即可得到MQ=MB．设QM=x，则有MB=x，MH=x﹣2．在Rt△MHQ中运用勾股定理就可解决问题；
（3）过点Q作QH⊥AB于H，如图，同（2）的方法求出QM的长，就可得到AM的长．
6．如图，菱形ABCD中，点P是CD的中点，∠BCD=60°，射线AP交BC的延长线于点E，射线BP交DE于点K，点O是线段BK的中点．
（1）求证：△ADP≌△ECP；
（2）若BP=n•PK，试求出n的值；
（3）作BM丄AE于点M，作KN丄AE于点N，连结MO、NO，如图2所示，请证明△MON是等腰三角形，并直接写出∠MON的度数．
【分析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC，根据平行线的性质得到对应角相等，根据全等三角形的判定定理证明结论；
（2）作PI∥CE交DE于I，根据点P是CD的中点证明CE=2PI，BE=4PI，根据相似三角形的性质证明结论；
（3）作OG⊥AE于G，根据平行线等分线段定理得到MG=NG，又OG⊥MN，证明△MON是等腰三角形，根据直角三角形的性质和锐角三角函数求出∠MON的度数．
7．在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O；在Rt△PMN中，∠MPN=90°．
（1）如图1，若点P与点O重合且PM⊥AD、PN⊥AB，分别交AD、AB于点E、F，请直接写出PE与PF的数量关系；
（2）将图1中的Rt△PMN绕点O顺时针旋转角度α（0°＜α＜45°）．
①如图2，在旋转过程中（1）中的结论依然成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
②如图2，在旋转过程中，当∠DOM=15°时，连接EF，若正方形的边长为2，请直接写出线段EF的长；
③如图3，旋转后，若Rt△PMN的顶点P在线段OB上移动（不与点O、B重合），当BD=3BP时，猜想此时PE与PF的数量关系，并给出证明；当BD=m•BP时，请直接写出PE与PF的数量关系．
【分析】（1）根据正方形的性质和角平分线的性质解答即可；
（2）①根据正方形的性质和旋转的性质证明△FOA≌△EOD，得到答案；
②作OG⊥AB于G，根据余弦的概念求出OF的长，根据勾股定理求值即可；
③过点P作HP⊥BD交AB于点H，根据相似三角形的判定和性质求出PE与PF的数量关系，根据解答结果总结规律得到当BD=m•BP时，PE与PF的数量关系．
8．在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在射线CD上（与点C、D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于H，连接AH，PH．
（1）若点P在线段CD上，如图1．
①依题意补全图1；
②判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明；
（2）若点P在线段CD的延长线上，且∠AHQ=152°，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路．（可以不写出计算结果）
【分析】（1）①根据题意画出图形即可；
②连接CH，先根据正方形的性质得出△DHQ是等腰直角三角形，再由SAS定理得出△HDP≌△HQC，故PH=CH，∠HPC=∠HCP，由正方形的性质即可得出结论；
（2）根据四边形ABCD是正方形，QH⊥BD可知△DHQ是等腰直角三角形，再由平移的性质得出
PD=CQ．作HR⊥PC于点R，由∠AHQ=152°，可得出∠AHB及∠DAH的度数，设DP=x，则DR=HR=RQ，由锐角三角函数的定义即可得出结论．
9．如图①，∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠QPN=α，将∠QPN绕点P旋转，旋转过程中∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重
合）．
（1）如图①，当α=90°时，DE，DF，AD之间满足的数量关系是DE+DF=AD；
（2）如图②，将图①中的正方形ABCD改为∠ADC=120°的菱形，其他条件不变，当α=60°时，（1）中的结论变为DE+DF=AD，请给出证明；
（3）在（2）的条件下，若旋转过程中∠QPN的边PQ与射线AD交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明．
【分析】（1）利用正方形的性质得出角与线段的关系，易证得△APE≌△DPF，可得出AE=DF，即可得出结论DE+DF=AD，
