甘肃省宁县二中数列的概念经典例题 百度文库

一、数列的概念选择题
1．已知数列{a n }满足112,0,2
121, 1.
2n n n n n a a a a a +⎧
≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩
若a 1=35,则a 2019 = ( )
A ．
1
5
B ．
25
C ．
35
D ．
45
2．已知数列{}n a 满足: 12a =，11
1n n
a a +=-，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2017S =（ ） A ．1007
B ．1008
C ．1009.5
D ．1010
3．已知数列{}n a 满足11a =
),2n N n *=
∈≥，且()2cos
3
n n n a b n N π
*=∈，则数列{}n b 的前18项和为（ ） A ．120
B ．174
C ．204-
D ．
373
2
4．设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
5．已知数列2233331131357135
1,,,,,,,...,,,, (2222222222)
n
n n ，则该数列第2019项是（ ） A ．
10
19892 B ．
10
2019
2
C ．
11
1989
2
D ．
11
2019
2 6．已知数列{}n a ，若(
)12*
N
n n n a a a n ++=+∈，则称数列{}n
a 为“凸数列”.已知数列{}
n
b 为“凸数列”，且11b =，22b =-，则数列{}n b 的前2020项和为（ ） A ．5
B ．5-
C ．0
D ．1-
7．已知数列{}n a 满足11a =，()*11
n
n n a a n N a +=∈+，则2020a =（ ） A ．
1
2018
B ．
1
2019 C ．
1
2020
D ．
1
2021
8．数列{}n a 中，12a =，121n n a a +=-，则10a =（ ） A ．511
B ．513
C ．1025
D ．1024
9．已知数列{}n a 满足1221n n n a a a ++=+，n *∈N ，若11
02
a <<，则（ ） A ．8972a a a +< B ．91082a a a +> C ．6978a a a a +>+
D ．71089a a a a +>+
10．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（ ） A ．174
B ．184
C ．188
D ．160
11．数列{}n a 中，()1121n
n n a a n ++-=-，则数列{}n a 的前8项和等于（ ） A ．32
B ．36
C ．38
D ．40
12．设数列{},{}n n a b 满足*172
700,,105
n n n n n a b a a b n N ++==+∈若6400=a ，则（ ） A ．43a a >
B ．43<b b
C ．33>a b
D ．44<a b
13．若数列{a n }满足1112,1n
n n
a a a a ++==-，则2020a 的值为（ ） A ．2
B ．－3
C ．12
-
D ．
13
14．数列{}n a 满足1
111,(2)2
n n n a a a n a --==≥+，则5a 的值为（ ）
A ．
18
B ．
17 C ．
131
D ．
16
15．已知数列{}n a 满足111n n n n a a a a ++-=+，且11
3
a =，则{}n a 的前2021项之积为（ ） A ．
23
B ．
13
C ．2-
D ．3-
16．已知数列{}n a 满足：11a =，145n n a a +=+，则n a =（ ） A ．8523
3n
⨯- B ．1
852
3
3n -⨯- C ．8543
3
n
⨯-
D ．1
854
3
3
n -⨯- 17．公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…满足21(1),n n n a a a n ++=+≥那么
24620201a a a a ++++
+=（ ）
A ．2021a
B ．2022a
C ．2023a
D ．2024a
18．数列{}n a 满足：12a =，111n
n n
a a a ++=-()*n N ∈其前n 项积为n T ，则2018T =（ ） A ．6-
B ．1
6-
C ．
16
D ．6
19．已知数列{}n a 满足12n n a a n +=+，且133a =，则n
a n
的最小值为（ ） A ．21
B ．10
C ．
212 D ．
172
20．已知数列{}n a 的通项公式为()()2
11n
n a n
=--，则6a =（ ）
A ．35
B ．11-
C ．35-
D ．11
二、多选题
21．已知数列{}n a 满足()
*11
1n n
a n N a +=-∈，且12a =，则（ ） A ．31a =- B ．201912
a =
C ．332
S =
D ． 2 0192019
2
S =
22．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=，则下列结论一定正确的是（ ） A ．100a = B ．911a a = C ．当9n =或10时，n S 取得最大值
D ．613S S =
23．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且35a =，73a =，则（ ） A ．12
d =
B ．12
d =-
C ．918S =
D ．936S =
24．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则下列4个命题中正确的有（ ）
A ．若100S =，则50a >，60a <；
B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；
C ．若150S >，160S <，则{}n S 中7S 最大；
D ．若89S S <，则78S S <. 25．已知数列{}2n
n
