高三数学(理)二轮复习：专题十三直线与圆的方程.docx

高中数学学习材料
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专题十三直线与圆的方程
(见学生用书P80)
(见学生用书P 80)
1．与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行和垂直的直线系方程可分别设为Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C )，Bx －Ay ＋n ＝0．
2．点P (x 0，y 0)到直线l ：ax ＋by ＋c ＝0的距离公式：d ＝|ax 0＋by 0＋c |a 2＋b 2. 两平行直线ax ＋by ＋c 1＝0与ax ＋by ＋c 2＝0间的距离公式：d ＝|c 1－c 2|
a 2＋
b 2. 3．圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2；圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0.
4．直线与圆、圆与圆的位置关系的判定常用几何法，即分别比较圆心到直线的距离与半径的大小或圆心距与半径的和(或差)的大小来判定．
(见学生用书P 81)
考点一 直线的倾斜角
考点精析
1．牢记倾斜角的取值范围和经过两点的直线的斜率公式，特别要
注意倾斜角为π2的直线斜率不存在．
2．求解直线的倾斜角和斜率与三角函数的交汇问题时，要注意三角公式的熟练变形和运用，尤其要注意有关角的取值范围．
例 1－1(2014·长郡模拟)已知直线的倾斜角为θ，且sin θ＝45，
则此直线的斜率是( )
A.43 B ．－43
C ．±34
D ．±43
考点：直线的斜率；同角三角函数间的基本关系；直线的倾斜角．
分析：由已知中直线的倾斜角为θ，且sin θ＝45，我们分倾斜角
θ为锐角和钝角两种情况进行讨论，根据同角三角函数关系，我们求出θ的余弦值和正切值，即可得到直线的斜率．
解析：已知直线的倾斜角为θ，且sin θ＝45，
当θ为锐角时，cos θ＝35，tan θ＝43；
当θ为钝角时，cos θ＝－35，tan θ＝－43.
故直线的斜率是±43.
答案：D
点评：本题考查的知识点是直线的斜率，同角三角函数的基本关系，直线的倾斜角，本题易忽略倾斜角θ可能为钝角的情况，而错选
A.
规律总结
直线的倾斜角与斜率，一般在高考中较少直接考查，但作为直线方程的基础知识，仍然是高考重点考查对象，因此，我们必须熟练掌
握它．
变式训练
【1－1】 (1)直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤
0，π4 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫
3π4，π
C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π
D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫
3π4，π
(2)已知点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过点P (1，
1)
且与线段AB 有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围为________．
解析：(1)将直线方程变形为
y ＝－1a 2＋1x －1
a 2＋1，
∴直线的斜率k ＝－1
a 2＋1.
∵a 2＋1≥1，∴0<1
a 2＋1≤1.
∴－1≤k <0，即－1≤tan α<0.
∴34π≤α<π，故选B.
(2)由图可知满足题目条件的k ≥k BP 或k ≤k AP .
由斜率公式，得
k AP ＝1－（－3）1－2
＝－4， k BP ＝1－（－2）1－（－3）＝34
， ∴k ≥34或k ≤－4.
答案：(1)B (2)k ≤－4或k ≥34
考点二 直线方程
考点精析
1．根据不同条件求直线的方程时，要注意条件的适用范围．
2．对称问题是近几年高考的热点问题，它主要分为中心对称和轴对称两种，求解对称问题时要把握对称的实质，掌握常用的解题方法．
例 2－1 已知直线l 1：(k －3)x ＋(5－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0垂直，则k 的值是( )
A ．1或3
B ．1或5
C ．1或4
D ．1或2
考点：两条直线垂直的判定．
分析：由两直线ax ＋by ＋c ＝0与mx ＋ny ＋d ＝0垂直⇔am ＋bn ＝0求解即可．
解析：由题意得2(k －3)2－2(5－k )＝0，
整理得k 2－5k ＋4＝0，
解得k ＝1或k ＝4.
