山东省冠县联考2019-2020学年中考数学模拟质量跟踪监视试题

山东省冠县联考2019-2020学年中考数学模拟质量跟踪监视试题
一、选择题
1．如图，在△ABC 中，cosB ＝
2
，sinC ＝35，AC ＝5，则△ABC 的面积是( )
A ．
21
2
B ．12
C ．14
D ．21
2．如图，直线AD ∥BC ，若∠1＝40°，∠BAC ＝80°，则∠2的度数为（ ）
A.70°
B.60°
C.50°
D.40° 3．如图，点是矩形
的对角线
上一点，正方形
的顶点、都在边
上，
，
，则
的值为( )
A. B. C. D.
4．下列算式中，正确的是( ). A ．2
21
a a a a
÷⨯
= B ．2323a a a -=- C ．3
262
()a b a b =
D ．(
)
2
36a
a --=
5．如图，在菱形OABC 中，点A 的坐标为()10,0，对角线OB AC 、相交于点,160D OB AC ⋅=.双曲线()0k
y x x
=
>经过点D ，交BC 的延长线于点E ，则过点E 的双曲线表达式为（）
A ．20y x
=
B ．24y x
=
C ．28y x
=
D ．32y x
=
6．文艺复兴时期，意大利艺术大师达芬奇曾研究过圆弧所围成的许多图形的面积问题. 如图所示称为达芬奇的“猫眼”，可看成圆与正方形的各边均相切，切点分别为,,,A B C D ，BD 所在圆的圆心为点A
（或C ）. 若正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A
B ．2
C ．1π-
D ．42
π
-
7．如图，已知菱形ABCD 的面积为，对角线AC 长为M 为BC 的中点，若P 为对角线AC 上一动点，则PB 与PM 之和的最小值为（ ）
A B ．C ．2 D ．4
8．如图，在半径为6的⊙O 中，正方形AGDH 与正六边形ABCDEF 都内接于⊙O ，则图中阴影部分的面积
为（ ）
A ．27﹣
B ．54﹣
C ．
D ．54
9．计算的结果为( )
A.
B.
C. D.
10．将抛物线2
y x =向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ） A ．2(2)3y x =++
B ．2(2)3y x =-+
C ．2(2)3y x =+-
D ．2(2)3y x =--
11．如图，抛物线2
y ax bx c =++,交x 轴于(1,0),(3,0)A B -，交y 轴的负半轴于点C ，顶点为D.
有下列结论：
①20a b += ②23c b <；
③当△ABD 是等腰直角三角形时，则12
a =
； ④当△ABC 是等腰三角形时，a 的值有3个，其中，正确结论的个数是（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝55°，那么∠4的度数是（ ）
A ．35°
B ．45°
C ．55°
D ．125°
二、填空题
13．因式分解：a 3－ab 2＝______________． 14．一元二次方程x 2
-2x=0的解是_______.