a n +是首项为1，公差为d 的等差数列，则下列判断正确的是（ ） A ．a 1＝3 B ．若d ＝1，则a n ＝n 2+2n C ．a 2可能为6
D ．a 1，a 2，a 3可能成等差数列
26．已知等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和为n S ，且12a 、8S 、9S 成等差数列，则下列四个选项中正确的有（ ）
A ．59823a a S +=
B ．27S S =
C ．5S 最小
D ．50a =
27．（多选题）在数列{}n a 中，若22
1n n a a p --=，（2n ≥，*n N ∈，p 为常数），则称
{}n a 为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）
A ．若{}n a 是等差数列，则{}
2
n a 是等方差数列
B ．
(){}1n
-是等方差数列
C ．若{}n a 是等方差数列，则{}kn a （*k N ∈，k 为常数）也是等方差数列
D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列
28．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（ ） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310S S =
D ．当8n ≥时，0n a < 29．数列{}n a 满足11,121
n
n n a a a a +=
=+，则下列说法正确的是（ ） A ．数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭是等差数列 B ．数列1n a ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和2
n S n = C ．数列{}n a 的通项公式为21n a n =- D ．数列{}n a 为递减数列
30．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S (
)*
n N ∈，公差0d ≠，6
90S
=，7a 是3a 与9
a 的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =-
B ．1
20a =-
C ．当且仅当10n =时，n S 取最大值
D ．当0n
S <时，n 的最小值为22
31．已知数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥
时，)
2
11n a =
-，则关于数列
{}n a 说法正确的是（ ）
A ．28a =
B ．数列{}n a 为递增数列
C ．数列{}n a 为周期数列
D ．2
2n a n n =+
32．无穷数列{}n a 的前n 项和2
n S an bn c =++，其中a ，b ，c 为实数，则（ ）
A ．{}n a 可能为等差数列
B ．{}n a 可能为等比数列
C ．{}n a 中一定存在连续三项构成等差数列
D ．{}n a 中一定存在连续三项构成等比数列
33．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，且13623a a S +=，则以下结论正确的是（ ）. A ．10a =0
B ．10S 最小
C ．712S S =
D ．190S =
34．已知数列{}n a 是递增的等差数列，5105a a +=，
6914a a ⋅=-．12n n n n b a a a ++=⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，下列结论正确的是（ ）
A ．320n a n =-
B ．325n a n =-+
C ．当4n =时，n T 取最小值
D ．当6n =时，n T 取最小值
35．设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1718S S =，则下列各式的值为0的是（ ） A ．17a
B ．35S
C ．1719a a -
D ．1916S S -
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一、数列的概念选择题 1．B 解析：B 【分析】
根据数列的递推公式，得到数列的取值具备周期性，即可得到结论． 【详解】
∵112,02
121,1
2n n n n n a a a a a +⎧
≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩
，又∵a 135=，∴a 2＝2a 1﹣1＝235⨯-115=，
a 3＝2a 225
=
， a 4＝2a 3＝22455
⨯
=， a 5＝2a 4﹣1＝245⨯
-135
=， 故数列的取值具备周期性，周期数是4， 则2019a ＝50443a ⨯+＝32
5
a =， 故选B ． 【点睛】
本题主要考查数列项的计算，根据数列的递推关系是解决本题的关键．根据递推关系求出数列的取值具备周期性是解决本题的突破口．
2．D
解析：D 【分析】
根据题设条件，可得数列{}n a 是以3为周期的数列，且313
2122
S =+-=，从而求得2017S 的值，得到答案. 【详解】
由题意，数列{}n a 满足: 12a =，11
1n n
a a +=-， 可得23411
1,121,1(1)2,22
a a a =-
==-=-=--=，
可得数列{}n a 是以3为周期的数列，且3132122
S =+-= 所以20173
672210102
S =⨯+=. 故选：D. 【点睛】
本题主要考查了数列的递推公式的应用，其中解答中得出数列{}n a 是以3为周期的数列，是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
3．B
解析：B 【分析】
将题干中的等式化简变形得2
11n n a n a n --⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，利用累乘法可求得数列{}n a 的通项公式，由
此计算出(
)32313k k k b b b k N *
--++∈，进而可得出数列{}n
b 的前18项和.