答案：C
点评：本题考查两直线垂直的条件．
规律总结
直线方程、两条直线的位置关系、点到直线的距离公式以及对称问题等是研究解析几何的基础，因而也是高考重点考查对象，考查时一般较少直接考查．
变式训练
【2－1】(2014·四川卷)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|P A|·|PB|的最大值是______．
解析：由题意可知，动直线x＋my＝0经过定点A(0，0)，动直线mx－y－m＋3＝0即m(x－1)－y＋3＝0，经过点定点B(1，3)，注意到动直线x＋my＝0和动直线mx－y－m＋3＝0始终垂直，又P是两条直线的交点，则有P A⊥PB，∴|P A|2＋|PB|2＝|AB|2＝10.
故|P A|·|PB|≤|P A|2＋|PB|2
2＝5(当且仅当|P A|＝|PB|时取“＝”)．
答案：5
考点三圆的方程
考点精析
1．直线与圆相交的弦长，可利用弦长公式计算，也可利用弦心距、圆半径、半弦长组成的直角三角形结合勾股定理求得．
2．圆的参数方程不是唯一的，圆的参数方程不同，其几何意义也
会改变，最值问题常用圆的参数方程转化为三角函数问题求解．例3－1(2015·湖北卷)如图，已知圆C与x轴相切于点T(1，0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.
(1)圆C的标准方程为________；
(2)圆C在点B处的切线在x轴上截距为________．
考点：直线的斜率、截距、圆的标准方程及直线方程的求解．
分析：(1)结合图形，确定圆C的圆心坐标和半径，从而写出圆的标准方程；(2)如图，先求出点B的坐标，进而求出圆C在点B处的切线方程，再求切线在x轴上的截距．
解析：(1)由题意设圆的标准方程为(x－1)2＋(y－r)2＝r2，
∵|AB|＝2，∴r＝ 2.
∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝2.
(2)如图，连接CB，CT，CA，作CM⊥AB于点M.
∵l为切线，∴CB⊥l.
∵M是AB的中点，∴BM＝AM＝1.
又∵CB＝2，∴∠BCM＝∠MBC＝45°，
∴∠DBO＝45°，∴OD＝OB.
∵圆心C(1，2)，|AB|＝2，
∴A(0，2－1)，B(0，2＋1)．
∴|OD|＝|OB|＝2＋1.
∴切线l在x轴上的截距为－2－1.
答案：(1)(x－1)2＋(y－2)2＝2(2)－2－1
点评：本题考查了圆的标准方程的求法，直线方程求法，考查了数形结合思想应用及运算求解能力．
规律总结
圆的方程、直线与圆的位置关系问题一直是高考命题的热点问题(特别是直线与圆的位置关系问题)，一般以选择、填空题为主，难度为中等，但区分度较大，题目比较灵活，往往与其他知识交汇在一起命题．
变式训练
【3－1】(2014·北京卷)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m 的最大值为()
A．7 B．6
C．5 D．4
解析：圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1的圆心C(3，4)，半径为1.
∵圆心C 到O (0，0)的距离为5，
∴圆C 上的点到点O 的距离的最大值为6.
再由∠APB ＝90°，以AB 为直径的圆和圆C 有交点，可得PO ＝12AB ＝m ，故有m ≤6.
答案：B
【3－2】 (2015·全国卷Ⅰ)已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．
(1)求k 的取值范围；
(2)若OM
→·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 解析：(1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1.
因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k
2<1. 解得4－73<k <4＋73.
所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．
将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，
整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.
所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2
， OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2
＝(1＋k 2
)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k 2＋8.
由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1， 所以l 的方程为y ＝x ＋1.
故圆心C 在l 上，所以|MN |＝2.
专题规律总结
直线与直线位置关系的判断方法
(1)平行：当两条直线l 1和l 2的斜率存在时，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2；如果直线l 1和l 2的斜率都不存在，那么它们都与x 轴垂直，则l 1∥l 2.