15．将数67500用科学记数法表示为____________．
16．函数y ＝1的自变量x 的取值范围是_____ 17．若x 是3和6的比例中项，则x ＝_____．
18．若关于x 的方程kx 2+2x ﹣1=0有实数根，则k 的取值范围是_____． 三、解答题
19．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC 为⊙O 的直径，过点C 作CE ⊥AC 交AD 的延长线于点E ，F 为CE 的中点，连结DB ，DF ． （1）求∠CDE 的度数． （2）求证：DF 是⊙O 的切线． （3）若tan ∠ABD=3时，求
AC
DE
的值．
20．已知方程组2+24x y ax by =-⎧⎨-=-⎩和方程组3128
x y bx ay -=⎧⎨+=-⎩的解相同，求（2a+b ）2015
的值．
21．斜坡AC 上有一棵大树AO ，由于受台风的影响而倾斜，如图，斜坡AC 的坡角为30°，AC 长
2
米，大树AO 的倾斜角是60°，大树AO 的长为3米，若在地面上B 处测得树顶部O 的仰角为60°，求点B 与斜坡下端C 之间的距离．
22．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线OBCDA表示轿车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：
（1）当轿车刚到乙地时，此时货车距离乙地千米；
（2）当轿车与货车相遇时，求此时x的值；
（3）在两车行驶过程中，当轿车与货车相距20千米时，求x的值．
23．某公司销售一种进价为20元/个的计算器，销售过程中的其他开支（不含进价）总计40万元，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的变化如下表
（2）求出该公司销售这种计算器的净得利润w（万元）与销售价格x（元个）的函数关系式；
（3）销售价格定为多少元时，该公司获得的利润最大？最大利润是多少？
24．如图，在△ABC中，AC＝BC，AB是⊙C的切线，切点为点D，直线AC交⊙C于点E、F，且
CF=1
2 AC，
（1）求证：△ABF是直角三角形．
（2）若AC＝6，则直接回答BF的长是多少．
25．阅读下列两则材料，回答问题：
材料一：因为22a b
=-=-所以我们将与-称为一
対“有理化因式”，有时我们可以通过构造“有理化因式”求值
2=
解：(25)(15)10x x ⨯=---=，∵
2,5==
材料二：如图，点A （x 1，y 1），点B （x 2，y 2），所以AB 为斜边作Rt △ABC ，则C （x 2，y 1），于是AC ＝
|x 1﹣x 2|，BC ＝|y 1﹣y 2|，所以AB
值看作点（x 1，y 1）到点（x 2，y 2
==，所以可将代数式
x ，y ）到点（1，﹣1）的距离；
（1）利用材料一，解关于x 2=，其中x≤2；
（2的最小值，并求出此时
y 与x 的函数关系式，写出x 的取值范围．
【参考答案】*** 一、选择题
13．a （a+b ）（a ﹣b ） 14．120,2x x == 15．46.7510⨯ 16．x≥0
17．±18．k≥-1 三、解答题
19．（1）∠CDE=90°；（2）详见解析；（3）AC
DE
= 【解析】 【分析】
（1）因为对角线AC 为⊙O 的直径，可得∠ADC=90°，即∠CDE=90°；
（2）连接OD ，证明DF=CF ，可得∠FDC=∠FCD ，因为OD=OC ，可得∠ODC=∠OCD ，即∠ODF=∠OCF=90°，
可得DF 是⊙O 的切线；
（3）证明∠E=∠DCA=∠ABD ，可得tan ∠E=tan ∠DCA=tan ∠ABD=3，设DE=x ，则CD=3x ，AD=9x ，在Rt △ADC 中，求得AC 的长，即可得出AC
DE
的值． 【详解】
（1）∵对角线AC 为⊙O 的直径， ∴∠ADC=90°，
∴∠CDE=180°-90°=90°； （2）如图，连接OD ，
∵∠CDE=90°，F 为CE 的中点， ∴DF=CF ， ∴∠FDC=∠FCD ， ∵OD=OC ， ∴∠ODC=∠OCD ，