【详解】
)1,2n a n N n *
--=
∈≥，将此等式变形得2
11n n a n a n --⎛⎫= ⎪⎝⎭
，
由累乘法得2
2
2
3
212
12
11211123n n n a
a a n a a a a a n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⋅⋅=⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
， ()
2cos
3n n n a b n N π*=∈，22cos 3
n n b n π
∴=， ()()222
323134232cos 231cos 29cos 233k k k b b b k k k k k k πππππ--⎛⎫⎛
⎫∴++=--+--
+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
592
k =-
， 因此，数列{}n b 的前18项和为()5
91234566921151742
⨯+++++-⨯=⨯-=. 故选：B. 【点睛】
本题考查并项求和法，同时也涉及了利用累乘法求数列的通项，求出32313k k k b b b --++是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.
4．A
解析：A 【分析】
根据等差数列的前n 项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】
{}n a 是等差数列，且公差d 不为零，其前n 项和为n S ，
充分性：
1n n S S +>，则10n a +>对任意的n *∈N 恒成立，则20a >，
0d ≠，若0d <，则数列{}n a 为单调递减数列，则必存在k *∈N ，使得当n k >时，
10n a +<，则1n n S S +<，不合乎题意；
若0d >，由20a >且数列{}n a 为单调递增数列，则对任意的n *∈N ，10n a +>，合乎题意.
所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇒“{}n a 为递增数列”；
必要性：设10n a n =-，当8n ≤时，190n a n +=-<，此时，1n n S S +<，但数列{}n a 是递增数列.
所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇐/“{}n a 为递增数列”.
因此，“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的充分而不必要条件. 故选：A. 【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前n 项和公式是解决本题的关键，属于中等题．
5．C
解析：C 【分析】 由观察可得()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
项数为21,1,2,4,8,...,2,...k -，注意到101110242201922048=<<=，第2019项是第12个括号
里的第995项.
【详解】 由数列()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，可发现其项数为 21,1,2,4,8,...,2,...k -，则前11个括号里共有1024项，前12个括号里共有2048项，
故原数列第2019项是第12个括号里的第995项，第12个括号里的数列通项为11
21
2m -， 所以第12个括号里的第995项是11
1989
2
. 故选：C. 【点睛】
本题考查数列的定义，考查学生观察找出已知数列的特征归纳出其项数、通项，是一道中档题.
6．B
解析：B 【分析】
根据数列的递推关系可求得数{}n b 的周期为6，即可求得数列{}n b 的前2020项和. 【详解】
()*21N n n n b b b n ++=-∈，且11b =，22b =-， ∴345673,1,2,3,1,b b b b b =-=-=== ∴{}n b 是以6为周期的周期数列，且60S =， ∴20203366412345S S b b b b ⨯+==+++=-，
故选：B. 【点睛】
本题考查数列的新定义、数列求和，考查运算求解能力，求解时注意通过计算数列的前6项，得到数列的周期.
7．C
解析：C 【分析】
根据数列的递推关系，利用取倒数法进行转化，构造等差数列，结合等差数列的性质求出通项公式即可． 【详解】 解：11
n
n n a a a +=
+， ∴两边同时取倒数得
11111n n n n
a a a a ++==+，
即
1111n n
a a ，
即数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是公差1d =的等差数列，首项为
1
11a ．
则1
1(1)1n
n n a =+-⨯=， 得1n a n
=
， 则20201
2020
a =
， 故选：C 【点睛】
本题主要考查数列通项公式的求解，结合数列递推关系，利用取倒数法以及构造法构造等差数列是解决本题的关键．考查学生的运算和转化能力，属于基础题．
8．B
解析：B 【分析】
根据递推公式构造等比数列{}1n a -，求解出{}n a 的通项公式即可求解出10a 的值. 【详解】
因为121n n a a +=-，所以121n n a a +=-，所以()1121n n a a +-=-，
所以
11
21
n n a a +-=-且1110a -=≠， 所以{}1n a -是首项为1，公比为2的等比数列，
所以112n n a --=，所以121n n a -=+，所以9
1021513a =+=，
故选：B. 【点睛】
本题考查利用递推公式求解数列通项公式，难度一般.对于求解满足
()11,0,0n n a pa q p p q +=+≠≠≠的数列{}n a 的通项公式，可以采用构造等比数列的方
法进行求解.
9．C
解析：C 【分析】 由递推公式1221n n n a a a ++=
+得出25445n n n a a a ++=+，计算出25,24a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，利用递推公式推导得
出()0,1n a ∈（n 为正奇数），1n a >（n 为正偶数），利用定义判断出数列
{}()21n a n N *-∈和{}()2n a n N *∈的单调性，进而可得出结论.