(2)垂直：垂直是两直线相交的特殊情形，当两条直线l 1和l 2的斜率存在时，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1；若两条直线l 1，l 2中的一条斜率不存在，另一条斜率为0时，则它们垂直．
(3)相交：两直线相交的交点坐标可由方程组的解求得．
【易错提示】 判断两条直线的位置关系时要注意的两个易错点：一是忽视直线的斜率不存在的情况，二是忽视两直线重合的情况．解答这类试题时要根据直线方程中的系数分情况进行讨论，求出结果后再回代到直线方程中进行检验，这样能有效地避免错误．
圆的方程的求法
(1)几何法，即通过研究圆的性质进而求出圆的基本量：如圆中弦所在的直线与圆心和弦中点的连线相互垂直；设圆的半径为r ，弦长
为|AB |，弦心距为d ，则r 2＝d 2
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22等． (2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．在求圆的方程
时，要根据具体的条件选用合适的方法，但一般情况下，应用几何法运算较简捷．
求圆的弦长的方法
(1)直接求出直线与圆的交点坐标，利用两点间的距离公式求得；
(2)不求交点坐标，利用一元二次方程根与系数的关系得出，即设直线的斜率为k ，直线与圆联立消去y 后得到的方程的两根为x 1、x 2，则弦长d ＝1＋k 2|x 1－x 2|；
(3)利用半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求．
(见学生用书P 83)
例 1已知曲线C ：y ＝20－x 2
2
与直线l ：y ＝－x ＋m 仅有一个公共点，求m 的范围．
考场错解：曲线C ：y ＝20－x 2
2
可化为x 2＋4y 2＝20，① 联立⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋m ，x 2＋4y 2＝20得： 5x 2－8mx ＋4m 2－20＝0，由Δ＝0，得m ＝±5.
专家把脉：方程①与原方程并不等价，应加上y ∈[)0，＋∞. 对症下药：原方程的对应曲线应为椭圆的上半部分(如图)．结合图形易求得m 的范围为m ＝5或－25<m <2 5.
例 2直线l ：y ＝k (x －5)与圆O ：x 2＋y 2＝16相交于A 、B 两点，当k 变动时，弦AB 的中点M 的轨迹方程．
考场错解：易知直线恒过定点P (5，0)，再由OM ⊥AP ，得：||OP 2＝||OM 2＋||MP 2，
∴x 2＋y 2＋(x －5)2＋y 2＝25，
整理得：⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －522＋y 2＝254. 专家把脉：求动点轨迹时应注意它的完备性与纯粹性．
对症下药：本题中注意到点M 应在圆内，故易求得轨迹为圆内的
部分，⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －522＋y 2＝254，此时0≤x <165. 专家会诊：在将方程变形时应时时注意变量的取值范围的变化，必须进行等价变形，这样才不会出错．
求动点轨迹时应注意它的完备性与纯粹性，求出方程后要对照图象进行检验．
(见学生用书P 174)
一、选择题
1．(2015·北京卷)圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是()
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
解析：因为圆心为(1，1)，圆过原点，
所以圆的半径r＝12＋12＝2，
所以圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.故选D.
答案：D
2．(2013·陕西卷)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()
A．相切B．相交
C．相离D．不确定
解析：由题意，点M(a，b)在圆x2＋y2＝1外，
则满足a2＋b2>1，圆心到直线ax＋by＝1的距离
d＝
1
a2＋b2
<1，
所以直线ax＋by＝1与圆O相交．故选B.
答案：B
3．(2014·四川卷)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|P A|＋|PB|的取值范围是()
A．[5，25] B．[10，25]
C ．[10，45]
D ．[25，45]
解析：由题意可知，动直线x ＋my ＝0经过定点A (0，0)，动直线mx －y －m ＋3＝0即m (x －1)－y ＋3＝0，经过定点B (1，3)，
∵动直线x ＋my ＝0和动直线mx －y －m ＋3＝0始终垂直， 又P 是两条直线的交点，
∴P A ⊥PB ，∴|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝10.
由基本不等式可得
|P A |2＋|PB |2
≤(|P A |＋|PB |)2
≤2(|P A |2＋|PB |2)，
即10≤(|P A |＋|PB |)2≤20， 可得10≤|P A |＋|PB |≤2 5.
