2019届上海市青浦区高三二模数学试题及答案

2019届上海市青浦区⾼三⼆模数学试题及答案
2019届上海市青浦区⾼三⼆模数学试题
⼀、单选题
1．已知，，则（）
A．B．C．D．
【答案】B
【】根据函数与的值域得到和，再求交集即可得出结果.
因为，，
所以.
故选B
【】
本题主要考查集合的交集，熟记概念即可，属于基础题型.
2．已知是斜三⾓形，则“”是“”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分⼜不必要条件
【答案】C
【】根据充要条件的定义，结合正切函数的图像和性质，分析“若，则”与“若，则”的真假，即可得出结果.
当时，
若均为锐⾓，则，此时；
若为钝⾓，则为锐⾓，，则，此时
，
综上：“”是“”的充分条件；
当时，
若均为锐⾓，则，此时；
若为钝⾓，则为锐⾓，，则，满⾜条件；综上“”是“”的必要条件.
所以，“”是“”的充要条件.
【】
本题主要考查充分条件与必要条件的判断、以及正切函数的性质，熟记充分条件与必要条件的概念等即可，属于常考题型. 3．已知曲线（是参数），过点作直线与曲线有且仅有⼀个
公共点，则这样的直线有（）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】B
【】先由曲线的参数⽅程消去参数，化为普通⽅程，再判断定点与曲线关系，进⽽可得出结果.
由消去参数可得；
⼜，因此点在双曲线右⽀的内部，
由双曲线的特征可知，当直线分别与双曲线的两条渐近线平⾏时，满⾜直线与双曲线只有⼀个公共点，
因此，这样的直线只有2条.
故选B
【】
本题主要考查双曲线的特征以及直线与双曲线的位置关系，熟记双曲线的性质即可，属于常考题型.
4．等差数列,满⾜
，则（）
A．的最⼤值为50 B．的最⼩值为50
C．的最⼤值为51 D．的最⼩值为51
【答案】A
【】先根据题意可知中的项有正有负，不妨设，根据题意可求得，根据，去绝对值求和，即可求出结果.
为等差数列，因为
，所以中的项⼀定满⾜或，且项数为偶数，
设，等差数列的公差为，⾸项为，不妨设，
则，且，由可得，
所以
,
因为，所以，所以，⽽，
所以，故.
故选A
【】
本题主要考查等差数列的性质，熟记等差数列的性质以及通项公式等即可，属于常考题型.
⼆、填空题
5．不等式的解集是________
【答案】
【】先移项通分得到，进⽽可求出结果.
因为，所以，即，解得.
故答案为
【】
本题主要考查分式不等式的解法，⼀般需要先移项再通分，进⽽求解，属于常考题型. 6．已知复数满⾜（其中为虚数单位），则________【答案】
【】先由复数的除法运算求出，再根据模的计算公式即可求出结果.
因为，所以，
因此.
故答案为
【】
本题主要考查复数的运算，熟记复数的除法运算法则、以及模的计算公式即可，属于基础题型.
7．在平⾯直⾓坐标系中，在轴、y轴正⽅向上的投影分别是、4，则与同向的单位向量是________
【答案】
【】先由题中条件得到，再依题意设所求的单位向量坐标为
，根据模为1，即可求出结果.
因为在轴、y轴正⽅向上的投影分别是、4，所以；
由题意设所求的单位向量坐标为，
则，所以，
因此所求向量的坐标为.
故答案为
【】
本题主要考查向量的坐标表⽰、以及向量共线问题，熟记概念及公式即可，属于基础题型.
8．在的⼆项展开式中，含有项的系数为________（结果⽤数值表⽰）
【答案】
【】先由⼆项展开式的通项公式得到，令，即可得出结果.
因为的⼆项展开式的通项为，
要求含有项的系数，只需令，
所求系数为.
故答案为
【】
本题主要考查指定项的系数，熟记⼆项式定理即可，属于基础题型.
9．在平⾯直⾓坐标系中，若双曲线经过抛物线（）的焦点，则________
【答案】
【】根据双曲线的⼏何意义得到双曲线与抛物线的共同焦点为（，0），所以，，
.
双曲线中，a＝2，b＝1，c＝，
双曲线与抛物线的共同焦点为（，0），
所以，，
故答案为：
【】
这个题⽬考查了抛物线和双曲线的⼏何意义，较为简单. ⼀般和抛物线有关的⼩题，很多时可以应⽤结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应⽤。

尤其和焦半径联系的题⽬，⼀般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化。

10．已知、是互斥事件，，，则________
【答案】
【】根据互斥事件的性质，若、是互斥事件，则；
根据题中条件即可求出结果.
因为、是互斥事件，，，
所以，因此.
故答案为
【】
本题主要考查互斥事件的概率问题，熟记事件的性质即可求解，属于常考题型. 11．函数的最⼤值为________
【答案】
【】根据表⽰正弦值等于的⼀个⾓，可得，再由的范围即可求出结果.