【详解】
()()
113212132221212221n n n n n n a a a a a a ++++===++++，110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，25,24a ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭， ()()12
1259245221545944221454544452121
n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ++++++-+++=====-+++++⨯++， 且()2241544545n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-=++，()
2
1212
2121
n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-=
++. 110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，则101a <<，则()()3590,14445n a a =-
∈+， 如此继续可得知()(
)210,1n a n N *
-∈∈，则(
)2
21
21212141=
045
n n n n a a
a a -+---->+，
所以，数列{}()21n a n N *
-∈单调递增；
同理可知，()21n
a n N *
>∈，数列{}()2n
a n N *
∈单调递减.
对于A 选项，78a a <且79a a <，8972a a a ∴+>，A 选项错误； 对于B 选项，89a a >且108a a <，则91082a a a +<，B 选项错误； 对于C 选项，68a a >，97a a >，则6978a a a a +>+，C 选项正确； 对于D 选项，79a a <，108a a <，则71098a a a a +<+，D 选项错误. 故选：C. 【点睛】
本题考查数列不等式的判断，涉及数列递推公式的应用，解题的关键就是推导出数列
{}()21n a n N *-∈和{}()2n a n N *∈的单调性，考查推理能力，属于难题.
10．A
解析：A 【分析】
根据已知条件求得
11n n n a a -=--，利用累加法求得19a . 【详解】 依题意：
3,4,6,9,13,18,24,1,2,3,4,5,6,
所以11n n n a a -=--（2n ≥），且13a =，
所以()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+
()()12213n n =-+-+
+++
()()()1111332
2
n n n n -+--=
+=+.
所以191918
31742
a ⨯=+=. 故选：A 【点睛】
本小题主要考查累加法，属于中档题.
11．B
解析：B 【分析】
根据所给数列表达式，递推后可得()
1
21121n n n a a n ++++-=+.并将原式两边同时乘以
()
1n
-后与变形后的式子相加，即可求得2n n a a ++，即隔项和的形式.进而取n 的值，代入
即可求解. 【详解】
由已知()1121n
n n a a n ++-=-，① 得()
1
21121n n n a a n ++++-=+，②
由()1n ⨯-+①②得()()()212121n
n n a a n n ++=-⋅-++，
取1,5,9n =及2,6,10n =，易得13572a a a a +=+=，248a a +=，6824a a +=， 故81234836S a a a a a =++++⋅⋅⋅+=. 故选：B. 【点睛】
本题考查了数列递推公式的应用，对数列表达式进行合理变形的解决此题的关键，属于中档题.
12．C
解析：C 【分析】 由题意有13
28010
n n a a +=+且6400=a ，即可求34,a a ，进而可得34,b b ，即可比较它们的大小. 【详解】 由题意知：13
28010
n n a a +=
+，6400=a ， ∴345400a a a ===，而700n n a b +=，
∴34300b b ==， 故选：C 【点睛】
本题考查了根据数列间的递推关系比较项的大小，属于简单题.
13．D
解析：D 【分析】
分别求出23456,,,,a a a a a ，得到数列{}n a 是周期为4的数列，利用周期性即可得出结果. 【详解】
由题意知，212312a +==--，3131132a -==-+，41
1121312a -
==+，51132113
a +
==-，612312
a +==--，…，
因此数列{}n a 是周期为4的周期数列， ∴20205054413
a a a ⨯===. 故选D. 【点睛】
本题主要考查的是通过观察法求数列的通项公式，属于基础题.
14．C
解析：C 【分析】
根据条件依次算出2a 、3a 、4a 、5a 即可. 【详解】 因为1
111,(2)2
n n n a a a n a --==
≥+，
所以211
123a =
=+，31131723a ==+，4117
11527a ==+，51
115131215
a ==+ 故选：C 15．B
解析：B 【分析】
由111n n n n a a a a ++-=+，且113
a =，可得：111n n n a a a ++=-，可得其周期性，进而得出结论.
因为111n n n n a a a a ++-=+，且113
a =， 所以111n
n n
a a a ++=
-， 21
132113
a +
∴==-，33a =-，412a =-，513a =，⋯⋯， 4n n a a +∴=.
123411
···2(3)()132
a a a a ∴=⨯⨯--⋅⨯=.
则{}n a 的前2021项之积50511
133
=⨯=.
故选：B 【点睛】
方法点睛：已知递推关系式求通项：（1）用代数的变形技巧整理变形，然后采用累加法、累乘法、迭代法、构造法或转化为基本数列(等差数列或等比数列)等方法求得通项公式．（2）通过具体的前几项找到其规律，如周期性等求解.
