北师版高中数学必修第一册精品课件 第2章 函数 习题课——函数的概念与表示

解决分段函数求值问题,先确定要求值的自变量属于哪一段,
然后代入该段的解析式求值,直到求出值为止.
特别地,当出现f(f(x0))的形式时,应从内到外依次求值.
-, > ,
【变式训练 2】 已知 f(x)=
求 f(5)的值.
(( + )), < ,
解:∵5<10,
∴f(5)=f(f(5+6))=f(f(11)),
探究一 取整函数问题
【例1】 画出函数f(x)=x-[x]的图象,并求函数的值域.
解:当-2≤x<-1时,f(x)=x+2;
当-1≤x<0时,f(x)=x+1;
当0≤x<1时,f(x)=x;
当1≤x<2时,f(x)=x-1;
当2≤x<3时,f(x)=x-2;
…
+ ,- ≤ < -,
D.y=
+

+

解析:根据规定每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余
数大于6时再增加一名代表,即余数分别为7,8,9时可以增选一
名代表,也就是x要进一位,所以最小应该加3,因此利用取整函
+
.
数可表示为 y=

答案:B
探究二 分段函数的应用
- + , < ,
【例 2】 已知函数 f(x)=
-, ≥ .
(1)试比较f(f(-3))与f(f(3))的大小;
(2)画出函数的图象.
解:(1)∵-3<1,∴f(-3)=-2×(-3)+1=7.
∵7>1,∴f(f(-3))=f(7)=72-2×7=35.
∵3>1,∴f(3)=32-2×3=3,∴f(f(3))=3.
∴f(f(-3))>f(f(3)).
(2)画出函数的图象,如图所示.
1.本例中条件不变,若f(x)=1,求x的值.
解:当 x∈(-∞,1)时,由 f(x)=-2x+1=1,解得 x=0,满足条件;
当 x∈[1,+∞)时,由 f(x)=x2-2x=1,解得 x=1+ 或 x=1- ,
又 x≥1,所以 x=1+ .
综上可知,x 的值为 0 或 1+ .
2.本例中条件不变,求使f(x)<3的x值的集合.
< ,
≥ ,
解:由题意,可得
或
- + < ,
- < .
< ,
由
解得-1<x<1;
- + < ,
≥ ,
由
解得 1≤x<3.
- < ,
综上可知,使 f(x)<3 的 x 的取值的集合为{x|-1<x<3}.
不包括右端点),故选 B.
答案:B
4.已知2f(-x)+f(x)=x,则f(x)=
解析:2f(-x)+f(x)=x,
以-x代替x得,2f(x)+f(-x)=-x,
(-) + () = ,
由
得 f(x)=-x.
() + (-) = -,
答案:-x
.
5.规定[t]表示不大于t的最大整数,例如[13.7]=13,[-3.5]=-4,对
[x],如当x=2.15时,[x]=2;当x=-2.14时,[x]=-3.
根据上述叙述,计算[- ]+[π]+


提示:原式=-2+3+0=1.
2.y=[x]叫作取整函数,定义域是
答案:R Z
的值.
,值域是
.
二、分段函数
【问题思考】
-, ≥ ,
1.已知 y=
, < .
(1)上述表达式是什么函数?定义域是什么?



所以 f2( )=f1(g( ))=f1( )=[3]=3.



(2)由 f1(x)=(4x-1)=[16x-4]=3,
≤ < ,



所以
解得≤x<,所以 x 的取值范围是[ , ).
≤ - < ,
1.(多选题)已知函数 f(x)= , < < , 则(
, ≥ ,
A.f(x)的定义域为 R B.f(2)=2
C.若

f(a)= ,则


a=

).
D.f(x)的值域为[0,2]∪{3}
解析:f(x)的定义域为[0,+∞).f(2)=3.由

f(a)= ,知


2
2a = ,故
当 0≤x≤1 时,f(x)=2x2∈[0,2];当 1<x<2 时,f(x)=2;
当 x≥2 时,f(x)=3.故 f(x)的值域为[0,2]∪{3}.
答案:CD


a= .