答案：B
4．(2013·湖南卷)在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点．光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P (如图)，若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于( )
A ．2
B ．1
C.83
D.43
解析：建立如图所示的坐标系，可得B (4，0)，C (0，4)，
故直线BC 的方程为x ＋y ＝4，
△ABC 的重心为⎝ ⎛⎭
⎪⎫0＋0＋43，0＋4＋03. 设P (a ，0)，其中0<a <4，点P 关于直线BC 的对称点P 1(x ，y )，
则满足⎩⎨⎧a ＋x 2＋y ＋02＝4，
y －0x －a
·（－1）＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4－a ， 即P 1(4，4－a )，易得P 关于y 轴的对称点P 2(－a ，0)，
由光的反射原理可知P 1，Q ，R ，P 2四点共线，
直线QR 的斜率为k ＝4－a －04－（－a ）＝4－a 4＋a ， 故直线QR 的方程为y ＝4－a 4＋a
(x ＋a )． 由于直线QR 过△ABC 的重心⎝ ⎛⎭
⎪⎫43，43， 代入化简可得3a 2
－4a ＝0，解得a ＝43，或a ＝0(舍去)， 故P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫43，0，故AP ＝43. 答案：D
5．已知p ：直线x －y －1＝0与直线x ＋ay －2＝0平行，q ：a ＝－1，则p 是q 的( )
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件 解析：当命题p 成立时，直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行，故两直线的斜率相等，∴a ＝－1.
当q 成立时，a ＝－1，直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行，故命题p 成立．
综上，p 是q 的充要条件．
答案：A
6．(2010·雅安三模)将直线y ＝x ＋1绕其与y 轴的交点旋转90°，再按向量a ＝(1，1)进行平移，则平移后的直线方程是( )
A ．y ＝－x ＋1
B ．y ＝－x ＋3
C ．y ＝x －2
D ．y ＝x －1
解析：将直线y ＝x ＋1绕其与y 轴的交点旋转90°得到直线的方程为y ＝－x ＋1，再按向量a 进行平移得到的直线方程为y －1＝－(x －1)＋1，即y ＝－x ＋3.
答案：B
7．(2015·桂林模拟)若直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)始终平分圆x 2＋y 2
－4x －2y －8＝0的周长，则ab 的取值范围是( )
A.⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，18 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18
C ．(0，8]
D ．[8，＋∞)
解析：由x 2＋y 2－4x －2y －8＝0化成标准形式为(x －2)2＋(y －1)2
＝13，所以圆心坐标为(2，1)．若直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)始终平分圆
的周长，则直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)必过点(2，1)，所以2a ＋1b ＝1.由1
＝2a ＋1b ≥22ab ，得ab ≥8，当且仅当2a ＝1b ＝12，即a ＝4，b ＝2时取等号．故ab 的取值范围是[8，＋∞)．
答案：D
8．(2014·湖南卷)若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( )
A ．21
B ．19
C ．9
D ．－11
解析：由C 1：x 2＋y 2＝1，得圆心C 1(0，0)，半径为1，
由圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0，
得(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ，
∴圆心C 2(3，4)，半径为25－m .
∵圆C 1与圆C 2外切，
∴32＋44＝25－m ＋1，
解得m ＝9.
答案：C
9．(2014·安徽卷)过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6
B.⎝
⎛⎦⎥⎤0，π3 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 D.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π3 解析：由题意可得，要求的直线的斜率存在，设为k ，则直线方程为y ＋1＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －1＝0.
