园林制图之投影基础

a
对于一般位置直 线，只要有两个同名 投影互相平行，空间 两直线就平行。
AB//CD
B ●
● ●
●
B
●
a≡b≡m
●
●
b
b
a●
a●
直线垂直于投影面 投影重合为一点 积 聚 性
直线平行于投影面 投影反映线段实长 ab=AB
直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 ab=ABcosα
直线在三个投影面中的投影特性
正平线（平行于Ｖ面）
投影面平行线 侧平线（平行于Ｗ面） 平行于某一投影面而
水平线（平行于Ｈ面） 统称特殊位置直线 与其余两投影面倾斜
二、一般位置线段的实长 及其与投影面的夹角
b a a b a
b
投影特性：
三个投影都缩短。 即: 都不反映空间线段 的实长及与三个投影面 夹角的实大，且与三根 投影轴都倾斜。
1）求直线的实长及对水平投影面的夹角角
b B a X A a b AB |zA-zB| ab b |zA-zB |
三、两点的相对位置
两点的相对位置指两 点在空间的上下、前后、 左右位置关系。
a
●
Z a
●
b
●
●
b YW
X
a
●
判断方法：
▲ x 坐标大的在左 ▲ y 坐标大的在前 ▲ z 坐标大的在上
b
●
YH
B点在A点之 前、之右、之 下。
• 例题 已知A点在B点之前5毫米，之上9毫米，之右8 毫米，求A点的投影。
a b A B
d(c)
C D
a(b)
c
d
2.3 直线的投影
两点确定一条直线，将两点 b 的同名投影用直线连接，就得 到直线的同名投影。 直线投影的基本特性 a 一、直线的投影特性
●
●
a ●
●
a
●
b
一般情况下， 直线与投影面的相对位置
A●
● ●
b 直线的投影
●
仍然为直线，特殊情况为一 α M A A B个点。
二、正投影的基本特性
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投 影反映实形；与投影面平行的线段的 投影反映其实长。实形性 2、物体上与投影面垂直的平面的投 影成为一直线；与投影面垂直的直线 的投影成为一点。积聚性 3、物体上倾斜于投影面的平面的投 影成为缩小的类似形；倾斜于投影面 的直线的投影比实长短。缩变性
|zA-zB|
a X