16．D
解析：D 【分析】 取特殊值即可求解. 【详解】
当1n =时，11a =，显然AC 不正确，
当2n =时，21459a a =+=，显然B 不符合，D 符合 故选：D
17．A
解析：A 【分析】
根据数列的递推关系式即可求解. 【详解】
由21(1),n n n a a a n ++=+≥ 则2462020246210201a a a a a a a a a ++++
+++++=+
3462020562020201920202021a a a a a a a a a a =+++
=+++=+=.
故选：A
18．A
解析：A
根据递推公式推导出(
)4n n a a n N *
+=∈，且有1234
1a a a a
=，再利用数列的周期性可计算
出2018T 的值. 【详解】
12a =，()*111++=
∈-n
n n a a n N a ，212312a +∴==--，3131132
a -==-+，41
1121312a -
==+，5
1132113
a +
==-，()4n n a a n N *+∴=∈，且()123411
23123
a a a a ⎛⎫=⨯-⨯-⨯= ⎪⎝⎭，
201845042=⨯+，因此，()504
2018450421211236T T a a ⨯+==⨯=⨯⨯-=-.
故选：A. 【点睛】
本题考查数列递推公式的应用，涉及数列周期性的应用，考查计算能力，属于中等题.
19．C
解析：C 【分析】
由累加法求出2
33n a n n =+-，所以
331n a n n n
，设33
()1f n n n
=
+-，由此能导出5n =或6时()f n 有最小值，借此能得到
n
a n
的最小值. 【详解】
解：()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋯+-+
22[12(1)]3333n n n =++⋯+-+=+-
所以
331n a n n
n
设33
()1f n n n
=
+-，由对勾函数的性质可知， (
)f n 在(
上单调递减，在
)
+∞上单调递减，
又因为n ∈+N ，所以当5n =或6时()f n 可能取到最小值. 又因为56536321,55662
a a ===， 所以
n a n
的最小值为62162a =.
故选：C.
本题考查了递推数列的通项公式的求解以及对勾函数的单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力.
20．A
解析：A 【分析】
直接将6n =代入通项公式可得结果. 【详解】 因为()()2
11n
n a n
=--，所以626(1)(61)35a =--=.
故选：A 【点睛】
本题考查了根据通项公式求数列的项，属于基础题.
二、多选题 21．ACD 【分析】
先计算出数列的前几项，判断AC ，然后再寻找规律判断BD ． 【详解】
由题意，，A 正确，，C 正确； ，∴数列是周期数列，周期为3． ，B 错； ，D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】 本
解析：ACD 【分析】
先计算出数列的前几项，判断AC ，然后再寻找规律判断BD ． 【详解】
由题意211122a =-=，31
1112a =-=-，A 正确，313
2122
S =+-=，C 正确；
41
121
a =-
=-，∴数列{}n a 是周期数列，周期为3． 2019367331a a a ⨯===-，B 错；
201932019
67322
S =⨯=，D 正确．
故选：ACD ．
本题考查由数列的递推式求数列的项与和，解题关键是求出数列的前几项后归纳出数列的性质：周期性，然后利用周期函数的定义求解．
22．ABD 【分析】
由题意利用等差数列的通项公式、求和公式可得，结合等差数列的性质，逐一判断即可得出结论． 【详解】
∵等差数列的前项和为，， ∴，解得， 故，故A 正确；
∵，，故有，故B 正确； 该数
解析：ABD 【分析】
由题意利用等差数列的通项公式、求和公式可得19a d =-，结合等差数列的性质，逐一判断即可得出结论． 【详解】
∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=， ∴()11187
5282
a a d a d ⨯++=+
，解得19a d =-， 故10190a a d =+=，故A 正确；
∵918a a d d d =+=-=，11110a a d d =+=，故有911a a =，故B 正确； 该数列的前n 项和()21119
2
22
n n n n S na d d d n -=+=-⋅ ，它的最值，还跟d 的值有关，
故C 错误； 由于61656392S a d d ⨯=+=-，1311312
13392
S a d d ⨯=+=-，故613S S =，故D 正确， 故选：ABD. 【点睛】
思路点睛：利用等差数列的通项公式以及前n 项和公式进行化简，直接根据性质判断结果.