（2）取AD的中点M，连接PM，利用菱形的性质，可得出△MDP是等边三角形，易证△MPE≌△FPD，得出ME=DF，由DE+ME=AD，即可得出DE+DF=AD，
（3）①当点E落在AD上时，DE+DF=AD，②当点E落在AD的延长线上时，DF﹣DE=AD．
10．如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ．
（1）如图a，求证：△BCP≌△DCQ；
（2）如图，延长BP交直线DQ于点E．
①如图b，求证：BE⊥DQ；
②如图c，若△BCP为等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由．
【分析】（1）根据旋转的性质证明∠BCP=∠DCQ，得到△BCP≌△DCQ；
（2）①根据全等的性质和对顶角相等即可得到答案；
②根据等边三角形的性质和旋转的性质求出∠EPD=45°，∠EDP=45°，判断△DEP的形状．
11．已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=12cm，BD=16cm．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？
（2）设四边形APFE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40？若存在，求出t的值，并求出此时P，E两点间的距离；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由四边形ABCD是菱形，OA=AC，OB=BD．在Rt△AOB中，运用勾股定理求出AB=10．再
由△DFQ∽△DCO．得出=．求出DF．由AP=DF．求出t．
（2）过点C作CG⊥AB于点G，由S菱形ABCD=AB•CG=AC•BD，求出CG．据S梯形APFD=（AP+DF）
•CG．S△EFD=EF•QD．得出y与t之间的函数关系式；
（3）过点C作CG⊥AB于点G，由S菱形ABCD=AB•CG，求出CG，由S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40，求出t，再由△PBN∽△ABO，求得PN，BN，据线段关系求出EM，PM再由勾股定理求出PE．
12．已知菱形ABCD的边长为1，∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交DC、CB于点E、F．
（1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点，求证：菱形ABCD对角线AC、BD的交点O即为等边△AEF的外心；
（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动，记等边△AEF的外心为P．①猜想验证：如图2，猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；②拓展运用：如图3，当E、F分别是边DC、CB的中点
时，过点P任作一直线，分别交DA边于点M，BC边于点G，DC边的延长线于点N，请你直接写出
的值．
【分析】（1）连接OE、0F，由四边形ABCD是菱形，得出AC⊥BD，BD平分∠ADC，AD=DC=BC，又由E、F分别为DC、CB中点，证得0E=OF=OA，则可得点O即为△AEF的外心；
（2）①连接PE、PA，过点P分别作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J，求出∠IPJ的度数，又由点P是等边△AEF 的外心，易证得△PIE≌△PJA，可得PI=PJ，即点P在∠ADC的平分线上，即点P落在直线DB上；
②连接BD、AC交于点P，由（1）可得点P即为△AEF的外心．设DM=x，DN=y（x≠0，y≠O），则CN=y ﹣1，先利用AAS证明△GBP≌△MDP，得出BG=DM=x，CG=1﹣x，再由BC∥DA，得出△NCG∽△NDM，
根据相似三角形对应边成比例得出=，进而求出为定值2．
13．已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAC=∠D，点E、F分别在BC、CD上，且∠AEF=∠ACD．
（1）如图1，若AB=BC=AC，求证：AE=EF；
（2）如图2，若AB=BC，（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论；