因为表⽰正弦值等于的⼀个⾓，因此，
⼜，所以，
因此函数的最⼤值为.
故答案为
【】
本题主要考查三⾓函数与反三⾓函数的问题，熟记反三⾓函数的意义以三⾓函数的性质即可，属于常考题型.
12．若实数、y满⾜条件，则的最⼩值为________
【答案】
【】试题分析：画出可⾏域，如图所⽰，⽬标函数，表⽰可⾏域内的点到原点距离的平⽅，故当可⾏域
内点到原点距离最⼩时，取到最⼩值，即．
【考点】线性规划．
13．已知、b、都是实数，若函数的反函数的定义域是
，
则的所有取值构成的集合是________
【答案】
【】结合函数的定义域判断其值域，由反函数的定义域为，可得函数的值域为，即可得出结果.
由其定义域为，因为，所以，
所以当时，；
当时，，
即的值域为；
⼜函数的反函数的定义域是，
所以函数的值域为，因为、b、都是实数，可以⼤于；
所以只需趋近于，因此只能，
即的所有取值构成的集合是.
故答案为
【】
本题主要考查分段函数与反函数的问题，熟记函数的性质即可，属于常考题型. 14．已知某四棱锥的三视图如图所⽰，则该四棱锥的最长棱的长度为________
【答案】
【】在正⽅体中作出该四棱锥，借助长⽅体求出各棱长，即可得出最⼤值.
由三视图在正⽅体中作出该四棱锥，由三视图可知该正⽅体的棱长为，所以，，，
，.
因此该四棱锥的最长棱的长度为.
故答案为
【】
本题主要考查⼏何体的三视图，由三视图先还原⼏何体，进⽽可求解，属于常考题型. 15．已知函数（），在区间内有两个零点，则的取值范围是________【答案】
【】先由函数在区间内有两个零点，得到满⾜的关系式，作出不等式组所表⽰的平⾯区域，再设，根据的⼏何意义，结合图像，即可得出结果.
要使函数数在区间内有两个零点，函数对称轴为,
所以，即，
根据不等式组作出如下图像：
设，则，
由解得，即，
由图可知，当过点时，取得最⼩值，
，
由图可知，当过点时，取得最⼤值，
，
则.
故答案为
【】
本题主要考查⼆次函数零点分布问题、以及线性规划问题，熟记⼆次函数零点分布的判定条件即可求解，属于常考题型.
16．已知为的外⼼，，，则的最⼤值为________
【答案】
【】以外接圆圆⼼为半径建⽴坐标系，设，列⽅程⽤表⽰出，代⼊圆的⽅程，再利⽤不等式解出的范围即可.
设的外接圆半径为1，以外接圆圆⼼为原点建⽴坐标系，
因为，所以，
设，，，
则，，，
因为，所以，
解得，
因为在圆上，
所以，
即，
所以，
所以，
解得或，
因为只能在优弧上，所以，
故
【】
本题主要考查平⾯向量的基本定理及其意义，熟记平⾯向量基本定理即可，属于常考题型.
三、解答题
17．如图，圆柱是矩形绕其边所在直线旋转⼀周所得，AB是底⾯圆的直径，点C是弧AB的中点.
（1）求三棱锥体积与圆柱体积的⽐值；
（2）若圆柱的母线长度与底⾯半径相等，点M是线段的中点，求异⾯直线CM与
所成⾓的⼤⼩.
【答案】(1)；(2)
【】(1)先设圆柱的母线长为，底⾯圆半径为，根据三棱锥以及圆柱的体积公式分别求出体积，进⽽可得出结果.
(2)由题意，以为坐标原点，⽅向分别为轴、轴、轴，建⽴空间直⾓坐标系，分别求出直线CM与的⽅向向量，根据两向量夹⾓的余弦值，即可得出结果.
(1)设圆柱的母线长为，底⾯圆半径为，因此，
⼜因为AB是底⾯圆的直径，点C是弧AB的中点，
所以，因此，
故三棱锥体积与圆柱体积的⽐值为.
(2)由题意，以为坐标原点，⽅向分别为轴、轴、轴，建⽴空间直⾓坐标系，因为圆柱的母线长度与底⾯半径相等，设，
则，，，，，
因为点是线段的中点，所以
所以，，
因此，
所以异⾯直线CM与所成⾓的⼤⼩为.
【】
本题主要考查⼏何体体积以及异⾯直线所成的⾓的问题，熟记棱锥与圆锥的体积公式即可求出体积之⽐；第⼆问求异⾯直线所成的⾓，可采⽤空间向量的⽅法，求出两直线⽅向向量的夹⾓即可得出结果，属于常考题型.
18．如图，某沿海地区计划铺设⼀条电缆联通A、B两地，A处位于东西⽅向的直线
MN上的陆地处，B处位于海上⼀个灯塔处，在A处⽤测⾓器测得，在A 处正西⽅向1km的点C处，⽤测⾓器测得，现有两种铺设⽅案：①沿线段AB在⽔下铺设；②在岸MN上选⼀点P，先沿线段AP在地下铺设，再沿线段PB 在⽔下铺设，预算地下、⽔下的电缆铺设费⽤分别为2万元/km，4万元/km.