根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得|0－0＋3k －1|k 2＋1
≤1，即3k 2－23k ＋1≤k 2＋1，解得0≤k ≤3，故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π3. 答案：D
10．(2014·江西卷)在平面直角坐标系中，A 、B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )
A.45π
B.34π
C ．(6－25)π D.54π
解析：∵AB 为直径，∠AOB ＝90°，∴O 点必在圆C 上，
由O 向直线做垂线，垂足为D ，则当D 恰为圆与直线的切点时，此时圆C 的半径最小，即面积最小．此时圆的直径是O 到直线的距离
为45
，则圆C 的面积为：π×⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝4π5. 答案：A
11．(2015·山东卷)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后
与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
A ．－53或－35
B ．－32或－23
C ．－54或－45
D ．－43或－34
解析：光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，由对称性可知，反射光线所在直线是过点(－2，－3)关于y 轴的对称点(2，－3)向圆所作的切线，设切线的斜率为k ，则切线的方程为y ＝k (x －2)－3，由圆心(－3，2)到切线的距离等于半径1，
得1＝|－5k －5|1＋k 2
，解得k ＝－34或k ＝－43，故选D. 答案：D
12．(2015·全国卷Ⅱ)已知三点A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )
A.53
B.213
C.253
D.43 解析：(方法1)A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，
∴AB ＝BC ＝AC ＝2，
即△ABC 为等边三角形，
∴△ABC 外接圆圆心即为△ABC 的重心．
取BC 的中点D ，连接AD ，则AD 是△ABC 的边BC 上的中线，
在AD 上取点G 使AG ＝23AD ，则G 是△ABC 的重心．所以G ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，233，
所以|OG |＝12
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝213.故选B.
(方法2)易知△ABC 是等边三角形，∴ △ABC 外接圆圆心即为△ABC 的重心．由重心坐标公式得，△ABC 的重心G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋0＋23，0＋3＋33， 即G ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233，故|OG |＝12
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝213. 故选B.
答案：B
13．(2013·重庆卷)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －
3)2＋(y －4)2＝9，M 、N 分别是圆C 1、C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )
A ．52－4 B.17－1
C ．6－2 2 D.17
解析：如图圆C 1关于x 轴的对称圆的圆心坐标A (2，－3)，半径为1，圆C 2的圆心坐标为(3，4)，半径为3，|PM |＋|PN |的最小值为圆A 与圆C 2的圆心距减去两个圆的半径和， 即：（3－2）2＋（4＋3）2－1－3＝52－4.
答案：A
二、填空题
14．(2015·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________．
解析：设圆的半径为r，根据圆与直线相切的关系得，
r＝|m＋1|
1＋m2
＝
m2＋2m＋1
m2＋1
＝1＋
2m
m2＋1
，
当m<0时，1＋
2m
m2＋1
无最大值，且1＋
2m
m2＋1
<1；
当m＝0时，r＝1；
当m>0时，m2＋1≥2m(当且仅当m＝1时取“＝”)，所以r≤1＋1＝ 2.综上可知r最大值为2.
所以半径最大的圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.
答案：(x－1)2＋y2＝2
15．(2015·湖南卷)若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝________.
解析：如图．
因为∠AOB ＝120°，所以∠AOD ＝60°.
在Rt △AOD 中，OA ＝2OD ＝r ，
又因为OD ＝|3×0－4×0＋5|5
＝1，所以r ＝2. 答案：2
三、解答题
16．(2014·全国卷Ⅰ)已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．
(1)求M 的轨迹方程；
(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．
解析：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0，
4)，半径为4.
设M (x ，y )，则CM
→(x ，y －4)，MP →＝(2－x ，2－y )． 由题设知CM
→·MP →＝0， 故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，
即(x －1)2＋(y －3)2＝2.
由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是
(x －1)2＋(y －3)2＝2.
(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆． 由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .
因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，
故l 的方程为y ＝－13x ＋83.
又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，|PM |＝4105， 所以△POM 的面积为165.
17．(2013·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．
(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；
(2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．
解析：(1)联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝2x －4，解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2， ∴圆心C (3，2)．
若k 不存在，不合题意；
若k 存在，设切线为：y ＝kx ＋3，
可得圆心到切线的距离d ＝r ， 即|3k ＋3－2|
1＋k 2＝1，
解得k ＝0或k ＝－34，
则所求切线为y ＝3或y ＝－3
4x ＋3.
(2)设点M (x ，y )，由MA ＝2MO ， 知：x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2，
化简得：x 2＋(y ＋1)2＝4，
∴点M 的轨迹为以(0，－1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D ， 又∵点M 在圆C 上，
∴圆C 与圆D 的关系为相交或相切，
∴1≤|CD |≤3，其中|CD |＝a 2＋（2a －3）2，
∴1≤a 2＋（2a －3）2≤3，解得0≤a ≤2.4.。