23．BD 【分析】
由等差数列下标和性质结合前项和公式，求出，可判断C ，D ，由等差数列基本量运算，可得公差，判断出A ，B ．
因为， 所以．
因为，，所以公差． 故选：BD
解析：BD 【分析】
由等差数列下标和性质结合前n 项和公式，求出9S ，可判断C ，D ，由等差数列基本量运算，可得公差，判断出A ，B ． 【详解】
因为1937538a a a a +=+=+=， 所以()199998
3622
a a S +⨯=
==． 因为35a =，73a =，所以公差731
732
a a d -==--． 故选：BD
24．ABD 【分析】
利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】
对于A ：因为正数，公差不为0，且，所以公差， 所以，即，
根据等差数列的性质可得，又， 所以，，故A 正
解析：ABD 【分析】
利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】
对于A ：因为正数，公差不为0，且100S =，所以公差0d <， 所以1101010()
02
a a S +=
=，即1100a a +=， 根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=，又0d <， 所以50a >，60a <，故A 正确； 对于B ：因为412S S =，则1240S S -=，
所以561112894()0a a a a a a ++⋅⋅⋅++=+=，又10a >， 所以890,0a a ><，
所以115815815()15215022a a a S a +⨯=
==>，116891616()16()
022
a a a a S ++===， 所以使0n S >的最大的n 为15，故B 正确； 对于C ：因为1158
15815()15215022
a a a S a +⨯=
==>，则80a >， 116891616()16()022
a a a a S ++=
==，则890a a +=，即90a <， 所以则{}n S 中8S 最大，故C 错误；
对于D ：因为89S S <，则9980S a S =->，又10a >， 所以8870a S S =->，即87S S >，故D 正确， 故选：ABD 【点睛】
解题的关键是先判断d 的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题.
25．ACD 【分析】
利用等差数列的性质和通项公式，逐个选项进行判断即可求解 【详解】
因为，，所以a1＝3，an ＝[1+(n-1)d](n+2n).若d ＝1，则an ＝n(n+2n)；若d ＝0，则a2＝
解析：ACD 【分析】
利用等差数列的性质和通项公式，逐个选项进行判断即可求解 【详解】 因为
1
112a =+，1(1)2
n n a n d n =+-+，所以a 1＝3，a n ＝[1+(n -1)d ](n +2n ).若d ＝1，则a n ＝n (n +2n )；若d ＝0，则a 2＝6.因为a 2＝6+6d ，a 3＝11+22d ，所以若a 1，a 2，a 3成等差数列，则a 1+a 3＝a 2，即14+22d ＝12+12d ，解得1
5
d =-. 故选ACD
26．BD 【分析】
设等差数列的公差为，根据条件、、成等差数列可求得与的等量关系，可得出、的表达式，进而可判断各选项的正误. 【详解】
设等差数列的公差为，则，， 因为、、成等差数列，则，即，
解析：BD 【分析】
设等差数列{}n a 的公差为d ，根据条件12a 、8S 、9S 成等差数列可求得1a 与d 的等量关系，可得出n a 、n S 的表达式，进而可判断各选项的正误. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，则81187
88282
S a d a d ⨯=+
=+，91198
99362
S a d a d ⨯=+
=+， 因为12a 、8S 、9S 成等差数列，则81922S a S =+，即11116562936a d a a d +=++，
解得14a d =-，()()115n a a n d n d ∴=+-=-，()()21
9122
n n n d n n d S na --=+=. 对于A 选项，59233412a a d d +=⨯=，()2
8
88942
d S d -⨯=
=-，A 选项错误； 对于B 选项，()2
2
29272
d S
d -⨯=
=-，()2
7
79772
d S
d -⨯=
=-，B 选项正确；
对于C 选项，()2
298192224n d d S n n n ⎡⎤
⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
.
若0d >，则4S 或5S 最小；若0d <，则4S 或5S 最大.C 选项错误； 对于D 选项，50a =，D 选项正确. 故选：BD. 【点睛】
在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量，通过建立方程（组）获得解，另外在求解等差数列前n 项和n S 的最值时，一般利用二次函数的基本性质或者数列的单调性来求解.
27．BCD 【分析】
根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误. 【详解】
对于A 选项，取，则不是常数，则不是等方差数列，A 选项中的结论错误； 对于B 选项，为常数，则是等方差数列，B 选项中的结论正
解析：BCD 【分析】
根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误.