（1）求A、B两点间的距离；
（2）请选择⼀种铺设费⽤较低的⽅案，并说明理由.
【答案】（1）千⽶；（2）⽅案②，理由见详解.
【】（1）过点作于点，设，根据，，即可求出，进⽽可得出结果；
(2)根据（1）得结果，结合题意可直接计算出⽅案①的费⽤；
⽅案②：设，则，其中，在直⾓三⾓形中，
，，总铺设费⽤为
，再设，⽤导数的⽅法求其最⼩值即可得出结果.
（1）过点作于点，设，因为，所以，
⼜，，所以，即，解得,
所以(km).
（2）由（1）可知(km)，
⽅案①：沿线段AB在⽔下铺设，总铺设费⽤为万元；
⽅案②：设，则，其中，
在直⾓三⾓形中，，，
所以，
则总铺设费⽤为，
设，
则，令得，列表如下：
所以的最⼩值为.
所以该⽅案的总铺设费⽤为，此时.
⽽，
所以应选择⽅案②进⾏铺设，点选择的正西⽅处，总铺设费⽤最低.
【】
本题主要考查导数在最⼤值、最⼩值问题中的应⽤，通常需要对函数求导，⽤导数的⽅法研究函数的单调性，进⽽确定函数的最值，属于常考题型. 19．已知，函数.
（1）求的值，使得为奇函数；
（2）若且对任意都成⽴，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【】（1）根据题意得到函数定义域为，再由即可求出结果；
（2）对任意都成⽴，即是对任意都成⽴；分别讨论
，，以及即可得出结果.
(1)由题意可知的定义域为，因此，若为奇函数，则，
即，所以；
(2)由对任意都成⽴，可得对任意都成⽴；
当时，显然不成⽴，所以；
因此对任意都成⽴，等价于；
当时，显然成⽴；所以符合题意；
当时，有对任意都成⽴，则显然成⽴，所以
符合题意；
当时，有对任意都成⽴，因为时，，因此有
对任意不能恒成⽴，故不符合题意；
综上，的取值范围为 .
【】
本题主要考查函数的奇偶性与单调性的应⽤，熟记函数单调性与奇偶性即可，属于常考题型.
20．在平⾯直⾓坐标系中，对于任意⼀点，总存在⼀个点满⾜关系式：
（，），则称为平⾯直⾓坐标系中的伸缩变换.
（1）在同⼀直⾓坐标系中，求平⾯直⾓坐标系中的伸缩变换，使得椭圆
变换为⼀个单位圆；
（2）在同⼀直⾓坐标系中，△（为坐标原点）经平⾯直⾓坐标系中的伸缩变换
（，）得到△，记△和△的⾯积分别为S与，
求证：；
【答案】(1)；(2)见详解.
【】（1）将椭圆⽅程化为标准⽅程，再由单位圆的⽅程，以及题中伸缩变换的概念，即可得出结果.
（2）先设，根据伸缩变换得到，，得到，
设直线的斜率为,得到直线的⽅程为，从⽽求出点到直线的距离
，
同理得到点到直线的距离为，最后由化简即可得出结果.
(1)因为椭圆的标准⽅程为，⼜单位圆的⽅程为，因此要想由椭圆变换为⼀个单位圆，伸缩变换只需为；
（2）先设，因为为坐标原点，所以，
由△（为坐标原点）经平⾯直⾓坐标系中的伸缩变换（，）得到△，所以，，，
所以，，
设直线的斜率为，则直线的⽅程为,故，
所以点到直线的距离为
⼜直线的斜率为，直线的⽅程为，即，
所以点到直线的距离为，
因此
.
【】
本题主要考查伸缩变换的问题，熟记伸缩变换的概念、以及点到直线距离公式等即可求解，属于常考题型，计算量较⼤. 21．已知函数（），且不等式对任意的
都成⽴，数列是以为⾸项，公差为1的等差数列（）.
（1）当时，写出⽅程的解，并写出数列的通项公式（不必证明）；（2）若（），数列的前项和为，对任意的，都有
成⽴，求的取值范围.
【答案】（1）或；；（2）
【】（1）先由直接写出⽅程的解，进⽽求出，即可得到数列的通项公式；
（2）先由（1）的结果得到，再由错位相减法求和即可得到，进⽽可求出结果. （1）因为时，易知⽅程的解为，，由不等式对任意的都成⽴，可得，
即，解得，所以，
⼜数列是以为⾸项，公差为1的等差数列，
所以；
（2）由（1）知，
所以①
②
①②得：，
整理得：，
由可得，
由恒成⽴，可得.
【】
本题主要考查数列的应⽤，以及错位相减法求数列的和的问题，熟记数列的性质以及公式等即可，属于常考题型.。