∴∠FDC+∠ODC=∠FCD+∠OCD ，即∠ODF=∠OCF ， ∵CE ⊥AC ，
∴∠ODF=∠OCF=90°，即OD ⊥DF ， ∴DF 是⊙O 的切线．
（3）∵∠E=90°-∠ECD=∠DCA=∠ABD ， ∴tanE=tan ∠DCA=tan ∠ABD=3， 设DE=x ，则CD=3x ，AD=9x ，
∴=，
∴
AC DE =．
本题考查圆的切线的判定，圆周角定理，锐角三角函数的定义．解题的关键是掌握圆的切线的判定方法．
20．【解析】
【分析】
由两个方程组中不含a、b的两个方程可组成一个新的方程组，可求得x、y的值，再代入含有a、b的两个方程，可得到关于a、b的方程组，可求得a、b的值，代入计算即可．
【详解】
方程组
22
4
x y
ax by
+-
⎧
⎨
--
⎩
＝①
＝②
与
312
8
x y
bx ay
＝③
＝④
-
⎧
⎨
+-
⎩
有相同的解，
∴由①、③可得方程组
22
312
x y
x y
+-
⎧
⎨
-
⎩
＝
＝
，解得
2
6
x
y
⎧
⎨
-
⎩
＝
＝
，
再把
2
6
x
y
⎧
⎨
-
⎩
＝
＝
代入②、④可得方程组
264
268
a b
b a
+-
⎧
⎨
--
⎩
＝
＝
，解得
1
1
a
b
⎧
⎨
-
⎩
＝
＝
，
∴（2a+b）2015=（2-1）2015=1．
【点睛】
本题主要考查方程组的解法，利用方程组的解相同求得方程组中x、y的值是解题的关键．
21．点B与斜坡下端C之间的距离为1.5米．
【解析】
【分析】
延长OA交BC于H，根据题意得到∠OAC＝90°，利用正切的概念求出AH，判断△OHB为等边三角形，求出HB，计算即可．
【详解】
延长OA交BC于H，
∵斜坡AC的坡角为30°，
∴∠DAC＝30°，
∵AO的倾斜角是60°，
∴∠DAO＝60°，
∴∠OAC＝90°，
∴AH＝AC•tan∠ACH＝3
2
，
∴HC＝2AH＝3，
∵∠OHB＝∠BOA＝60°，
∴△OHB为等边三角形，
∴HB＝OH＝OA+AH＝4.5，
则BC＝HB﹣HC＝1.5，
答：点B与斜坡下端C之间的距离为1.5米．
本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
22．（1）30；（2）当x ＝3.9时，轿车与货车相遇；（3）在两车行驶过程中，当轿车与货车相距20千米时，x 的值为3.5或4.3小时． 【解析】 【分析】
（1）根据图象可知货车5小时行驶300千米，由此求出货车的速度为60千米/时，再根据图象得出货车出发后4.5小时轿车到达乙地，由此求出轿车到达乙地时，货车行驶的路程为270千米，而甲、乙两地相距300千米，则此时货车距乙地的路程为：300﹣270＝30千米； （2）先求出线段CD 对应的函数关系式，再根据两直线的交点即可解答； （3）分两种情形列出方程即可解决问题． 【详解】
解：（1）根据图象信息：货车的速度V 货＝
300
605
=， ∵轿车到达乙地的时间为货车出发后4.5小时，
∴轿车到达乙地时，货车行驶的路程为：4.5×60＝270（千米）， 此时，货车距乙地的路程为：300﹣270＝30（千米）． 所以轿车到达乙地后，货车距乙地30千米． 故答案为：30；
（2）设CD 段函数解析式为y ＝kx+b （k≠0）（2.5≤x≤4.5）． ∵C （2.5，80），D （4.5，300）在其图象上，
2.5804.5300k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得110
195k b =⎧⎨
=-⎩
， ∴CD 段函数解析式：y ＝110x ﹣195（2.5≤x≤4.5）； 易得OA ：y ＝60x ，
110195
60y x y x
=-⎧⎨
=⎩，解得 3.9234x y ==， ∴当x ＝3.9时，轿车与货车相遇；
（3）当x ＝2.5时，y 货＝150，两车相距＝150﹣80＝70＞20， 由题意60x ﹣（110x ﹣195）＝20或110x ﹣195﹣60x ＝20， 解得x ＝3.5或4.3小时．
答：在两车行驶过程中，当轿车与货车相距20千米时，x 的值为3.5或4.3小时． 【点睛】