（3）如图3，若AB=kBC，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出AE与EF 之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）中所给的是最特殊的一种情况，但对整个题来说，要从（1）中找到基本的解题思路，此题难的是构造全等三角形，从而证明线段相等．虽然（1）中没有要求步骤，但能正确的解出（1）可以给（2）和（3）定一个基调；
（2）是将（1）中的等边三角形变为等腰三角形，但起关键作用的条件没变，任然可以仿照（1）中的方法去做；
（3）中将三角形变为更一般的三角形，但和（1）比较起来还是有两个条件没变，而利用这两个条件能证明两个三角形相似，从而利用相似的对应边成比例得出结论．
14．正方形ABCD的边长为4cm，点E在边AB上，将线段AE绕点E顺时针旋转α°（0＜α＜90）得线段EF，以EF为边在EF右侧作正方形EFGH；
（1）如图①，分别连接线段AF、FH、AH，AH交EF于点I；
①求证∠FAH的度数是一个常数；
②求证：2AE2=AH•IH．
（2）如图②，若α=60，点E为AB的中点，在直线AG上是否存在一点J，使△EBJ的周长最小？若存在，求出△EBJ的最小周长；若不存在，说明理由．
（3）如图③，若α=45，点E从A出发，按1cm/s的速度沿AB方向运动，直至点C落在GH上停止运动，设点E的运动时间为t（t＞0），正方形EFGH与正方形ABCD重叠部分的面积为S，请用含t的代数式表示S．
【分析】（1）①易证A、F、H在以点E为圆心，AE为半径的圆上，根据圆周角定理可得∠FAH=∠FEH=45°；
②由于FH=EF=AE，要证2AE2=AH•IH，只需证到FH2=AH•IH，只需证到△FHI∽△AHF即可；（2）连接DE与直线AG交于点N，连接NB，如图②，易证△AFG≌△AEH，则有∠FAG=∠EAH，从而可得∠DAG=∠GAE．由AD=AB可得点D与点B关于直线AG对称，从有而ND=NB，从而可求得
EN+BN+EB=2+2．根据两点之间线段最短可得：当点J运动到点N处，△EBJ的周长最短，问题得以解决；
（3）点E运动的过程中，依次出现图③a、图③b、图③c、图③d、图③e、图③f的情况，只需运用割补法分别求出图③a、图③c、图③e中S与t的关系式，运用方程思想求出图③b、图③d、图③f中对应t的值，就可解决问题．
15．请你认真阅读下面的小探究系列，完成所提出的问题．
（1）初步探究：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD边AB、AD上，DE⊥CF于点P，小芳看到该图后，发现DE=CF，这是因为∠EDA和∠FCD都是∠EDC的余角，就会由ASA判定得出△ADE≌△DCF．
（2）类比发现：小芳进一步思考，如果四边形ABCD是矩形，如图（2），且DE⊥CF于点P，她发现，
请你替她完成证明；
（3）拓展延伸：如图（3），若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EPC满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论．
【分析】（2）根据∠A=∠ADC=90°，DE⊥CF，证明∠ADE=∠DCF，得到△ADE∽△DCF，得到答案；（3）在AD的延长线上取点M，使CM=CF，证明△ADE∽△DCM，得到答案．
16．如图1，在矩形ABCD中，点E为矩形的边CD上任意一点，点P为线段AE的中点，连接BP并延长交边AD于点F，点M为边CD上一点，连接FM，且∠DMF=∠ABF．
（1）若AD=2，DE=1，求AP的长；
（2）求证：PB=PF+FM；
（3）若矩形ABCD改为▱ABCD，如图2，（2）中的结论成立吗？若成立，请证明；不成立，说明理由．
【分析】（1）由矩形的性质和勾股定理求出AE，即可得出AP的长；
（2）延长BF、CD交于点N，由矩形的性质得出CN∥AB，得出∠N=∠PBA，∠NEP=∠BAP，由ASA 证明△NEP≌△BAP，得出PB=PN，再证出FN=FM，即可得出结论；
（3）延长BF、CD交于点N，由矩形的性质得出CN∥AB，得出∠N=∠PBA，∠NEP=∠BAP，由ASA 证明△NEP≌△BAP，得出PB=PN，再证出FN=FM，即可得出结论．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；本题综合性强，难度较大，需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结论．17．在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC=60°，P是DF的中点，连接PG、PC．
（1）如图1，当点G在BC边上时，猜想PG与PC的关系，并证明．（提示：延长GP交CD于点E）。