C
b
O
a AB
|zA-zB| ab

AB

2）求直线的实长及对正面投影面的夹角 角
b B a X |YA-YB| A a AB AB b


O
|YA-YB| X
a b
C b

ab
AB
a
|YA-YB|

|YA-YB|
ab
3）求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角
投影面垂直线
正垂线（垂直于Ｖ面） 侧垂线（垂直于Ｗ面） 垂直于某一投影面 铅垂线（垂直于Ｈ面） 与三个投影面都倾斜的直线
一般位置直线
1、投影面平行线
正平线
水平线
侧平线
水平线
a a b
a b
实长 a
b
α γ
正平线
a b
a b a
侧平线
β
a 实长
α
b
β
γ
b
b
a
b
实长
与H面的夹角:α 与V面的角:β 与W面的夹角: γ
V 主视图长、高
俯视图长、宽
左视图高、宽 X
高
长 高 长 宽 长
O
H
Y
3、三面投影与三视图
视图就是将物体向投影面 投射所得的图形。 主视图 —— 实体的正面投影 俯视图 —— 实体的水平投影 左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
长
宽
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正 主视左视高相等且平齐 俯视左视宽相等且对应
2、直线的迹点
定义：直线与投影面的交点称为该直线的迹点。它是 属于直线上的特殊点。
V b a
X B n M m
●
N● n'
V
N●
●
B
O
m'
A
O
X
b H
a
A ● M H
●
当直线与投影面平行时，则直线在该投影面上无 迹点。因此，在三投影面体系中投影面平行线只有两 个迹点，投影面垂直线只有一个迹点。
a● 解法二:
a● az
●
a
用分规直接量 取aaz=aax
ax
a●
点的投影与直角坐标的关系 若把三个投影面当作空间直角坐标面，投影 轴当作直角坐标轴，则点的空间位置可用其（X、 Y、Z）三个坐标来确定，点的投影就反映了点的 坐标值，其投影与坐标值之间存在着对应关系。
点的一个投影反映了点的两个坐标。已知点 的两个投影，则点的X、Y、Z三个坐标就可确定， 即空间点是唯一确定的。因此已知一个点的任意 两个投影即可求出其第三投影。
四、两直线的相对位置
平行
相交
交叉
垂直相交
空间两直线的相对位置分为： 平行、相交、交叉。 投影特性： ⒈ 两直线平行
b
a A a b B c C c d H D d V
空间两直线平 行，则其各同名投 影必相互平行，反 之亦然。
例1：判断图中两条直线是否平行。
①
a
b d c c b d
三、 三面正投影体系的建立和投影规律
1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小
二个投影
2、三视图的形成
俯视
Z
规定 : V面保持不动，H面向下向后 绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ 轴旋转900。
z
V
x
X O
0
y
左视 y
Y
主视
X方向作为度量物体长度的方向；Y方向 作为度量物体宽度的方向；Z方向作为度量物 体高度的方向。 Z
应用定比定理
例题3 V b
已知点C 在线段AB上，求点C 的正面投影。 b c X O a b c b a cb ac
c
a X B C
A
a
c
H
例题4 已知线段AB的投影，试定出属于线段AB的点C的投影， 使 BC 的实长等于已知长度L。 b L AB c a X b BC c a ab zA-zB
解决办法？ A
●
P
●
a
P
B2
●
B1
●
●
b
B3
●
采用多面投影。
点的三面投影
投影面
◆正面投影面（简称正 面或V面） ◆水平投影面（简称水 平面或H面） ◆侧面投影面（简称侧 面或W面）
V
Z
X
o
W
H
Y
投影轴
OX轴 V面与H面的交线 OY轴 H面与W面的交线 OZ轴 V面与W面的交线 三个投影面 互相垂直
投 影 特 性：
① 在其平行的那个投影面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投影面的倾角。 ② 另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。
2、 投影面垂直线
正垂线
铅垂线
侧垂线
铅垂线
a b
●
正垂线
c(d)
●
侧垂线
e f e(f)
●
a
d c
b
d c e f
a(b)
投影特性:
① 在其垂直的投影面上，投影有积聚性。 ② 另外两个投影，反映线段实长。且垂直 于相应的投影轴。
Z
a 9 a
b X 8 b 5 a YH
b
O
YW
两点的相对位置 两点的相对位置是根据两点相对 于投影面的距离远近（或坐标大小） 来确定的。X坐标值大的点在左；Y坐 标值大的点在前；Z坐标值大的点在 上。 根据一个点相对于另一点上下、 左右、前后坐标差，可以确定该点的 空间位置并作出其三面投影。
空间点A在三个投影面上的投影
a 点A的正面投影
Z V
a ●
●
a
点A的水平投影
A o
●
X a● H
a
W
a 点A的侧面投影
空间点用大写字母 表示，点的投影用 小写字母表示。
Y
投影面展开
不动
Z Z
向右翻
V
a
●
az
O
●
a
W
V
a
●
az
●
X
ax a H
●
ay
Y
X
ax
A O
●
a W
ay
Y
a 向下翻
第二章
投影基础
2.1 正投影的基本知识
2.2 点的投影
2.3 直线的投影
2.4 平面的投影
2.5 回转曲面的投影
2· 正投影的基本知识 1
一、投影法概述
画透视图
中心投影法
投影方法 平行投影法
画斜轴测图 斜角投影法 直角投影法（正投影法）
画工程图样 及正轴测图
中心投影法
投射中心 投射线 物体 投影 投影面
Z
b b
Z
a
B
a X A a
b a X b a Y a YH O