对于A 选项，取n a n =，则
()()()4
2
2
444221111n n a a n n n n n n +⎡⎤⎡⎤-=+-=+-⋅++⎣⎦⎣⎦
()()221221n n n =+++不是常数，则{}
2
n a 不是等方差数列，A 选项中的结论错误；
对于B 选项，()()2
2
111110n n
+⎡⎤⎡⎤---=-=⎣⎦⎣⎦
为常数，则(){
}
1n
-是等方差数列，B 选项
中的结论正确；
对于C 选项，若{}n a 是等方差数列，则存在常数p R ∈，使得22
1n n a a p +-=，则数列
{}2n
a 为等差数列，所以(
)
2
21kn k n a a kp +-=，则数列{}kn a （*k N ∈，k 为常数）也是等方
差数列，C 选项中的结论正确；
对于D 选项，若数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，则存在m R ∈，使得
n a dn m =+，
则()()()()2
2
2
1112222n n n n n n a a a a a a d dn m d d n m d d +++-=-+=++=++，
由于数列{}n a 也为等方差数列，所以，存在实数p ，使得22
1n n a a p +-=，
则()222d n m d d p ++=对任意的n *
∈N 恒成立，则()2202d m d d p ⎧=⎪⎨+=⎪⎩
，得0p d ==，
此时，数列{}n a 为常数列，D 选项正确.故选BCD. 【点睛】
本题考查数列中的新定义，解题时要充分利用题中的定义进行判断，也可以结合特殊数列来判断命题不成立，考查逻辑推理能力，属于中等题.
28．AD 【分析】
利用等差数列的通项公式可以求，，即可求公差，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确. 【详解】 因为，所以 ， 因为，所以， 所以等差数列公差， 所以是递减数列， 故最大，选项A
解析：AD 【分析】
利用等差数列的通项公式可以求70a >，80a <，即可求公差0d <，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确.
【详解】
因为67S S <，所以7670S S a -=> ，
因为78S S >，所以8780S S a -=<，
所以等差数列{}n a 公差870d a a =-<，
所以{}n a 是递减数列，
故1a 最大，选项A 正确；选项B 不正确；
10345678910770S S a a a a a a a a -=++++++=>，
所以310S S ≠，故选项C 不正确；
当8n ≥时，80n a a ≤<，即0n a <，故选项D 正确；
故选：AD
【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质和前n 项和n S ，属于基础题.
29．ABD
【分析】
首项根据得到，从而得到是以首项为，公差为的等差数列，再依次判断选项即可.
【详解】
对选项A ，因为，，
所以，即
所以是以首项为，公差为的等差数列，故A 正确.
对选项B ，由A 知：
解析：ABD
【分析】 首项根据11,121n n n a a a a +==+得到1112n n a a +-=，从而得到1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以首项为1，公差为2的等差数列，再依次判断选项即可.
【详解】
对选项A ，因为121
n n n a a a +=+，11a =， 所以121112n n n n a a a a ++==+，即1112n n
a a +-= 所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以首项为1，公差为2的等差数列，故A 正确.
对选项B ，由A 知：1
12121n n n a 数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和()21212n n n S n +-==，故B 正确. 对选项C ，因为
121n n a =-，所以121n a n =-，故C 错误. 对选项D ，因为121
n a n =
-，所以数列{}n a 为递减数列，故D 正确. 故选：ABD
【点睛】 本题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和前n 项和，同时考查了递推公式，属于中档题.
30．AD
【分析】
运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由二次函数的配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由解不等式可判断D ．
【详解】
等差数列的前n 项和为，公差，由，可
解析：AD
【分析】
运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由二次函数的配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由0n
S <解不等式可判断D ． 【详解】
等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，由690S =，可得161590a d +=，即12530a d +=，①
由7a 是3a 与9a 的等比中项，得2739a a a =，即()()()2
111628a d a d a d +=++，化为1100a d +=，②
由①②解得120a =，2d =-，则202(1)222n a n n =--=-，
21(20222)212
n S n n n n =+-=-， 由2
2144124n S n ⎛⎫=--+ ⎪⎝
⎭，可得10n =或11时，n S 取得最大值110； 由2102n S n n -<=，解得21n >，则n 的最小值为22. 故选：AD
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比中项的性质，二次函数的最值求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题.
31．ABD
【分析】
由已知递推式可得数列是首项为，公差为1的等差数列，结合选项可得结果.
【详解】
得，
∴，
即数列是首项为，公差为1的等差数列，
∴，
∴，得，由二次函数的性质得数列为递增数列，
解析：ABD
【分析】
由已知递推式可得数列
2=，公差为1的等差数列，结合选项可得结果.