本题考查了一次函数的应用，对一次函数图象的意义的理解，待定系数法求一次函数的解析式的运用，行程问题中路程＝速度×时间的运用，本题有一定难度，其中求出货车与轿车的速度是解题的关键． 23．（1）当销售量等于2.5万个时，销售价格等于55元/个；（2）当30≤x≤60时，w ＝﹣0.1x 2
+10x ﹣200；当60＜x≤80时，w ＝2400
x
-+80；（3）销售价格定为50或80元/件时，获得的利润最大，最大利润是50万元． 【解析】 【分析】
（1）根据销售量的代数式等于2.5，求出符合题意的解；
（2）根据x 的范围分类讨论，由“总利润=单件利润×销售量”可得函数解析式；
（3）结合（1）中两个函数解析式，分别依据二次函数的性质和反比例函数的性质求其最值即可．【详解】
解：（1）由题意得，
1
10
-x+8＝2.5，
解得，x＝55，
答：当销售量等于2.5万个时，销售价格等于55元/个；
（2）当30≤x≤60时，w＝（x﹣20）（﹣0.1x+8）﹣40＝﹣0.1x2+10x﹣200；
当60＜x≤80时，w＝（x﹣20）•120
x
-40
2400
x
=-+80；
（3）当30≤x≤60时，w＝﹣0.1x2+10x﹣200＝﹣0.1（x﹣50）2+50，∴当x＝50时，w取得最大值50（万元）；
当60＜x≤80时，w
2400
x
=-+80，
∵﹣2400＜0，
∴w随x的增大而增大，当x＝80时，w最大＝50万元，
∴销售价格定为50或80元/件时，获得的利润最大，最大利润是50万元．
【点睛】
本题主要考查二次函数和反比例函数的应用，理解题意依据相等关系列出函数解析式，并熟练掌握二次函数和反比例函数的性质是解题的关键．
24．(1)见解析
【解析】
【分析】
（1）连接DC，根据AB是⊙C的切线，所以CD⊥AB，根据CD=1
2
AC，得出∠A=30°，因为AC=BC，从而
求得∠ACB的度数，证明△BCD≌△BCF，可得∠BFC=∠BDC=90°，结论得证；
（2）由（1）知BF=AD，然后在Rt△ACD中根据含30度的直角三角形三边的关系可计算出AD，从而得到BF的长．
【详解】
（1）证明：如图，连接CD，则CF=CD，
∵AB是⊙C的切线．
∴CD⊥AB，∠ADC=∠BDC=90°，
在Rt△ACD中，
∵CF
1
AC 2
=，
∴CD=CF
1
AC 2
=，
∴∠A=30°
∵AC=BC∴∠ABC=∠A=30°，∴∠ACB=120°，
∠BCD=∠BCF=60°， 又∵BC=BC ，
∴△BCD ≌△BCF （SAS ）， ∴∠BFC=∠BDC=90°， ∴△ABF 是直角三角形． （2）解：∵AC=BC ，CD ⊥AB ， ∴AD=BD=BF ，
在Rt △ACD 中，∵∠A=30°，AC=6， ∴CD 1
2
=
AC=3， ∴
AD =
∴
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了含30度的直角三角形三边的关系． 25．（1）x ＝﹣2；（2）y ＝x+5（﹣3≤x≤1）． 【解析】 【分析】
（1
2=的值，利用换元法解方程，可得结论；
（2）把根式下的式子转化成平方+平方的形式，转化成点到点的距离问题，根据两点之间距离最短，所以当三个点共线时距离最短，可以求出最小值和函数关系式． 【详解】 解：（1
）
(14x 14
x (2x)12-=---=，
14x 2--=，
1226=÷=；
b ==， 则26
a b a b -
=⎧⎨
+=⎩，解得：4
2
a b =⎧⎨=⎩，
∴42
=
=， ∵x≤2， 解得：x ＝﹣2； （2
，
=
=
=，
x ，y ）到点（1，6）的距离； x ，y ）到点（﹣3，2）的距离；
即点（x，y）与点（1，6），（﹣3，2）在同一条直线上，并且点（x，y）位于点（1，6）、（﹣3，2）的中间，
=
3≤x≤1，
设过（x，y），（1，6），（﹣3，2）的直线解析式为：y＝kx+b，
∴
6
32
k b
k b
+=
⎧
⎨
-+=
⎩
，解得：
k1
b5
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴y＝x+5（﹣3≤x≤1）．
【点睛】
本题属于新定义题，理解新定义的内容完成题目要求，并运用类比的方法熟练掌握两点的距离公式．。