O b
b″ YW
|XA-XB|
例题1 已知 线段的实长AB，求它的水平投影。 AB b |zA-zB|
AB |zA-zB| X
a a

ab
b
ab
a
三、直线与点的相对位置
1、直线上的点
点在直线上的判别方法：
◆ 若点在直线上, 则点 的投影必在直线的同名投 影上。并将线段的同名投 影分割成与空间相同的比 例。即：
二、特殊位置点的投影
V b a X c c a H
Bb
O
b
a b Cc c Aa
例：已知点的两投影，求其第三投影
z
d’ f’ d’’ f’’ a’’ 0 e’’
YW
x
d
a’ e’ a
f
e
YH
各种位置点的投影 空间点 点的X、Y、Z三个坐标均不为零，其 三个投影都不在投影轴上。 投影面上的点 点的某一个坐标为零，其一个 投影与投影面重合，另外两个投影分别在投影 轴上。 投影轴上的点 点的两个坐标为零，其两个投 影与所在投影轴重合，另一个投影在原点上。 与原点重合的点 点的三个坐标为零，三个投 影都与原点重合。
物体位置改 变，投影大 小也改变
中心投影法投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间 的相对距离对投影的大小有影响。 度量性较差
平行投影法
且投 垂射 直线 于互 投相 影平 面行 且投 倾射 斜线 于互 投相 影平 面行 斜角投影法
直角（正）投影法
平行投影法投影特性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。 度量性较好 工程图样多数采用正投影法绘制。
b
c B
C
X
a
A a c b c
O
例1：判断点C是否在线段AB上。
① a b
c b ②
a
c
●
b c a c b
a
点C在直 线AB上
点C不在 直线AB上
例2：判断点K是否在线段AB上。
a k● b
a k● b a
●
k
b
因k不在a b上， 故点K不在AB上。
另一判断法?
三等关系
宽
长对正 高平齐 宽相等
3）三视图之间的位置对应关系
V
上 左 右 下 后 上 后 上 前 下
Z
X
O
后 下
左
右
左
前
前 右
Y
上
左 右 后
上
前
下 后 左
前
下 右
主视图反映：上、下 、左、右
俯视图反映：前、后 、左、右
左视图反映：上、下 、前、后
4、三视图的绘制
• 将物体自然放平，一般使主要表面与投影面平行或垂直， 进而确定主视图的投影方向 • 整体和局部都要符合三视图的投影规律
点的三面投影和坐 标的关系为： 水平投影 a 反映A 点X和Y的坐标； 正面投影 a'反映A X 点X和Z的坐标； 侧面投影a"反映A 点Y和Z的坐标。
Z
Байду номын сангаасV a'
W
y A x z
H
a"
O
a
Y
画出A点投影图和举例
例：已知点的两个投影，求第三投影。
解法一:
a● ax az
●
a
通过作45°线 使aaz=aax
四、重影点
A、C为H面的重影点
a
● ●
空间两点在某一投影 面上的投影重合为一点 时，则称此两点为该投 影面的重影点。
被挡住的投 影加( )
a c
c●
●
a (c )
●
A、C为哪个投 影面的重影点 呢？
重影点及可见性判别 若两点位于同一条垂直某投影面的投射 线上，则这两点在该投影面上的投影重合， 这两点称为该投影面的重影点。 重影点在三对坐标值中，必定有两对相 等。从投影方向观看，重影点必有一个点的 投影被另一个点的投影遮住而不可见。判断 重影点的可见性时，需要看重影点在另一投 影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反 之不可见，不可见点的投影加括号表示。
●
ay
Y
H
a ●
X
Z
az
O
●
a
V
Z
a
●
az
●
ax
ay
Y
X
ax
A O
●
a
W
a
●
Y
ay
a
●
ay
H
点的投影规律:
Y
① aa ⊥OX轴 aaz = aay = XA（A到W面的距离） ② aa⊥OZ轴 aax =aa y = ZA (A到H面的距离）
③aax= aaz=y
（A到V面的距离）
V c a
C A
b
B
b
AC/CB=ac/cb= ac / cb
◆若点的投影有一个不 在直线的同名投影上， 则 该点必不在此直线上。
a
c
H
定比定理
直线上的点具有两个特性：
1 从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面 投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在 直线上。 2 定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即 A C: C B = a c : c b= ac : cb = ac : c b
• 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓线用虚线绘制， 当虚线与实线重合时画实线 • 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方位关系
例1 由物体的立体图画三视图
Y1
前
Y2
Y2
前
主
例2 画三视图
2 要注意宽相等
3 1
虚线 要画
2· 点的投影 2
一、点的投影规律
过空间点A的投射线与投 影面P的交点即为点A在P面 上的投影。 点在一个投影面上 的投影不能确定点的空 间位置。