【详解】 )2
11n a =-得)2
11n a +=，
1=
，
即数列2=，公差为1的等差数列，
2(1)11n n =+-⨯=+，
∴22n a n n =+，得28a =，由二次函数的性质得数列{}n a 为递增数列，
所以易知ABD 正确，
故选：ABD.
【点睛】
本题主要考查了通过递推式得出数列的通项公式，通过通项公式研究数列的函数性质，属于中档题.
32．ABC
【分析】
由可求得的表达式，利用定义判定得出答案．
【详解】
当时，．
当时，．
当时，上式＝．
所以若是等差数列，则
所以当时，是等差数列， 时是等比数列；当时，从第二项开始是等差数列．
解析：ABC
【分析】
由2n S an bn c =++可求得n a 的表达式，利用定义判定得出答案．
【详解】
当1n =时，11a S a b c ==++．
当2n ≥时，()()2
21112n n n a S S an bn c a n b n c an a b -=-=++-----=-+． 当1n =时，上式＝+a b ．
所以若{}n a 是等差数列，则0.a b a b c c +=++∴= 所以当0c 时，{}n a 是等差数列， 00
a c
b ==⎧⎨≠⎩时是等比数列；当0
c ≠时，{}n a 从第二项开始是等差数列．
故选：A B C
【点睛】
本题只要考查等差数列前n 项和n S 与通项公式n a 的关系，利用n S 求通项公式，属于基础题．
33．ACD
【分析】
由得，故正确；当时，根据二次函数知识可知无最小值，故错误；根据等差数列的性质计算可知，故正确；根据等差数列前项和公式以及等差数列的性质可得，故正确.
【详解】
因为，所以，所以，即
解析：ACD
【分析】
由13623a a S +=得100a =，故A 正确；当0d <时，根据二次函数知识可知n S 无最小值，故B 错误；根据等差数列的性质计算可知127S S =，故C 正确；根据等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可得190S =，故D 正确.
【详解】
因为13623a a S +=，所以111236615a a d a d ++=+，所以190a d +=，即100a =，故A 正确；
当0d <时，1(1)(1)922n n n n n S na d dn d --=+
=-+2(19)2
d n n =-无最小值，故B 错误；
因为127891*********S S a a a a a a -=++++==，所以127S S =，故C 正确；
因为()1191910191902a a S a +⨯===，故D 正确.
故选：ACD.
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式、前n 项和公式，考查了等差数列的性质，属于中档题.
34．AC
【分析】
由已知求出数列的首项与公差，得到通项公式判断与；再求出，由的项分析的最小值．
【详解】
解：在递增的等差数列中，
由，得，
又，联立解得，，
则，．
．
故正确，错误；
可得数列的
解析：AC
【分析】
由已知求出数列{}n a 的首项与公差，得到通项公式判断A 与B ；再求出n T ，由{}n b 的项分析n T 的最小值．
【详解】
解：在递增的等差数列{}n a 中，
由5105a a +=，得695a a +=，
又6914a a =-，联立解得62a =-，97a =， 则967(2)3963
a a d ---===-，16525317a a d =-=--⨯=-． 173(1)320n a n n ∴=-+-=-．
故A 正确，B 错误；
12(320)(317)(314)n n n n b a a a n n n ++==---
可得数列{}n b 的前4项为负，第5项为正，第六项为负，第六项以后均为正． 而5610820b b +=-=>．
∴当4n =时，n T 取最小值，故C 正确，D 错误．
故选：AC ．
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式，考查数列的求和，考查分析问题与解决问题的能力，属于中档题．
35．BD
【分析】
由得，利用可知不正确；；根据可知 正确；根据可知不正确；根据可知正确.
【详解】
因为，所以，所以，
因为公差，所以，故不正确；
，故正确；
，故不正确；
，故正确.
故选：BD.
解析：BD
【分析】
由1718S S =得180a =，利用17180a a d d =-=-≠可知A 不正确；；根据351835S a =可知 B 正确；根据171920a a d -=-≠可知C 不正确；根据19161830S S a -==可知D 正确.
【详解】
因为1718S S =，所以18170S S -=，所以180a =，
因为公差0d ≠，所以17180a a d d =-=-≠，故A 不正确；
135********()35235022
a a a S a +⨯====，故B 正确； 171920a a d -=-≠，故C 不正确；
19161718191830S S a a a a -=++==，故D 正确.
故选：BD.
【点睛】
本题考查了等差数列的求和公式，考查了等差数列的下标性质，属于基础题.。