2.已知函数 f(x)的定义域为[-1,5],则 f(3x-5)的定义域为(

,


A.
B.[-8,10] C. , + ∞ D.[8,10]


解析:由-1≤3x-5≤5,解得≤x≤ .
键点是实心点还是空心图.
【变式训练1】 某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人
推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名
代表.那么,各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关
系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为
(
)
A.y=
C.y=


+

B.y=
(2)画出上述函数的图象,结合图形写出函数的值域.
(3)分段函数的定义域、值域与每段的定义域、值域有何关
系?
提示:(1)分段函数,定义域是R.
(2)图象如图.
由图可知其值域为[-1,+∞).
(3)分段函数的定义域是每段定义域的并集.分段函数的值域
是每段值域的并集.
2.分段函数
定义:在函数的定义域内,对于自变量x的不同取值范围,函数
习题课——函数的概念与表示
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
随 堂 练 习
课标定位
素养阐释
1.认识取整函数.
2.理解分段函数,会画分段函数的图象,利用分段
函数解决数学问题.
3.会求f(f(x))型函数的定义域.
4.体会抽象概括的过程,加强直观想象能力素养
的培养.
一、取整函数
【问题思考】
1.设x为任一实数,不超过x的最大整数称为x的整数部分,记作
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“ ”,错
误的画“×”.
(1)y=x与y=|x|的定义域相同.( √ )
(2)已知y=f(x)的定义域是[1,2],则y=f(x+1)的定义域是[2,3].
( × )
(3)y=f(x)的值域是[1,2],则y=f(x+1)的值域也是[1,2].( √ )
有着
的对应关系的函数.
定义域:分段函数定义域是所有自变量取值区间的
集.
值域:分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围
内函数值取值集合的
.
提示:不同 并 并集
, > ,
3.函数 y=
的定义域为
-, <
为
.
答案:(-∞,0)∪(0,+∞) {-2}∪(0,+∞)
,值域
【思考辨析】
【变式训练 4】 已知 f(x+1)的定义域为[1,2],则 f( )的定义域
为
.
解析:∵f(x+1)的定义域为[1,2],
∴1≤x≤2,2≤x+1≤3.
∴f(x)的定义域为[2,3].
∴2≤ ≤3,∴4≤x≤9,
即 f( )的定义域为[4,9].
答案:[4,9]
, ≤ ≤ ,
∵11>10,∴f(f(11))=f(9),
又∵9<10,∴f(9)=f(f(15))=f(13)=11,
即f(5)=11.
探究三 形如f(g(x))的函数的定义域问题
【例3】 已知f(x)的定义域为[-2,3],求f(x-1)的定义域.
分析:f(x-1)的定义域即x的取值集合,由-2≤x-1≤3,可得x的取
值范围.
解:因为f(x)的定义域为[-2,3],
令-2≤x-1≤3,解得-1≤x≤4.
故f(x-1)的定义域为{x|-1≤x≤4}.
1.已知f(x-1)的定义域为[-2,3],求f(x)的定义域.
解:因为f(x-1)的定义域为[-2,3],
所以-2≤x≤3,所以-3≤x-1≤2,
故f(x)的定义域为{x|-3≤x≤2}.
答案:A
)
3.下列图形是函数y=-|x|(x∈[-2,2])的图象的是(
)
-, ≤ ≤ ,
解析:y=-|x|=
中,y=-x(0≤x≤2)对应的图象是直
,- ≤ <
线 y=-x 上满足 0≤x≤2 的一条线段(包括端点),y=x(-2≤x<0)
对应的图象是直线 y=x 上满足-2≤x<0 的一线(包括左端点,
2.已知f(x+1)的定义域为[-2,3],求f(x-1)的定义域.
解:由f(x+1)的定义域为[-2,3],
得-2≤x≤3,所以-1≤x+1≤4.
因此f(x)的定义域为{x|-1≤x≤4}.
由-1≤x-1≤4,得0≤x≤5.
所以f(x-1)的定义域为{x|0≤x≤5}.
求形如f(g(x))的函数定义域的方法
(1)已知函数f(x)的定义域为[a,b],求f(g(x))的定义域,其解法为:
由a≤g(x)≤b,得x的取值集合,此集合即函数f(g(x))的定义域.
(2)已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],求函数f(x)的定义域,其解
法为:由y=g(x),x∈[a,b],得函数g(x)值域,即函数f(x)的定义域.
+ ,- ≤ < ,
由上可知,f(x)= , ≤ < ,
-, ≤ < ,
-, ≤ < ,
…
其图象如图.
由图可知其值域为[0,1).
弄清取整函数的含义,画法同一般函数图象的画法.画函数的
图象时要注意的一些关键点:
与坐标轴的交点;图象上的最高点、最低点;还要分清这些关
实数x,令f1(x)=[4x],g(x)=4x-[4x],进一步令f2(x)=f1(g(x)).
(1)求


f1( )和 f2( );


(2)若f1(x)=1,f2(x)=3,求x的取值范围.




解:(1)由题意得 f1()=[]=1,g()=-[]=-1=,